小升初奥数知识点讲解(工程问题)1

18.工程问题知识要点梳理一、根本概念1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。

2．工程问题的三个根本量是工作效率、工作时间和工作总量。

〔1〕工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。

〔2〕工作时间：完成工作总量所需的时间。

〔3〕工作总量：完成一项工作的总量。

一般都是把工作总量看做单位“1〞。

二、根本数量关系1．一般公式：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。

2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。

我们把工作总量假设为单位“1〞，这个巧解方法的公式有：〔1〕一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。

〔2〕一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。

三、根本方法算术方法、比例方法、方程方法。

考点精讲分析典例精讲考点1 简单的工程问题【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做〔 〕天完成。

【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1〞，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。

【答案】 把这件工作总量看作单位“1〞， 1÷(110+115)=1÷3+230=1÷16=6〔天〕 【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。

考点2 合作工程问题【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？【精析】 首先把这件工作看作单位“1〞，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。

工程问题【知识梳理】一:基本数量关系：1。

工效×时间=工作总量2。

工作效率=工作总量÷工作时间3.工作时间=工作总量÷工作效率二:基本特点：设工作总量为“1"，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。

四：基本思想：分做合想、合做分想。

五:类型与方法：一:分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例)，4.假设法。

二:等量代换：方程组的解法→代入法，加减法.三：按劳分配思路:每人每天工效→每人工作量→按比例分配四：休息请假：方法：1。

分想：划分工作量。

2。

假设法:假设不休息.五:休息与周期：1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2。

天数:①近似天数，②准确天数.3。

列表确定工作天数.六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七:注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3。

注满或溢出.八：工效变化。

九：比例：1.分比与连比,2.归一思想，3。

正反比例的运用，4.假设法思想（周期)。

十：牛吃草问题：1.新生草量,2.原有草量，3.解决问题。

【例题精讲】【例1】修一条马路，甲独做要16天完成，乙独做要24天完成，如果乙先9天，之后由两人合作，那么总共要多少天完成任务？【巩固】1、一项工作甲组3人8天完成,乙组4人7天也能完成。

现在由甲2人和乙7人合作，多少天可以完成？2、一件工作,甲、乙两人合作10天可以完成,共同做了4天后,由乙独自做了18天才完成，如果这件工作由甲单独完成需要多少天？（2013年博才入学试题）【扩展】有一项工程，甲队独做40天完成，乙队独做60天完成，现在已知两队合做了这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天,所以经过27天才完成全部工作，甲队离开了几天？【例2】一项工程,甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？【巩固】一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间?【例3】某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需要48天完成。

工程问题（一）知识要点一、基本概念完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示。

工作效率：单位时间内所完成的工作量。

二、基本关系工作量= 工作效率×工作时间；三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系。

三、常用工具和方法（1）基本关系；（2）整体化归思想；（3）对比分析的方法。

重难点（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题。

（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用。

模块一根据基本关系解题【例1】一项工程，甲单独做需要15小时，乙单独做需要30小时，如果甲、乙合作需要多少时间？【练习】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？1，乙【练习】甲乙两名打字员，打字速度一样快，甲30 分钟打了A 材料的42A、B 两份材料中谁的内容多？40 分钟打了B 材料的7【例2】一项工程，甲队单独完成需36天。

若乙队先做8天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需18天可完成。

如果乙队单独完成此工程，则需多少天？【练习1】一项工程，甲队单独做20 天可以完成，甲队做了12天后，由于甲另有任务，剩下的工作由乙队单独做16天完成。

问：乙队单独完成这项工作需多少天？【练习2】一项工作，甲、乙两人合做8 天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成。

那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?【练习3】修筑一条高速公路。

若甲、乙、丙合作，90 天可完工。

若甲、乙、丁合作，120 天可完工；若丙、丁合作，180 天可完工，若甲、乙合作36 天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。

还需多少天可完工？模块二运用整体化归思想解题【例3】甲、乙、丙三人同时分别在两个条件和工作量相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12 小时，丙用15小时。

甲在A仓库，乙在B 仓库，丙先帮甲后帮乙，用了16 个小时将两个仓库同时搬完。

小升初——工程问题工程问题是小学的重点题型，也是初中数学的常见问题。

掌握工作时间、工作总量、工作效率之间的关系，并熟练转化工作方式，利用适合的解题方法如假设法、比例关系等解决工程问题是重点！一、组合工程问题在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。

1.一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。

这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。

这件工作由甲先做了几天？2.甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。

中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。

如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？3.一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？4.甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具，因为甲有事，由乙、丙合作2天体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的13，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动完成余下工程的14报酬，甲、乙、丙各得多少元？5.有12头羊14天可以吃完12亩草，13头羊44天可以吃完22亩草，问多少头羊60天可以吃完50亩草?6.原计划18个人植树，按计划工作了2小时后，有3个人被抽走了，于是剩下的人每小时比原计划多种1棵树，还是按期完成了任务.原计划每人每小时植______棵树.7.一项工程，甲做10天乙做20天完成，甲做15天乙做12也能完成。

现乙先做4天，问甲还要多少天完成？8.一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。

如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。

小学奥数─工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1）工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3）工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 2305解析】 甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成．所以需要小时分钟来完成整个工程．【答案】小时分钟2305巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。

知识点梳理工程问题是小学数学考试中的常考题型之一。

在实际生活中，工程问题无处不在，比如盖房子、修公路、水池注水……解决工程问题的一大特点是把工作总量看作单位“1”，用单位时间内完成工作总量的几分之一来表示工作效率，然后根据具体情况，灵活运用公式求出问题的结果。

一、工程问题知识要点（一）工程问题中的三量工程问题研究的是：工作总量、工作时间、工作效率三者之间的关系。

类似于行程问题，工作总量类似于行程问题中的路程、工作效率类似于行程问题中的，工作时间类似于行程问题中的时间。

这三个量之间的基本关系式如下：工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率上述三个公式可称为工程问题的核心公式，大部分的行程问题都可通过找出工作总量、工作时间、工作效率三量中的两个已知量后利用核心公式求解。

（二）工程问题中的比例关系工作时间相等，工作效率比 = 工作总量比；工作效率相等，工作总量比 = 工作时间比；工作总量相等，工作效率与工作时间成反比。

（三）注水问题从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的。

水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作总量，单位时间里的注水量或排水量就是工作效率。

至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了，因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同。

所以通常我们会把注水总量当做单位1进行计算。

（四）休息请假如果遇到休息请假的工程问题，需要划分工作量、假设不休息等想法进行计算。

常用解法⑴公式法：工作总量=工作时间×工作效率。

即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法从条件和问题入手，如：问题求的是工作时间，那么工作时间等于什么呢？显然要找出工作总量和工作时间。

学习单位“1”后，一般情况下，我们会把工作总量看做单位“1”，如甲单独做10天完成，可知，甲每天完成工作总量的101。

划分工作量时，注意按劳分配，即按照工作效率进行分配。

六年级下小升初典型奥数之工程问题在小学六年级的学习中，奥数里的工程问题是一个比较重要的知识点，也是小升初考试中经常出现的题型。

工程问题主要研究工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

接下来，让我们一起来深入了解一下工程问题。

一、工程问题的基本概念1、工作总量：一般把完成一项工作的总量看作单位“1”。

2、工作效率：单位时间内完成的工作量。

例如，如果一个人一天能完成一项工作的 1/5，那么他的工作效率就是 1/5。

3、工作时间：完成工作所花费的时间。

二、工程问题的基本公式工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率三、工程问题的常见题型1、合作完工问题例：一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？思路：甲的工作效率是 1/10，乙的工作效率是 1/15，两人合作的工作效率就是（1/10 ＋ 1/15）。

解：甲的工作效率：1÷10 ＝ 1/10乙的工作效率：1÷15 ＝ 1/15两人合作的工作效率：1/10 ＋ 1/15 ＝ 1/6合作完成所需时间：1÷（1/6）＝ 6（天）2、轮流工作问题例：一项工程，甲单独做 6 天完成，乙单独做 8 天完成。

甲先做 1天后，两人轮流做，按照甲 1 天，乙 1 天的顺序，完成这项工程共需要多少天？思路：先算出甲1 天完成的工作量，然后计算两人合作的工作效率，再逐步计算完成的天数。

解：甲的工作效率：1÷6 ＝ 1/6乙的工作效率：1÷8 ＝ 1/8甲先做 1 天完成的工作量：1/6×1 ＝ 1/6剩下的工作量：1 1/6 ＝ 5/6两人合作的工作效率：1/6 ＋ 1/8 ＝ 7/24两人合作 2 轮（4 天）完成的工作量：7/24×2 ＝ 7/12此时剩下的工作量：5/6 7/12 ＝ 1/4第 5 天甲做，完成的工作量：1/6还剩下的工作量：1/4 1/6 ＝ 1/12第 6 天乙做，完成的工作量：1/8因为 1/8 ＞ 1/12，所以乙在第 6 天能完成剩下的工作。

小升初工程问题应用题反映“工作效率”“工作时间”和“工作总量”这三者之间的基本数量关系的应用题，叫做工程问题应用题。

工程问题应用题是分数应用题中较为特殊的一种，应该主要采用工程问题应用题的数量关系来解答，也就是说，在解题的时候，当工作总量没有具体数量时要把它看作单位“1”，工作效率就是完成时间°在分析这类型应用题的数量关系时，特别要注意工作总量和工作时间之间、工作总量与工作效率之间、工作效率与工作时间之间的对应关系。

它们的基本数量关系是工作总量＝工作效率x 工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率工作效率＝工作总量÷工作时间工程问题一1.一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做几天完工？2.一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，几小时能加工完这批零件的34？3.一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？4.修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？5.一项工程，甲单独做16天可以完成，乙单独做12天可以完成。

现在由乙先做3天，剩下的由甲来做，还需要多少天能完成这项工程？6.张师傅和小赵加工一批零件。

如果由张师傅单独加工，2小时；如果由小赵单独加工，3小时可以完成这批零可以完成这批零件的16.现在由张师傅和小赵共同加工，多少小时可以完成？件的187.甲和乙两队合修一条公路，完成任务时，甲队修了这条公路。

如果乙队单独完成要24天，甲队单独做几天完成？的815。

如8. 小王和小张同时打一份稿件，5小时打了这份这稿件的56果由小王单独打，10小时可以打完。

求如果由小张单独打，几小时可以打完。

9.甲和乙两队合修一条公路，完成任务时，甲队修了这条公路的8。

如果乙队单独完成要24天，甲队单独做几天完成？1510. 一条公路长1500米，单独修好甲要15天，乙要10天，两队合修需几天才能完成？11. 一件工作，甲单独完成需要8天，乙的工作效率是甲的2倍，两人同时合作，几天能完成这件工作？12. 一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要5天能完成。

小升初奥数知识点讲解(工程问题例 1:完成一件工作, 需要甲干 5天, 乙干 6天; 或者甲干 7天, 乙干 2天。

问:甲、乙单独干这件工作各需多少天?例 2:一件工程,甲队单独做 12天可以完成,甲队做 3天后乙队做 2天半可完成一半。

现在甲、乙两队合做若干天后, 由乙队单独完成, 做完后发现两段所用时间相等。

问:共用多少天?例 3:师徒两人共同加工一批零件, 师傅每小时加工 9个, 徒弟每小时加工 5个。

完成任务时,徒弟比师傅少加工 120个。

这批零件共有多少个?例 4:一件工程,甲、乙合做需 6天完成,乙、丙合做需 9天完成,甲、丙合做需15天完成。

现在甲、乙、丙三人合做,需多少天完成?例 5:一件工程,甲单独做要 12小时完成,乙单独做要 18小时完成。

如果先由甲工作 1小时, 然后由乙接替甲工作 1小时, 再由甲接替乙工作 1小时…… 两人如此交替工作,那么完成任务用了多少小时?例 6:甲、乙、丙三队要完成 A 、 B 两项工程, B 工程的工作量比 A 工程的工作量多 1/4,甲、乙、丙三队单独完成 A 工程所需的时间分别是 20天、 24天、 30天。

为了同时完成这两项工程,先派甲做 A 工程,乙、丙两队共同做 B 工程; 经过几天后,又调丙队与甲队共同完成 A ,结果 A 、 B 两项工程同时完成。

问:丙队与乙队合作了多少天?例 7:一水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水。

若只开甲、丙两管,当甲管注入18吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注入 27吨水时,水箱才满。

又知, 乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的 2倍, 则该水箱最多可容纳多少吨水?例 8:某工厂的一个生产小组, 生产一批零件, 当每个工人在自己原岗位工作时, 9小时可完成这项生产任务。

如果交换工人 A 和 B 的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可提前 1小时完成这项生产任务;如果交换 C 和 D 的工作岗位,其他工人生产效率不变时,也可以提前 1小时完成这项生产任务。