《圆锥曲线》文科专题复习(6)

圆锥曲线高二文科知识点圆锥曲线是高中数学中的一个重要内容，也是文科生需要掌握的知识点之一。

圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种形态，每种形态都有其独特的性质和应用。

下面将逐一介绍这些知识点。

一、圆圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点构成的集合。

圆的特点是：1. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等；2. 半径：圆心到圆上任一点的距离。

圆的方程可以表示为：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是半径的长度。

圆的性质可以应用于日常生活中的测量、建筑等方面。

在几何中，圆的相关定理也是很重要的内容。

二、椭圆椭圆是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 两个焦点F₁和F₂：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于两个固定值2a；2. 短轴：过圆心的直径，一般记为2b；3. 长轴：连接两个焦点并通过圆心的直径，一般记为2a。

椭圆的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标。

椭圆在几何学、天文学等领域有广泛的应用。

如行星运动的轨道、航天器发射中的轨迹分析等。

三、双曲线双曲线是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 两个焦点F₁和F₂：双曲线上任意一点到焦点距离之差等于两个固定值2a；2. 短轴：通过两个焦点且垂直于连接两焦点的直线的直径，一般记为2b。

双曲线的标准方程可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1，其中(h, k)是双曲线的中心坐标。

双曲线在物理学、天文学等领域有广泛应用，例如天体运动轨迹、电磁场分布等。

四、抛物线抛物线是圆锥曲线中的一种形态，其特点是：1. 焦点F：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离；2. 准线：与抛物线对称轴平行且与焦点的距离相等的直线。

圆锥曲线文科专题复习知识回顾：一、圆锥曲线的两个定义：1、椭圆：第一定义：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，（当常数等于时，轨迹是线段FF；当常数小于时，无轨迹）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）2、双曲线：第一定义：双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F-F|，（定义中的“绝对值”与＜|F-F|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线；若﹥|FF|，则轨迹不存在；若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

）第二定义：与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）3、抛物线：与定点和直线的距离相等的点的轨迹.二、圆锥曲线的标准方程（1）椭圆：焦点在轴上时（）（为参数），焦点在轴上时＝1（）（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。

（3）抛物线：开口向右时， 开口向左时，开口向上时， 开口向下时。

三：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：）（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

【特别提醒】在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

四、圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，（越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤两条渐近线：⑥离心率：，双曲线，（越小，开口越小，越大，开口越大；）（3）抛物线（以为例）-----的几何意义是：焦点到准线的距离：①范围：；②焦点：一个焦点，③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。

（完整）文科圆锥曲线大题复习高三数学圆锥曲线专题一．知识要点1、直线的斜率公式：k = tan a= 土二4（x丰x）（a为直线的倾斜角）x - x i 221两种常用的直线方程：（1）点斜式（2）斜截式2、直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种，其判断方法有：①几何法（常用方法）若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r,则：d = r o直线与圆相切d < r o直线与圆相交d > r o直线与圆相离②代数法由直线方程与圆的方程联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：A = 0o直线与圆相切A< 0 o直线与圆相离A> 0 o直线与圆相交3、圆的弦长若圆心到弦的距离为d，圆的半径为r,弦长是/，则l = 2工；r2 —d 2 .4、圆锥曲线的定义（包括长轴,短轴，实轴，虚轴,离心率，双曲线的渐近线等）（1）椭圆：（2）双曲线:（3）抛物线：x2 y2 x2 y25、点P（x , y）和椭圆——+ — = K a > b > 0）的关系：（1）点P（x , y）在椭圆外o -0- +与> 1 ；（2）点P（x , y）0 0 a2 b2 0 0 a2 b2 0 0在椭圆上o x0- +，=1；⑶点P（x , y）在椭圆内o x e- +，< 1a2 b2 0 0a2 b26、直线与圆锥曲线的位置关系：由直线方程与圆锥曲线联立方程组，消元得到一个一元二次方程，则：（1）相交：A> 0 o直线与椭圆相交；A> 0 n直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有A> 0 , 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故A> 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；A> 0 n直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有A> 0，当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点，故A> 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

第七讲、圆锥曲线十五、圆锥曲线与方程 （一）圆锥曲线1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质。

3.了解双曲线的定义，掌握双曲线的几何图形和标准方程，理解它的简单几何性质。

4.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题。

5.理解数形结合的思想。

6.了解圆锥曲线的简单应用。

椭圆1.定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|，即21212F F a PF PF >=+)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆2.椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=ca 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22,=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1 （3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，21A B A B ==3.标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+by a x 和12222=+b x a y )0(>>b a 其中222b a c -= 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是ace =a b 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的一半）范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b x ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，焦半径：21()a PF e x a ex c=+=+，22()a PF e x a ex c =-=-.4.21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．12212tan2PF F F PF S b ∆∠=将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠(1212F PF F BF ∠≤∠)结合起来，建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系.5.椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ；双曲线 1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线2双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F =⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠=⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b⑼通径的长是ab 22，焦准距2bc ，焦参数2b a （通径长的一半）其中22ba c +=a PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a b y ±=②若渐近线方程为x aby ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c =⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c=+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x 0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 抛物线1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

圆锥曲线知识点讲解梳理(文科) 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、圆:1、定义:点集{M ||OM |=r },其定点O 为圆心,定长r 为半径.2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程:①当 D 2+E 2-4F >0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2,2(E D --半径是2422F E D -+。

配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+ ②当 D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-2D ,-2E ); ③当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形.(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则|MC |<r ⇔点M 在圆 C 内,|MC |=r ⇔点M 在圆 C 上,|MC |>r ⇔点M 在圆C 内,其|MC |=2020b)-(y a)-(x +。

(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交⇔有两个公共点;直线与圆相切⇔有一个公共点;直线与圆相离⇔没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22B A C Bb Aa d+++=与半径r 的大小关系来判定。

二、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其定点F(c,0)称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离心率。

当0<e <1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e >1时,轨迹为双曲线。

1、(06) 椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且11212414,||,||.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆x 2+y 2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C 于,A B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.2、（07）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为1F ，2F ，两条准线（2=a x c±）与x 轴的交点分别为M N ，，若12MN F F 2≤，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） Ａ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，Ｂ．02⎛ ⎝⎦，Ｃ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，Ｄ．12⎫⎪⎪⎣⎭3、(07)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．4、（08）“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的渐近线方程为43y x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5、（08）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．6、（09）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 .7、（10）已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2,焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为__________;渐近线方程为__________｡8、（10）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(,,离心率是3,直线y t =椭圆C 交于不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P 。

高二数学_圆锥曲线(文科月考复习) 圆锥曲线一、椭圆项目内容定义图形标准方程统一形式范围顶点与长短轴的长几焦点焦距何性离心率质焦点三角椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为，解题中常用余22ac，形弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为。

4a角形1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)两个焦点的坐标分别是(,4，0)，(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 10 ;35(2)两个焦点的坐标分别是(0，,2)、(0，2)，并且椭圆经过点 ; (,,)22(3)长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A(-3，) 33(4)离心率为，且经过点(2，0)的椭圆的标准方程是 ( 25(5)离心率为，一条准线方程为，中心在原点的椭圆方程是 ( x,33A(6)设B(0,,5),C(0,5)，的周长为36，则的顶点的轨迹方程是 ( ,ABC,ABC 22(7)椭圆方程为，则焦点坐标为，顶点坐标为，长轴长为，3x，2y,1 短轴长为，离心率为，准线方程为 ( (8)已知椭圆短轴上的两个三等份点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为22xy(9已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是________，若该，,1ymmm,,12方程表示双曲线，则的取值范围是_______( m22xy1(10)若椭圆的离心率为，则为，,1m2m4二、双曲线项目内容定义图形标准方程统一形式范围顶点与实虚轴的长焦点焦距渐近线方几程何性离心率质对称性焦点三角双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股形定理来进行相关的计算焦点弦三双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。

角形(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5，则标准方程是22(2) 与双曲线x,2y,2有公共渐近线，且过点M(2，,2)的标准方程为22xy(3) 以椭圆的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是，,185(4) 已知点，动点到与的距离之差是6，则点的轨迹PPFF(,5,0),F(5,0)F1221是，其轨迹方程是 (2x2(5) 双曲线方程为，则焦点坐标为，顶点坐标为，实轴y,,14长为，虚轴长为，离心率为，准线方程为，渐进线方程为(6) 已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为2x,y,02x2(7) 已知双曲线的两焦点F、F，点P在双曲线上且满足，则?,,y1，,FPF6012124FPF的面积为__________ 122222yyxx3(8) 椭圆 ()离心率为,则双曲线的离心率为，,1,,1a,b,022222abab2y2(9) 过双曲线,=1的右焦点F作直线交双曲线于A, B两点，若|AB|=4，则这样的xl2直线有条22(10) “ab<0”是“方程表示双曲线”的条件 ax，by,cP(11) 已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上FF，(50)，(50),，12且，且的面积为1，则双曲线的方程为________________PFPF,?PFF121222xy(12) 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ,,122ab22xyP(13) 设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别320xy,,FF，,,1122a9是双曲线的左、右焦点，若PF,3，则PF的值为 12(14)三、抛物线项目内容定义图形标准方程几范围何开口性方向质顶点坐标焦点坐标准线方程对称轴离心率通径长焦半径(1) 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，A(,3,n)求抛物线的方程和n的值((2) 焦点在直线上的抛物线标准方程是 x,2y,4,02(3) 若抛物线上一点的横坐标为,9，它到焦点的距离为10，则My,,2px(p,0) 抛物线方程是，点的坐标是 M12(4) 抛物线的准线方程是，焦点坐标是 y,,x82(5) 已知抛物线C:的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B( y,4x16(1) 若，求直线l的方程((2) 求的最小值( AB,AB32(6) 抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 xy,4 2(7) 过抛物线的焦点作直线交抛物线于点两点，若PxyQxy,,,yx,4，，，，1122，则PQ中点M到抛物线准线的距离为 xx，,6122(8) 过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，如果x+x=6，112212那么|AB|=22(9) 如果方程y=kx+3表示倾斜角为钝角的直线,那么方程kx+3y=1表示的曲线是(10) 已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点A(4，m)到焦点的距离为6. (1)求此抛物线的方程; (2)若此抛物线方程与直线相y,kx,2交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值。