中档题型训5

中档大题5 圆锥曲线1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝22，右焦点到直线2ax ＋by －2＝0的距离为23. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知椭圆C 的方程与直线x －y ＋m ＝0交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，求m 的取值范围.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过顶点A (－2，0)的直线l 1交y 轴于点Q ，交曲线C 于点R ，过坐标原点O 作直线l 2，使得l 2∥l 1，且l 2交曲线C 于点S ，证明：AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(2015·无锡模拟)如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32. (1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN .4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点N (3,2)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值.5.已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的上焦点为F ，上顶点为A ，B 为虚轴的端点，离心率e ＝233，且S △ABF ＝1－32.抛物线N 的顶点在坐标原点，焦点为F . (1)求双曲线M 和抛物线N 的方程；(2)设动直线l 与抛物线N 相切于点P ，与抛物线的准线相交于点Q ，则以PQ 为直径的圆是否恒过y 轴上的一个定点？如果是，试求出该点的坐标，如果不是，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是圆x 2＋y 2＝4上一动点，PD ⊥x 轴于点D .记满足OM →＝12(OP →＋OD →)的动点M 的轨迹为Г.(1)求轨迹Г的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹Г交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹Г于点Q ，且OQ →＝λOG →，λ∈R .①证明：λ2m 2＝4k 2＋1.②求△AOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)的最大值.答案精析中档大题5 圆锥曲线1.解 (1)由题意，知e ＝c a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12， 所以a 2＝2b 2.所以a ＝2c ＝2b .因为右焦点(c,0)，则|2ac －2|4a 2＋b2＝23， 所以b ＝1，所以a 2＝2，b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 22＋y 2＝1， 消去y ，可得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，解得－3<m < 3.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3， y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m 3， 所以MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 3，13m ，又MN 的中点不在圆x 2＋y 2＝1内，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32≥1，解得m ≥355或m ≤－355. 综上可知－3<m ≤－355或355≤m < 3. 2.(1)解 因为椭圆C 的左焦点为F 1(－1,0)，所以c ＝1，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，12代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1， 得4b 4－3b 2－1＝0，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题意可知直线l 1和l 2的斜率都存在且相同，设直线l 1：y ＝k (x ＋2)，则Q (0，2k )， 又直线OS ：y ＝kx ，代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＝2，所以OS ＝1＋k 2|x s －0|，从而2(OS )2＝2(1＋k 2|x s －0|)2＝4＋4k 21＋2k 2. 将y ＝k (x ＋2)代入x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－2＝0，所以AR ＝1＋k 2|x A －x R |＝22＋2k 21＋2k 2， 又有AQ ＝2＋2k 2，所以AQ ·AR ＝4＋4k 21＋2k2＝2(OS )2， 所以AQ ，2OS ，AR 成等比数列.3.(1)解 依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，所以x 204＋y 20＝1. 因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 坐标为(0，y 0). 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0. 又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1. 因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 01－y 0，－1. 因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1. 又OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1) ＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0 ＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .4.(1)解 依题意，得c ＝2，所以a 2－b 2＝2，由点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，得b ＝OM ＝1，所以a ＝3，故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 23＋y 2＝1，解得x ＝1，y ＝±63. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，63，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－63， 则k 1＋k 2＝2－632＋2＋632＝2为定值. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1).将y ＝k (x －1)代入x 23＋y 2＝1化简整理，得(3k 2＋1)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－33k 2＋1.又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，所以k 1＋k 2＝2－y 13－x 1＋2－y 23－x 2＝(2－y 1)(3－x 2)＋(2－y 2)(3－x 1)(3－x 1)(3－x 2)＝[2－k (x 1－1)](3－x 2)＋[2－k (x 2－1)](3－x 1)9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2(x 1＋x 2)＋k [2x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋6]9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝12－2×6k 23k 2＋1＋k (2×3k 2－33k 2＋1－4×6k23k 2＋1＋6)9－3×6k 23k 2＋1＋3k 2－33k 2＋1＝12(2k 2＋1)6(2k 2＋1)＝2.综上，得k 1＋k 2＝2为定值.5.解 (1)在双曲线中，c ＝a 2＋b 2，由e ＝233，得a 2＋b 2a ＝233，解得a ＝3b ，故c ＝2b .所以S △ABF ＝12(c －a )×b ＝12(2b －3b )×b＝1－32，解得b ＝1.所以a ＝3，c ＝2，其上焦点为F (0,2).所以双曲线M 的方程为y 23－x 2＝1， 抛物线N 的方程为x 2＝8y .(2)由(1)知抛物线N 的方程为y ＝18x 2， 故y ′＝14x ，抛物线的准线为y ＝－2. 设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝18x 20， 且直线l 的方程为y －18x 20＝14x 0(x －x 0)， 即y ＝14x 0x －18x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14x 0x －18x 20，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 20－162x 0，y ＝－2.所以Q (x 20－162x 0，－2). 假设存在点R (0，y 1)，使得以PQ 为直径的圆恒过该点，也就是RP →·RQ →＝0对于满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立. 由于RP →＝(x 0，y 0－y 1)，RQ →＝(x 20－162x 0，－2－y 1)， 由RP →·RQ →＝0， 得x 0·x 20－162x 0＋(y 0－y 1)(－2－y 1)＝0， 整理得x 20－162－2y 0－y 0y 1＋2y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋2y 1－8)＋(2－y 1)y 0＝0，(*)由于(*)式对满足y 0＝18x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－y 1＝0，y 21＋2y 1－8＝0，解得y 1＝2. 故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点，定点坐标为(0,2). 6.(1)解 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则点D (x 0,0)，且x 20＋y 20＝4.(a )∵OM →＝12(OP →＋OD →)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝2y .(b ) 将(b )代入(a )，得x 2＋4y 2＝4，∴轨迹Г的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①证明 令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4消去y ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)>0，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2<1＋4k 2，x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.(c )∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m＝k (－8km )1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2. 又由中点坐标公式，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km1＋4k 2，m1＋4k 2. 根据OQ →＝λOG →，得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4λkm 1＋4k 2，λm 1＋4k 2， 将其代入椭圆方程，得4λ2k 2m 2(1＋4k 2)2＋λ2m 2(1＋4k 2)2＝1. 化简得λ2m 2＝1＋4k 2.(d )②解 由(c )，(d )得m ≠0，λ>1.|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 22－4×4m 2－41＋4k 2 ＝41＋4k 2－m 21＋4k2.(e ) 在△AOB 中，S △AOB ＝12|m ||x 1－x 2|，(f )由(d )，(e )，(f )可得S (λ)＝2|m |λ2m 2－m 2λ2m 2＝2λ2－1λ2(λ>1). 令λ2－1＝t ∈(0，＋∞)，则S ＝2t t 2＋1＝2t ＋1t ≤221＝1(当且仅当t ＝1，即λ＝2时取“＝”).∴当λ＝2时，S (λ)＝2λ2－1λ2取得最大值，其最大值为1.。

数的整除板块一：基础题型1.下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125.在这些自然数中请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？那些能被8整除？（2）有哪些数能被5整除？那些数能被25整除？哪些能被125整除？【分析与解】主要考察整除的性质：（1）能被2整除的有 14，80，152，650，434，9064；能被4整除的有 80，152，9064；能被8整除的有 80，152，9064.（2）能被5整除的有 35，80，650，4375，24125能被25整除的有650，4375，24125能被125整除的有4375，24125.2．有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837，这些数中那些能被3整除？哪些能被9整除？那些能同时被2和3整除？【分析与解】主要考察整除的性质：能被3整除的数有：387，228，975，525，882，837能被9整除的数有：387，882，837能同时被2和3整除的数有：228，882的十位数字未知。

请分别根据下列要求找出“□”中合适的取3.一个三位数64值：（1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？（2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？（3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？【分析与解】这个数能被3整除，则6+□+4=12或15或18，所以□=2或5或8；能被四整除，则这个数的末两位能被四整除，所以□=0，2，4，6，8；若64通过（1）和（2）得，当□=2，8时，能同时被3和4整除。

4.新学年开学了，同学们要改穿新的校服。

小悦收课9位同学的校服费（每人元”，交的一样多）交给老师。

老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238其中有一滴墨水，把方格处的数字污染的看不清了。

东东看了看，很快就算出了方格处的数字。

黑龙江绥化市五年（2018-2022）中考化学真题分题型分层汇编-04选择题（中档题）一．氧气的化学性质（共1小题）1．（2019•绥化）下列有关氧气的说法中正确的是（）A．氧气能支持燃烧，可做燃料B．铁丝在氧气中燃烧生成三氧化二铁C．硫在氧气中燃烧发出蓝紫色火焰D．红磷在空气中燃烧产生大量白雾二．固体溶解度曲线及其作用（共1小题）2．（2021•绥化）A、B两种固体物质的溶解度曲线如图所示。

下列说法中正确的是（）A．A的溶解度大于B的溶解度B．将接近饱和的B溶液变成饱和溶液，可采取升高温度的方法C．40℃时，A、B两种物质的溶液溶质质量分数相等D．20℃时，将等质量的A、B两种物质的饱和溶液升温到40℃，所得溶液中溶剂的质量相等三．金属的化学性质（共1小题）3．（2022•绥化）下列有关实验现象的描述中，不正确的是（）A．铁丝在氧气中剧烈燃烧，火星四射，放出大量的热，生成四氧化三铁B．在木炭还原氧化铜的实验中，试管中的现象是固体由黑色变为红色C．用砂纸打磨过的镁条放入稀盐酸中，镁条表面有气泡产生D．二氧化碳通入紫色石蕊溶液中，石蕊溶液由紫色变为红色四．酸的化学性质（共2小题）4．（2020•绥化）下列关于实验现象描述不正确的是（）A．打开盛有浓盐酸的试剂瓶盖，瓶口上方会出现白雾B．镁条在空气中燃烧发出耀眼的白光，生成白色固体C．将空气中燃着的硫粉伸入氧气瓶中，火焰由黄色变为蓝紫色D．把生锈的铁钉放入足量的稀盐酸中，溶液先由无色变为黄色，一段时间后有气泡生成5．（2020•绥化）下列图象分别对应四个变化过程，能正确反映对应变化关系的是（）A．向等质量的氧化锌和氢氧化锌中分别加入相同浓度的稀盐酸至过量B．用氯酸钾和二氧化锰混合加热制取氧气C．气体物质的溶解度与温度和压强的关系D．在恒温条件下，将饱和氯化钠溶液蒸发适量水五．中和反应及其应用（共1小题）6．（2022•绥化）恰好中和100g溶质质量分数为8.0%的氢氧化钠溶液，需要100g溶质质量分数为7.3%的稀盐酸。

陕西省安康市三年（2020-2022）小升初语文真题分题型分层汇编-05填空题（中档题）一．汉字书写（共2小题）1．（2022•汉阴县）请在答题卡相应位置抄写下面的话，要求正确、匀称、整齐、布局合理。

人世间的一切成就、一切幸福都源于劳动和创造。

你们从小就要树立劳动光荣的观念。

——习近平2．（2022•紫阳县）今年3月，全国50家博物馆、高校的60位馆长和学者，联名发布《关于博物馆积极参与建构元宇宙的倡议》，呼吁博物馆顺应时代发展，发挥自身优势，积极参与建构元宇宙。

请将文中画横线的文字正确美观地书写在田字格中。

二．词语的理解与辨析（共1小题）3．（2022•紫阳县）按要求写句子。

（1）读下面的句子，注意加点的部分，说说你发现了什么。

例：有名的老铺都要挂出几百盏灯来：有的一律．．．是牛角的，有的．．是玻璃的，有的清一色都．是纱灯。

我的发现：仿写：（2）读下面的句子，说说加点的部分有什么共同的特点。

再从后面的词语中选择一个，发挥想象，仿写句子。

例：镇上的人排着队来到撒切尔法官家，搂着两个获救的孩子又亲又吻，……泪水如雨，．．．．．洒了一地．．．．。

饿安静这个句子的特点：仿写：三．改写句子（共3小题）4．（2021•横峰县）按要求写句子。

（1）西蒙的心跳得很厉害，但是她觉得一定要这样做。

（改为双重否定句）（2）当演员唱到“敬爱的周总理，我们怀念您”时，台下的观众眼睛里热泪盈眶。

（修改病句）（3）过了二十三，大家就更忙了，春节眨眼就到了．．．．．啊。

（注意加点的部分，用这样的修辞手法写一个句子）5．（2021•西安）按要求写句子。

（1）屋后的青山就是护林老人生命的归宿。

（改为反问句）（2）培养学生的思维能力，是衡量一节课是否成功的重要标准。

（修改病句）（3）临近毕业，请你为老师和同学们写一写临别赠言，送上真情祝福。

①给老师的赠言：②写给同学的赠言：6．（2021•白河县）按要求写句子。

（1）真理诞生于一百个问号之后。