矩阵的基本运算.ppt

如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵旳对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T , 证明 H是对称矩阵, 且HH T E.
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
证 因为 H T (E 2 XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H
所以H 是对称矩阵. HH T H 2 (E 2 XX T )2
E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足互换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵旳 乘积可能是零矩阵
则

a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0, a x + a x + L + a x = 0, 21 1 22 2 2n n LLLLLLLLLLLL am 1 x1 + am 2 x2 + L + amn xn = 0
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2

幂法
通过迭代计算矩阵A的幂 ，最终得到特征值和特征 向量。
反迭代法
利用已知的特征向量x， 通过反迭代计算得到对应 的特征值λ。
06
应用实例
在物理中的应用
线性变换
矩阵可以表示线性变换，如平移、旋转、缩放等，在物理中广泛应 用于描述物体运动和力的作用。
振动分析
矩阵可以用于分析多自由度系统的振动，通过矩阵表示系统的运动 方程，简化计算过程。
详细描述
矩阵乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并 且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个 矩阵的列数。在计算过程中，对应元素相乘并求和，得到新 矩阵的一个元素。
矩阵的转置
总结词
矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行的一种运算。
详细描述
矩阵的转置可以通过交换原矩阵的行和列得到，也可以通过计算元素的代数余 子式得到。转置后的矩阵与原矩阵的行列式值相等，但元素的位置发生了变化 。
《矩阵及其运算》PPT课件
目 录
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的运算 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 特征值与特征向量 • 应用实例
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩 形阵列，通常表示为二维数 组。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有行标 和列标，表示其在矩阵中的 位置。
回带法
在消元过程中，每一步都需要回带， 以确保解的正确性。
解的判定
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时 ，线性方程组有唯一解；否则，无解 或有无数多解。
线性方程组的解的结构
解的表示
线性方程组的解可以表示为一个向量与自由变量 的线性组合。

分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3

特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。

A22 ...
... ...
An 2 ...
A1n A2n ... Ann
称矩阵A的伴随矩阵，记为A＊
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27
伴 随 矩 阵 有 如 下 重 要 性 质 ： AA*A*A(detA)E
矩阵运算举例
例 例 1 8 设 A123T， B11 21 3， CAB ，
求 Cn
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例4
如：A 11
11
B
1 1
11
AB O
BA
2 2
22
显然有：AB 0 AB BA
总结:矩阵乘法不满足交换律与消去律.
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18
例5 设
A1 1
2 1
1 1,
求AB与BA
1 2 B1 1
2 3
解
3 0 3
1 3 AB2 6
BA0 3 0 1 7 1
定理2.1 若矩阵A的第i行是零行，则乘积 AB的第i行
a..i.1
... ...
a..is.n......
... bnjs
... ...
cij
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14
例2 计算
2 1
1 8 10
1 3
4 01 3
2 4
051 9
2 5 22 15
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15
例3. 非齐次线性方程组的矩阵表示
a11x1 a12x2 a1nxn b1
a21x1
关于矩阵乘法的注意事项： （1）矩阵 A 与矩阵 B 做乘法必须是左矩阵的列数与右
矩阵的行数相等； （2）矩阵的乘法中，必须注意矩阵相乘的顺序，AB是
A左乘B的乘积，BA是A右乘B的乘积；

例如
1 3 5
2 2 8
19316
6 0
8 不存在. 1
乘积AB 维的关系
A
B
m n
n s
C ms
=
A
8
注 两个矩阵相乘, 乘积有可能是一个数.
1
2
3
3 2
1 3 2 2 3 1 10.
1
练习 计算下列矩阵的乘积，并观察结果.
1
1 2 1 4 1 2 1 4
1
5
8
0
2
5
8
0
2
13310 1 3 734 10 1 3 7 34
1
1 2 1 4
5
10
8 1
0 3
2 734
1
1
A
1
144
5 10
2 8
1
1 0 3
4
2
7
9
34
1
2
a11 a12 L a1s
a21
a22
L
a2s
O M M M M
nnnan1
an2
L
2an2
L na1n
L
na2n
M M
L
nann
nn
A
11
a1
b1
a2
b2
O
O
an nn
bn nn
a1b1
a2b2 O
anbn nn
结论 两个n 阶对角阵之积仍为n 阶对角阵.
结论 两个n阶上（下）三角阵A之积仍为n阶上（下）三角阵12 .
❖矩阵乘法的运算规律 (1 )结 合 律 :(A B )C A (B C )

线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

钢笔 100 150
铅笔 300 260
.
§2.1 矩阵的基本运算
每种商品进货单价和销售单价（元）如下表：
圆珠笔 钢笔 铅笔
进货单价 6 9 3
销售单价 8 12 4
.
§2.1 矩阵的基本运算
求每个月的总进货额和总销售额。
金额 月份
总进货额
总销售额
九月 200×6+100×9+300×3 200×8+100×12+300×4
0 0 2 5
0 1 8
0
0 0
A1
A2
0 0 0 3 2 0
A3
0 0 0 0 0 9
.
二、分块矩阵的运算
§2.2 分块矩阵
1．分块矩阵相加、减
设A、B是两个用相同方法分块的同型矩阵
A11
设Amn
A21 M
A12 L A22 L MO
Ap1 Ap2 L
A1q
B11 B12 L
001 a 31 a 32 a 33 a 3 4 a 31 a 32 a 33 a 34
.
§2.1 矩阵的基本运算
1 0 0 0
a11 A(E 2,3)a21
a12 a22
a13 a23
a a1 24 40 0
0 1
1 0
0 0a a1 21 1
a13 a23
a12 a22
a14 a24
P 1 P 2LP sA Q 1 Q 2LQ tB
.
三、矩阵的转置
§2.1 矩阵的基本运算
定义2.3：把m×n矩阵A的行和列依次互换得到的一个 n×m 矩阵，称为A的转置，记作AT或A’.

要的基本概念之一 . 它是线性代数一个主要的研究对象,
且贯穿在线性代数的各个方面 . 矩阵的理论和方法在处
理许多实问际题问题，特方别法是计算机理应论用上是非应常用有力的.
20.10.2020
3
一、矩阵的基本运算
1、 数乘矩阵
Definitio数n 1 与矩阵 A = (aij) 的乘积，简称数乘
矩阵，记作 A
有数的，特cij 是殊的A 规的律第，i 行主与要产B 生的于第矩j 列阵的的对乘应法元运素算乘. 积的和
Definition设3 是一A 个(aij ) 矩阵， ms
B (bij )
是一个 s矩n阵，那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积
是一个 m矩n阵 b 1jai2b2j aisbsj aikbkj (i1 m ;j1 n) k 1
a11b11
a1n b1n
AB
am1 bm1
amn bmn
5
一、矩阵的基本运算
矩阵加法满足如下性质：
（1） A + B = B + A ； （2）A + (B + C) = (A + B) + C （3） A + 0 = 0 + A = A ( 0为与 A 同型的零矩阵 )
（4） ()AA A（5） (AB )AB
记为 C AB
20.10.2020
7
E xyya1y 2二y aa2 m1 21 11p、bba 1a 1l11e1 21 1 aa例x x 121 11 11aa 子1222a a bbaa1 2 设222 2 1211x x 222 2 有 aaaa两a 1a 2311 322 b3 3b33 x 个3x 313 13 线bbb132aa111性(213 11bb.变1b1 b1b22)132222换aa12tt2212 bbx 2x 2x 222 3 1 aab b b 1 3 12 21 1 1 33tttbb1 1 133 22b b b 1 3 2 2 2 2 tttt2 t2 2 12 (3.2)