2019届高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课堂达标16 任意角和弧度制及任意角的三角函数 文 新人

2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3。

1 任意角和弧度制及任意角的三角函数［课时跟踪检测］［基础达标]1．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ＋45°（k∈Z) B．k·360°＋错误!π（k∈Z）C．k·360°－315°（k∈Z）D．kπ＋错误!（k∈Z)解析：与错误!的终边相同的角可以写成2kπ＋错误!(k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A．sinα＋cosα＜0 B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0 D．tanαsinα＜0解析：在第三象限，sinα＜0,cosα＜0，tanα＞0，则可排除A，C，D 三项．答案：B3．已知角α的终边经过点P（－4a,3a)(a＜0)，则2sinα＋cosα的值为（）A．－错误!B．错误!C．0 D．错误!或－错误!解析：因为x＝－4a,y＝3a(a＜0),所以r＝－5a，所以sinα＝－错误!，cosα＝错误!，2sinα＋cosα＝2×错误!＋错误!＝－错误!.故选A.答案：A4．sin1，cos1,tan1的大小关系是( )A．sin1＜cos1＜tan1 B．tan1＜sin1＜cos1C．cos1＜tan1＜sin1 D．cos1＜sin1＜tan1解析:如图,单位圆中∠MOP＝1 rad＞错误! rad。

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 角的概念1．分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．考点2 弧度的定义和公式1．定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式：(1)弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；(2)弧长公式：l ＝|α|r ；(3)扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和S 扇形＝12|α|r 2.说明：(2)(3)公式中的α必须为弧度制． 考点3 任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. 正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．[必会结论]1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限角必是锐角．( ) (2)不相等的角终边一定不相同．( )(3)终边落在x 轴非正半轴上的角可表示为α＝2k π＋π(k ∈Z). ( )(4)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( ) (5)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z)B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z)C ．k ·360°－315°(k ∈Z)D ．k π＋5π4(k ∈Z) 答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．3.[课本改编]若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 sin α＜0，则α为第三、四象限角或y 轴负半轴上的角，tan α＞0，则α为第一、三象限角，故α为第三象限角．选C.4．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝________.答案513解析 ∵cos α＝x x 2＋25＝x13，x ＝±12，∴sin α＝513. 5．[2018·石家庄模拟]已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.板块二 典例探究·考向突破考向 象限角及终边相同的角例1(1)设集合M＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M NC ．NM D ．M ∩N ＝∅答案 B解析 解法一：由于M ＝{|x x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .解法二：在集合M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；在集合N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M N .故选B.(2)设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2是第________象限角．答案 三解析 因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cosα2<0.故α2是第三象限角． 触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．【变式训练1】 (1)[2018·潍坊模拟]集合⎩⎨⎧ α |k π＋π4≤α⎭⎬⎫≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．(2)[2018·绵阳质检]点A (sin2018°，cos2018°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C解析 sin2018°＝sin218°＝－sin38°＜0，cos2018°＝cos218°＝－cos38°＜0.选C 项．考向 三角函数的定义及其应用命题角度1 利用定义求三角函数值例 2 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0 D.25或－25答案 A解析 因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a ＜0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.故选A.命题角度2 判断三角函数值的符号 例 3 若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角答案 C解析 角α在第三象限时，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，满足题意．选C 项． 命题角度3 利用三角函数的定义求参数的值例 4 已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值．解 由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. 从而sin α＝m r＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，于是3＋m 2＝8，解得m ＝± 5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， ∴cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， ∴cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 触类旁通三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．考向 扇形的弧长、面积公式的应用例 5 若扇形的周长为10，面积为4，则该扇形的圆心角为________． 答案12 解析 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形的圆心角为12.若去掉本例条件“面积为4”，则当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解 设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋r θ＝10.S ＝12θ·r 2＝12r (10－2r )＝r (5－r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －522＋254≤254，当且仅当r ＝52时，S max ＝254，θ＝2.所以当r ＝52，θ＝2时，扇形面积最大．触类旁通弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l ＝|α|r ；②扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． 【变式训练2】 [2018·盐城模拟]扇形AOB 的周长为8 cm. (1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝l r ＝2时，扇形面积取得最大值，∴r ＝2，∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 核心规律1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2.三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 满分策略1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.板块三 启智培优·破译高考易错警示系列4——三角函数定义中忽略分类讨论致误[2018·福州检测]若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α和tan α的值．错因分析 由终边上一点求三角函数时，没有考虑参数的取值情况，没有分类讨论，而直接求出r ＝5a ，导致错误．解 设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a <0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.答题启示 对于利用三角函数定义解题的题目中，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论.在分类讨论时要注意统一分类标准，明确分类的对象，逐类讨论，最后归纳总结.跟踪训练已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ的值． 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r， ∴1010x ＝xx 2＋9. 又∵x ≠0，∴x ＝±1.又∵y ＝3＞0，∴θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3； 当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3. 板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．2．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．± 3 C.33D ．±33答案 B 解析 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32在单位圆上，∴x ＝±12. ∴tan α＝± 3.3．[2018·成都模拟]已知角α＝2k π－4π3(k ∈Z)，则|sin α|sin α＋tan α|tan α|的值是( )A ．0B ．2C ．－2D ．不存在答案 A解析 因为α＝2k π－4π3(k ∈Z)是第二象限角，所以sin α＞0，tan α＜0，所以|sin α|sin α＋tan α|tan α|＝1－1＝0.4．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43答案 D解析 ∵α是第二象限角，∴x ＜0.又由题意知xx 2＋42＝15x ，解得x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.5．[2018·衡中模拟]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2 B ．cosθ2C ．tanθ2D ．cos2θ答案 C解析 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2＞0.故选C. 6．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.7．[2018·汕头模拟]sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.∴选A.8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案 －8 解析 因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.9．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 设点A (－1,0)，点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动8π3弧长到达点Q ，则∠AOQ ＝8π3－2π＝2π3(O 为坐标原点)，所以∠xOQ ＝π3，cos π3＝12，sin π3＝32，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.10．[2018·三明模拟]若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________．答案 －4 3解析 由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a ＝－4 3. [B 级 知能提升]1．[2018·济南模拟]已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ＜0，又sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．2sin1 C.2sin1D ．sin2答案 C解析 ∵2R sin1＝2，∴R ＝1sin1，l ＝|α|R ＝2sin1.故选C. 3.[2018·厦门模拟]如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________.答案 －75解析 由题意得cos 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，cos 2α＝1625.又cos α<0，所以cos α＝－45，又sin α＝35，所以cos α－sin α＝－75. 4．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1＜cos θ＜0.∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43. 5．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.。

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①中－错误!是第三象限角，故①错．②中错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角,故②正确．③中－400°＝－360°－40°,从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵错误!〈2〈3<π<4〈错误!，∴sin2〉0，cos3〈0，tan4〉0。

∴sin2·cos3·tan4〈0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（)A．1 B．4 C．1或4 D．2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1.故选C.4．若错误!〈θ〈错误!，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ〉tanθB．cosθ〉tanθ〉sinθC．sinθ>tanθ〉cosθD．tanθ〉sinθ〉cosθ答案D解析∵错误!〈θ〈错误!，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝错误!sin错误!.∵错误!〈θ〈错误!，∴0<θ－错误!〈错误!，∴sin错误!>0，∴sinθ>cosθ.故选D.5．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C〈0，则△ABC的形状是（) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案B解析∵△ABC中每个角都在（0，π)内,∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C〉0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.6．（2018·永昌县期末）已知角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0）,则sinα＋cosα的值为（）A。

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案 －5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数分层演练直击高考文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数分层演练直击高考文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第1讲任意角、弧度制和任意角的三角函数1．若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．[解析] 由sin θ〈0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．［答案] 四2．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．［解析］设扇形半径为R，内切圆半径为r。

则(R－r）sin 60°＝r,即R＝（1＋错误!)r.又S扇＝12|α｜R2＝错误!×错误!×R2＝错误!R2＝错误!πr2，所以S扇πr2＝错误!。

[答案] (7＋4错误!）∶93．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－错误!，则sin α＝________．［解析］因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋错误!(k∈Z），又β＝－错误!，所以α＝2kπ＋错误!(k∈Z),即得sin α＝错误!。

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第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数【选题明细表】知识点、方法题号象限角、终边相同的角1，6，12弧度制、扇形弧长、面积公式3，5，9,15三角函数的定义4，8，11，13综合应用2,7,10，14基础巩固（时间：30分钟)1。

下列命题中正确的是( D ）（A）终边在x轴负半轴上的角是零角(B)第二象限角一定是钝角（C)第四象限角一定是负角（D）若β=α+k·360°（k∈Z），则α与β终边相同2.若cos θ<0,且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是（ B ）（A)第一象限（B)第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：由sin 2θ=2sin θcos θ<0，cos θ〈0，得sin θ〉0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限.故选B。

3.如果一扇形的弧长为π,半径等于2，则扇形所对圆心角为（ C )（A)π (B）2π（C） (D)解析:因为一扇形的弧长为π，半径等于2，所以扇形所对圆心角为α==.故选C.（2017·南充三模)若角α的终边经过点P0(-3，—4),则tan α等于( A ）4。

课时规范练16　任意角、弧度制及任意角的三角函数基础巩固组1.已知角α的终边与单位圆交于点,则tan α=( )(-45,35) A.-B.-4345C.-D.-35342.若sin α<0,且tan α>0,则α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是( )A. B. C.- D.-π3π6π3π64.若tan α>0,则( )A.sin α>0 B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>05.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为( )A. B.sin 0.51sin0.5C.2sin 0.5D.tan 0.56.已知α是第二象限角,P (x ,)为其终边上一点,且cos α=x ,则x=( )524A. B.±33C.- D.-237.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a 的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]8.已知角α的终边上一点P 的坐标为,则角α的最小正值为( )(sin 2π3,cos 2π3)A. B.5π62π3C. D.〚导学号24190885〛5π311π69.函数f (α)=的定义域为 . 2cos α-110.已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sin α+的值为 .3cos α11.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第 象限角.|sin α2|α2α212.已知扇形的周长为40,则当扇形的面积最大时,它的半径和圆心角分别为 .〚导学号24190886〛综合提升组13.已知角α=2k π-(k ∈Z ),若角θ与角α的终边相同,则y=的值为( )π5sin θ|sin θ|+cos θ|cos θ|+tan θ|tan θ|A.1 B.-1 C.3D.-314.(2017山东潍坊一模,文7)下列结论错误的是( )A.若0<α<,则sin α<tan απ2B.若α是第二象限角,则为第一象限或第三象限角α2C.若角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0),则sin α=45D.若扇形的周长为6,半径为2,则其圆心角的大小为1弧度〚导学号24190887〛15.函数y=的定义域是sinx +12-cosx .〚导学号24190888〛16.已知角θ的终边与480°角的终边关于x 轴对称,点P (x ,y )在角θ的终边上(不是原点),则的值等于 .xyx 2+y 2创新应用组17.已知点A 的坐标为(4,1),将OA 绕坐标原点O逆时针旋转至OB ,则点B 的纵坐标为( )3π3A.B.332532C. D.〚导学号24190889〛11213218.已知角θ的终边上有一点(a ,a ),a ∈R ,且a ≠0,则sin θ的值是 .〚导学号24190890〛答案：1.D 根据三角函数的定义,tan α==-,故选D .y x=35-45342.C ∵sin α<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y 轴的负半轴.又tan α>0,∴α在第一象限或第三象限.综上可知,α在第三象限.3.A 将表的分针拨慢应按逆时针方向旋转,故选项C,D 不正确.又拨慢10分钟,所以转过的角度应为圆周的,即为×2π=.212=1616π34.C (方法一)由tan α>0可得k π<α<k π+(k ∈Z ),π2故2k π<2α<2k π+π(k ∈Z ),故四个选项中只有sin 2α>0.(方法二)由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sinαcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C .5.A 连接圆心与弦的中点,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为,这个圆心角所对的弧长为.故选A.1sin0.51sin0.56.D 依题意得cos α=x<0,xx 2+5=24由此解得x=-,故选D .37.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y 轴的正半轴上,所以有解得-2<a ≤3.{3a -9≤0,a +2>0,8.D 由题意知点P 在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin ,故α=2k π-(k ∈Z ),2π3=32π6所以角α的最小正值为.11π69.(k ∈Z )　[2k π-π3,2k π+π3]∵2cos α-1≥0,∴cos α≥.12由三角函数线画出α满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).故α∈(k ∈Z ).[2k π-π3,2k π+π3]10.0　设角α终边上任一点为P (k ,-3k ),则r=|k|.k 2+(-3k)2=10当k>0时,r=k ,10∴sin α==-,-3k10k 310,1cos α=10k k=10∴10sin α+=-3+3=0;3cos α1010当k<0时,r=-k ,10∴sin α==-,-3k-10k=310,1cos α=-10kk10∴10sin α+=3-3=0.3cos α1010综上,10sin α+=0.3cos α11.四　由α是第三象限角,可知2k π+π<α<2k π+(k ∈Z ).3π2故k π+<k π+(k ∈Z ),即是第二或第四象限角.π2<α23π4α2又=-sin ,故sin <0.因此只能是第四象限角.|sin α2|α2α2α212.10,2　设扇形的半径为r ,圆心角为θ,则rθ+2r=40.∴扇形的面积S=θr 2=(40-2r )r=-1212r 2+20r=-(r-10)2+100≤100.∴当且仅当r=10时,S 有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.13.B 由α=2k π-(k ∈Z )及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.π5又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.14.C 若0<α<,则sin α<tan α=,故A 正确;π2sin αcos α若α是第二象限角,则(k ∈Z ),则为第一象限角或第三象限角,故α2∈(π4+k π,k π+π2)α2B 正确;若角α的终边过点P (3k ,4k )(k ≠0),则sin α=,不一定等于,故C 不正确;4k9k 2+16k2=4k 5|k|45若扇形的周长为6,半径为2,则弧长=6-2×2=2,其圆心角的大小为1弧度,故D 正确.15.(k ∈Z )　由题意知[π3+2k π,π+2k π]{sinx ≥0,12-cosx ≥0,即{sinx ≥0,cosx ≤12.由满足上述不等式组的三角函数线,得x 的取值范围为+2k π≤x ≤π+2k π,k ∈Z .{x|π3}16.　由题意知角θ的终边与240°角的终边相同,∵P (x ,y )在角θ的终边上,34∴tan θ=tan 240°=,于是.3=yx xyx 2+y2=y x1+(yx )2=31+3=3417.D 由点A 的坐标为(4,1),可知OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ,则OB 边仍在第一象限.3π3故可设直线OA 的倾斜角为α,B (m ,n )(m>0,n>0),则直线OB 的倾斜角为+α.π3因为A (4,1),3所以tan α=,tan ,143(π3+α)=n m ,n m=3+1431-3·143=1333即m 2=n 2,27169因为m 2+n 2=(4)2+12=49,3所以n 2+n 2=49,所以n=或n=-(舍去),所以点B的纵坐标为.2716913213213218.或-　由已知得r=|a|,则sin θ=2222a 2+a 2=2a r=a 2|a|={22,a >0,-22,a <0.所以sin θ的值是或-.2222。

3. 1任意角和弧度制及任意角的三角函数E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. 给出下列四个命题：①一乎是第二象限角；②^是第三彖限角；③一400。

是第四彖限角；④一315。

是第 一象限角•其屮正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案C解析 ①中一乎是第三象限角，故①错.②从而乎是第三象限角，故 ②正确.③中一400° = — 360° —40° ,从而③正确.④中一315° = — 360° +45° ,从而 ④正确.故选C.2. sin2 • cos3 ・ tan4 的值（ ）A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在答案A兀 3 Ji解析 ^2<3< 兀 <4<~/>sin2>0, cos3〈0, tan4>0. •\sin2 • cos3 • tan4<0,故选A.3.已知扇形的周长是6 cm,面积是2 cm 2,则扇形的圆心角的弧度数是（）A. 1B. 4C. 1 或 4D. 2 或 4答案CI 4 1 2从而 <7 =-=Y =4 或 ^=；=2 = 1-故选。

sin 〃>cos <^>tan B B ・ cos答案sinf ——j>0, /.sin 〃>cos 〃.故选 D.2r+ /=6,设此扇形的半径为”弧长是厶则乩=2,解得r=i. 1=4r=2, 1=2.解析 则下列不等式成立的是（）A. C. sin ^>tan 〃>cos 0 D. tan0>sin 〃>cos 0JI, /.tan 〃>1,JI, A0< 0jr n解析 sin "—cos 0 JI•亍4.5.在△血力中，若sin/P cos" tan^O,则△血农的形状是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定答案B解析 ・・•△/!%中每个角都在（0,开）内，・・・sin/>0.Vsi • cosB • tan6<0,:・cosB • tan6<0・若B 、C 同为锐角，则cos 〃・ tan6>0.:・B, C 中必定有一个钝角. :,'ABC 是钝角三角形.故选B.6. （2018 •永昌期末）己知角a 的终边经过点（3禺4a ）（日工0）,则sin a +cos a 的值为答案cy 4解析 T 角a 的终边经过点（3禺4&）（臼HO ）,当臼>0时，r=5<g, sin <2cos a =r o/ 3.丄 7sin a +cos a =-；sin 」—士 c …T ，six+cos —r □ r 5□7综上可得,sina +cosa = ±-故选C. 7. 已知sina>sin0,那么下列命题成立的是（）A. 若a, 〃是笫一象限的角，则cosa>cos 〃B. 若a, 0是第二象限的角，则tan <?>tan PC. 若Q, 〃是第三象限的角，则cosa>cos 〃D. 若a, 0是第四象限的角，则tan ^>tan答案D解析 由三角函数线可知，选D.7 A -5C. D. ±| 5 4当 a<0 时，r= I 5日I = —5日,8. 己知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. sin2 D. 2sinlo 终边上一点，由三角函数定义可知sin 0 = 点P （—寸5，/〃）是角解析 //b答案c解析 如图，乙A0B=2弧度，过。