东北三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2020年高三一模考试理科数学试题 (含评分细则)

2020年东北三省三校一模英语试题及答案东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020届高三第一次联合模拟考试英语试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试时间120分钟。

第 I 卷注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相对应位置上。

2．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在本试卷上，否则无效。

第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出选项，并标在试卷的相对应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答相关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.Why didn't the woman wake the man up?A. She thought he had wound the clock.B. She didn't know his exact departure time.C. She has no idea of his schedule.2. What does the man remind the woman to take? tA.A bathing suit.B.A camera.C.Sunglasses.3. What is the relationship between the two speakers?A. Roommates.B.Brother and sister.C.Customer and house agent.4.What does the man think of his job?A.Challenging.B.Encouraging.C.Boring.5. Where is the second bank the man recommends?A. Next to the supermarket.B.Opposite the railway station.C.Beside the railway station.笫二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）、选择题：本题共 12小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 .A.( , 1) (3,B.( , 1] [3,D.( , 1] [1,4.大约在 20 世纪 30 年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数 n ，如果它是偶数，则除以 2；如果它是奇数，则将它乘以 3 加 1，这样反复运算，最后结果必然 是1 ，这个题目在东方称为“角谷猜想” ，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各 种方法，甚至动用了最先进的电子计算机， 验算到对 700 亿以内的自然数上述结论均为正确 的，但却给不出一般性的证明，例如取 n 13，则要想算出结果 1，共需要经过的运算步数 是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知 a ln3,b log 3 e,c log e (注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是 （ ）A.b acB.c b aC.b c aD.a b c6.已知在边长为 3 的等边 ABC 的中，1BD DC ，则 AD AC =( )2A.6B.9C.12D. 61.已知集合 A x 22x，B11 则 C R (A B) ( ) x2.已知复数 za bi(a,b R)， z i1 是实数，那么复数 z 的实部与虚部满足的关系式为 A.a B.a b C.a 2b 0 D.a 2b 0 3.已知 是两个不同的平面，直线 m ，下列命题中正确的是（ A.若 ，则 m ∥ B.若 ，则 m C.若 m∥，则 ∥D.若 m ，则C.[3, )7.如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， ED 平面 ABCD ， FC 平面 ABCD ，y 轴对称，则2nb n 为数阵从左至右的 n 列，从上到下的 n 行共 n 2个数的和，则数列的前 2020 项和为bnED 2FC 2 ，则四面体 A BEF 的体积为( )1 A.32 B. 3C.14 D.38.已知函数 f (x)sin2x 3 cos2x 的图像向右平移 (02)个单位后，其图像关于A.12B.6C.35 D. 122x9.已知椭圆 2a2yb 21(a b 0) 的右焦点为 F(c,0) ，上顶点为A(0,b) ，直线2 ax 上 c存在一点 P 满足 (FP FA) AP 0 ，则椭圆的离心率取值范围为(1A.[12,1) 2 B.[ 22 ,1) 51 C.[ 52 1,1) D.(0, 2 ]10. 已 知 定 义 在 R 上的函 数 f (x) ， 满 足 f(1 x) f (1 x) ， 当[1, ) 时f(x)1 x 2,xx12f ( 2 ),x[1,3) [3, )，则函数 f(x) 的图像与函数 g(x)ln x,xln(2 x),x 1的图像在区间 [ 5,7] 上所有交点的横坐标之和为(A.5B.6C.7D.911.已知数 a n 列的通项公式为 a n 2n2 ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）4 小题，每小题5 分，共 20 分 .把答案填写在答题纸相应位置上13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增 大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术， 它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力 .假定现在市售的某款新能源汽车上， 车载动力蓄电池充放电循环次数达到 2000 次 的概率为 85%，充放电循环次数达到 2500 次的概率为 35%.若某用户的自用新能源汽车已经 经过了 2000 次充电，那么他的车能够充电 2500 次的概率为 .14.已知函数 f （x ） e x ae x 在［ 0,1］上不单调，则实数 a 的取值范围为.2*15.数列 a n 满足 a 1 1，a n （2S n 1） 2S n 2（n 2,n N *），则 a n =.16.已知函数 f （x ） （x 2 a ）2 3x 2 1 b ，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）一）必考题：共 60 分 .17. （本小题满分 12 分）在 ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcosC 2a c （Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若 a 2， D 为AC 的中点，且 BD 3，求 c .18. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 A 1B 1C 1 ABC 中， BB 1 平面 ABC ， AB BC ， AB 2，BC 1，1011 A.20202019 B.20202020 C.2021 1010 D.202112.已知双曲线2y1 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F 1、F2 ， 点3 1 2P 在双曲线上，且 F 1PF 2 120 ，F 1PF 2 的平分线交 x 轴于点 A ，则 PA （ ）A. 55B.2 5 5C.3 55D. 5二、填空题：本题共 1①a2⑤ 4 个极小值35② a ③ a 1, 2 b 0 22⑥1 个极小值点⑦6 个零点④ a 1, 9 b4⑧4 个零点三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤2或 b 01 （Ⅱ）F 是线段CC1上一点，且直线AF 与平面ABB1A1所成角的正弦值为3，求二3 面角F BA1 A 的余弦值.19. （本小题满分12 分）为了研究55 岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100 万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5 万，出现B症状人数为9.3 万，出现C 症状人数为 6.5万，其中含AB症状同时出现 1.8 万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5 万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5 万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73 万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55 岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？n(ad bc)2参考公式：K2(a b)(c d)(a c)(b d)20. (本小题满分12 分)1 2 2 1已知以动点P为圆心的⊙ P与直线l: x 相切，与定圆⊙ F：(x 1)2 y2相24 外切.(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程C ；(Ⅱ)过曲线C上位于x轴两侧的点M、N (MN 不与x轴垂直)分别作直线l 的垂线，垂足记为M 1、N1 ，直线l 交x轴于点A，记AMM 1、AMN、ANN 1的面积分别为S1、S2、S3 ，且S22 4S1S3 ，证明：直线MN过定点.21. (本小题满分12 分)12已知函数f(x) (x 1) ln( x 1)- ax2 x(a R) .2(Ⅰ)设f (x)为函数f(x) 的导函数，求函数f ( x)的单调区间；(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上有最大值，求实数a 的取值范围.二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任取一题作答 .如果多做，则按所做的第 题计分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分 10 分.22. [选修 4-4：坐标系与参数方程 ]Ⅰ）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程；Ⅱ）设 M 、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求 MN 的最小值 .23. [选修 4-5：不等式选将 ]设函数 f （x ） x 2 x 3（Ⅰ）求不等式 f （x ） 9的解集；（Ⅱ）过关于 x 的不等式 f （x ） 3m 2 有解，求实数 m 的取值范围一模答案、填空题1, n 113. 14. 15. a n2 16. ①⑥、② ,n 22n 1 2n 3⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得 2sin BcosC 2sin A sinC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯在直角坐标系 xOy 中，参数方程x cos （其中 y sin为参数）的曲线经过伸缩变换2x得到曲线 C ，以原点 O 为极点， yx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 sin （3 10 2又由sin A sin(B C) sin BcosC cosB sin C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.4⋯分⋯得2cos B sin C sinC 0 ，因为0 C ，所以sinC0，所以cosB1．因为0 B ，所以2．2B．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6⋯分⋯3uuur uuur uuur（Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以BA BC2BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8⋯分⋯uuu r uuur 2 uuur 2所以BC)2 (2BD)2，即a2 2 c ac12，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分因为a 2，解方程c22c 8 0，得c 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分18. 解析：(I )连结AB1交A1B于O，连结EO , OC11Q OA OB, AE EB, OE BB1, OE //BB1, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯21又DC1BB1，DC1// BB1,2OE/ /DC 1 ，因此，四边形DEOC 1为平行四边形，即ED / /OC1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.2⋯分⋯Q OC1 面C1AB, ED 面C1AB, DE // 平面C1BA1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5⋯分⋯z(II )建立空间直角坐标系B xyz ，如图过F 作FH BB1 ，连结AHQ BB1 面ABC,AB 面ABC, AB BB1Q AB BC,BC I BB1, AB 面CBB1C1Q AB 面BAA1 B1 , 面BAA1B1 面CBB1C1,Q FH 面CBB1C1, FH BB1, 面BAA1B1 I 面CBB1C1 BB1, FH 面BAA1B1，即FAH 为直线AF 与平面ABB1 A1 所成角，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.7⋯分⋯11记为，sin , AF 3,AF 3在Rt ACF 中，5 AC 2 CF 2 AF 2 CF 2 9, CF 2,uuur uuurF(0,2,1), A1(2,3,0), BF (0,2,1), BA1 (2,3,0),20．解析：ur 设平面 BAC 1的法向量 m （x, y,z ），ur m ur m uuur BF 2y uuur BA 1 2x3y 0 ur ，取 y 2,m ( 3,2, 4) 0 平面 BAA 1 的法向量 n (0,0,1) ，⋯⋯ur r |cos m,n |4 ⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分 29 1因此，二面角 F BA 1 A 的余弦值 429 .⋯29 19. 解析：设 A ｛出现 A 症状的人｝ 、 B 示有限集合元素个数） 根据数 .1⋯0 ⋯分.1⋯2分⋯出现 B 症状的人｝、 C ｛出现 C 症状的人｝（ card 表 1 可 知card AI B 1.8,card AI C 1,card BI C 2,card AI BI C 0.5，所以 card AUBUC card A card B card card AI B card AI C card B I C card=8.5+9.3+6.5 1.8 1 0.5 20 1.3 6.2 0.5 40.51.5失眠人数（万）不失眠人数（万）患病人数（万） 5 7 12 不患病人数（万）15 73 882080100得患病总人数为 20 万人，比例大约为 20%.⋯⋯.4⋯分⋯ ⋯分⋯.9⋯分22100 5 73 15 7k 24.001 3.841.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分12 88 80 20有 95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在 “强关联 ” . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分Ⅰ）设P x,y ，e P 半径为 R ，则R x 1, PF 21R 1 ，所以点 P 到直线 x2 1的 距离与到 F 1,0 的距离相等，故点 P 的轨迹方程 C 为 y 2 4x . .4⋯分⋯Ⅱ）设 M x 1, y 1 N x 2, y 2 ，则 M 1 2,y 11 N 12,y2 设直线 MN : x ty n t 22 0 代入 y 2 4x 中得 y 2 4ty 4n 0 y 1 y 2 4t, y 1y 2 4n 0. .6⋯分⋯Q S 1 2 x 1y 1 、 S 3 x 2 4S 1S 31 ty 1 n2ty 2n 1 2y 1y 221t y 1y 2 n2t y 1y2n22211 4nt 24t2nn22x12x 1 2 y 1y 24n214n222t 2 n 1 4n2 又 S 2 11 n y 1 y2 1 1 n y122 2 2 22 2 1 1 2 1 S 22 n 16t 2 16n 4 n 24 2 2 2 S 22 4S 1S 3 8nt 2 4 n 1 t 2 2n2y 24y 1y 22t 2 n . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯0 ⋯分21 1⋯⋯nn⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分22 .⋯⋯.8⋯分⋯直线 MN 恒过 1,0 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分 221．解析： （Ⅰ） f x ln x 1 ax2 x ．令 h xln x 1 ax ，1 fxhxa ； .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯分⋯x 11o当 a0时 ，h x 0 ，f 'x在 1, 上 递 增 ，无减 区间hx 0.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3⋯分⋯2o当a0时，令 hx011 x 1，a令 h x0x11a所以， f 'x 在 1,11 上单调递增， 在 11, 上单调递减； .⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯.5⋯aa分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当 a 0 时，f ' x在 0, 上递增， f ' xf ' 0 0在 0,上递增，无最大值， 不合题意；x所以，当x0时，h x 2 x 1 ax 2 x 1 a x 1 x 12ax1．取t4211，则t 1 ，且h t t 1 2 a t 10．a a又因为h11h0 0，所以由零点存在性定理，存在x01 1,t ，使得a ah x00；⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯1 ⋯分当x0, x0时，h x0 ，即f x 0；当x x0 ,时，h x0 ，即f x0；所以， f x 在0, x0上单调递增，在x0 ,上单调递减，在0,上有最大值f x0 ．综上，0a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.1⋯2 ⋯分在第22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2．B．铅．笔．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题1.在超导托卡马克实验装置中，质量为1m 的21H 与质量为2m 的31H 发生核聚变反应，放出质量为3m 的10n ，并生成质量为4m 的新核。

若已知真空中的光速为c ，则下列说法正确的是（ ） A. 新核的中子数为2，且该新核是32He 的同位素 B. 该过程属于α衰变C. 该反应释放的核能为()23412m m m m c +--D. 核反应前后系统动量不守恒2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P 的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是（ ）A. 卫星的运动属于匀变速曲线运动B. 张角θ越小的卫星，其角速度ω越大C. 根据已知量可以求地球质量D. 根据已知量可求地球的平均密度3.如图，倾角为α=45°的斜面ABC 固定在水平面上，质量为m 的小球从顶点A 先后以初速度v 0和2v o 向左水平抛出，分别落在斜面上的P 1、P 2点，经历的时间分别为t 1、t 2；A 点与P 1、P l 与P 2之间的距离分别为l 1和l 2，不计空气阻力影响。

下列说法正确的是（ ）A. t 1：t 2=1：1B. l l ：l 2=1：2C. 两球刚落到斜面上时的速度比为1：4D. 两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1：1 4.在两个边长为L的正方形区域内（包括四周的边界）有大小相等、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

一个质量为m ，带电量为q +的粒子从F 点沿着FE 的方向射入磁场，恰好从C 点射出。

则该粒子速度大小为（ ）A.2BqLmB.BqLmC.54BqLmD.52BqLm5.、、AB C 三点构成等边三角形，边长为2cm ，匀强电场方向与ABC 构成的平面夹角30°，电势4V A B ϕϕ==，1V C ϕ=，下列说法正确的是（ ）A. 场强大小为150V /mB. 场强大小200V /mC. 将一个正电荷从A 点沿直线移到C 点，它的电势能一直增大D. 将一个正电荷从A 点沿直线移到B 点，它的电势能先增大后减小6.如图所示为形状相同的两个劈形物体，它们之间的接触面光滑，两物体与地面的接触面均粗糙，现对A 施加水平向右的力F，两物体均保持静止，则物体B的受力个数可能是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7.如图甲所示，一木块沿固定斜面由静止开始下滑，下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线如图乙所示，则下列说法正确的是（）A. 在位移从0增大到x的过程中，木块的重力势能减少了EB. 在位移从0增大到x的过程中，木块的重力势能减少了2EC. 图线a斜率的绝对值表示木块所受的合力大小D. 图线b斜率的绝对值表示木块所受的合力大小8.平行金属板PQ、MN与电源和滑线变阻器如图所示连接，电源的电动势为E，内电阻为零；靠近金属板P 的S处有一粒子源能够连续不断地产生质量为m，电荷量+q，初速度为零的粒子，粒子在加速电场PQ的作用下穿过Q板的小孔F，紧贴N板水平进入偏转电场MN；改变滑片p的位置可改变加速电场的电压U l和偏转电场的电压U2，且所有粒子都能够从偏转电场飞出，下列说法正确的是（）A. 粒子的竖直偏转距离与U2成正比B. 滑片p向右滑动的过程中从偏转电场飞出的粒子的偏转角逐渐减小C. 2Eq mD.飞出偏转电场的粒子的最大速率Eqm二、非选择题9.一位同学为验证机械能守恒定律，利用光电门等装置设计了如下实验。

2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=3．（5分）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m βB ．若αβ⊥，则m β⊥C ．若//m β，则//αβ D ．若m β⊥，则αβ⊥4．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是( ) A ．9B ．10C ．11D ．125．（5分）已知3a ln =，3log b e =，log c e π=（注:e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( ) A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<6．（5分）已知在边长为3的等边ABC ∆的中，12BD DC =u u u r u u u r ，则(AD AC =u u u r u u u r g )A ．6B ．9C ．12D ．6-7．（5分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，22ED FC ==，则四面体A BEF -的体积为( )A．13B．23C．1D．438．（5分）已知函数()sin23cos2f x x x=+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，其图象关于y轴对称，则(ϕ=)A．12πB．6πC．3πD．512π9．（5分）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为(,0)F c，上顶点为(0,)A b，直线2axc=上存在一点P满足()0FP FA AP+=u u u r u u u r u u u rg，则椭圆的离心率取值范围为() A．1[,1)2B．2[,1)C．51[,1)-D．2(0,] 10．（5分）已知定义在R上的函数()f x，满足(1)(1)f x f x+=-，当[1x∈，)+∞时，1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-，7]上所有交点的横坐标之和为()A．5B．6C．7D．911．（5分）已知数列{}na的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A．10112020B．20192020C．20202021D．1010202112．（5分）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且12120F PF ∠=︒，12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，则||(PA = )A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．（5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 ． 14．（5分）已知函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上不单调，则实数a 的取值范围为 ．15．（5分）数列{}n a 满足11a =，2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…，则n a = ． 16．（5分）已知函数222()()3|1|f x x a xb =----，当 时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有 ．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a -„②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2a =，D 为AC 的中点，且BD =c ．18．（12分）如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）证明：//DE 平面11C BA ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为13，求二面角1F BA A --的余弦值．19．（12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠 不失眠 合计 患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病合计参考数据如表：20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 20()P K k …0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．（12分）已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切，与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点． 21．（12分）已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈．（Ⅰ）设()f x '为函数()f x 的导函数，求函数()f x '的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(0,)∞上有最大值，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x xy yϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值． [选修4-5：不等式选讲] 23．设函数()|2||3|f x x x =++- （Ⅰ）求不等式()9f x >的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解，求实数m 的取值范围．2020年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--<，1|1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞【解答】解：集合2{|230}(1,3)A x x x =--<=-， 1|1(0,1)B x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，A B B =U ，则()(R A B =-∞U ð，1][3-U ，)+∞ 故选：B ．2．（5分）已知复数(,)z a bi a b R =+∈，1zi +是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为( ) A ．0a b +=B ．0a b -=C ．20a b -=D ．20a b +=【解答】解：由(,)z a bi a b R =+∈， 得()(1)11(1)(1)22z a bi a bi i a b b a i i i i i ++-+-===++++-， 由题意，0b a -=． 故选：B ．3．（5分）已知α，β是两个不同的平面，直线m α⊂，下列命题中正确的是( ) A ．若αβ⊥，则//m βB ．若αβ⊥，则m β⊥C ．若//m β，则//αβ D ．若m β⊥，则αβ⊥【解答】解：对于选项A ：若αβ⊥，则//m β也可能m β⊥，故错误． 对于选项B ：若αβ⊥，则m β⊥也可能//m β，故错误． 对于选项C ：若//m β，则//αβ也可能α与β相交，故错误．对于选项D ，直线m α⊂，m β⊥，则αβ⊥是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．4．（5分）大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13n =，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：由题意任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：13n =为奇数，则133140n =⨯+=， 第二步，40n =为偶数，则40202n ==， 第三步，20n =为偶数，则20102n ==， 第四步，10n =为偶数，则1052n ==， 第五步，5n =为奇数，则53116n =⨯+=， 第六步，16n =为偶数，则1682n ==， 第七步，8n =为偶数，则842n ==， 第八步，4n =为偶数，则422n ==， 第九步，2n =为偶数，则212n ==． ∴取13n =，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A ．5．（5分）已知3a ln =，3log b e =，log c e π=（注:e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是( ) A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：331log log a ln b e c e π=>>=>=， a b c ∴>>，故选：B．6．（5分）已知在边长为3的等边ABC∆的中，12 BD DC=u u u r u u u r，则(AD AC=u u u r u u u rg) A．6B．9C．12D．6-【解答】解：Q22222()()333cos1206333AD AC AC CD AC AC CB AC AC AC CB=+=+=+=+⨯⨯⨯︒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g；故选：A．7．（5分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，22ED FC==，则四面体A BEF-的体积为()A．13B．23C．1D．43【解答】解：Q四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，22ED FC==，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，(2A，0，0)，(2B，2，0)，(0E，0，2)，(0F，2，1)，(0BA=u u u r，2-，0)，(2BF=-u u u r，0，1)，(2BE=-u u u r，2-，2)，BA BF=u u u r u u u rg，11||||25522ABFS BA BF∆∴=⨯⨯=⨯=u u u r u u u r，设平面ABF的法向量(n x=r，y，)z，则2020n BA yn BF x z⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，取1x=，得(1n=r，0，2)，E∴到平面ABF的距离||||5n BEdn==u u u rrgr∴四面体A BEF -的体积为：11253335A BEF E ABF ABF V V S d --∆==⨯⨯=⨯⨯=．故选：B ．8．（5分）已知函数()sin 232f x x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，其图象关于y 轴对称，则(ϕ= ) A ．12πB ．6π C ．3π D ．512π 【解答】解：把函数()sin 23cos22sin(2)3f x x x x π==+的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后，可得2sin(22)3y x πϕ=-+的图象，根据所得图象关于y 轴对称，可得232k ππϕπ-+=+，k Z ∈．即212k ππϕ=--，再令1k =-，可得512πϕ=， 故选：D ．9．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c =上存在一点P 满足()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u rg ，则椭圆的离心率取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 【解答】解：设2(a P c ，)y ，由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ，则2(a FP FA c c +=-u u u r u u u r ，)(y c +-，2)(2a b c c=-，)y b +，2(a AP c=u u u r ，)y b -，所以由()0FP FA AP +=u u u r u u u r u u u r g ，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=g ，可得：4222 22aa b yc--=-„，整理可得：4222222()0a a c a c c---„，即42310e e-+„，解得：23535e-+剟，即5151e-+剟，由于椭圆的离心率小于1，所以511e-<„，故选：C．10．（5分）已知定义在R上的函数()f x，满足(1)(1)f x f x+=-，当[1x∈，)+∞时，1|2|,[1,3)()12(),[3,)2x xf x xf x--∈⎧⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()f x的图象与函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象在区间[5-，7]上所有交点的横坐标之和为()A．5B．6C．7D．9【解答】解：根据题意，函数()f x满足(1)(1)f x f x+=-，则()f x的图象关于直线1x=对称，而函数,1()(2),1lnx xg xln x x⎧=⎨-<⎩…的图象也关于直线1x=对称，作出函数()f x和()g x图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和3217=⨯+=，故选：C．11．（5分）已知数列{}na的通项公式为22na n=+，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记nb为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共2n个数的和，则数列nnb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为()A ．10112020B ．20192020C ．20202021D ．10102021【解答】解：由题意，设数列{}n a 的前n 项和为n S ． Q 数列{}n a 的通项公式为22n a n =+，∴数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列． ∴第1行的所有项的和即为：212(1)4232n n n n a a a S n n n -++⋯+==+=+g ． 则第2行的所有项的和为：23112()()()n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+；第3行的所有项的和为：34212(2)(2)(2)2n n n a a a a d a d a d S nd +++⋯+=++++⋯++=+；g g g第n 行的所有项的和为：12112[(1)][(1)][(1)](1)n n n n n a a a a n d a n d a n d S n nd +-++⋯+=+-+++-+⋯++-=+-； 12231342121()()()()n n n n n n n b a a a a a a a a a a a a +++-∴=++⋯++++⋯++++⋯++⋯+++⋯+ ()(2)[(1)]n n n n S S nd S nd S n nd =+++++⋯++- [12(1)]n nS n nd =+++⋯+-g2(1)(3)22n nn n n n -=++g g 22(1)n n =+．21111()2(1)2(1)21n n n b n n n n n n ===-+++． ∴数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为122020122020b b b ++⋯+11111111(1)()()22223220202021=-+-+⋯+- 111111(1)222320202021=-+-+⋯+- 11(1)22021=- 10102021=． 故选：D ．12．（5分）已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且12120F PF ∠=︒，12F PF ∠的平分线交x 轴于点A ，则||(PA = )ABCD【解答】解：由题意可得21a =，23b =，在三角形12PF F 中，设P 在右支上，由余弦定理可得22221212121212122cos120()2F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF =+-︒=-++g gg ， 即2212443c a PF PF =+，所以可得222124()4434333c a b PF PF -⨯====，1222PF PF a -==，可得11PF =，21PF =，所以121211sin120422PF F S PF PF =︒=⨯=V g g 因为PA 为角平分线，所以1260F PA F PA ∠=∠=︒，而1212121211(sin 60sin 60)()11)22PF F PF A PF A S S S PF PA PF PA PA PF PF =+=︒+︒=+V V V g g g g ，PA，所以PA =， 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．（5分）近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 717． 【解答】解：设事件A ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次， 事件B ：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次， 则P （A ）85100=，35()100P AB =， 所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为35()357100(|)85()8517100P AB P A B P B ====， 故答案为：717． 14．（5分）已知函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上不单调，则实数a 的取值范围为 2(1,)e ． 【解答】解：由题意可得，()0x xaf x e e '=-=在[0，1]上有变号零点， 故2x a e =在[0，1]上有变号零点，因为2x y e =在[0，1]上单调，2[1x e ∈，2]e ， 故21a e <<， 故答案为：2(1,)e15．（5分）数列{}n a 满足11a =，2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈…，则n a = 21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩… ． 【解答】解：2*(21)2(2,)n n na S S n n N -=∈Q …， 21()(21)2n n n n S S S S -∴--=，整理得：*112(2,)n n n n S S S S n n N ---=-∈g …， ∴*1112(2,)n n n n N S S --=∈… ∴数列1{}nS 是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴11(1)221nn n S =+-⨯=-， 121n S n ∴=-，∴当2n …时，121122123483n n n a S S n n n n --=-=-=---+， 21,12,2483n n a n n n =⎧⎪∴=-⎨⎪-+⎩…． 故答案为：21,12,2483n n n n =⎧⎪-⎨⎪-+⎩…． 16．（5分）已知函数222()()3|1|f x x a x b =----，当 ③1a =，20b -<< 时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有 ．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①12a -„②3522a <<③1a =，20b -<<④1a =，924b -<<-或0b =⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点【解答】解：可选③1a =，20b -<<，由222()(1)3|1|f x x x b =----， 令()0f x =，可得222(1)3|1|b x x =---，即222|1|3|1|b x x =---， 可令2|1|t x =-，可得23b t t =-，可设2()3g t t t =-，分别画出()y g t =和2|1|t x =-的图象， 由2230t t -<-<，即2232030t t t t ⎧-+>⎨-<⎩．可得01t <<或23t <<，当01t <<时，2|1|t x =-有4个零点；23t <<时，2|1|t x =-有2个零点， 则函数()f x 共有6个零点．故答案为：③1a =，20b -<<，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2b C a c =+． （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2a =，D 为AC 的中点，且3BD =，求c ． 【解答】解：()I 由已知以及正弦定理，可得：2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin 2cos sin sin B C A C B C C BcoC B C C =+=++=++， 所以：2cos sin sin 0B C C +=， 由于：0C π<<，sin 0C ≠， 1cos 2B =-，因为(0,)B π∈， 解得：23B π=； （Ⅱ）如图所示：，D Q 为AC 的中点，∴2BA BC BD +=u u u ru u u ru u u r，两边平方得：22()4||BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ， ∴222||2||4||BA BA BC BC BD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ，∴224cos4433c c π+⨯+=⨯， 整理得：2280c c --=， 解得：4c =．18．（12分）如图，三棱柱111A B C ABC -中，1BB ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，1BC =，13BB =，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点．（Ⅰ）证明：//DE 平面11C BA ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11ABB A所成角的正弦值为13，求二面角1F BA A --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）取?AA 的中点G ，连接DG ，EG ， 则//??DG A C ，E ，G 为中点，所以//?EG BA ，DG ⊂/平面??BA C ，??A C ⊂平面??BA C ，故//DG 平面??BA C ，同理//EG 平面??BA C ， 又DG EG G =I ，故平面//DEG 平面??BA C ，DE ⊂平面EDG ， 所以//??DE BA C ；()II 以B 为原点，BA ，?BB ，BC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ?(0B ，3，0)，?(2A ，3，0)，(0C ，0，1)，?(0C ，3，1)， 设(0F ，a ，1)，(2A ，0，0)，(2,,1)AF a =-u u u r， 平面11ABB A 所的法向量为(0,0,1)BC =u u u r，由21cos ,35AF BC a <>==+u u u r u u u r，2a =， 故(0F ，2，1)，(0BF =u u u r ，2，1)，1(2BA =u u u r，3，0)，设平面?FBA 的法向量为(,,)m x y z =r， 由120230m BF y z m BA x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，得(3,2,4)m =-r ，由429cos ,29m BC <>==u u ur r ， 由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为429-．19．（12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠 不失眠 合计 患心脑血管疾病 不患心脑血管疾病合计参考数据如表：20()P K k …0.50 0.40 0.25 0.15 0.10参考公式：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解答】解：（Ⅰ）设{A =出现A 症状的人}，{B =出现B 症状的人}，{C =出现C 症状的人}，card 表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知() 1.8card A B =I 万，()1card A C =I 万，()2card B C =I 万，()0.5card A B C =I I 万，所以()[()()()]()8.59.3 6.5(1.812)0.520card A B C cardA cardB cardC card A B card A C card B C card A B C =++-+++=++-+++=U U I I I I I 万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%； （Ⅱ）根据题意，22⨯列联表如下：所以2100(573157) 4.001 3.84112888020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．（12分）已知以动点P 为圆心的P e 与直线1:2l x =-相切，与定圆221:(1)4F x y -+=e 相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点M 、(N MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为1M 、1N ，直线l 交x 轴于点A ，记1AMM ∆、AMN ∆、1ANN ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，且22134S S S =，证明：直线MN 过定点． 【解答】解：（Ⅰ）定圆221:(1)4F x y -+=e ，圆心(1,0)F ，半径为12，设点(,)P x y ，由动圆P 既与直线1:2l x =-相切，又与定圆F 相外切，知12x >-，∴1122x =++， 化简得：24y x =，∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：24y x =；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为：(0)y kx m k =+≠， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，不妨设点M 在x 轴上方，点N 在x 轴下方， 联立方程24y kx my x=+⎧⎨=⎩，消去y 得，222(24)0k x km x m +-+=，∴12242kmx x k -+=，2122m x x k =，22121212124()()()my y kx m kx m k x x km x x m k∴=++=+++=， 11111()22S y x =⨯⨯+Q ，32211()()22S y x =⨯-⨯+，131212114()()()22S S y y x x ∴=-++1212411[()]24m x x x x k =-⨯+++ 22244844m m km k k k +-+=-⨯322316321644m m km mk k --+-=， Q 直线MN 的方程为：y kx m =+，设直线MN 与x 轴的交点为点B ，令0y =得，m x k =-，(mB k∴-，0)， 21211()()22m S y y k ∴=⨯-+⨯-，∴22221211()()42m S y y k =-+- 222211222144(2)44k m mk y y y y k+-=⨯⨯-+ 2221122144[4()2]44k m mk x x y y k +-=⨯⨯+- 2222144161644k m mk km k k +--=⨯⨯ 232322444161616164k k m m km mk k m k -+--+=，22134S S S =Q ，232322322344161616161632164k k m m km mk k m km km k m k m ∴-+--+=--+-， 22416160k m mk ∴++=，即22440k m km ++=，2(2)0k m ∴+=， 2k m ∴=-，∴直线MN 的方程为：122()2y mx m m x =-+=--， ∴直线MN 过定点1(2，0)．21．（12分）已知函数21()(1)(1)()2f x x ln x ax x a R =++--∈．（Ⅰ）设()f x '为函数()f x 的导函数，求函数()f x '的单调区间； （Ⅱ）若函数()f x 在(0,)∞上有最大值，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）()(1)()f x ln x ax g x '=+-=，((1,))x ∈-+∞． 1()1g x a x '=-+， 0a …时，()0g x '>，函数()f x '在(0,)+∞上单调递增．0a >时，1()()1aa x a g x x ---'=+， ()f x '∴在1(1,1)a --上单调递增；在1(1,)a-+∞上单调递减；（Ⅱ）函数()f x 在(0,)+∞上有最大值，可得()f x 在(0,)+∞上不单调，有极大值点． 由()I 可得：0a >，(0)0f '=． 令(1)0ln x ax +-=， 化为：(1)()ln x a h x x+==， 2(1)(1)()(1)x x ln x h x x x -++'=+．令()(1)(1)u x x x ln x =-++，(0,)x ∈+∞．(0)0u =． ()1(1)1(1)0u x ln x ln x '=-+-=-+<． ()(0)0u x u ∴<=． ()0h x ∴'<，函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减．0x +→时，11()11x h x +→=．x →+∞时，()0h x →． 01a ∴<<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为sin()4πρθ+= （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求||MN 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换2:x x y y ϕ'=⎧⎨'=⎩得到曲线22:14x C y +=； 曲线D的极坐标方程为sin()4πρθ+0x y +-=； （Ⅱ）设点(2cos ,sin )P θθ到直线0x y +-=的距离d ==， 当sin()1θα+=时，min d =．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()|2||3|f x x x =++-（Ⅰ）求不等式()9f x >的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式()|32|f x m -…有解，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）21,3()|2||3|5,2321,2x x f x x x x x x ->⎧⎪=++-=-⎨⎪-+<-⎩剟．()9f x >Q ，∴2193x x ->⎧⎨>⎩或2192x x -+>⎧⎨<-⎩， 5x ∴>或4x <-， ∴不等式的解集为{|5x x >或4}x <- （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()5min f x =． Q 不等式()|32|f x m -„有解， |32|()5min m f x ∴-=…， 325m ∴-…或325m --„， ∴713m m -或剠， m ∴的取值范围为7(,1][,)3-∞-+∞U。

哈尔滨帅大附中东北帅大附中2020 年高三第一次联合模拟考试辽宁省实验中学文科综合能力测试地理部分注意事项：★祝考试顺利★1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区城内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B铅笔涂黑答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上父。

一、选择题：本题共11小题，每小题4分，共44分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

英国、爱尔兰等欧洲国家近期表示，将考虑对抛弃式咖啡杯征收最高0.25欧元的“拿铁税”。

据此完成1~2题。

1.征收“拿铁税”的主要目的是C.人们喝咖啡的习惯逐渐改变D. 失业人口增多A.增加税收，货币回笼B. C.改变观念，保护环境D. 2. 此举措的长远影响可能是尔滨A.抛弃式用品产业规模缩小 B.抑制消费，缓解供求矛盾 刺激自携环保杯产业的发展 咖啡及相关产业没落2019年12月16日.某地大雪初晴，气温下降，图1为当地居民拍摄的日出景观，当日昼长为6小时。

据此完成3~4题。

3.导致该地出现此次大雪的天气系统是A.冷气团B. 冷锋C. 气旋D. 反气旋4.此时，该地的风向是A.西南风B. 东南风C. 东北风D. 西北风世界范围内，在一些城市不断发展的同时，也有一部分城市面临城市收缩问题。

影响我国城市收缩的常见要素有：资源状况、产业活动，地理位置等，据此完成5~7题。

5.导致上海附近城市发生收缩现象的主要原因最可能是A.自然资源短缺B. 承接产业转移C.地理位置偏远D. 产业结构不当6.城市收缩易导致的结果是①人口减少②环境退化③空间收缩④交通拥堵⑤经济衰退B. ①③⑤C.7.对城市收缩可起到较好抵御作用的是A.高校、大型交通枢纽B. 商场、汽车修配厂C.大型影院、批发市场D. 三甲医院、小学校碧根果是原产丁美国南部和墨西母北部的一种山核桃。

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试英语试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项:1.答第I卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在本试卷上，否则无效。

第Ⅰ卷选择题(满分100分)第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5小题;每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.【此处可播放相关音频，请去附件查看】What is the man's suggestion? A. Never missing any classes.B. Learning to drive from him. C. Registering for the class quickly. 2.【此处可播放相关音频，请去附件查看】Where is the man going probably? A. To a supermarket. B. To a bookstore. C. To a restaurant. 3.【此处可播放相关音频，请去附件查看】Who knows the rules of American football well? A. David. B. Mary. C. Frank. 4.【此处可播放相关音频，请去附件查看】When did the man send the application? A. Today. B. Yesterday. C. A week ago. 5.【此处可播放相关音频，请去附件查看】How does the girl feel about graduation?A. Worried.B. Excited.C. Afraid.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题1.在超导托卡马克实验装置中，质量为1m 的21H 与质量为2m 的31H 发生核聚变反应，放出质量为3m 的10n ，并生成质量为4m 的新核。

若已知真空中的光速为c ，则下列说法正确的是（ ）A.新核的中子数为2，且该新核是32He 的同位素 B.该过程属于α衰变C.该反应释放的核能为()23412m m m m c +--D.核反应前后系统动量不守恒 答案：A解：A ．由质量数守恒和电荷数守恒可知新核的质量数和电荷数分别为4和2，新核是24He ，是32He 的同位素，中子数为2，故A 正确；B ．该过程是核聚变反应，不属于α衰变，故B 错误；C ．该反应释放的核能为()221234E mc m m m m c ∆=∆=+--故C 错误；D ．核反应前后系统动量守恒，故D 错误。

故选A 。

2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P 的角速度为ω，对地球的张角为θ弧度，万有引力常量为G 。

则下列说法正确的是（ ）A.卫星的运动属于匀变速曲线运动B.张角θ越小的卫星，其角速度ω越大C.根据已知量可以求地球质量D.根据已知量可求地球的平均密度 答案：D解：A ．卫星的加速度方向一直改变，故加速度一直改变，不属于匀变速曲线运动，故A 错误； B ．设地球的半径为R ，卫星做匀速圆周运动的半径为r ，由几何知识得sin2Rrθ=可知张角越小，r 越大，根据22Mm Gm r rω= 得ω=可知r 越大，角速度ω越小，故B 错误； C ．根据万有引力提供向心力，则有22MmGm r rω= 解得地球质量为23r M Gω=因为r 未知，所以由上面的式子可知无法求地球质量，故C 错误； D ．地球的平均密度343M R ρπ=则2334sin 2G ωρθπ=知可以求出地球的平均密度，故D 正确。

故选D 。

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学2020年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试一、选择题3 i 1.在超导托卡马克实验装置中，质量为m i的2H与质量为m2的i H发生核聚变反应，放出质量为m3的°n，并生成质量为m4的新核。

若已知真空中的光速为c，则下列说法正确的是（）A.新核的中子数为2,且该新核是2 He的同位素B.该过程属于衰变2C.该反应释放的核能为m3 m4 m i m2 cD.核反应前后系统动量不守恒2.如图所示，绕地球做匀速圆周运动的卫星P的角速度为，对地球的张角为弧度，万有引力常量为G。

则下列说法正确的是（）A.卫星的运动属于匀变速曲线运动B.张角越小的卫星，其角速度越大C.根据已知量可以求地球质量D.根据已知量可求地球的平均密度3.如图，倾角为0=45 °的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v o和2v o向左水平抛出，分别落在斜面上的P i、P2点，经历的时间分别为t i、t2；A点与P i、P l与P2之间的距离分别为11和12,不计空气阻力影响。

下列说法正确的是（）B.I l: 12=1 : 2C.两球刚落到斜面上时的速度比为 1 : 4D.两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1: 14.在两个边长为L 正方形区域内（包括四周的边界）有大小相等、方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小F点沿着FE的方向射入磁场，恰好从C点射出。

则该粒子B.场强大小200V/mC.将一个正电荷从A点沿直线移到C点，它的电势能一直增大D.将一个正电荷从A点沿直线移到B点，它的电势能先增大后减小6.如图所示为形状相同的两个劈形物体，它们之间的接触面光滑，两物体与地面的接触面均粗糙，现对A. 在位移从0增大到X 的过程中，木块的重力势能减少了B. 在位移从0增大到X 的过程中，木块的重力势能减少了2EC. 图线a 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小D. 图线b 斜率的绝对值表示木块所受的合力大小 8.平行金属板PQ 、MN 与电源和滑线变阻器如图所示连接，电源的电动势为E ，内电阻为零；靠近金属板 P的S 处有一粒子源能够连续不断地产生质量为 m ，电荷量+q ，初速度为零的粒子， 粒子在加速电场 PQ 的作 用下穿过Q 板的小孔F ，紧贴N 板水平进入偏转电场 MN ;改变滑片p 的位置可改变加速电场的电压 U i 和 偏转电场的电压 U 2,且所有粒子都能够从偏转电场飞出，下列说法正确的是（ ）--------- ------------------------- A. 粒子的竖直偏转距离与 U 2成正比施加水平向右的力 F ,两物体均保持静止，则物体7. 如图甲所示，一木块沿固定斜面由静止开始下滑, B 的受力个数可能是（ ）C. 4个D. 5个下滑过程中木块的机械能和动能随位移变化的关系图线 如图乙所示，则下列说法正确的是（ ）B.滑片p向右滑动的过程中从偏转电场飞出的粒子的偏转角逐渐减小C.飞出偏转电场的粒子的最大速率D.飞出偏转电场的粒子的最大速率、非选择题9•一位同学为验证机械能守恒定律，利用光电门等装置设计了如下实验。

2020届东北三省哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三第一次联合模拟考试理综生物试题（解析版）1.下列关于细胞中结构和化合物的叙述，错误的是A. 细胞膜、细胞质基质中负责转运氨基酸的载体都是蛋白质B. 干种子仍具有活性但不能萌发的原因是细胞内的自由水少C. 发菜细胞中核糖体的形成与核仁没有关系D. 能降低反应活化能的分子可能是核糖核酸【答案】A【解析】【分析】1、水包括自由水和结合水，细胞中绝大部分的水以游离的形式存在，可以自由流动，约占细胞内全部水分的95%，其作用是：细胞内良好的溶剂，参与生化反应，为细胞提供液体环境，运送营养物质和代谢废物；结合水是与细胞内的其他物质相结合的水，是细胞结构的重要组成成分；自由水和结合水能够随新陈代谢的进行而相互转化。

2、原核细胞和真核细胞主要的区别是没有以核膜为界限的细胞核。

3、酶是活细胞产生的有催化作用的有机物，大部分是蛋白质，少部分RNA。

4、细胞膜上有各种载体蛋白运输物质，细胞内蛋白质合成场所在核糖体，称为翻译过程。

【详解】A、氨基酸以主动运输的方式进人细胞膜，需要细胞膜上的载体蛋白协助，而细胞质基质中负责转运氨基酸进入核糖体的是tRNA（化学本质是核酸），A错误；B、种子萌发需要更多的自由水，所以干种子不萌发，主要是缺乏自由水，B正确；C、发菜是原核生物，没有核仁，C正确；D、能降低反应活化能的分子是酶，少数酶的化学本质是核糖核酸，D正确。

故选A。

【点睛】本题综合考查细胞中各种结构和化合物的知识，需要考生在平时学习中进行识记，注意A选项中氨基酸通过tRNA的运输参与翻译过程。

2.实验小组测得三种离子在某藻类细胞液和其生活的池水中的浓度关系如下表所示。

下列有关叙述中，正确的是A.表中三种离子都以协助扩散方式进入藻类细胞B. 离子相应比值的不同体现了细胞膜具有流动性C. 离子进入细胞时均有相应蛋白质发生形态改变D. 离子的吸收不会影响藻类细胞对水的渗透吸收【答案】C 【解析】【分析】1、主动运输：特点：（1）逆浓度梯度运输；（2）需载体蛋白的协助；（3）需消耗细胞呼吸产生的能量。

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试英语试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应題目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4. 本卷命题范围：高考范围。

第一部分听力（共2节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. How is the weather in the mountains?A. Rainy.B. Sunny.C. Snowy.2. What are the speakers mainly talking about?A. Cooking.B. Traditions.C. Experiments.3. Why does the man read in weak light?A. He is afraid of light.B. His brother is sleeping.C. He doesn’t care about his eyes.4. How much money did the man lend the woman?A. $70.B. $80.C. $100.5. What is the man’s opinion about sleep?A. Four hours is plenty for him.B. Eight hours is too much for the woman.C. Six hours is the least for most people.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ）A.c a b <<B.a b c <<C.a c b <<D.c b a << 6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A -的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[-D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f -=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈--=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<-≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[-上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数b x a x x f ----=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21-≤a ②2523<<a ③02,1<<-=b a ④249,1-<<-=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F --1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈-++=）. （Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.答案： 一、选择题1B ；2B ；3D ；4A ；5B ；6A ；7B ；8D ；9C ；10C ；11D ；12B 二、填空题13.177; 14。

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学２０２０年高三第一次联合模拟考试理科综合能力测试　本试卷共３８题，共３００分，共１２页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：１．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

２．选择题答案使用２Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用０．５毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

３．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

４．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

５．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用２Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

可能用到的相对原子质量：Ｈ１　Ｃ１２　Ｎ１４　Ｏ１６　Ｖ５１一、选择题：本题共１３小题，每小题６分，共７８分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．下列关于大肠杆菌和酵母菌的叙述，正确的是Ａ．都是单细胞真核生物Ｂ．均在核糖体上合成蛋白质Ｃ．ＤＮＡ是二者主要的遗传物质Ｄ．系统的边界都是细胞壁２．下列关于物质运输的叙述，错误的是Ａ．同种物质进出细胞的方式可能不同Ｂ．低温不仅影响主动运输的速率，还会影响被动运输的速率Ｃ．能量供应不足会限制主动运输的速率，但对其他运输方式无影响Ｄ．细胞膜的选择透过性不仅与其上的载体蛋白有关，还与磷脂有关３．原发性胆汁性胆管炎的发病机制是患者血清中的抗线粒体抗体（ＡＭＡ）能与胆管上皮细胞（ＢＥＣ）表面的受体结合，通过胞吞转移至细胞内，干扰了线粒体的功能，最终引起ＢＥＣ凋亡。

以下推测不合理的是Ａ．ＢＥＣ的线粒体上可能存在ＡＭＡ抗原Ｂ．该病在免疫学上属于过敏反应Ｃ．患者临床可能表现乏力和肌肉酸痛Ｄ．该过程与细胞膜的信息交流功能有关４．狂犬病是狂犬病毒所致的急性传染病，人兽共患，人多因被病兽咬伤而感染，死亡率极高。

哈尔滨师大附中 2020 年高三第一次联合模拟考试东北师大附中辽宁省实验中学理科综合能力测试7642 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合小题，每小题一、选择题：本题共分，共题目要求的。

7 ．下列说法不正确的是 A. B ．侯氏制碱法应用了物质溶解度的差异工业合成氨是一种人工固氮方法 C D ．铁是人类最早使用的金属材料．播撒碘化银可实现人工降雨8 ．乙苯与氢气加成，其产物的一氯代物的同分异构体数目有（不考虑立体异构） A.4 B5 C6 D7 种．种种．种．9N 为阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是．设A A.2.24L SO0.4N 中所含原子数为标准状况下，A3Bl0mL 12mol/LMnOCl0. 03N 的分子数为盐酸与足量．加热反应，制得A22C0. 1mol CH0.4molClCCl0.1N 的分子数为在光照下充分反应，生成．与A424D6gC-H0.3N 键的数目为．常温常压下，乙酸中含有A10. 新型锂空气电池具有使用寿命长、可在自然空气环境下工作的优点。

其原理如图所示（电解质为离子液体和二甲基亚砜），电池总反应为：下列说法不正确的是-=LiO2Li+O +2e BLiA.LiO．放电时正极反应式为充电时电子由电极经外电路流入22 222CLi 电极与电源的负极相连．充电时D ．碳酸锂涂层既可阻止锂电极的氧化又能让锂离子进入电解质11. 下列实验对应的现象及结论均正确的是3Y12.XYZWQ倍，、、元素最外层电子数是其电子层数的、短周期主族元素原子序数依次增大，、Q QYXYZW的最高价氧化物的水化物两同主族，、与、与构成的化合物可引起光化学烟雾，两之间均能发生反应。

下列说法正确的是 B A.Y<Q W的氧化物可作耐高温材料简单氢化物的沸点：．Y<XCZ D．气态氢化物的稳定性：．简单离子半径最大的为pH13.20mL0.1mol/LNaOHMOH0.1mol/L随盐的溶液中分别滴加和室温下，向浓度均为盐酸，溶液的酸体积变化如图所示。

东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<−−=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞−−∞ B.),3[]1,(+∞−−∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞−−∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=−b aC.02=−b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.125.已知e c e b a πlog ,log ,3ln 3===（注：e 为自然对数的底数），则下列关系正确的是（ ） A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.c b a <<6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6−7.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则四面体BEF A −的体积为（ ）A.31 B.32 C.1 D.34 8.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点为)0,(c F ，上顶点为),0(b A ，直线ca x 2=上存在一点P 满足0)(=⋅+AP FA FP ，则椭圆的离心率取值范围为（ ）A.)1,21[B.)1,22[C.)1,215[− D.]22,0( 10.已知定义在R 上的函数)(x f ，满足)1()1(x f x f −=+，当),1[+∞∈x 时⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈−∈−−=),3[),21(2)3,1[,21)(x x f x x x f ，则函数)(x f 的图像与函数⎩⎨⎧<−≥=1),2ln(1,ln )(x x x x x g 的图像在区间]7,5[−上所有交点的横坐标之和为（ ）A.5B.6C.7D.911.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前2020项和为（ ）A.20201011 B.20202019 C.20212020 D.2021101012.已知双曲线1322=−y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∠的平分线交x 轴于点A ，则=PA （ ）A.55 B.552 C.553 D.5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的 不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为 .14.已知函数x x ae e x f −+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=−，则n a = .16.已知函数b x a x x f −−−−=13)()(222，当 时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有 .（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可） ①21−≤a ②2523<<a ③02,1<<−=b a ④249,1−<<−=b a 或0=b ⑤4个极小值点 ⑥1个极小值点 ⑦6个零点 ⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c . 18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A −111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且直线AF 与平面11A ABB 所成角的正弦值为31，求二面角A BA F −−1的余弦值. 19.（本小题满分12分）为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B 症状：醒的太早；C 症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下： 数据1：出现A 症状人数为8.5万，出现B 症状人数为9.3万，出现C 症状人数为6.5万，其中含AB 症状同时出现1.8万人，AC 症状同时出现1万人，BC 症状同时出现2万人，ABC 症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人.（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如下列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？参考数据如下：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++−=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:−=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+−y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分）已知函数)(21-1ln()1()(2R a x ax x x x f ∈−++=）.（Ⅰ）设)(x f '为函数)(x f 的导函数，求函数)(x f '的单调区间； （Ⅱ）若函数)(x f 在),0(+∞上有最大值，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(−++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(−≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）2020年高三第一次联合模拟考试理科数学答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BDABABDCCDB二、填空题13.14.15. ()()1,12,22123n n a n n n =⎧⎪=⎨−≥⎪−−⎩16. ①⑥、②⑤、③⑦、④⑧均可三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，……………………………….2分 又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，……………………………….4分 得2cos sin sin 0B C C +=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=．……………………………….6分 （Ⅱ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=，……………………………….8分 所以22()(2)BA BC BD +=，即2212a c ac ++=，……………………………….10分 因为2a =，解方程2280c c −−=，得4c =．……………………………….12分 18.解析：（I ）连结1AB 交1A B 于O ，连结1,EO OC11,,,2OA OB AE EB OE BB ==∴=1//OE BB ,……………………………….1分 又1112DC BB =，1DC //1BB , 1//OE DC ∴，因此，四边形1DEOC 为平行四边形，即1//ED OC ……………………………….2分111,,OC C AB ED C AB ⊂⊄面面DE ∴//平面11C BA ……………………………….5分（II ）建立空间直角坐标系B xyz −，如图过F 作1FH BB ⊥，连结AH11,,BB ABC AB ABC AB BB ⊥⊂∴⊥面面 111,,AB BC BC BB AB CBBC ⊥∴⊥面 111111,,AB BAA B BAA B CBBC ⊂∴⊥面面面111,,FH CBBC FH BB ⊂⊥面11111,BAA B CBBC BB =面面11FH BAA B ⊥面， 即FAH ∠为直线AF 与平面11ABB A 所成角，……………………………….7分 记为θ，11sin ,3,3AF AF θ==∴= 在Rt ACF ∆中，222259,2,AC CF AF CF CF ==+=+∴=11(0,2,1),(2,3,0),(0,2,1),(2,3,0),F A BF BA ==设平面1BAC 的法向量(,,)m x y z =，120230m BF y z m BA x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取2,(3,2,4)y m ==−− 平面1BAA 的法向量(0,0,1)n =，……………………………….10分4|cos ,|291m n <>=⋅……………………………….11分 BC1A 1B 1C D OFHxyz因此，二面角1F BA A −−的余弦值……………………………….12分19. 解析：设A =｛出现A 症状的人｝、B =｛出现B 症状的人｝、C =｛出现C 症状的人｝（card 表示有限集合元素个数） 根据数据1可知()()()()1.8,1,2,0.5card A B card A C card B C card A B C ====，所以()()()()()()()card A B C card A card B card C card A B card A C card B C card=++−+++⎡⎤⎣⎦()=8.5+9.3+6.5 1.8120.520−+++=.……………………………….4分得患病总人数为20万人，比例大约为20%.……………………………….6分.……………………………….9分()22100573157 4.001 3.84112888020k ⨯⨯−⨯=≈>⨯⨯⨯.……………………………….11分有95%的把握说明失眠与中风或心脏病存在“强关联” .………………………….12分B20．解析： （Ⅰ）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =−的距离与到()1,0F 的距离相等，故点P 的轨迹方程C 为24y x =.……………………………….4分（Ⅱ）设()()1122,,M x y N x y 、，则11211,,22M y N y ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、设直线():0MN x ty n t =+≠代入24y x =中得2440y ty n −−=12124,40y y t y y n +==−<.……………………………….6分 11132211112222S x y S x y =+⋅=+⋅、 131112114S S 22x x y y ⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()12122212122222211221142211444221242ty n ty n y y t y y n t y y n nnt t n n nt n n⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++++⋅−⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−++++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=++⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.……………………………….8分又21211112222S n y y n =+⋅−=+()()22222211116164422S n t n n t n ⎛⎫⎛⎫∴=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.……………………………….10分2222221311484222S S S nt n t n n ⎛⎫⎛⎫=⇔=+⇔=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12n ⇒=.…………………….11分∴直线MN 恒过1,02⎛⎫⎪⎝⎭.…………………………….12分21．解析：（Ⅰ）()()ln 1f x x ax '=+−令()()()ln 1h x f x x ax '==+−， ()11h x a x '=−+；.……………………………….1分 1当0a ≤时，()0h x '>，()'f x ∴在()1,−+∞上递增，无减区间()0h x '=.……………………………….3分 2当0a >时，令()1011h x x a '>⇒−<<−， 令()101h x x a'<⇒>− 所以，()'f x 在11,1a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当0a ≤时，()'f x ∴在()0,+∞上递增，()()''00f x f ∴>=()f x ∴在()0,+∞上递增，无最大值，不合题意；.……………………………….6分 1当1a ≥时，()1101h x a a x '=−<−≤+ ()'f x ∴在()0,+∞上递减，()()''00f x f ∴<=，()f x ∴在()0,+∞上递减，无最大值，不合题意；.……………………………….8分 2当01a <<时，110a−>， 由（Ⅰ）可知()'f x 在10,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；.……………………………….9分设()1ln g x x x =−−，则()1x g x x−'=； 令()001g x x '<⇒<<；令()01g x x '>⇒>()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增；()()10g x g ∴≥=，即ln 1x x ≤−由此，当0x >时，1<ln x <所以，当0x >时，()()12h x ax a x <<+=−．取241t a =−，则11t a >−，且()20h t <−=． 又因为()1100h h a ⎛⎫−>= ⎪⎝⎭，所以由零点存在性定理，存在011,x t a ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得()00h x =；.……………………………….11分当()00,x x ∈时，()0h x >，即()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，即()0f x '<；所以，()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，在()0,+∞上有最大值()0f x ．综上，01a <<.……………………………….12分在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时用2B ．．铅笔．．在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。