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2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：（C ）【解析】：221lim 1x x xx →+=∞-，所以1x =为垂直渐近线 22lim 11x x xx →∞+=-，所以1y =为水平渐近线，没有斜渐近线，总共两条渐近线，选（C ）。
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -【答案】：（C ） 【解析】：''22()(2)()(1)(2)()xxnx x x nxf x e e e n e e e n ⎡⎤=--+---⎣⎦所以'(0)f =1(1)!n n --，故选（C ）。
（3）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (A)充分必要条件.(B)充分非必要条件.（C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件.【答案】：(B)【解析】：由于0n a >，{}n s 是单调递增的，可知当数列{}n s 有界时，{}n s 收敛，也即lim nn s →∞是存在的，此时有()11lim lim lim lim 0n n n n n n n n n a s s s s --→∞→∞→∞→∞=-=-=，也即{}n a 收敛。
反之，{}n a 收敛，{}n s 却不一定有界，例如令1n a =，显然有{}n a 收敛，但n s n =是无界的。
２０１２年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｃ （２）Ａ （３）Ｂ （４）Ｄ （５）Ａ （６）Ｄ （７）Ｃ （８）Ｂ二、填空题（９）１． （１０）π４． （１１）０． （１２）槡狓． （１３）（－１，０）． （１４）－２７．三、解答题（１５）（Ⅰ）方法１（等价无穷小） １．（Ⅱ）犽＝１．（１６）１）得驻点为犕１（－１，０）和犕２（１，０）．２）犳（－１，０）＝－ｅ－１２为极小值．犳（１，０）＝ｅ－１２为极大值．（１７）犇的面积为２．旋转体的体积为２３π（ｅ２－１）．（１８）１６１５（１９）（Ⅰ）方法１（特征根法） 通解为犳（狓）＝犆１ｅ－２狓＋犆２ｅ狓犳（狓）＝ｅ狓．（Ⅱ）曲线狔＝ｅ狓２∫狓０ｅ－狋２ｄ狋有唯一的拐点（０，０）．（２０）略．（２１）（Ⅰ）方程狓狀＋狓狀－１＋…＋狓＝１在１２，（）１内有且仅有一个实根．（Ⅱ）方法１（单调有界准则） ｌｉｍ狀→∞狓狀＝１２．（２２）（Ⅰ）１－犪４．（Ⅱ）狓＝犽烄烆烌烎１１１１＋０－烄烆烌烎１００（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）故犪＝－１．（Ⅱ）１）故犃Ｔ犃的特征值为λ１＝０，λ２＝２，λ３＝６．２）对应于λ１＝０的特征向量狆１＝－１－烄烆烌烎１１；济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博对应于λ３＝６的特征向量狆３＝烄烆烌烎１１２．３）犲１＝狆１＝－１槡３－１槡３１槡烄烆烌烎３， 犲２＝狆２＝１槡２－１槡２烄烆烌烎０， 犲３＝１槡６１槡６２槡烄烆烌烎６．４）为标准形犳＝２狔２２＋６狔２３．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博一、选择题（１）Ｃ （２）Ａ （３）Ｃ （４）Ｄ （５）Ａ （６）Ｂ （７）Ｂ （８）Ｂ二、填空题（９）ｅ１２． （１０）１１－ｅ－槡１． （１１）π１２．（１２）狔＝－狓＋π４＋ｌｎ２２． （１３）ｅ３狓－ｅ狓－狓ｅ２狓． （１４）－１．三、解答题（１５）方法１（泰勒公式） 狀＝２，犪＝７．（１６）犪＝槡７７．（１７）４１６３．（１８）略．（１９）所以曲线上点（１，１）到原点的距离最长，而点（０，１）和（１，０）到原点的距离最短．（２０）（Ⅰ）犳（狓）在（０，１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，犳（狓）在狓＝１处取得极小值犳（１）＝１，且极小值犳（１）＝１也是犳（狓）在（０，＋∞）内的最小值．（Ⅱ）ｌｉｍ狀→∞狓狀＝１．（２１）（Ⅰ）犔的弧长为ｄ狓＝ｅ２＋１４．（Ⅱ）方法１（定积分） 珚狓＝３４·ｅ４－２ｅ２－３ｅ３－７．（２２）２）方法１（观察消元法） 犆＝犮１＋犮２＋１－犮１犮１犮（）２，其中犮１，犮２为任意常数．（２３）（Ⅰ）二次型矩阵为犃＝２ααＴ＋ββＴ．（Ⅱ）所以犃的特征值为２，１，０．从而，二次型犳在正交交换下的标准形为２狔２１＋狔２２．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｂ （２）Ｃ （３）Ｄ （４）Ｃ （５）Ｄ （６）Ａ （７）Ｂ （８）Ａ二、填空题（９）３８π．（１０）１．（１１）－１２（ｄ狓＋ｄ狔）．（１２）狔＝－２π狓＋π２．（１３）１１２０．（１４）－２≤犪≤２．三、解答题（１５）１２．（１６）驻点为狓＝±１，得狔（－１）＝０，狔（１）＝１．方法１（一阶导数法）故狔（狓）的极大值为１，极小值为０．（１７）方法１（利用轮换对称性） ｄθ＝－３４．（１８）（１） ２狕 狓２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｃｏｓ２狔＋犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔， ２狕 狔２＝犳″（狌）·ｅ２狓ｓｉｎ２狔－犳′（狌）·ｅ狓ｃｏｓ狔．（２）４）求函数为犳（狌）＝－１１６ｅ－２狌＋１１６ｅ２狌－狌４．（１９）略．（２０）ｌｉｍ狀→∞狀犛狀＝１．（２１）π４（８ｌｎ２－５）．（２２）（Ⅰ）故犃狓＝０的同解方程组为狓１＝－狓４，狓２＝２狓４，狓３＝３狓４，狓４＝狓４烅烄烆，济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐犅＝－犮１＋２－犮２＋６－犮３－１２犮１－１２犮２－３２犮３＋１３犮１－１３犮２－４３犮３＋１犮１犮２犮烄烆烌烎３（犮１，犮２，犮３均为任意常数）．（２３）（１）犃的特征值为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀＝０．显然，上三角阵犅的特征值也为λ１＝狀，λ２＝λ３＝…＝λ狀＝０．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１５年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｄ （２）Ｂ （３）Ａ （４）Ｃ （５）Ｄ （６）Ｂ （７）Ｄ （８）Ａ二、填空题（９）４８． （１０）狀（狀－１）ｌｎ狀－２２． （１１）２． （１２）ｅ－２狓＋２ｅ狓．（１３）－１３（ｄ狓＋２ｄ狔）． （１４）２１．三、解答题（１５）方法１（泰勒公式） 得犪＝－１，犫＝－１２，犽＝－１３．（１６）犃＝８π．（１７）犳（狓，狔）有极小值犳（０，－１）＝－１．（１８）所以犇狓（狓＋狔）ｄ狓ｄ狔＝π４－２５．（１９）所以犳（狓）在（－∞，＋∞）内有两个零点，其中一个零点在－∞，（）１２之间，一个零点为狓＝１．（２０）物体还需冷却３０ｍｉｎ，温度才降至２１℃．（２１）犪＜狓０＜犫．（２２）（Ⅰ）方法１（特征值） 犪＝０．（Ⅱ）方法２ 犡＝３１－２１１－１２１－烄烆烌烎１．（２３）（Ⅰ）犃＝０２－３－１３－３１－烄烆烌烎２４．（Ⅱ）方法１ （１）故犃的特征值为λ１＝λ２＝１，λ３＝５．（２）对λ１＝λ２＝１，由可得对应的线性无关的特征向量为狆１＝烄烆烌烎２１０，狆２＝－烄烆烌烎３０１．对λ３＝５，由可得对应的线性无关的特征向量为狆３＝１１－烄烆烌烎１．方法２ （２）犅的特征值为０，０，４．犅对应于特征值０的线性无关的特征向量为－济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博可得犅对应于特征值４的特征向量为：狆３＝α＝１１－烄烆烌烎１．（３）犃的特征值为１，１，５，特征向量为狆１，狆２，狆３．（４）作相似变换矩阵犘＝（狆１，狆２，狆３）和对角矩阵Λ＝１１烄烆烌烎５，则犘－１犃犘＝Λ．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１６年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ｂ （２）Ｄ （３）Ｂ （４）Ｂ （５）Ａ （６）Ｄ （７）Ｃ （８）Ｃ二、填空题（９）狔＝狓＋π２．（１０）ｓｉｎ１－ｃｏｓ１．（１１）狔′－狔＝２狓－狓２．（１２）５·２狀－１．（１３）槡２２犞０．（１４）２．三、解答题（１５）方法１ １３．（１６）故当狓＞０时，犳（狓）的最小值为１４．（１７）狕＝狕（狓，狔）的极大值为狕（－１，－１）＝１．（１８）１－π２．（１９）通解为狔＝犆１ｅ狓－犆２（２狓＋１）（犆１，犆２为任意常数）．（２０）旋转体体积为１８３５π．所求旋转曲面面积为２π＝１６５π．（２１）（Ⅰ）１３π．（Ⅱ）犳（狓）在π２，３２（］π上单调增加，故在０，３π（）２上只有犳（狓１）＝０，即犳（狓）在区间０，３２（）π内存在唯一零点．（２２）（Ⅰ）犪＝０．（Ⅱ）求通解为狓＝犽０－烄烆烌烎１１＋１－烄烆烌烎２０（犽为任意常数）．（２３）（Ⅰ）（１）故犃的特征值为λ１＝－２，λ２＝－１，λ３＝０．对于λ１＝－２，由可得对应的特征向量狆１＝（１，２，０）Ｔ．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博（２）犃９９＝２９９－２－２９９＋１－２９８＋２２１００－２－２１００＋１－２９９＋２烄烆烌烎０００．（Ⅱ）β１＝（２９９－２）α１＋（２１００－２）α２，β２＝（１－２９９）α１＋（１－２１００）α２，β３＝（２－２９８）α１＋（２－２９９）α２烅烄烆．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博２０１７年数学（二）试题答案一、选择题（１）Ａ （２）Ｂ （３）Ｄ （４）Ｃ （５）Ｄ （６）Ｃ （７）Ｂ （８）Ｂ二、填空题（９）狔＝狓＋２． （１０）－１８． （１１）１． （１２）狓狔ｅ狔．（１３）－ｌｎ（ｃｏｓ１）． （１４）－１．三、解答题（１５）２３．（１６）ｄ狔ｄ狓狓＝０＝犳′１（１，１）＋犳″１１（１，１）－犳′２（１，１）．（１７）犐＝１４．（１８）故当狓＝１时，狔有极大值１；当狓＝－１时，狔有极小值０．（１９）（Ⅱ）方程犳（狓）·犳″（狓）＋［犳′（狓）］２＝０在区间（０，１）内至少存在两个实根．（２０）５４π．（２１）１２ｌｎ狔２＋狓（）２＋ａｒｃｔａｎ狔狓＝０．（２２）（Ⅱ）所以方程组犃狓＝β的通解为狓＝犽ξ＋η＝犽１２－烄烆烌烎１＋烄烆烌烎１１１，犽为任意常数．（２３）则犙＝－１槡２１槡３１槡６０－１槡３２槡６１槡２１槡３１槡烄烆烌烎６．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐济南博一、选择题（１）Ｂ （２）Ｄ （３）Ｄ （４）Ｄ （５）Ｃ （６）Ｃ （７）Ａ （８）Ａ二、填空题（９）１． （１０）狔＝４狓－３． （１１）１２ｌｎ２． （１２）２３． （１３）１４． （１４）２．三、解答题（１５）即原式＝１２ｅ２狓ａｒｃｔａｎｅ狓－槡１－１６ｅ狓－（）１３２－１２ｅ狓－槡１＋犆．（１６）（Ⅰ）犳（狓）＝－２犪ｅ－狓＋２犪．（Ⅱ）犪＝ｅ２．（１７）３π２＋５π．（１８）略．（１９）最小值为１π＋４＋槡３３．（２０）此时犛关于时间狋的变化率为１０．（２１）即ｌｉｍ狀→∞狓狀＝０．（２２）（Ⅰ）当犪＝２时，方程组有非零解狓＝犽－２－１烄烆烌烎１，其中犽为任意常数．当犪≠２时，方程组只有零解．（Ⅱ）方法１（正交变换法） 规范形为犳（狕１，狕２，狕３）＝狕２１＋狕２２．（２３）（Ⅰ）犪＝２．（Ⅱ）可逆矩阵犘＝３－６犽１４－６犽２４－６犽３－１＋２犽１－１＋２犽２－１＋２犽３犽１犽２犽烄烆烌烎３，其中犽２≠犽３．济南博乐图书音像专营店整理理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｃ （２）Ｂ （３）Ｄ （４）Ｄ （５）Ａ （６）Ａ （７）Ａ （８）Ｃ二、填空题（９）４ｅ２． （１０）３π２＋２． （１１）狔犳狔２（）狓或狕． （１２）１２ｌｎ３．（１３）１４（ｃｏｓ１－１）． （１４）－４．三、解答题（１５）故狓＝１ｅ为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳１（）ｅ＝１（）ｅ２ｅ＝ｅ－２ｅ；故狓＝－１为犳（狓）的极小值点，且极小值为犳（－１）＝１×ｅ－１＋１＝１－１ｅ；所以狓＝０为犳（狓）的极大值点，且极大值为犳（０）＝１．（１６）－２ｌｎ狓－１－３狓－１＋ｌｎ（狓２＋狓＋１）＋犆．（１７）（Ⅰ）狔（狓）＝槡狓ｅ１２狓２．（Ⅱ）π２（ｅ４－ｅ）．（１８）４３１２０槡２．（１９）ｌｉｍ狀→∞犛狀＝１＋ｅπ２（ｅπ－１）．（２０）得犪＝－３４，犫＝３４．（２１）略．（２２）则狓１α１＋狓２α２＋狓３α３＝β３的通解为狓＝犽（－２，１，１）Ｔ＋（３，－２，０）Ｔ＝（－２犽＋３，犽－２，犽）Ｔ，即β３＝－２犽＋（）３α１＋犽－（）２α２＋犽α３（犽为任意常数）．（２３）（１）狓＝３，狔＝－２．（２）特征值为：λ１＝２，λ２＝－１，λ３＝－２．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｄ （２）Ｃ （３）Ａ （４）Ａ （５）Ｂ （６）Ｂ （７）Ｃ （８）Ｄ二、填空题（９）－槡２． （１０）２９（槡２２－１）． （１１）π－（）１ｄ狓－ｄ狔．（１２）１３ρ犵犪３． （１３）１． （１４）犪４－４犪２．三、解答题（１５）斜渐近线方程为狔＝１ｅ狓＋１２ｅ．（１６）综上可得犵′（狓）＝１２狓＝０，犳（狓）狓－１狓２∫狓０犳（）狌ｄ狌狓≠０烅烄烆．所以犵′（狓）在狓＝０处连续．（１７）所以（１６，１１２）为极小值点，极小值犳（１６，１１２）＝－１２１６．（１８）则犞狓＝π２６．（１９）犇狓２＋狔槡２狓ｄ狓ｄ狔＝３４槡２＋３４ｌｎ（槡２＋１）．（２０）（Ⅱ）犳（２）＝ｌｎ２·ηｅη２．（２１）所求曲线为狔＝犆狓３犆＞（）０．（２２）（Ⅰ）故犪＝－１２．（Ⅱ）犘＝１２２槡３０１４槡３烄烆烌烎０１０．（２３）（Ⅱ）犃的特征值也为λ１＝２，λ２＝－３．济南博乐图书音像专营店整理理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐一、选择题（１）Ｃ （２）Ｄ （３）Ｃ （４）Ａ （５）Ｄ （６）Ｃ （７）Ｂ （８）Ｂ （９）Ｄ （１０）Ｃ二、填空题（１１）１ｌｎ３． （１２）２３． （１３）１． （１４）π２ｃｏｓ２π．（１５）犆１ｅ狓＋犆２ｅ－１２狓ｃｏｓ槡３２狓＋犆３ｅ－１２狓ｓｉｎ槡３２狓（其中犆１，犆２，犆３为任意常数）．（１６）－５．三、解答题（１７）１２．（１８）曲线狔＝犳（狓）有一条垂直渐近线狓＝－１，两条斜渐近线狔＝狓－１与狔＝－狓＋１．（１９）犛＝２２３犃＝４２５９π．（２０）（Ⅰ）故狔（狓）＝１３狓６＋１，（狓＞０）（Ⅱ）故狓＝１为函数唯一极小值点，且必为最小值点，当狓＝１时，１３狓６＋１＝４３，所以此时点犘坐标１，（）４３．（２１）１４８．（２２）犘－１犃犘＝１１烄烆烌烎３．犘－１犃犘＝３３烄烆烌烎１．济南博乐图书音像专营店整理专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐图书音像专营店整理济南博乐。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
（ii ）渐近线分为水平渐近线（lim()x f x b →∞=，b 为常数）、垂直渐近线（0lim ()x x f x →=∞）和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞-+=，,a b 为常数）。
（iii ）注意：如果（1）()limx f x x→∞不存在；（2）()lim x f x a x→∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。
在本题中，函数221x x y x +=-的间断点只有1x =±.由于1lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线.（而11(1)1lim lim(1)(1)2x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）.又211lim lim111x x x y x→∞→∞+==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx f x e ee n =---,其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -【答案】A【考点】导数的概念 【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x→→+-'==. 在本题中，按定义1(1)(2)[(1)](1)(1)!n n n -=-⨯-⨯⨯--=--.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()f x u x v x u x v x u x v x ''''==+.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe -项在0x =为0，故只留下一项.于是 故选（A ）.(3) 设0(1,2,)n a n >=，123n n S a a a a =++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B 【考点】数列极限 【难易度】★★★ 【详解】因0(1,2,)n a n >=，所以123n n S a a a a =++++单调上升.若数列{}n S 有界，则lim n n S →∞存在，于是反之，若数列{}n a 收敛，则数列{}n S 不一定有界.例如，取1n a =(1,2,)n =，则n S n =是无界的.因此，数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分非必要条件.故选（B ）. (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << 【答案】D【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 设a c b <<，则()()()bcbaacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰.在本题中，210sin x I e xdx π=⎰，2220sin x I e xdx π=⎰，2330sin x I e xdx π=⎰222121sin 0x I I e xdx I I ππ-=<⇒<⎰，2332322sin 0x I I e xdx I I ππ-=>⇒>⎰，因此213I I I <<.故选D.（5）设函数(,)f x y 可微，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的一个充分条件是( )（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > 【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数单调性的判定法 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导. ①如果在(,)a b 内()0f x '>，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； ②如果在(,)a b 内()0f x '<，那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 在本题中，因(,)0f x y x∂>∂，当y 固定时对x 单调上升，故当12x x <时1121(,)(,)f x y f x y < 又因(,)0f x y y∂<∂，当x 固定时对y 单调下降，故当12y y >时2122(,)(,)f x y f x y < 因此，当12x x <，12y y >时112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y << 故选D.（6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰( ) （A ）π （B ）2 （C ）-2（D ）π-【答案】D【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：在本题中，11555222sin sin 221(1)(1)()2x x Dx y dxdy dx x y dy x y y dx ππππ---=-=-⎰⎰⎰⎰⎰其中521(1sin )2x x -，sin x 均为奇函数，所以 52221(1sin )02x x dx ππ--=⎰，22sin 0xdx ππ-=⎰ 故选（D ）(7)设1100c α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411c α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα 【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n 个n 维向量相关12,,,0n ααα⇔=在本题中，显然134123011,,0110c c c ααα-=-=， 所以134,,ααα必线性相关.故选C.(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵 【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A 是一个m n ⨯矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. 在本题中，由于P 经列变换为Q ，有12100110(1)001Q P PE ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)Q AQ PE A PE E P AP E ----== 故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则22x d ydx == .【答案】1【考点】隐函数的微分 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点： 隐函数求导的常用方法有：1. 利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。
全国2012年10月高等教育自学考试 《概率论与数理统计》（经管类）真题及答案详解课程代码：04183一、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）1.已知事件 A , B , A B 的概率分别为0.5 , 0.4, 0.6，则P （AB ）二（ B ） A . 0.1B . 0.2C . 0.3D . 0.5由 P(AB)二 P(A) P(B) _P(AB)，即 0.6 =0.5 0.4_P(AB)，得 P(AB) =0.3，从而P(AB) =P(A - B) =P(A) - P(AB) =0.5 -0.3 =0.2 . 2 •设F(x)为随机变量X 的分布函数，则有( C~~)A . F —0, F(；)=0B . F(_：J =1 , F( ；)=0C . F(」：)-0 , F( ：：) =1D . F(_：：)=1 ,F( ：：)=13.设（X,Y ）服从区域D : x 1 2y 2_1上的均匀分布，则（X,Y ）的概率密度为（■i -1,(x, y) D f(x,y)二■:[0,其他4.设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E （2X -1）= （ A ）则 D(3X)工( B )1X _1) =2E(X) _1 =2_1 =0 . 2A . f(x,y) =1 f (X,y)(x,y) D 其他5 .设二维随机变量（X,Y ）的分布律为 1 C . f (x, y):jrC . 4D . 621 2 1 4 X 的分布律为 P{X J}, P{X =2}, E(X) =12 3333 322221 2 2 16 2 E(X 2) =12 22 沁 u 2，D(X) =E(X 2) —E 2(X) =2，D(3X) =9D(X) =2 .3 3 9 96 .设，…，X n ,…为相互独立同分布的随机变量序列，且 E （X 」=0, D （XJ=1，则lim P 臣 X j 兰o]= （ C ）F g JB . 0.257 •设X 1,X 2,…，x n 为来自总体N （＜c 2）的样本， 让2是未知参数，则下列样本函数为统计 量的是（ D ）n1 n2 1 n2 1 n2A .、B .丄' X j 2C .丄、化-厅D .丄、X 2i 1二 j 叫 n j wn j 勻统计量是不含未知参数的样本函数.8.对总体参数进行区间估计，则下列结论正确的是（ A ）置信度1 -:-越大=分位数u ：./2越大=区间半径U ：./29. 在假设检验中， H 。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐进线的条数________（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）设函数2()(1)(2)()xxnx f x e e e n =---L ，其中n 为正整数，则(0)________f '=（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n -（3）设0(1,2,3)n a n >=L ，123n n S a a a a =++++L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的_______.（A ）充分必要条件 （B ）充分非必要条件 （C ）必要非充分条件 （D ）非充分也非必要 （4）设2sin (1,2,3)k x k I e xdx k π==⎰，则有______（A ）123I I I << （B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I <<（5）设函数(,)f x y 为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)0f x y x∂>∂，(,)0f x y y ∂<∂，则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是（A ）12x x >，12y y < （B ）12x x >，12y y > （C ）12x x <，12y y < （D ）12x x <，12y y > （6）设区域D 由曲线sin y x =，2x π=±，1y =围成，则5(1)Dx y dxdy -=⎰⎰ （A ）π （B ）2 （C ）2- （D ）π-（7）设1100c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201c α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3311c α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，4411c α-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则线性相关的向量组为（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα（8）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123(,,)P ααα=，1223(,,)Q αααα=+则1Q AQ -=（ ）（A ）100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分。
2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习-—1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则,会利用其求极限;两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念,左、右连续的概念,判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质。
第一单元调整学习计划第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系,导数的几何意义、物理意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则,复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数:分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange)中值定理、泰勒（Taylor）定理、柯西（Cauchy）中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限;7.函数极值的概念,用导数判断函数的单调性,用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值;8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．第二单元学习计划调整任务第三单元学习计划——不定积分本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.原函数、不定积分的概念；2.不定积分的基本公式，不定积分的性质，不定积分的换元积分法与分部积分法；第三单元学习计划调整任务第四单元学习计划——定积分及其应用本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.定积分的概念和性质，定积分中值定理；2.定积分的换元积分法与分部积分法;3.积分上限的函数的概念和它的导数,牛顿—莱布尼茨公式；4.反常积分的概念与计算;5.用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力，函数的平均值．第五单元学习计划——常微分方程本计划对应教材：高等数学上册 同济大学数学系编 高等教育出版社 第六版 在第一单元中我们应当学习——1. 微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念;2. 变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；3. 齐次微分方程的解法；4. 可降阶微分方程：()(),(,)(,)n yf x y f x y y f y y ''''''===和的解法；5. 线性微分方程解的性质及解的结构；6. 二阶常系数齐次线性微分方程的解法；7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.第五单元学习计划调整任务第六单元——向量代数和空间解析几何(考研数学二不要求）第七单元学习计划——多元函数微分学本计划对应教材:高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习—-1.二元函数的概念与几何意义；2.二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；3.多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，会求全微分；4.多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；5.隐函数存在定理，计算多元隐函数的偏导数;6.多元函数极值和条件极值的概念,二元函数极值存在的必要条件、充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值.第七单元学习计划调整任务第八单元学习计划——重积分本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.二重积分的概念和性质，二重积分的中值定理；2.会利用直角坐标、极坐标计算二重积分.第八单元学习计划调整任务第九单元——曲线积分与曲面积分（考研数学二不要求）第十单元——无穷级数（考研数学二不要求）。
