最新初一数学竞赛专项强化题集最大公约数与最小公倍数

最大公因数与最小公倍数一、知识梳理：（1）、最大公因数和最小公倍数。

互质:两个数的最大公因数为1就叫做这两个数互质。

1.两个连续自然数是互质的。

例如:8与9;15与162.两个质数必然是互质的。

例如:5和7;11和13（2）、求最大公因数或最小公倍数的方法1.若两个数是互质的,则最大公因数为1,最小公倍数为这两个数的乘积。

2.若两个数是倍数关系,则较小的数为它们的最大公因数,较大的数为它们的最小公倍数。

当两个数相差较大时,要判断大数是否为小数的倍数。

3.两个数不是倍数关系的,也不是互质的才适合用分解质因数去求最大公因数和最小公倍数。

（3）、应用题中如何识别是求公因数还是公倍数的方法1.分析题意,判断结果应该比所给数量大,则是求公倍数;2.分析题意,判断结果应该比所给数量小,则是求公因数3.题目中含“最多”或“最长”等字眼,则是求最大公因数4.题目中含“至少”,“下一次”字眼,则是求最小公倍数二、最大公因数与最小公倍数针对性练习：一、填空题。

1、如果有两个质数的和等于24，可以是（）＋（），（）＋（）或（）＋（）。

2、a b c 都是质数，甲数=a×b×b，乙数=a×b×c，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）3．a=2×2×5，b=2×3×5，那么a 和b的最小公倍数是（），最大公因数是（）。

4、找出下列每组数的最大公因数、最小公倍数15和12的最大公因数是（），最小公倍数是（）18和27的最大公因数是（），最小公倍数是（）17和34的最大公因数是（），最小公倍数是（）5、一个自然数除以4余2，除以5余3，除以6余4，这个数最小是（）。

6、有三根铁丝，一根长48dm,一根长60dm,，一根长36dm，要把他们截成同样长的几段，不许剩余，每段最长是（）dm,一共可以截成（）段。

7、三个连续自然数的和是18，这三个自然数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

一、基本概念：公因数：两个或多个数都有的因数叫做公因数公倍数：两个或多个数都有的倍数叫做公倍数最大公因数：两个或多个数都有的因数里最大的叫做最大公因数最小公倍数：两个或多个数都有的倍数里最小的叫做最小公倍数（没有最大公倍数）公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

求最大公因数、最小公倍数习题一、用短除法求几个数的最大公因数12和30 24和3639和78 72和84 36和60 45和60 45和75 45和60 42、105和56 24、36和48二、用短除法求几个数的最小公倍数。

25和30 24和3039和78 60和84 18和20126和60 45和75 12和24 12和14 45和6076和80 36和60 27和72 42、105和56 24、36和48六、用短除法求几个数的最大公因数与最小公倍数。

45和60 36和60 27和72 76和806、12和247、21和498、12和36八、写出下列各数的最大公因数和最小公倍数15和5的最大公因数是最小公倍数是；9和3的最大公因数是最小公倍数是9和18的最大公因数是最小公倍数是；11和44的最大公因数是最小公倍数是30和60 的最大公因数是最小公倍数是；13和91 的最大公因数是最小公倍数是7和12的最大公因数是最小公倍数是；8和11的最大公因数是最小公倍数是1和9的最大公因数是最小公倍数是；8和10的最大公因数是最小公倍数是6和9的最大公因数是最小公倍数是；8和6的最大公因数是最小公倍数是10和15的最大公因数是最小公倍数是；4和6的最大公因数是最小公倍数是26和13的最大公因数是最小公倍数是13和6的最大公因数是最小公倍数是4和6的最大公因数是最小公倍数是；5和9的最大公因数是最小公倍数是29和87的最大公因数是最小公倍数是；30和15的最大公因数是最小公倍数是13、26和52的最大公因数是最小公倍数是2、3和7的最大公因数是最小公倍数是16、32和64的最大公因数是最小公倍数是7、9和11的最大公因数是最小公倍数是九. 求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

最大公约数与最小公倍数一、基础知识：1、互质数：只有公因数1的两个数叫互质数。

2、在解关于最大公约数（常用小括号表示）问题时，常用的结论有：（1）如果a与b互质，那么a与b的最大公约数是1。

如：（3，5）=1 （2）如果a是b的整数倍，那么a与b的最大公约数是b。

（10，5）=10 （3）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。

如：（6，9）=3，6÷3=2，9÷3=3，2和3是一对互质数。

（4）一个较大数与另一个数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数。

（辗转相除法）例1：求38454与336的最大公约数。

解：38454=336×114+150 336=150×2+36 150=36×4+6 （38454，336）=（336，150）=（150，36）=（36，6）=6练一练：求1665与333的最大公约数。

（一）基本方法例2、用两种方法求84和24的最大公约数。

分解质因数：短除法：例3、用短除法求30、10和45的最大公约数。

例4、有三根铁丝，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。

现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？分析：根据条件“要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余”，这表明每段长度都能够整除这三根铁丝，即每段长度必须是12、18、24的公约数。

又因为求“每小段最长”，所以求的是这三个数的最大公约数。

练一练：一个长方体长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？例5、一块长方形地长90米，宽48米，要在它的四周种树（四个角都种），相邻的两棵树中间的距离相等，最少要种多少棵树？分析：要想种树最少，那么相邻的两棵树中间的距离就应当怎么办？还要注意的是，在封闭线上种树，段数等于棵数，所以用周长除以棵距可以求的棵数。

新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11 D．92．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31 B．61 C．91 D．1213．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．19114．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．85．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．47．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．118．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12 D．169．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是_________．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=_________；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=_________．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有_________组．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有_________组．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？17．（12分）如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11 D．9考点：约数与倍数．2383486专题：特定专题．分析：假设出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x=1或x=3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．解答：解：令（a，b）=x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约数，知x=1或x=3．当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]=90，说明a、b至少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，故（a，b）≠1，即x≠1．当x=3时，即有（a，b）=3，∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=32×5×6，而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．故选B．2．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31 B．61 C．91 D．121考点：约数与倍数．分析：此题是关于排列组合问题，找出最小公倍数是关键．解答：解：根据题意分析可得：其中天干有10个，地支有12个．12与10的最小公倍数是60，故序号每隔60循环一次，故第2次甲和子在同一列时，该列的序号是61．故答案B点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273 B．819 C．1199 D．1911考点：约数与倍数．专题：计算题；数字问题．分析：先对273分解质因数273=3×7×13，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．解答：解：∵273=3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，所以乘积为21×39=819．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．4．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．8分析：先分解质因数2001=3×667，然后根据约数个数定理来解答．解答：解：∵2001=3×667，∴2001的正约数的个数是：（1+1）×（1+1）=4．故选B．点评：本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：a=a1•a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．比如，360=23×32×5，所以360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个．5．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab分析：运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案．解答：解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选C．点评：此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43 B．86 C．172 D．4分析：解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．解答：解：∵361是质数且不能被473整除，172=2×2×43，473=43×11，360=4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大公约数是4×43=172．故选C．点评：此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．7．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001 B．101 C．13 D．11分析：首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数．解答：解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c=1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大公约数一定是1001．故选：A．点评：此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键．8．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12 D．16分析：45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．解答：解：∵[45，30]=90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90=8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）=6（块）；故选A．9．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B ）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁考点：约数与倍数．分析：首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．解答：解：1610/2=805，805/5=161，161/7=23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610=2×5×7×23．这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设孙子明年的年龄是2×7=14，那么今年孙子明年的年龄是14﹣1=13（质数）与已知矛盾，不成立．如果由1610=2×5×7×23，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是2×5×7=70．又23﹣1=22，70﹣1=69，22、69都是合数符合题意．故答案：分别是69岁、22岁，选B点评：此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握．此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33 B．34 C．35 D．37分析：在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．解答：解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2=50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16=34（个）．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是39．分析：将改写成10101×的形式，再将他与4017分别分解质因数，找出相同的因数，相乘即可求出最大公约数．解答：解：∵则=×104+×102+=10101×=3×7×13×37×，又∵4017=3×13×103，而是两位数，∴与4017的最大公约数是3×13=39．点评：本题主要考查求最大公约数的方法，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．分析：根据题意，可先求出5，7，9，11的最小公倍数，我们可发现5，7，9，11是等差数列，所求得的最小公倍数分别加上5，7，9，11仍然是5，7，9，11的倍数．然后试着求得新的4个数，既得答案．解答：解5，7，9，11的最小公倍数是5×7×9×11=34653465+5=3470仍能被5整除，3465+7=3472仍能被7整除，3465+9=3474仍能被9整除，3465+11=3476仍能被11整除，3470、3472、3474、3476这四个数相差2，所以把这四个数除以2，就可以得到4个连续自然数1735，1736，1737，1738，它们依次分别被5、7、9、11整除，且最小．故写出一组4个连续自然数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．点评：此题考查了学生对最小公倍数的理解和掌握．解答此题的关键是先求出5，7，9，11的最小公倍数．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=105；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=90．分析：根据题意及最大公约数、最小公倍数的意义先分析推断，得到（1）m/15和n/15的最大公约数为1，互质．（2）m、n是不大于它们的最小公倍数a的．解答：解：（1）m和n的最大公约数为15 那么m/15和n/15的最大公约数为1，互质3（m/15）+2（n/15）=15，m/15=1，n/15=6 m=15，n=90 m+n=105故答案是105．（2）∵m和n的最小公倍数为45∴m、n是不大于它们的最小公倍数a的，因此3m+2n≤5a=225使等号成立，必须要：m=n=a=45．所以m+n=90．故答案是：90．点评：此题考查了学生对最大公约数和最小公倍数的理解和掌握．关键是通过分析推断得出结论．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有2组．考点：约数与倍数．分析：根据最大公约数与最小公倍数的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）来求解．解答：解：设所求的两个数是a、b．则由已知条件得[a，b]=120•（a，b），∴a•b=（a，b）•[a，b]=120•（a，b）2，又∵a+b=667=23×29，当（a，b）=23时，120=5×24，29=5+24，∴所求的数为5×23和24×23，即115和552，当（a，b）=29时，120=8×15，23=8+15，∴所求的数为8×29和15×29，即232和435，故满足条件的正整数有2组．故答案为：2．点评：本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目．最大公约数和最小公倍数之间的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有5组．考点：约数与倍数．2383486分析：由[x，y]=6，[y，z]=15，可得y既能整除6，又能整除15，所以y整除3，因此，y只能为1，3．当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，然后即可得出答案．解答：解：由[x，y]=6，[y，z]=15，∴y既能整除6，又能整除15，∴y整除3，因此，y只能为1，3．∴当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，∴满足条件的正整数组（x，y，z）为：（6，1，15），（2，3，5），（2，3，15），（6，3，5），（6，3，15），所以共有5组．故答案为：5．点评：本题考查了最小公倍数，难度适中，关键是对最小公倍数的理解和把握．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），根据45与60的最小公倍数为180，可得2340÷180=13，然后即可得出答案．解答：解：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），∵45与60的最小公倍数为180，∴2340÷180=13，∴除两端两根不需移动外，中途还有13﹣1=12根不必移动．点评：本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是利用最小公倍数求解现实问题．17．（12分）如图，一个圆圈上有n （n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？分析：根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题．解答：解：依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n ﹣1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5|n﹣1；又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|n．因（3，5）=1，故15|n﹣1．因n＜100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．点评：本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；（2）再在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数．18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．考点：约数与倍数．分析：应先把4845分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出23个数最小值，进而求得最大公约数．解答：设23个不同的正整数的最大公约数为d，则，23个不同的正整数为：da1、da2、…、da23为互不相同正整数，4845=da1+da2+…+da23=d（a1+a2+…+a23）a1+a2+…+a23最小为1+2+…+23=（23+1）×23÷2=276，4845=3×5×17×19，4845的约数中，大于276的最小约数是3×5×19=285，即：a1+a2+…+a23最小为285，∴最大公约数d可能达到的最大值=4845÷285=17．点评：解决本题的关键是先得到4845可能的约数，再求得23个数除去约数外最小的和．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？分析：由已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，得出y是12的倍数，y和z的最大公约数为3，得出y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数，进而得出y等于12或60，讨论分析得出y 的值．解答：解：由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．∵（x，y）=4，（y，z）=3∴y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数．又∵[x，y，z]=60∴y=12，60．进而可求出x．∵[x，y，z]=60=3×4×5．当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质∴x中有因数20∵[x，y，z]=60，（x，y）=4 ∴x=20当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数∴x=4，或x=12∵（x，y）=4 ∴x=4当y=60时，（x，y）=4，而x中没有因数5，且[x，y，z]=60=3×4×5，故x=4．因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．点评：此题主要考查了互质以及最大公约数与最小公倍数有关知识，本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；注意答案的两种可能性．20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？分析：若（a1，a2）=1，则称a1与a2互质．若（a1，a k）=1，则称a1，a k互质，值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的，然后对每个编号分解质因数．解答：解：由于最初所有电灯是关着的，所以只有哪些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．点评：此题主要考查了数的奇偶性，得出最后亮着的灯的编号只有为完全平方数，从而解决问题．21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．分析：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．解答：解：用任意元钱n（n＞7）去买单价为3元的雪糕，只能余l元或2元．若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕；若余1元时，少买3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕；若n能被3整除，就用所有钱去买3元的雪糕，恰合题意．点评：本题主要考查能被3或5整除的数的特征，如果不能整除，再从余数入手，拼凑成能被5或3整除的数即可解答．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．分析：首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，的两个方程，在进行分析得出符合要求的取值．解答：解：设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1．根据题意有，由于（60，84）=12，所以d=l，2，3，4，6，12．而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解．当d=12时，方程组变为，解之得或故所求的两数为x=24，y=36．点评：主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？分析：根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日．解答：解：∵甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，∴他们下一次见面需隔的天数是6、8、9，又∵6、8、9的最小公倍数是72，∴他们再在72后相见，即在10月28日再次见面．点评：本题考查的是最大公约数与最小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：①两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m，那么，dm=ab，且d|m；②如果一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除，或者说，一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数，即：若[a1，a2，a3，…．a]=m，而a1|N，a2|N，…an，那么m|N．。

最大公约数和最小公倍数应用题天天向上学堂是一家专业的托管式教育机构，致力于关注孩子的惯和成长。

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以下是一些最大公约数和最小公倍数的应用题。

例题1】有一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米。

如果将其裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是多少厘米？每个正方形的面积是多少平方厘米？可以裁多少个这样的正方形？随堂练】1.有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米。

将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长最长是多少厘米？可以裁成多少块？2.___找到一块长72厘米，宽60厘米，高48厘米的长方体木料，___把它锯成同样大小的正方体木块，木块的体积最大，不能有剩余。

请问，可以锯成多少块？3.五（1）班给每个同学买了1个练本，共花去9.30元钱。

已知每个练本的价钱比学生人数少，五（1）班共有多少个学生？例题2】___和___都喜欢在图书馆看书。

___每4天去一次，___每6天去一次。

有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？随堂练】1.有一包奶糖，无论分给6个、8个还是10个小朋友，都正好分完。

这包糖至少有多少块？2.某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆。

三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？3.一个班不足50人，上体育课站队时，无论每行站16人还是每行站24人，都正好是整行。

这个班有多少人？例题3】用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4.这个数最大是多少？随堂练】1.把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软面抄也多出了3个。

得奖的学生最多有几人？2.一个自然数，去除22少2，去除34也少2.这个自然数最大是多少？3.一个数除73余1，除98余2，除147余3.这个数最大应是多少？例题4】有一批作业本，无论是平均分给10个人还是12个人，都剩余4本。

初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

最大公约数与最小公倍数1.n 个不同的正整数中，,a A 分别是其中最小数，最大数。

,c C 分别是它们的最大公约数和最小公倍数，证明：,A C na c n≥≤。

2. 求三个不同的正整数,,l m n ，使得222(,),(,),(,)m n m n n l n l l m l m =+=+=+。

3. 设12,,,n a a a 为正整数，均不超过2,4n n ≠，证明：1m in ,6(1)2i j i j n n a a ≤<≤⎡⎤⎡⎤≤+⎣⎦⎢⎥⎣⎦。

4. 若12,,,,k n a a a 是整数120k n a a a ≥≥≥≥> ，且对于所有的i 和j ，i a 和j a 的最小公倍数不超过n ，证明：对于1,i i k ia n ≤≤≤。

5. （1）对什么样的自然数2n >，有一个由n 个相继自然数组成的集合，使得集合中最大一个数是其余1n -个数的最小公倍数的约数。

（2）对什么样的自然数2n >，恰有一个集合具有上述性质？ 6.(,)x y 表示正整数,x y 的最大公约数，设a 和b 是两个正整数，(,)1,3a b p =≥为一素数，,p pa b a b a b α⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，试证：（1）(,)1a α=；（2）1α=或p α=。

7. n 为大于1的整数，确定形如pq 的数的倒数的和，这里,p q 为整数，满足0,p q n p q n <<≤+>，且,p q 的最大公约数是1。

8. 求正整数(3)n n ≥，使得存在n 个正整数12,,,n a a a ，满足任何两个数的最大公约数大于1，任意三个数的最大公约数等于1.若所有的整数(1,2,,)i a i n = 均小于5000，求满足如上条件的n 的最大值。

9. 如果,,a b c 都是正整数，使得2201a b abc c <+-≤+，那么222(,)a b abc a b +-=。

## 初中数学：最大公因数与最小公倍数问题### 1.引言初中数学中，最大公因数和最小公倍数是一个常见而又重要的概念。

它们不仅在数学课堂上频繁出现，而且在实际生活中也有着广泛的应用。

在本文中，我将从最大公因数和最小公倍数的定义、性质以及计算方法等方面进行全面的探讨，希望能对读者有所帮助。

### 2. 最大公因数的定义与性质在初中数学中，最大公因数通常用缩写形式表示为“最大公约数”，简称最大公约数。

最大公因数是指两个或多个整数共有的约数中最大的那个数。

对于整数12和18来说，它们的公约数有1、2、3、6，其中最大的是6，因此6就是12和18的最大公因数。

最大公因数有以下几个重要性质：1. 任意两个数的最大公因数不超过两个数中较小的那个数；2. 任意两个数的最大公因数乘以它们的最小公倍数等于这两个数的乘积；3. 互质数的最大公因数是1。

### 3. 最小公倍数的定义与性质与最大公因数相对应的概念是最小公倍数，通常用缩写形式表示为“最小公倍数”，简称最小公倍数。

最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的那个数。

对于整数12和18来说，它们的公倍数有36、72，其中最小的是36，因此36就是12和18的最小公倍数。

最小公倍数也有一些重要性质：1. 任意两个数的最小公倍数不低于两个数中较大的那个数；2. 任意两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数等于这两个数的乘积。

### 4. 最大公因数与最小公倍数的计算方法在实际计算中，最大公因数和最小公倍数有多种计算方法，其中比较常见的是质因数分解法和公式法。

#### 4.1 质因数分解法质因数分解法是通过将每个数分解成质因数的乘积，然后将它们共有的质因数乘积为最大公因数，所有质因数乘积为最小公倍数。

举个例子，对于12和18来说，它们的质因数分解分别为12=2^2 * 3，18=2 * 3^2，所以它们的最大公因数为2*3=6，最小公倍数为2^2 * 3^2=36。

求最大公因数和最小公倍数的题求最大公因数和最小公倍数，这听起来好像是数学课上的老掉牙问题，实际上，它们可是生活中无处不在的小伙伴哦。

你有没有注意到，家里的菜市场，买菜的时候，常常会碰到一些看似无关的数字，比如，四个苹果，六个橘子。

嗯，算一算，发现它们的最大公因数是二，那可真是个奇妙的发现。

你说，这俩水果凑到一起，不是更有意思吗？最大公因数，就像是你和朋友们一起分享一块大蛋糕，最后切得整整齐齐，大家都能分到份儿，这可真让人开心。

说到最小公倍数，哎呀，那可就像是我们一群人约好一起去看电影的时间。

你看，朋友甲习惯六点半下班，朋友乙七点钟才到，结果呢，咱们得找一个能让两个人都能准时到达的时间。

这就得考虑到六和七的最小公倍数了，得赶在四十二分钟之后一起出发。

这真是数学在生活中闪闪发光的时刻，想想就觉得特别有趣。

就像那句话说的，生活就像一盒巧克力，永远不知道下一颗是什么味道。

数学也一样，让你在最意想不到的时刻发现乐趣。

我们再说说这两个概念背后的故事。

最大公因数，有点像老一辈人教我们，要有共同点，才能更好地相处。

比如说，家里有两种不同的清洁剂，你想要把它们混合，却发现不能随便来。

嘿嘿，找到它们共同的成分，就是最大公因数，让你的清洁工作事半功倍。

这就好比朋友们总是说，要找到志同道合的人，才能一起笑，一起哭，这才是最重要的嘛。

而最小公倍数，哇，这个概念就像我们日常生活中的节奏。

你总是想跟上节拍，结果发现每个人的步伐都不一样。

这时候，找一个大家都能接受的频率，就是最小公倍数。

想想看，聚会的时候，大家的到达时间各有千秋，最后找到一个大家都满意的时间，这绝对是一门艺术。

简直就是生活中的大智慧，嘿嘿，谁能想到数学居然能解决这些小烦恼呢？我们用这些数字解决生活中的难题，就像是一场小小的冒险。

就好比，家里的洗衣机，有不同的程序选择，洗衣机的速度也各有不同。

你希望洗的衣服都能干净又省时，找到最合适的洗涤方案，就像找最大公因数一样。

新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11D．92．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31B．61C．91D．1213．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273B．819C．1199D．19114．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．85．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43B．86C．172D．47．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001B．101C．13D．118．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12D．169．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33B．34C．35D．37二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是_________．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=_________；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=_________．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有_________组．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有_________组．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？17．（12分）如图，一个圆圈上有n（n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？新课标七年级数学竞赛培训第32讲：最大公约数和最小公倍数参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）设a与b是正整数，且a+b=33，最小公倍数[a，b]=90，则最大公约数（a，b）=（）A．1B．3C．11D．9考点：约数与倍数．2383486专题：特定专题．分析：假设出（a，b）=x，得出x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，得出x的值是x=1或x=3，进一步利用数的整除性知识进行分析，得出符合要求的答案．解答：解：令（a，b）=x，则x是a，b，a+b及[a，b]的公约数，故x是33和90的公约数，知x=1或x=3．当x=1时，a与b互质，而a+b=33，当a不能被3整除，则b不能被3整除，而[a，b]=90，说明a、b至少有一个能被3整除．当a能被3整除，由a+b=33，则b也能被3整除，故（a，b）≠１，即x≠１．当x=3时，即有（a，b）=3，∴ab=[a，b]，（a，b）=3×90=32×5×６，而a+b=33，∴a=15，b=18，（a，b）=3．故选B．2．（3分）古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲，乙，丙，丁，戊，已，庚，辛，壬，癸，地支有12个：子，丑，寅，卯，辰，巳，午，未，申，酉，戌，亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如下两列：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊已庚辛壬癸…子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…则第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（）A．31B．61C．91D．121考点：约数与倍数．分析：此题是关于排列组合问题，找出最小公倍数是关键．解答：解：根据题意分析可得：其中天干有10个，地支有12个．12与10的最小公倍数是60，故序号每隔60循环一次，故第2次甲和子在同一列时，该列的序号是61．故答案B点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3．（3分）两个正数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（）A．273B．819C．1199D．1911考点：约数与倍数．专题：计算题；数字问题．分析：先对273分解质因数273=3×7×13，所以，两个数为3，7，13中的任意两数的乘积．解答：解：∵273=3×7×13，∴这两个数为3，7，13中的任意两个数的乘积，∴有3，7，13，21，39，91，273这七个数，又∵两数和为60，∴这两个数为21，39，所以乘积为21×39=819．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小公倍数的题目，解答此题时，先用273分解质因数，然后利用“凑项法”解答．4．（3分）2001的正约数的个数是（）A．3B．4C．6D．8分析：先分解质因数2001=3×667，然后根据约数个数定理来解答．解答：解：∵2001=3×667，∴2001的正约数的个数是：（1+1）×（1+1）=4．故选B．点评：本题考查了最大公约数与最小公倍数的知识点，在解答此题时，用到了约数个数定理：对于一个数a可以分解质因数：a=a1?a22a33…则a的约数的个数就是（r1+1）（r2+1）（r3+1）…需要指出来的是，a1，a2，a3…都是a的质因数．r1，r2，r3…是a1，a2，a3…的指数．比如，360=23×32×5，所以360约数的个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个．5．（3分）下面的四句话中正确的是（）A．正整数a和b的最大公约数大于等于aB．正整数a和b的最小公倍数大于等于abC．正整数a和b的最大公约数小于等于aD．正整数a和b的公倍数大于等于ab分析：运用特殊值法进行排除，例如3是6和9的公约数，小于6，所以正整数a和b的最大公约数大于等于a，同理可得出符合要求的答案．解答：解：A、3是6和9的公约数，小于6，所以排除A；B、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除B；C、正整数a与b的最大公约数小于等于a是成立的；故C正确；D、6和9的最小公倍数是18，小于54，所以排除D；故选C．点评：此题主要考查了最大公约数与最小公倍数，利用特殊值法进行排除，是解决问题的最简捷办法．6．（3分）360×473和172×361这两个积的最大公约数是（）A．43B．86C．172D．4分析：解决此类问题一般需要将这两个式子分解质因数，但由于361是一个质数，我们只要将172分解，再看一看前面的式子中有没有这几个质因数就不难得出答案．解答：解：∵361是质数且不能被473整除，172=2×2×43，473=43×11，360=4×90，∴360×473和172×361这两个积的最大公约数是4×43=172．故选C．点评：此题主要考查最大公约数的求法，熟练掌握特殊的最大公约数的求法是解题的关键．7．（3分）所有形如的六位数（a，b，c分别是0～9这十个数之一，可以相同，但a≠0）的最大公约数是（）A．1001B．101C．13D．11分析：首先表示出这个六位数，100000a+10000b+1000c+100a+10b+c，再进行分解因数，得出它们的最大公约数．解答：解：∵100000a+10000b+1000c+100a+10b+c=100100a+10010b+1001c=1001（100a+10b+c）1001是四位数，比100a+10b+c大，∴最大公约数一定是1001．故选：A．点评：此题主要考查了最大公约数，以及正确表示一个六位数，将这个六位数正确分解成两个因数是解决问题的关键．8．（3分）用长为45cm，宽为30cm的一批砖，铺成一块正方形，至少需要（）块．A．6B．8C．12D．16分析：45与30的最小公倍数90就是所求正方形的边长，然后用该正方形的面积除以每一块砖的面积即为所求．解答：解：∵[45，30]=90（cm），∴所求正方形的面积是：90×90=8100（cm）2，∴铺成该正方形所需的砖的块数为：8100÷（45×30）=6（块）；故选A．9．（3分）祖孙两人的年龄都是合数，明年他们的岁数相乘是1610，那么祖孙两人今年的年龄分别是（B）A．70岁、23岁B．69岁、22岁C．115岁、14岁D．114岁、13岁考点：约数与倍数．分析：首先先了解下合数质数的概念质数：除了1和它本身外，没有别的因数的数是质数．合数：除了1和它本身外，还有别的因数的数是合数．再据题意把1610写成几个质数的及的形式，然后确定其答案．解答：解：1610/2=805，805/5=161，161/7=23，所以由明年他们的岁数相乘是1610，可得1610=2×5×7×23．这里可以确定孙子的年龄和爷爷的年龄不能分别是（1）2和805，（2）5和322，（3）7和230，（4）35和46．假设孙子明年的年龄是2×7=14，那么今年孙子明年的年龄是14﹣1=13（质数）与已知矛盾，不成立．如果由1610=2×5×7×23，设孙子明年的年龄是23，那么爷爷明年的年龄是2×5×7=70．又23﹣1=22，70﹣1=69，22、69都是合数符合题意．故答案：分别是69岁、22岁，选B点评：此题主要考查了学生对质数、合数意义的理解和掌握．此题关键是把1610写成几个质数的积的形式．10．（3分）在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除但不能被3整除的数的个数是（）A．33B．34C．35D．37分析：在1﹣n之间，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，同时能被2和3整除的数有个．解答：解：在正整数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有100÷2=50（个）；能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有100÷6≈16（个），所以，能被2整除但不能被3整除的数的个数是50﹣16=34（个）．故选B．点评：本题主要考查了有关于最大公约数与最小倍数的一道题．最小公倍数：①6及6的倍数能同时被2和3整除；②10及10的倍数能同时被2和5整除；③15及15的倍数能同时被3和5整除；④30及30的倍数能同时被2、3和5整除．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）a，b是彼此不相等的非零数字，则与4017的最大公约数是39．分析：将改写成10101×的形式，再将他与4017分别分解质因数，找出相同的因数，相乘即可求出最大公约数．解答：解：∵则=×104+×102+=10101×=3×7×13×37×，又∵4017=3×13×103，而是两位数，∴与4017的最大公约数是3×13=39．点评：本题主要考查求最大公约数的方法，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键．12．（4分）写出一组4个连续自然数，使它们从小到大顺次是5的倍数、7的倍数、9的倍数、11的倍数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．分析：根据题意，可先求出5，7，9，11的最小公倍数，我们可发现5，7，9，11是等差数列，所求得的最小公倍数分别加上5，7，9，11仍然是5，7，9，11的倍数．然后试着求得新的4个数，既得答案．解答：解5，7，9，11的最小公倍数是5×7×9×11=34653465+5=3470仍能被5整除，3465+7=3472仍能被7整除，3465+9=3474仍能被9整除，3465+11=3476仍能被11整除，3470、3472、3474、3476这四个数相差2，所以把这四个数除以2，就可以得到4个连续自然数1735，1736，1737，1738，它们依次分别被5、7、9、11整除，且最小．故写出一组4个连续自然数，这组自然数依次为1735，1736，1737，1738．点评：此题考查了学生对最小公倍数的理解和掌握．解答此题的关键是先求出5，7，9，11的最小公倍数．13．（4分）设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225．（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=105；（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=90．分析：根据题意及最大公约数、最小公倍数的意义先分析推断，得到（1）m/15和n/15的最大公约数为1，互质．（2）m、n是不大于它们的最小公倍数a的．解答：解：（1）m和n的最大公约数为15那么m/15和n/15的最大公约数为1，互质3（m/15）+2（n/15）=15，m/15=1，n/15=6 m=15，n=90 m+n=105故答案是105．（2）∵m和n的最小公倍数为45∴m、n是不大于它们的最小公倍数a的，因此3m+2n≤5a=225使等号成立，必须要：m=n=a=45．所以m+n=90．故答案是：90．点评：此题考查了学生对最大公约数和最小公倍数的理解和掌握．关键是通过分析推断得出结论．14．（4分）两个正整数之和为667，其最小公倍数是它们的最大公约数的120倍，那么满足条件的正整数有2组．考点：约数与倍数．分析：根据最大公约数与最小公倍数的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）来求解．解答：解：设所求的两个数是a、b．则由已知条件得[a，b]=120?（a，b），∴a?b=（a，b）?[a，b]=120?（a，b）2，又∵a+b=667=23×29，当（a，b）=23时，120=5×24，29=5+24，∴所求的数为5×23和24×23，即115和552，当（a，b）=29时，120=8×15，23=8+15，∴所求的数为8×29和15×29，即232和435，故满足条件的正整数有2组．故答案为：2．点评：本题考查的是关于最大公约数与最小公倍数的题目．最大公约数和最小公倍数之间的关系：设a，b为两个自然数，则（a，b）和[a，b]有如下关系：ab=（a，b）×[a，b]或[a，b]=ab/（a，b）．15．（4分）（a，b）表示两个正整数a和b的最小公倍数，例如[14，35]=70，则满足[x，y]=6，[y，z]=15的正整数组（x，y，z）共有5组．考点：约数与倍数．2383486分析：由[x，y]=6，[y，z]=15，可得y既能整除6，又能整除15，所以y整除3，因此，y只能为1，3．当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，然后即可得出答案．解答：解：由[x，y]=6，[y，z]=15，∴y既能整除6，又能整除15，∴y整除3，因此，y只能为1，3．∴当y=1时，x=6，z=15；当y=3时，x=1或6，z=5或15，∴满足条件的正整数组（x，y，z）为：（6，1，15），（2，3，5），（2，3，15），（6，3，5），（6，3，15），所以共有5组．故答案为：5．点评：本题考查了最小公倍数，难度适中，关键是对最小公倍数的理解和把握．三、解答题（共8小题，满分100分）16．（12分）甲地到乙地原来每隔45m要安装一根电线杆，加上两端的两根一共有53根电线杆．现在改成每隔60m 安装一根电线杆，除两端两根不需移动外，中途还有多少根不必移动？分析：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），根据45与60的最小公倍数为180，可得2340÷180=13，然后即可得出答案．解答：解：由题意得：甲地到乙地距离为：45×（53﹣1）=2340（m），∵45与60的最小公倍数为180，∴2340÷180=13，∴除两端两根不需移动外，中途还有13﹣1=12根不必移动．点评：本题考查了最小公倍数，难度一般，关键是利用最小公倍数求解现实问题．17．（12分）如图，一个圆圈上有n（n＜100=个孔．小明像玩跳棋一样，从A孔出发，逆时针方向将一枚棋子跳动，每步跨过若干个孔，希望跳一圈后回到A孔．他先每步跳过2个孔，结果只能跳到B孔；他又试着每步跳过4个孔，结果还是跳到B；最后他每步跳过6孔，正好回到A孔．问这个圆圈上一共有多少个孔？分析：根据题意知，n是3、5、7的倍数，所以问题就转化为求3、5、7的最小公倍数的问题．解答：解：依题意，每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，有3|n ﹣1；每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，因此，有5|n﹣1；又每步跳过6个孔时，可回到A孔，这表明7|n．因（3，5）=1，故15|n﹣1．因n＜100，故n只可能是16，31，46，61，76，91，其中仅有91是7的倍数，故n=91，即圆圈上有91个孔．点评：本题主要考查了关于最小公倍数的应用题．提取公因数法适用于求两个以上数的最小公倍数，方法步骤是：（1）先提取出这几个数的最大公因数，可以分次提取（此时所得的商互质，但不一定两两互质）；（2）再在不互质的商中提取公因数，其他商照写下来，直到各商两两互质为止；（3）最后把提取出的各数及各商数连乘起来，乘积就是这几个数的最小公倍数．18．（12分）23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少写出你的结论，并说明你的理由．考点：约数与倍数．分析：应先把4845分解，找到约数可能的数．再设出最大公约数，找出23个数最小值，进而求得最大公约数．解答：设23个不同的正整数的最大公约数为d，则，23个不同的正整数为：da1、da2、…、da23为互不相同正整数，4845=da1+da2+…+da23=d（a1+a2+…+a23）a1+a2+…+a23最小为1+2+…+23=（23+1）×23÷2=276，4845=3×5×17×19，4845的约数中，大于276的最小约数是3×5×19=285，即：a1+a2+…+a23最小为285，∴最大公约数d可能达到的最大值=4845÷285=17．点评：解决本题的关键是先得到4845可能的约数，再求得23个数除去约数外最小的和．19．（12分）张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张．如果已知x，y，z的最小公倍数为60，x 和y的最大公约数为4，y和z的最大公约数为3，那么张华发出的新年贺卡是多少张？分析：由已知x，y，z的最小公倍数为60，x和y的最大公约数为4，得出y是12的倍数，y和z的最大公约数为3，得出y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数，进而得出y等于12或60，讨论分析得出y 的值．解答：解：由题意可知，y不仅是3的倍数，而且是4的倍数，即y是12的倍数．同时y是60的约数，故而可求y．∵（x，y）=4，（y，z）=3∴y是3与4的倍数，而3与4互质故y是12的倍数．又∵[x，y，z]=60∴y=12，60．进而可求出x．∵[x，y，z]=60=3×4×５．当y=12时，x、z中至少有一个含有因数5．若x中有因数5，又x中有因数4，且4与5互质∴x中有因数20∵[x，y，z]=60，（x，y）=4∴x=20当x中没有因数5，∵x中有因数4，且x是60的约数∴x=4，或x=12∵（x，y）=4∴x=4当y=60时，（x，y）=4，而x中没有因数5，且[x，y，z]=60=3×4×５，故x=4．因此，张华发出的贺年卡为4张或20张．点评：此题主要考查了互质以及最大公约数与最小公倍数有关知识，本题的切入点是最大公约数和最小公倍数；注意答案的两种可能性．20．（12分）在一间屋子里有100盏电灯排成一横行，依从左到右的顺序编上号码1，2，3，…，100．每盏电灯上有一根拉线开关，最初所有电灯全是关的，现有100个学生在门外排着队，第一个学生走进屋来，把编号是1的倍数的电灯的开关拉一下；接着第二个学生走进屋来，把凡是编号是2的倍数的电灯开关拉了一下；…；最后第100个学生走进屋来，把编号是100的倍数的电灯的开关拉了一下，这样做过以后，问哪些电灯是亮的？分析：若（a1，a2）=1，则称a1与a2互质．若（a1，a k）=1，则称a1，a k互质，值得注意的是居个数互质，不一定两两互质，如（6，9，10）=1，而（6，9）=3，本题的一个重要条件是最初时灯都是关着的，然后对每个编号分解质因数．解答：解：由于最初所有电灯是关着的，所以只有哪些拉了奇数次开关的电灯才是亮的，而每一盏电灯的拉线开关被拉了多少次取决于这盏灯的编号的数字有多少个不同的正约数，最后亮着的灯的编号只有为完全平方数．所以，只有编号为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100的电灯最后是亮着的．点评：此题主要考查了数的奇偶性，得出最后亮着的灯的编号只有为完全平方数，从而解决问题．21．（12分）用整元的人民币购物，若用多于7元的任意元钱去买单价为3元和5元的两种雪糕，一定可以把钱花完，请证明这一结论．分析：由3的同余数入手分类，结合拼凑法使问题得到证明．解答：解：用任意元钱n（n＞7）去买单价为3元的雪糕，只能余l元或2元．若余2元时，少买一根3元雪糕，余数就为2+3=5元，恰能买一块5元的雪糕；若余1元时，少买3根3元的雪糕，余数为1+3×3=10元，恰能买2根5元雪糕；若n能被3整除，就用所有钱去买3元的雪糕，恰合题意．点评：本题主要考查能被3或5整除的数的特征，如果不能整除，再从余数入手，拼凑成能被5或3整除的数即可解答．22．（14分）已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．分析：首先假设出这个两数，得出有关两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，的两个方程，在进行分析得出符合要求的取值．解答：解：设所求二数为x，y，且（x，y）=d，令x=ad，y=bd，则（a，b）=1．根据题意有，由于（60，84）=12，所以d=l，2，3，4，6，12．而当d：1，2，3，4，6时，方程组无解．当d=12时，方程组变为，解之得或故所求的两数为x=24，y=36．点评：主要考查了方程组的解法以及最大公约数与最小公倍数的性质，正确的出d的取值是解决问题的关键．23．（14分）甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果8月17日他们三人在李老师处见面，那么下一次在李老师处见面的时间是几月几日呢？分析：根据已知条件先求出他们再等多少天才能重逢，然后根据所求的数据推算它是几月几日．解答：解：∵甲、乙、丙三人到李老师那里求学，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，∴他们下一次见面需隔的天数是6、8、9，又∵6、8、9的最小公倍数是72，∴他们再在72后相见，即在10月28日再次见面．点评：本题考查的是最大公约数与最小公倍数的应用题．最小公倍数的性质：①两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，且最小公倍数是最大公约数的倍数，即：如果（a，b）=d，[a，b]=m，那么，dm=ab，且d|m；②如果一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除，或者说，一些数的公倍数一定是这些的最小公倍数的倍数，即：若[a1，a2，a3，…．a]=m，而a1|N，a2|N，…an，那么m|N．。