相似三角形中动点问题

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。

相似中动点问题题型一位似图形例 1 如图 , O 是坐标原点， B、 C 两点的坐标分别为 (3， -1)、 (2,1)．(1)以 0 点为位似中心在y 轴的左侧将△ OBC 放大到两倍 (即新图与原图的相似比为2)，画出图形；(2)分别写出 B 、 C 两点的对应点 B′、C′的坐标；(3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为 (x， y),写出 M 的对应点 M′的坐标．例 2 如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ABC 与△ A′ B ′是C关′于点 0 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1〕画出位似中心点 0；（2〕求出△ ABC 与△ A′B′的C′位似比；〔3〕以点 0 为位似中心，再画一个△ A 1B 1C1，使它与△ ABC 的位似比等于．题型二 动点存在问题1 如图，在△ ABC 中， AB=8 ， BC=7 ，AC=6 ，有一动点 P 从为 2 单位 /秒，有一动点 Q 从 C 沿 CA 移动到 A ，移动速度为多少时间时，△ PQA 与△ BCA 相似。

A 沿 AB 移动到 B ，移动速度1 单位 /秒，问两动点同时移动2、如图，在平面直角坐标系内，点 A 〔 0，6〕、点 B 〔 8，0〕，动点 P 从点 A 开始在线段AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 , 设点 P 、Q 移动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的解析式； (2) 当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ (3) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为24个平5方单位？yAPQOxB3、如下图，在矩形ABCD中， AB=12cm， BC=6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以2厘米/秒的速度移动；点Q沿 DA边从点D开始向点 A以1厘米/秒的速度移动。

复习练习
1.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件下： ①∠AED=∠B；②∠ADE=∠C；③AD：AC=AE：AB；④DE：BC=AD：AC. 能判定△ADE与△ACB相似的有 ①、②、③ .
(第1题)
(第2题)
2.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12.在AB上取点
沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为6cm/s.P、
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【变式训练2】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从B开始
沿BA边运动，速度为2cm/s；动点Q从点C开始沿CB边运动，速度为4cm/s.P、
【归纳总结】
1、动点形成相似三角形关键看通过什么判定定理判定？ 2、具体解题步骤： （1）用t表示动态线段； （2）根据相似的判定定理，写出相似符号语言； （3）根据对应边成比例，列出含有t的方程； （4）解方程； （5）检验作答.
【变式训练1】 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始
Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为t
s.当t＝
s时，由P、B、Q三点连成的三角形与△ABC相似．
【当堂检测】
如图所示，梯形ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3， 点P以1cm/s的速度从点A出发向点B运动，经过几秒，△PA来自与△PBC相似？谢谢指导！
●E
【例题讲解】
例题 如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从A开始沿AB边运

相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。