初一数学(北京版)角平分线-4课后练习

专题23 三角板转动求角和角平分线结合1．直角三角形纸板COE的直角顶点O在直线AB上．（1）如图1，当∠AOE＝165°时，∠BOE＝°；（2）如图2，OF平分∠AOE，若∠COF＝20°，则∠BOE＝°；（3）将三角形纸板COE绕点O逆时针方向转动至如图3的位置，仍有OF平分∠AOE，若∠COF＝56°，求∠BOE的度数．【答案】（1）15；（2）40；（3）112°【分析】（1）根据平角的定义求解即可；（2）根据∠COF＝20°，先求解∠EOF＝70°，再根据OF平分∠AOE，求解∠AOE＝140°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可；（3）根据∠COF＝56°，先求解∠EOF＝34°，由OF平分∠AOE，可得到∠AOE＝68°，最后根据平角的定义求解∠BOE即可．【详解】解：（1）∵∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝165°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝15°，故答案为：15；（2）∵∠COE＝90°，∠COF＝20°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∴∠EOF＝90°﹣20°＝70°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝140°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝40°，故答案为：40；（3）∵∠COE＝90°，∠COE＝∠COF+∠EOF，∠COF＝56°，∴∠EOF＝90°﹣∠COF＝90°﹣56°＝34°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝68°，∵∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝112°．【点睛】本题考查了角的计算，平角的定义，角的平分线定义，直角的定义，熟练掌握补角的定义，角的平分线定义，角的和与差是解题的关键．2．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺AOB 的直角顶点O 放在互相垂直的两条直线PQ 、MN 的垂足O 处，并使两条直角边落在直线PQ 、MN 上，将AOB 绕着点O 顺时针旋转()0180αα︒︒<<︒．(1)如图2，若26α=︒，则BOP ∠=_____________，AOM BOQ ∠+∠=_____________； (2)若射线OC 是BOM ∠的角平分线，且POC β∠=︒．①若AOB 旋转到图3的位置，BON ∠的度数为多少？（用含β的代数式表示） ②AOB 在旋转过程中，若∠AOC ＝2∠AOM ，求此时β的值． 【答案】(1)64°，180°； (2)①2β︒；②60°或36°【分析】（1）根据∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ ，可分别计算出结果； （2）①先求∠BOP 与∠PON ，再利用∠BON =∠BOP +∠PON 得出结论；②分两种情况讨论：当OB 旋转到OP 左侧时；当OB 旋转到OP 右侧时解答即可． (1)解：MN ⊥PQ ，∴∠MOQ =90°，∠AOB =90°， ∵∠AOQ =β︒，∴∠BOP =180°-∠AOB -∠AOQ =180°-90°-26°=64°，∠AOM =∠MOQ -∠AOQ =90°-β︒， ∵∠BOQ =∠AOB +∠AOQ =90°+β︒， ∴∠AOM +BOQ =90°-β︒+90°+β︒=180°； (2)①∵∠MOP =90°，∠POC =β︒， ∴∠MOC =90°-β︒，∵OC 是BOM ∠的角平分线，∴∠BOM =2∠MOC =2(90°-β︒)=180°-2β︒，∴∠BOP=90°-∠BOM=2β︒-90°，∵∠PON=90°，∴∠BON=∠BOP+∠PON=2β︒-90°+90°=2β︒；②当OB旋转到OP左侧时，如图：∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC，∵∠AOC＝2∠AOM，∴∠AOM＝∠MOC，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠=︒=90°-∠MOC=60°；∴POCβ当OB旋转到OP右侧时，如图：设∠AOM=x，∵∠AOC＝2∠AOM=2x，∴∠MOC=3∠AOM=3x，∵∠BOC+∠MOC+∠AOM=90°，∴∠BOC=∠MOC=∠AOM=30°，∠的角平分线，∵OC是BOM∴∠BOC=∠MOC=3x，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=5x=90°，∴x=18°，∴∠MOC=3x=54°，∠=︒=90°-∠MOC=36°；∴POCβ综上β的值为：60°或36°．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，分情况讨论是解题关键．3．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝50°．现将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD与射线OB重合，如图2．（1）∠EOC＝；（2）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠EOB的角平分线，求∠BOD的度数；（3）将三角板DOE绕点O逆时针旋转，在OE与OA重合前，是否有某个时刻满足∠DOC＝13∠AOE，求此时∠BOD的度数．【答案】（1）40°；（2）10°；（3）30°或60°）解：OC是∠BOC=∠=DOC ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒-20α∴=︒②若OD 在设∠DOC 50BOD ∠=BOD ∠+∠350α∴+︒10α∴=︒（1）如图，若28MOC ∠=︒，求BON ∠的度数； （2）若MOC m ∠=︒，则BON ∠的度数为 ；（3）由（1）和（2），我们发现MOC ∠和BON ∠之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形MON 绕点O 旋转到如图所示的位置，试问MOC ∠和BON ∠之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【答案】（1）56BON ∠=︒；（2）2m ︒；（3）2BON MOC ∠=∠；（4）不变.理由见解析. 【分析】（1）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，28MOC ∠=︒，即可求出62NOC ∠=︒，根据角平分线的性质得到2124AON NOC ∠=∠=︒，即可求出BON ∠的度数． （2）根据（1）中的步骤进行求解即可． （3）根据（1），（2）的结果直接进行计算即可．（4）根据90MOC NOC ∠+∠=︒，得到90NOC MOC ∠=︒-∠,根据角平分线的性质得到2AON NOC ∠=∠，根据180180218029018018022BON AON NOC MOC MOC MOC ∠=︒-∠=︒-∠=︒-︒-∠=︒-︒+∠=∠（），即可求解．【详解】解：（1）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又28MOC ∠=︒， 62NOC ∴∠=︒．OC 平分AON ∠，2124AON NOC ∴∠=∠=︒． 180BON AON ∠+∠=︒， 56BON ∴∠=︒．（2）90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒．又MOC m ∠=︒，90NOC m ∴∠=︒-︒． OC 平分AON ∠，21802AON NOC m ∴∠=∠=︒-︒．180BON AON ∠+∠=︒，2BON m ∴∠=︒．故答案为：2m ︒．（3）2BON MOC ∠=∠． （4）不变，理由如下： 90MON ∠=︒， 90MOC NOC ∴∠+∠=︒， 90NOC MOC ∴∠=︒-∠，OC 平分AON ∠，2AON NOC ∴∠=∠， 180BON AON ∠+∠=︒，180BON AON ∴∠=︒-∠1802NOC =︒-∠180290MOC （）=︒-︒-∠2MOC =∠， 即2BON MOC ∠=∠．【点睛】本题考查了直角三角形、角平分线的性质及邻补角等知识，熟练掌握直角三角形与角平分线的性质进行计算是解题的关键．5．如图1，点A 、O 、B 在同一直线上，∠AOC=60°，在直线AB 另一侧，直角三角形DOE 绕直角顶点O 逆时针旋转（当OD 与OC 重合时停止），设∠BOE=α： （1）如图1，当DO 的延长线OF 平分∠BOC ，∠α=______度；（2）如图2，若（1）中直角三角形DOE 继续逆时针旋转，当OD 位于∠AOC 的内部，且∠AOD=13∠AOC ，∠α=__度；（3）在上述直角三角形DOE 的旋转过程中，（∠COD+∠α）的度数是否改变？若不改变，请求出其度数；若改变，请说明理由．【答案】（1）30 ；（2） 110；（3）（∠COD+∠α）的度数不变，见解析.60角的三角板的上方，其中A 60∠=，另一块含45角的三角板POQ 的一边OQ 在直线MN 上，另一边OP 在直线MN 的下方．()1现将图1中的三角板POQ 绕点O 按顺时针方向旋转，当直线MN 恰好为POQ ∠的平分线时，如图2所示，则AOP ∠的度数______度；()2继续将图2中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图3的位置，使得边OA 落在QOB∠的内部，且AO 恰好为POQ ∠的平分线时，求BOP ∠的度数；()3在上述直角三角板从图1按顺时针方向旋转至图位置为止，这个过程中，若三角板POQ绕点O 以每秒15的速度匀速旋转，当三角板POQ 的OP 边或OQ 边所在直线平分AOB ∠，则求此时三角板POQ 绕点O 旋转的时间t 的值(请直接写出答案)．15；（3）当)1直线MN 90， 45，又AOB 60∠=且MOB ∠POA 180POM AOB 180456075∠∠∠=--=--=，故AOP ∠的度数为75； 故答案为75)2AO 恰好为POQ ∠的平分线，1AOP 452∠=，AOB 30∠=，BOP AOP BOP 15∠∠∴=-=；()3根据题意可知，分两种情况，①当OP AOB 时，136090AOB2∠--或1902∠-AOB 30∠=，∴时间()t 36090151517(=--÷=秒)9015155(-÷=秒②当OQ 边所在直线平分AOB ∠时，三角板PQO 绕点O 旋转的度数为13602∠-1180AOB 2∠-，AOB 30∠=，∴时间)t 360151523(=-÷=秒)180151511(-÷=秒∠时旋转时间为5秒或17秒，当OQ边所在直线平综合①②得当OP边所在直线平分AOB∠时旋转时间为11秒或23秒．分AOB【点睛】此题考查了角平分线的定义，根据题意找到各个量之间的关系是解题的关键．7．将一三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图1，若∠BOD=35°，则∠AOC=______°；若∠AOC=135°，则∠BOD=_____°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=_____°；（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图1说明理由；（4）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【答案】（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由详见解析；（4）∠AOD 角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（4）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【详解】解：解：（1）若∠BOD=35°，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠COD﹣∠BOD=90°+90°﹣35°=145°，若∠AOC=135°，则∠BOD=∠AOB+∠COD﹣∠AOC=90°+90°﹣135°=45°；（2）如图2，若∠AOC=140°，则∠BOD=360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD=40°；（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，∴∠AOC+∠BOD=180°，即∠AOC与∠BOD互补．（4）OD⊥AB时，∠AOD=30°，CD⊥OB时，∠AOD=45°，CD⊥AB时，∠AOD=75°，OC⊥AB时，∠AOD=60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°；故答案为（1）145°，45°；（2）40°．【点睛】本题题主要考查了互补、互余的定义等知识，解题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．8．如图1，将三角板如图放置，∠AOC=60°．将另一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN=45°．(1)将图1中的三角尺MON绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；(2)将图1中的三角尺MON绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第＿＿＿＿秒时，直线MN恰好与直线OC垂直；在第＿＿秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC．（直接写出结果）；(3)将图1中的三角尺MON绕点O顺时针旋转使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．(4)通过操作我们发现，将图1中三角形AOC绕点O顺时针旋转一定角度α（0<α<180°）时，三角形AOC会被直线AB或ON分成两个三角形，其中一个三角形有两个角相等，请直接写出所有符合条件的旋转角度α．【答案】(1)∠CON=150°(2)1.5或19.5；12或30(3)∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．理由见解析(4)45︒或60︒或135︒或150︒如图，当OMN旋转到直线如图，当OMN在直线当OMN旋转到当OMN旋转到∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝30°．(4)解：其中一个三角形是等腰三角形①OC在直线OB上方：当45AOH AHO∠=∠=︒时，α=︒-︒=︒∴904545的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(2)在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；(3)将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系，并说明理由．【点睛】本题考查了角平分线，与三角板有关的计算，对顶角等知识．解题的关键在于找出角度的数量关系．10．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝60°，∠DEF ＝45°．(1)如图1．将顶点C和顶点D重合．保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，则∠ACE= ；(2)在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACE与∠BCF有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；(3)如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转．写出∠ACD与∠BCF之间的数量关系并说明理由．【答案】(1)45°(2)∠ACE＝∠BCF(3)∠BCF-∠ACD =45°【分析】(1) 根据CF平分∠ACB，得到∠BCF=∠ACF=45°，结合∠EDF＝90°，计算即可．(2) 根据∠ACB＝∠EDF＝90°，得∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，根据互余的性质证明即可．(3)根据∠ACF+∠ACD =45°，∠ACF=90°-∠BCF，代入等式消去∠ACF，整理可得证．(1)∵CF平分∠ACB，∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠BCF=∠ACF=45°，∴∠ACE=∠EDF-∠ACF=90°-45°=45°，故答案为：45°．(2)∠ACE=∠BCF．理由如下：∵∠ACB＝∠EDF＝90°，∴∠ACE=90°-∠ACF，∠BCF=90°-∠ACF，∴∠ACE =∠BCF ． (3)∠BCF -∠ACD =45°．理由如下： ∵∠ACB ＝∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°， ∴∠ACF +∠ACD =45°，∠ACF =90°-∠BCF ， ∴∠BCF -∠ACD =45°．【点睛】本题考查了互余的性质，两个角的和，角的平分线即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角，熟练掌握两个角互余的性质是解题的关键．11．将两块直角三角板的顶点A 叠在一起，已知∠BAC ＝30°，∠DAE ＝90°，将三角板ADE 绕点A 旋转，在旋转过程中，保持∠BAC 始终在∠DAE 的内部．(1)如图①，若∠BAD ＝25°，求∠CAE 的度数．(2)如图①，∠BAE 与∠CAD 有什么数量关系，请说明理由．(3)如图②，若AM 平分∠BAD ，AN 平分∠CAE ，问在旋转过程中，∠MAN 的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围． CAE 12，∠BAC 130902即可．＝30°，∠DAE ＝90°，∠DAE -∠BAD -∠BAC =90°CAE 12， BAM ， CAE 12， BAD CAE 1302，BAC 130902，3030，60=︒．【点睛】本题考查三角板中角度计算，余角性质，角的和差，角平分线有关计算，掌握三角板中角度计算，角的和差，角平分线有关计算是解题关键．12．如图1，O 为直线AB 上一点，的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方．(1)将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t 秒后，OM 恰好平分BOC ∠． ①t 的值是_________；②此时ON 是否平分AOC ∠？说明理由；(2)在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC 平分MON ∠？请说明理由； (3)在（2）的基础上，经过多长时间，10BOC ∠=︒？请画图并说明理由． 【答案】(1)①5；②是，理由见解析则有30°+6t+10°=180°，或30°+6t-10°=180°，∠COD＝60°．(1)求图1中∠BOD的度数．(2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（即∠AOE＝α），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方．①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)75(2)①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD．【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论．＝30°）的直角顶点放在点O处，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON与OC重合？（2）如图2，经过秒后，MN∥AB；（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？请并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC平分∠MOB？请说明理由．顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝14∠AOM，求∠NOB的度数．的量．16．如图1，已知50ABC ∠=︒，有一个三角板BDE 与ABC ∠共用一个顶点B ，其中45EBD ∠=︒．（1）若BD 平分ABC ∠，求EBC ∠的度数；（2）如图2，将三角板绕着点B 顺时针旋转α度（090α︒<<︒），当AB BD ⊥时，求EBC ∠的度数． ）BD 平分12DBC ABC =∠ABC ∠=︒1502ABD DBC ∴∠==⨯EBC EBD DBC ∴∠=+∠（2）当AB ABD ∠=ABC ∴∠+EBC ∴∠=【点睛】本题考查角平分线的性质、与三角板有关的角的和差计算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．直角三角板ABC的直角顶点C在直线DE上，CF平分∠BCD．（1）在图1中，若∠BCE＝40°，∠ACF＝；（2）在图1中，若∠BCE＝α，∠ACF＝（用含α的式子表示）；（3）将图1中的三角板ABC绕顶点C旋转至图2的位置，若∠BCE＝150°，试求∠ACF 与∠ACE的度数．∵∠ACB＝90°，∠BCE＝40°，∵点C在DE上，【点睛】考查了角的计算和角平分线的定义，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． 18．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．（3）猜想：∠COE－∠BOD＝10°理由：∵∠COE＝∠DOE－∠COD＝90°－∠COD∠COD＝∠BOC－∠BOD＝80°－∠B OD∴∠COE＝90°－（80°－∠B OD）＝10°＋∠B OD即∠COE－∠BOD＝10°【点睛】本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1章三角形的证明角平分线一、单选题1．下列命题是真命题的是（）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等2．如图，已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð，那么作法的合理顺序是（）①作射线OC ；②在射线OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD OE =；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径在AOB Ð内作弧，两弧交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③①②3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC 分为三个三角形，则ABO S：BCO S △：CAO S △等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：54．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．2：3：4D ．3：4：55．△ABC 的两条角平分线AD ，BE 相交于点F ，下列结论一定正确的是（）A ．BD =DCB ．BE ⊥AC C ．F A =FBD ．点F 到三角形三边的距离都相等6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是（）A ．15B ．30C ．45D ．607．如图，在△ABC 中，BC =10，CD 是∠ACB 的平分线．若P ，Q 分别是CD 和AC 上的动点，且△ABC 的面积为24，则P A +PQ 的最小值是（）A ．125B ．4C ．245D ．58．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．29．如图，AB CD ∥，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠BCD ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若8AD =，10BC =，则BCP 的面积为（）A ．16B ．20C ．40D ．8010．如图，钝角三角形△ABC 的面积是20，最长边BC =10，CD 平分∠ACB ，点P ，Q 分别是CD ，AC 上的动点，则AP +PQ 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，在ABC 中，90C Ð=°，30B Ð=°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以点M 和N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点.D 则下列结论：①AD 是ABC 的角平分线；②点D 在线段AB 的垂直平分线上；③60ADC Ð=°；④ADC S △：1ABC S =△：3；⑤AB =，其中正确结论的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交B 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC Ð的平分线；②60ADC Ð=°；③点D 在AB 的中垂线上；④DAC S：1ABC S =△：3．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．如图，已知ABC 的周长是22，PB 、PC 分别平分ABC Ð和ACB Ð，PD BC ^于D ，且3PD =，ABC 的面积是________．14．如图，在ABC 中，90C Ð=°，AD 平分CAB Ð，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．15．如图，在ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分ACB Ð，交BD 于点E ，且EF ^BC ，垂足为点F ，4DE =，则EF 的值为___________．16．如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，若△BCE 的面积为5，则ED 的长为_____．17．如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC ，作DE ⊥AB 于点E ．若CD ＝3，那么DE 的长为___．18．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点G ，过点G 作EF //BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ^于D ，下列五个结论：①EF BE CF =+；②BE CF =；③1902BGC A Ð=°+Ð；④点G 到△ABC 各边的距离相等；⑤设GD m =，AE AF n +=，则AEF S mn =△．其中正确的结论是______（请填写序号）．19．如图，ABC 2，B Ð的平分线BP 与AP 垂直，垂足为点P ，:2:5AB BC =，那么APC △的面积为______2cm ．20．如图，CD 是△ABC 的角平分线，△ABC 的面积为12，BC 长为6，点E ，F 分别是CD ，AC 上的动点，则AE +EF 的最小值是_____．三、解答题21．已知：如图，90,30,C B AD Ð=°Ð=°是ABC 的角平分线．求证：2BD CD =．22．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE //AB ，交BC 于点E ，PF //AC ，交BC 于点F ．求证：点D 到PE 和PF 的距离相等．23．如图，在ABC 中，90C Ð=°．(1)过点B 作ABC Ð的平分线交AC 于点D （尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；(2)若3CD =，16AB BC +=，求ABC 的面积．24．如图所示，已知BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，PM ⊥AD 于点M ，PN ⊥CD 于点N ．求证：PM PN =25．如图，在梯形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 的中点，DE 平分∠ADC ．(1)求证：CE 平分∠BCD ；(2)求证：AD +BC =CD ．26．在ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，过C 点引射线CF 交BA 延长线于F 点．过B 点作BE CF ^于E 点、分别交AD 、AC 于点G ，H ．(1)求证：ABH ACF △≌△；(2)若=AH AG ；①判断BE 是否是CBF 的角平分线，并说明理由；②说明2BH CE =．27．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，过BC 的中点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：DE ＝DF ；(2)若AB ＝5，BC ＝8，求DE 的长．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．B 9．B 10．C11．D12．D13．3314．16.815．416．217．318．①③④1920．421．证明：如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD 平分BAC Ð，DE ⊥AB ，90C Ð=°，∴DE =DC ，∵在直角三角形BED 中，30B Ð=°，∴2BD DE =，∴2BD CD =．22．证明：∵PE ∥AB ，PF ∥AC ，∴∠EPD =∠BAD ，∠DPF =∠CAD ，∵△ABC 中，AD 是它的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∴∠EPD =∠DPF ，即PD 平分∠EPF ，∴D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等．23．(1)∠ABC 的平分线如图所示．(2)作DH ⊥AB 于H ．∵BD 平分∠ABC ，DC ⊥BC ，DH ⊥AB ，∴CD =DH =3，∴△ABC 的面积=S △BCD +S △ABD =12BC •CD +12AB •DH =12×3BC +12×3AB =12×3（BC +AB ）=12×3×16=24．24．解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，=AB CB ABD CBD BD BD =ìïÐÐíï=î，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB =∠CDB ，∴BD 平分∠ADC ，∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM =PN ．25．(1)证明：如图，作EM ⊥CD 垂足为M，∵ED 平分∠ADM ，EA ⊥AD ，EM ⊥CD ，∴AE ＝EM ，∵AE ＝EB ，∴EM ＝EB ，∵EB ⊥BC ，EM ⊥CD ，∴EC 平分∠BCD ．(2)证明：由（1）可知：AE ＝EM ＝EB ，在Rt △DEA 和Rt △DEM 中，DE DE AE EM=ìí=î，∴Rt △DEA ≌Rt △DEM （HL ），∴DA ＝DM ，同理可证：Rt △BEC ≌Rt △BMC （HL ），∴CB ＝CM ，∴CD ＝DM +MC ＝AD +BC ．26．(1)证明：∵BE ⊥CF 于E 点，∴∠BEC =90°，∴∠BAC =90°=∠BEC∵∠ABH +∠BHA =90°，∠ACF +∠CHE =90°，∠BHA =∠CHE ，∴∠ABH =∠ACF在△ABH 和△ACF 中∵90ABH ACF BAH CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△ABH ≌△ACF （AAS ）．(2)解：①BE 是CBF 是角平分线．理由如下：∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，∵∠AGH =∠BGD ，∴∠AHG =∠BGD∵AD ⊥BC 于D 点，∴∠GBD +∠BGD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ABH +∠AHB =90°，∴∠GBD =∠ABH ，∴BE 是△CBF 是角平分线．②证明：∵△ABH ≌△ACF ，∴BH =CF ，∵BE 是△CBF 是角平分线，∴EBC EBF Ð=Ð，在△BCE 和△BFE 中∵90EBC EBF BEC BEF BE BEÐ=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△BCE ≌△BFE ()AAS ，∴EF =CE =12CF ，∴BH =2CE ．27．(1)证明：如图，连接AD，∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ，∵D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ；(2)解：∵AB ＝AC ，∵D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝12BC ＝4，∴AD＝3，∴S△ABD＝12´AB•DE＝12´BD•AD，∴5DE＝4×3，∴DE＝12 5．。

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习题（附答案）1．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．422．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：43．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，则AB的长为（）A．6B．+4C．+2D．2+24．点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于10，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ＜10B．PQ＞10C．PQ≥10D．PQ≤105．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．3B．+C．+2D．2+6．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点．已知OM＝3，ON＝5，点D为OA上一点若满足PD＝PM，则OD的长度为（）A．3B．5C．5或7D．3或77．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．129．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为（）A．3.5B．7C．14D．2810．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC ＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．511．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为．13．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E、F分别是边AC、BC上的动点，且EF∥AB，点C关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则CD 长为．14．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝．15．如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB平分线交于点O，过点O作OD⊥BC于点D，△ABC 的周长为21，OD＝4，则△ABC的面积是．16．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P 为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是．18．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝．19．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE ＝4，则三角形ABC的面积为．20．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．21．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，BE∥DF．求证：DC⊥BC．22．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．参考答案1．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故选：C．2．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．3．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，∴AD＝2DF＝4，∵∠B＝45°，∴∠FDB＝∠B＝45°，∴BF＝DF＝2，在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，∴AB＝AF+BF＝2+2，故选：D．4．解：过P作PD⊥OB于D，∵PC⊥OA，PD⊥OB，OP平分∠AOB，∴PC＝PD，∵点P到OA边的距离等于10，∴PD＝PC＝10，∴PQ≥10（当Q与点D重合时，PQ＝10），故选：C．5．解：如图．过点D作DF⊥AC于F．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，∴CD＝DF＝，∴BC＝BD+CD＝2+，故选：D．6．解：如图：过点P作PE⊥OA于点E∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PN⊥OB∴PE＝PN∵PE＝PN，OP＝OP∴△OPE≌△OPN（HL）∴OE＝ON＝5∵OM＝3，ON＝5∴MN＝2若点D在线段OE上，∵PM＝PD，PE＝PN∴△PMN≌△PDE（HL）∴DE＝MN＝2∴OD＝OE﹣DE＝3若点D在射线EA上，∵PM＝PD，PE＝PN∴△PMN≌△PDE（HL）∴DE＝MN＝2∴OD＝OE+DE＝7故选：D．7．解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．8．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．9．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E，CD ＝2，∴DE＝CD＝2，∵AB＝7，∴△ABD的面积是：＝＝7，10．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．11．解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．12．解：当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即线段DE的长度的最小值是3，故答案为：3．13．解：过点C作CH⊥AB于H，如图，∵EF∥AB，∴CH⊥EF，∵点D与点C关于EF对称，∴点D在CH上，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∵CH•AB＝AC•BC，∴CH＝＝，当点D为∠BAC的平分线AM与CH的交点时，如图1，过点M作MN⊥AB于N，∴MC＝MN，∴AN＝AC＝6，∴BN＝4，设MC＝MN＝x，则BM＝8﹣x，在Rt△BMN中，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD＝3；当点D为∠ABC的平分线BG与CH的交点时，如图2，BH＝AB﹣AH＝，过点G作GQ⊥AB于Q，则GQ＝GC，∴BQ＝BC＝8，∴AQ＝2，设GQ＝GC＝t，则AG＝6﹣t，在Rt△AGQ中，22+t2＝（6﹣t）2，解得t＝，∴CD＝，综上所述，CD的长为3或．故答案为3或．14．解：方法一，如图，取BD中点H，连AH、EH，∵AB⊥AD，∴∠HDA＝∠HAD，∵DA平分∠FDB，∴∠FDA＝∠HDA，∴∠FDA＝∠HAD，∴AH∥DF，∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，∴A、H、E三点共线，∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，证明三角形BDA和三角形GDA全等，得A是BG中点，则AE是中位线，AE等于CG的一半故答案为：6．15．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB是∠ABC的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝4，同理OF＝OD＝4，△ABC的面积＝×AB×4+×AC×4+×BC×4＝42．故答案为：42．16．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE＝AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．17．解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝5，∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×5×18＝45，故答案为45．18．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，∴IE＝IF＝IH，则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，解得，IH＝2，故答案为：219．解：过D作DF⊥BC，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，∴DF＝4，∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝，故答案为：3620．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．21．证明：∵在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDA，∴∠EBC＝∠ABC，∠FDC＝∠ADC，∴∠EBC+∠FDC＝90°，∵DF∥BE，∴∠DFC＝∠EBC，∴∠DFC+∠FDC＝90°，∴∠C＝90°，∴DC⊥BC．22．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝OD＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．。

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步课后作业题（附答案）1．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．422．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：43．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3B．4C．5D．64．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．125．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC等于（）A．110°B．115°C．125°D．130°6．如图，已知△ABC，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AD＝3，CD＝2，则点D 到AB边的距离为．7．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为．8．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若△ABC 的面积为21cm2，AB＝8cm，AC＝6cm，则DE的长为cm．9．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是．10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是．11．如图，已知△ABC的周长是20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，△ABC的面积是．12．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，点P，Q，M，N是四个格点，则这四个格点中到∠AOB两边距离相等的点是点．13．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，点P是△ABC三个内角平分线的交点，则S△P AB：S△PBC：S△PCA＝．14．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是42cm2，AB＝10cm，BC＝14cm，则DE＝cm．15．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．16．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BOC的度数；（2）若∠ABC＝60°，OB＝4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积．17．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝，求S△ABC．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．19．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．20．如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．参考答案1．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，∵△ABC的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM＝＝×AC×4++＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故选：C．2．解：过D作DF⊥AB于F，∵AD平分∠CAB，∠C＝90°（即AC⊥BC），∴DF＝CD，设DF＝CD＝R，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝5，∴S△ABD＝＝＝R，S△ACD＝＝＝R，∴S△ABD：S△ACD＝（R）：（R）＝5：3，故选：B．3．解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ＝×3×4＝6．故选：D．4．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．5．解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是△ABC的内心，即三条角平分线交点，∴AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故选：A．6．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，BD是三角形的角平分线，∴DE＝CD＝2，即点D到AB边的距离是2．故答案为：2．7．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故答案为：3．8．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×AB×DE+×DF×AC＝21，即×8×DE+×DE×6＝21，∴DE＝3（cm）．故答案为3．9．解：过P作PE⊥OA于点E，∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝2，∴PE＝2，∴点P到边OA的距离是2．故答案为2．10．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×8×3＝12．故答案为12．11．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD＝2，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝2，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×2＝×20×2＝20，故答案为：20．12．解：由图形可知，点M在∠AOB的角平分线上，∴点M到∠AOB两边距离相等，故答案为：M．13．解：∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，∴P点到三边的距离相等，设这个距离为m，∴S△P AB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m：×BC×m：×AC×m ＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案为6：8：3．14．解：作DF⊥BC于F，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵S△ADB+S△BCD＝S△ABC，∴×10×DE+×14×DF＝42，∴5DE+7DE＝42，∴DE＝（cm）．故答案为．15．解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4．16．解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°∴∠OBC＝30°，∠OCB＝20°，∴∠COB＝180°﹣（30°+20°）＝130°；（2）过O作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接AO，如图，∵∠ABC＝60°，OB＝4∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB＝2，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴OE＝OF＝OD＝2，∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝×2×AB+×2×AC+×2×BC＝AB+BC+AC，又∵△ABC的周长为16，∴S△ABC＝16．17．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝，又AB＝10，AC＝8，∴18．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．19．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵AD＝AD，Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC．20．解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N 则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第1章三角形的证明角平分线一、单选题1．如图AD 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E ，交AD 于点F ，∠1＝30°，∠BAD 的度数（）A ．20°B ．30°C ．60°D ．120°2．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．23．如图，//AB CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分AEF Ð，EG FG ^于点G ，若55BEM °Ð=，则CFG Ð的度数为（）A ．27.5°B ．65°C ．62.5°D ．112.5°4．如图所示，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ．若AB ＝8，则△DEB 的周长为（）A ．6B ．8C ．10D ．125．如图，在ABC 中，CD 是ABC 的角平分线，DE BC ^于E ，F ，G 分别是边AC ，BC 上的点，连接DF ，DG ，若DF DG =，CDF 和DEG △的面积分别为50和15，则CDG 的面积为（）A ．30B ．25C ．20D ．156．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，使点P 到AB 、BC 的距离相等，则符合要求的作图痕迹（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交B 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是BAC Ð的平分线；②60ADC Ð=°；③点D 在AB 的中垂线上；④DAC S：1ABC S =△：3．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，90B C Ð=Ð=°，M 是BC 的中点，DM 平分ADC Ð，且120ADC =а，20cm BC =，则AM 的长度为（）A ．20cmB ．10cmC ．5cmD ．15cm 9．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A Ð=°，则BOC Ð（）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100°10．如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（）处．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．在ABC 中，,AB AC B =Ð的角平分线与AC 边所夹的锐角为60°，则A Ð的度数等于__________．12．如图，在ABC 中，BD 平分ABC Ð，如果8AB =，12BC =，ABD 的面积为16，则CBD 的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，AB ＝CB ．下列结论：①BD 垂直平分AC ；②BD 平分∠ADC ；③AB ∥CD ；④ABD ≌CBD ．其中所有正确结论的序号是_______．14．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 长是___．15．如图，已知ABC D 和ADE D 都是等腰三角形，90BAC DAE == ∠∠，BE 、CD 交于点O ，连接OA ．下列结论：①BE CD =；②BE ⊥CD ；③OA 平分CAE Ð；④45AOB Ð= ．其中正确结论的是__________．三、解答题16．如图，直线AB CD ∥，点E 在AB 上，EF 交CD 于点F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ．若46AEF Ð=°，求EGF Ð的度数．17．如图，AB ＝AC ，BD ＝DC ，DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，垂足分别是F ，E ．求证：DE ＝DF ．18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAD =∠BAD ，DE ⊥AB 于E ，点F 在边AC 上．（1）求证：DC =DE ；（2）若AC =4，AB =5，且△ABC 的面积等于6，求DE 的长．19．在ABC 中，AB AC =，90BAC Ð=°，AD BC ^于D ，过C 点引射线CF 交BA 延长线于F 点．过B 点作BE CF ^于E 点、分别交AD 、AC 于点G ，H ．(1)求证：ABH ACF △≌△；(2)若=AH AG ；①判断BE 是否是CBF 的角平分线，并说明理由；②说明2BH CE =．20．已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在ABC 中，BD 、CD 分别平分ABC Ð、ACB Ð，过点D 作直线分别交AB 、AC 于点E 、F ，若AE AF =，解答下列问题：（1）证明：DE DF =；（2）若60A Ð=°，8AB =，7BC =，5AC =，求EF 的长．答案1．B2．B3．C4．B5．C6．C7．D8．A9．A10．D11．20°或100°12．2413．①②④14．415．①②④16.解：180AEF BEF Ð+Ð=° ，180********BEF AEF \Ð=°-Ð=°-°=°．EG 平分BEF Ð，111346722BEG FEG BEF \Ð=Ð=а=´=°．AB CD ∥，67EGF BEG \Ð=Ð=°．17.证明：在ABD △和ACD △中，AB AC BD CD AD AD =ìï=íï=î，()ABD ACD SSS \@，BAD CAD \Ð=Ð，即AD 是BAC Ð的角平分线，,DF AB DE AC ^^ ，DE DF \=．18.解：（1）∵∠C =90°，∴DC AC ^，又∵∠CAD =∠BAD ，DE ⊥AB∴DC =DE ；（2）∵DC =DE ，∴ABC ACD ABD S S S =+△△△，∴1122ABC S AC CD AB DE =´´+´´△，∴1164522DE DE =´´+´´，解得：43DE =．19.(1)证明：∵BE ⊥CF 于E 点，∴∠BEC =90°，∴∠BAC =90°=∠BEC∵∠ABH +∠BHA =90°，∠ACF +∠CHE =90°，∠BHA =∠CHE ，∴∠ABH =∠ACF在△ABH 和△ACF 中∵90ABH ACF BAH CAF AB AC Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△ABH ≌△ACF （AAS ）．(2)解：①BE 是CBF 是角平分线．理由如下：∵AG =AH ，∴∠AGH =∠AHG ，∵∠AGH =∠BGD ，∴∠AHG =∠BGD∵AD ⊥BC 于D 点，∴∠GBD +∠BGD =90°，∵∠BAC =90°，∴∠ABH +∠AHB =90°，∴∠GBD =∠ABH ，∴BE 是△CBF 是角平分线．②证明：∵△ABH ≌△ACF ，∴BH =CF ，∵BE 是△CBF 是角平分线，∴EBC EBF Ð=Ð，在△BCE 和△BFE 中∵90EBC EBF BEC BEF BE BE Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴△BCE ≌△BFE ()AAS ，∴EF =CE =12CF ，∴BH =2CE ．20.（1）证明：连接AD ，AE AF =，\AEF 是等腰三角形，BD 、CD 分别平分ABC Ð、ACB Ð，\AD 平分BAC Ð，\DE DF =；（2）解：在BC 上取点M N 、，使得BE BM CF CN ==，，设2EF x =，则DE DF x ==， 60A AE AF Ð=°=，，\AEF 为等边三角形，\2AE AF EF x ===，60AEF Ð=°，在BED 和BMD 中，BE BM EBD MBD BD BD =ìïÐ=Ðíï=î，\BED ≌BMD （SAS ），\DM DE =，82BM BE x ==-，BED BMD Ð=Ð，60DMN AEF \Ð=Ð=°，在CND △和CFD △中，CN CFBM NCD FCD CD CD =ìïÐ=Ðíï=î，\NCD ≌FCD （SAS ），\,52DN DF CN CF x ===-，又 DE DF =，\DM DN DE x ===，又 60DMN Ð=°，\DMN 为等边三角形，\MN DM x ==，\(82)(52)7BC BM MN NC x x x =++=-++-=，即2x =，\24EF x ==．。

垂直平分线与角平分线课后练习如图，AB是∠DAC的平分线，且AD=AC．求证：BD=BC．给出以下两个定理：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．应用上述定理进行如下推理，如图，直线l是线段MN的垂直平分线．∵点A在直线l上，∴AM=AN（）∵BM=BN，∴点B在直线l上（）∵CM≠CN，∴点C不在直线l上．这是因为若是点C在直线l上，那么CM=CN（）这与条件CM≠CN矛盾．以上推理中各括号内应注明的理由依次是（）A．②①①B．②①②C．①②②D．①②①如下图，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足别离是E，F．以下结论不必然成立的是（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．OD=DE+DF如图，P是∠AOB平分线上一点，CD⊥OP于P，并别离交OA、OB于C，D，那么点P到∠AOB两边距离之和（）A．小于CD B．大于CD C．等于CD D．不能确信如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，∠BCD=10°，那么∠A的度数是．如图，AB=AC=10，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求：（1）∠ABD的度数；（2）假设△BCD的周长是m，求BC的长．已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB交边AB于点D，DE⊥BC垂足为E，BD = 2AD．求证：BE =CE ．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，AE 平分∠BAC ，交CD 于K ，交BC 于E ，F 是BE 上一点，且BF =CE ．求证：FK ∥AB ．如图，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的中垂线别离交AB 、BC 的延长线于点F 、E求证：（1）∠EAD =∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC =∠B ．如图，△ABC 的边BC 的中垂线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，且AB ＞AC ，求证：BE AC =AE ．如图，已知△ABC 中，∠BAC ：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AD =AC AB ．如图，△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于D ，且CD =15，AC =30，那么AB 的长为 ． 一个风筝如下图，两翼AB =AC ，横骨BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，问其中骨AD 能平分∠BAC 吗？什么缘故？ 已知AC 平分∠DAB ，CE ⊥AB 于E ，AB =AD +2BE ，那么以下结论：①1()2AE AB AD =+； ②∠DAB +∠DCB =180°；③CD =CB ；④S △ACE S △BCE =S △ADC ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个垂直平分线与角平分线课后练习参考答案见详解．详解：∵AB 是∠DAC 的平分线，∴∠DAB =∠CAB ，在△ABD和△ABC中，AD ACDAB CAB AB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ABC（SAS）．∴BD=BCD．详解：依照题意，第一个空，由垂直平分线取得线段相等，应用了性质，填①；第二个空，由线段相等得点在直线上，应用了判定，填②；第三个空，应用了垂直平分线的性质，填①．因此填①②①，应选D．D．详解：∵D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，∴DE=DF，故A选项成立，在Rt△ODE和Rt△ODF中，OD ODDE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL），∴OE=OF，∠ODE=∠ODF，故B、C选项成立，OD=DE+DF无法证明，不必然成立．应选D．A．详解：如图，过点P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，则PE、PF别离为点P到∠AOB两边的距离，∵PE＜PC，PF＜PD，∴PE+PF＜PC +PD，∴PE+PF＜CD，即点P到∠AOB两边距离之和小于CD．应选A．40°．详解：∵MN是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∵∠BCD=10°，∴∠A+∠ACD+∠BCD=90°，即2∠A+10°=90°，解得：∠A=40°．故答案为：40°．（1）40°；（2）m10．详解：（1）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD，∵∠A=40°，∴∠ABD=∠A=40°；（2）∵AB的垂直平分线交AC于D，∴AD=BD，∵△BCD的周长为m，∴BD+DC+BC=m，即AD+DC+BC=m，AC+BC=m，∵AC=10，BC=m，∴BC=m10．见详解详解：∵∠A=90°，DE⊥BC，CD平分∠ACB，∴AD=DE，∵BD = 2AD，∴BD =2DE．在Rt△BDE中，∵BD =2DE，∴∠B=30°．在Rt△ABC中，∵∠A=90°，∠B=30°，∴∠ACB=60°．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=30°．∴∠BCD=∠B，∴BD=CD．∵DE⊥BC，∴BE=CE．见详解．详解：证明：过点K作MK∥BC，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°，∴∠DKA=∠CEA，又∵∠DKA=∠CKE，∴∠CEA=∠CKE，∴CE=CK，又CE=BF，∴CK=BF，而MK∥BC，∴∠B=∠AMK，∴∠BCD+∠B=∠DCA+∠BCD=90°，∴∠AMK=∠DCA，在△AMK和△ACK中，∴∠AMK=∠ACK，AK=AK，∠MAK=∠CAK，∴△AMK≌△ACK，∴CK=MK，∴MK=BF，MK∥BF，四边形BFKM是平行四边形，∴FK∥AB．见详解详解：（1）∵EF是AD的中垂线，∴DE=AE．∴∠EAD=∠EDA．（2）∵EF为中垂线，∴FD=FA．∴∠FDA=∠FAD．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAC，因此∠FDA=∠DAC．∴DF∥AC．（3）∵∠EAD=∠EDA，∠EAD=∠DAC+∠CAE，∠EDA=∠B+∠BAD，∴∠DAC +∠CAE =∠B +∠BAD ，∵∠FAD =∠DAC ，∴∠EAC =∠B ．见详解详解：作DG ⊥AC ，连接BD 、CD ，∵AD 是外角∠BAG 的平分线，DE ⊥AB ，∴∠DAE =∠DAG ，那么在△ADE 与△ADG 中，DEA DGA EAD GAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△ADG （AAS ），∴AE =AG ，∵DF 是BC 的中垂线，∴BD =CD ，∴在Rt △BED 和Rt △CGD 中，DE DG BD CD =⎧⎨=⎩，∴Rt △BED ≌Rt △CGD （HL ）， ∴BE =CG =AC +AG ，AG =AE ，∴BE AC =AE ．见详解详解：在AC 上截取AE =AB ，连DE ，如图， 设∠C =x ，∵∠BAC ：∠ABC ：∠ACB =4：2：1，∴∠BAC =4x ，∠B =2x ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠3=∠4=2x ，∵在△ABD 和△AED 中，34AB AE AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴∠B =∠1=2x ，∴∠1=∠4，∴DA =DE ，∵∠1=∠2+∠C ，∠C =x ，∴∠2=2x x =x ，即∠2=∠C ，∴ED =EC ，∴DA =EC ，∴AC =AE +EC =AB +AD ，即AD =AC AB ．50．详解：如图，作DE ⊥AB ，∴∠BED =90°，∴∠BED =∠C =90°，∵∠EBD =∠ABC ，∴△ABC ∽△DBE ，∴AC DE BC BE=，设BD =x ，BE =y ，那么301515x y =+，30y =152+15x ，x =2y 15，在Rt △DBE 中，BD 2=DE 2+BE 2，即（2y 15）2=y 2+152，y （y 20）=0，∴y =20，AB =AE +BE =30+20=50．故答案为：50．能平分∠BAC ．详解：中骨AD 能平分∠BAC ．理由如下：∵BF ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB =∠AEC =90°，又∵AB =AC ，∠BAF =∠CAE ，∴△BAF ≌△CAE ，∴AF =AE ．在Rt △AED 和Rt △AFD 中，AD =AD ，AE =AF ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD ，∴∠EAD =∠FAD ，答：中骨AD 能平分∠BAC ．D ．详解：①在AE 取点F ，使EF =BE ．∵AB =AD +2BE =AF +EF +BE ，EF =BE ，∴AB =AD +2BE =AF +2BE ，∴AD =AF ，∴AB +AD =AF +EF +BE +AD =2AF +2EF =2（AF +EF ）=2AE ， ∴1()2AE AB AD =+，故①正确； ②在AB 上取点F ，使BE =EF ，连接CF ．在△ACD 与△ACF 中，∵AD =AF ，∠DAC =∠FAC ，AC =AC ，∴△ACD ≌△ACF ，∴∠ADC =∠AFC ．∵CE 垂直平分BF ，∴CF =CB ，∴∠CFB =∠B ．又∵∠AFC +∠CFB =180°，∴∠ADC +∠B =180°，∴∠DAB +∠DCB =360（∠ADC +∠B ）=180°，故②正确；③由②知，△ACD ≌△ACF ，∴CD =CF ，又∵CF =CB ，∴CD =CB ，故③正确；④易证△CEF ≌△CEB ，∴S △ACES △BCE =S △ACE S △FCE =S △ACF ，又∵△ACD ≌△ACF ， ∴S △ACF =S △A DC ，∴S △ACE S △BCE =S △ADC ，故④正确．应选D ．。

2022-2023学年人教版七年级数学上册《4.3.2角的比较与运算》知识点分类练习题（附答案）一．角平分线1．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOCC．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA2．如图所示，∠AOB＝156°，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，那么∠DOE 等于（）A．78°B．80°C．88°D．90°3．一个钝角的平分线和这个角的一边形成的角一定是（）A．锐角B．钝角C．直角D．平角4．如图，∠AOB是直角，OE平分∠AOC，OD平分∠BOC．求∠EOD的度数．5．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB 和∠AOC的度数．6．如图，点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∠COE＝90°，且OD平分∠AOC，求∠AOE和∠DOE的度数．7．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，则∠AOD＝（）A．45°B．55°C．65°D．75°8．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD 的平分线，∠MON等于度．9．如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝23°，则∠AOB＝度．10．点M，O，N顺次在同一直线上，射线OC，OD在直线MN同侧，且∠MOC＝64°，∠DON＝46°，则∠MOC的平分线与∠DON的平分线夹角的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．145°11．如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD＝15°，求∠AOB 的度数．12．已知在平面内，∠AOB＝60°，OD是∠AOB的角平分线，∠BOC＝20°，则∠COD 的度数是．二．角的计算13．不能用一副三角板拼出的角是（）A．150°B．105°C．15°D．110°14．如图，是一副三角板重叠而成的图形，则∠AOD+∠BOC＝°．15．如图，已知∠AOB＝90°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．（1）若∠DOB＝15°，求∠DOE的度数；（2）若∠DOB＝x，此时∠DOE＝．（1）解：∵∠AOB＝90°，∠DOB＝15°，∴∠1＝．又∵OD平分∠AOC，∴．请继续完成求∠DOE度数的推理过程：16．如图，∠DOC＝∠BOD，OB平分∠AOC．（1）若∠DOC＝20°，求∠BOD和∠AOC的度数；（2）若∠DOC＝α，则∠AOD＝°．17．如图，已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠AOD．（1）如图1，若∠COE＝35°，求∠DOB的度数；（2）若将图1中的∠COD放置到图2所示的位置，其他条件不变，若∠COE＝β，求∠DOB的度数．（根据图形中角的关系进行推理和计算，并用含β的代数式表示出∠DOB）18．如图，将两块三角尺AOB与COD的直角顶点O重合在一起，若∠AOD＝4∠BOC，OE为∠BOC的平分线，则∠DOE的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．72°19．平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM和ON分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，则∠MON的度数是．20．已知∠AOB＝70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC＝42°，则∠BOC的度数为．21．如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°．（1）若∠AOC＝32°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝2：7，求∠BOD的度数．22．如图，点O为直线AC上任意一点，∠AOB＝78°，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC．求∠EOC及∠DOC的度数．23．已知：如图，∠AOB＝∠AOC，∠COD＝∠AOD＝120°，求：∠COB的度数．24．如图，OE为∠AOD的平分线，∠EOC，∠COD＝18°，求：∠AOD的大小．三．比较角的大小25．将钝角，直角，平角，锐角由小到大依次排列，顺序是．26．比较大小：52°52′52.52°．（填“＞”、“＜”或“＝”）27．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则∠α与∠β的大小关系为（）A．∠α＜∠βB．∠α＝∠βC．∠α＞∠βD．无法估测28．把一副三角尺如图所示拼在一起．（1）写出图中∠A、∠B、∠BCD、∠D、∠AED的度数；（2）用小于号“＜”将上述各角连接起来．29．如图，数一数以O为顶点且小于180°的角一共有多少个？你能得到解这类问题的一般方法吗？参考答案一．角平分线1．解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；故选：D．2．解：∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD＝∠AOC，同理，∠COE＝∠BOC，又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝∠AOB＝×156°＝78°．故选：A．3．解：设这个角的度数是α°，则90＜α＜180，两边都除以2得：45＜α＜90，即是锐角．故选：A．4．解：∵OD平分∠BOC，∴∠DOC＝∠BOC，∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠COA，∴∠EOD＝∠DOC+∠COE＝（∠BOC+∠COA）＝∠AOB，∵∠AOB是直角，∴∠EOD＝45°．5．解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB∴∠BOE＝45°又∵∠EOF＝60°∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°∵OF平分∠BOC∴∠COB＝2×15°＝30°∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°6．解：∵点O为直线AB上的一点，∠BOC＝42°，∴∠AOC＝180°﹣42°＝138°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC＝69°，∵∠COE＝90°，∴∠DOE＝90°﹣69°＝21°，∴∠AOE＝∠AOD﹣∠DOE＝48°．7．解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝15°，∴∠COD＝3∠BOD＝45°，∴∠BOC＝45°﹣15°＝30°，∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠BOC＝∠AOC＝30°，∴∠AOD＝75°．故选：D．8．解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，∴∠COD＝90°（互为补角）∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义）∴∠MON＝90°+45°＝135°．故答案为135．9．解：∵OC平分∠AOB，且∠BOC＝23°，∴∠AOB＝2∠BOC＝46°．∴∠AOB＝46°．故答案为46．10．解：如图，设∠MOC的平分线为OE，∠DON的平分线为OF，∵∠MOC＝64°，∠DON＝46°，∴∠MOE＝∠MOC＝×64°＝32°，∠NOF＝∠DON＝×46°＝23°，∴∠EOF＝180°﹣∠MOE﹣∠NOF＝180°﹣32°﹣23°＝125°．故选：C．11．解：设∠AOC＝5x，则∠BOC＝2x，∠AOB＝7x，∵OD平分∠AOB，∴∠BOD＝∠AOB＝x，∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC∴15°＝x﹣2x，解得x＝10°，∴∠AOB＝7×10°＝70°．12．解：①OC在∠AOB外，如图1，OD是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∠B0D＝∠AOB＝30°，∠COD＝∠B0D+∠BOC＝30°+20°＝50°；②OC在∠AOB内，如图2，OD是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∠B0D＝∠AOB＝30°，∠COD＝∠B0D﹣∠BOC＝30°﹣20°＝10°．故答案为：50°或10°．二．角的计算13．解：A、150°可以用90°与60°角拼出；B、105°可以用60°与45°角拼出；C、15°可以用30°与45°角拼出；D、110°不能拼出．故选：D．14．解：∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COB+∠DOC+∠COB+∠COD，∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝180°．故答案为180．15．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠DOB＝15°，∴∠1＝90°﹣∠DOB＝90°﹣15°＝75°．又∵OD平分∠AOC，∴∠1＝∠COD＝∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝150°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝150°﹣90°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠3＝∠BOC＝30°，∴∠DOE＝∠DOB+∠3＝15°+30°＝45°；故答案为：90°﹣∠DOB＝90°﹣15°＝75°；∠1＝∠COD＝∠AOC，（2）∵∠AOB＝90°，∠DOB＝x，∴∠1＝90°﹣∠DOB＝90°﹣x．又∵OD平分∠AOC，∴∠1＝∠COD＝∠AOC，∴∠AOC＝2∠1＝180°﹣2x，∵∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝180°﹣2x﹣90°＝90°﹣2x，∵OE平分∠BOC，∴∠3＝∠BOC＝45°﹣x，∴∠DOE＝∠DOB+∠3＝x+45°﹣x＝45°．故答案为：45°．16．解：（1）∵∠DOC＝∠BOD，∠DOC＝20°，∴∠BOD＝3∠DOC＝60°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝60°﹣20°＝40°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠BOC＝80°，答：∠BOD和∠AOC的度数分别为60°，80°；（2）∵∠DOC＝∠BOD，∴∠BOD＝3∠DOC＝3α°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠DOC＝3α°﹣α°＝2α°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠BOC＝4α°，∴∠AOD＝∠DOC+∠AOC＝5α°，故答案为：5α．17．解：（1）∵∠COE＝35°，∠COD是直角，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝55°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝110°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝70°；（2）∵∠COD是直角，∠COE＝β，∴∠DOE＝∠COE﹣∠COD＝β﹣90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2β﹣180°，∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝360°﹣2β．18．解：∵∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∴∠AOB+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∠COD＝∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∵OE为∠BOC的平分线，∴∠COE＝∠BOC＝18°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣18°＝72°，故选：D．19．解：有两种情况，（1）射线OA在∠BOC的内部，∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠BON＝∠BOC＝×70°＝35°，∠BOM＝∠AOB＝×30°＝15°，∴∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝35°﹣15°＝20°．（2）射线OA在∠BOC的外部．∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∴∠BON＝∠BOC＝×70°＝35°，∠BOM＝∠AOB＝×30°＝15°，∴∠MON＝∠BON+∠BOM＝35°+15°＝50°．故答案为：20°或50°．20．解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝70°﹣42°＝28°；当点C与点C2重合时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝70°+42°＝112°．故答案为：28°或112°．21．解：（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝32°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣32°﹣90°＝58°；（2）∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD+∠BOC＝180°，∴∠BOD＝40°．22．解：∵∠AOB＝78°，OD平分∠AOB∴，∴∠DOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣39°＝141°；∵，∴∠EOC＝＝＝＝68°．23．解：∵∠COD＝∠AOD＝120°，∴∠AOC＝120°，∵∠AOB＝∠AOC，∴∠AOB＝40°，∴∠COB＝80°．24．解：∵∠COD＝∠EOC，∠COD＝18°，∴∠EOC＝72°；∵OE平分∠AOD，∴∠DOE＝∠AOE，∵∠EOC＝72°，∠COD＝18°，∴∠DOE＝54°，则∠AOD＝2∠DOE＝108°．三．比较角的大小25．解：将钝角，直角，平角，锐角由小到大依次排列，顺序是锐角＜直角＜钝角＜平角，故答案为：锐角＜直角＜钝角＜平角．26．解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，∴52.52°＝52°31′12″，52°52′＞52°31′12″，故答案为：＞．27．解：将∠α平移，使∠α与∠β两个角的顶点重合，∠α下边的一条边与∠β下边的一条边重合，可得：∠α上面的一条边在∠β的内部，所以∠α＜∠β，故选：A．28．解：（1）∠A＝30°，∠B＝90°，∠BCD＝150°，∠D＝45°，∠AED＝135°；（2）∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD．29．解：7+6+5+4+3+2+1＝＝28，一般地如果MOG小于180，且图中一共有几条射线，则一共有：（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝．。

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-4角平分线》同步练习（附答案）1．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．42．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD ＝8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．23．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：54．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．605．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线P A、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有②③④D．只有①③6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．127．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD ＝4，则四边形ABCD的面积是（）A．24B．30C．36D．428．在Rt△ABC中，如图所示，∠C＝90°，∠CAB＝60°，AD平分∠CAB，点D到AB的距离DE＝3.8cm，则BC等于（）A．3.8cm B．7.6cm C．11.4cm D．11.2cm9．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（）A．8B．7C．6D．510．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC＝1：3．A．1B．2C．3D．411．如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是．13．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，CD＝2，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝8，CD＝3，则△ABD的面积是．16．如图，已知：BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，S△ABC＝36cm2；，AB＝12cm，BC ＝18cm，则DE的长为cm．17．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是．18．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE ＝FC．求证：BD＝DF．21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．参考答案1．解：作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝DE＝2，∴S△BCE＝BC•EF＝×5×2＝5，故选：C．2．解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，P A⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，∴P A＝PE，PD＝PE，∴PE＝P A＝PD，∵P A+PD＝AD＝8，∴P A＝PD＝4，∴PE＝4．故选：C．3．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，故选：C．4．解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C＝90°，∴DE＝CD，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．故选：B．5．解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，P A平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC＝180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD＝AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，∴∠BAC＝2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B．6．解：过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，又∵∠C+∠BDC+∠DBC＝180°，∠ADB+∠A+∠ABD＝180°∠ADB＝∠C，∠A＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD是∠ABC的角平分线，又∵AD⊥AB，DH⊥BC，∴AD＝DH，又∵AD＝3，∴DH＝3，又∴点D是直线BC外一点，∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3．故选：C．7．解：过D作DH⊥AB交BA的延长线于H，∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4，∴四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝AB•DH+BC•CD＝×6×4+×9×4＝30，故选：B．8．解：∵∠C＝90°，∠CAB＝60°，∴∠B＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2DE＝7.6，又∵AD平分∠CAB，∴DC＝DE＝3.8，∴BC＝BD+DC＝7.6+3.8＝11.4．故选：C．9．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝4．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝8，∴28＝×8×4+×AC×4，∴AC＝6．故选：C．10．解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；③∵∠1＝∠B＝30°，∴AD＝BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2＝30°，∴CD＝AD，∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选：D．11．解：∵OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∠POA＝∠POB，OP＝OP∴△OP A≌△OPB（AAS），∴∠APO＝∠BPO，OA＝OB∴A、B、C项正确设PO与AB相交于E∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE∴△AOE≌△BOE∴∠AEO＝∠BEO＝90°∴OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选：D．12．解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A＝90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，∴△BDC的面积是×DE×BC＝×10×3＝15，故答案为：15．13．解：作PE⊥OA于E，∵CP∥OB，∴∠OPC＝∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA＝∠POD＝15°，∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，∴PE＝PC＝2，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝2，故答案为：2．14．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离＝CD＝2，∴△ABD的面积是5×2÷2＝5．故答案为：5．15．解：作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×8×3＝12．故答案为12．16．解：如图，过点D作DF⊥AB于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴DE＝DF，S△ABC＝S△ABD+S△BCD，＝AB•DF+BC•DE，＝×12•DE+×18•DE，＝15DE，∵△ABC＝36cm2，∴15DE＝36，解得DE＝2.4cm．故答案为：2.4．17．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．18．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．19．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．20．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．21．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠ADE＝∠ADF，∴AD是角平分线．。

第一章三角形的证明第四节角平分线精选练习一、单选题1．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据角平分线的作图，三角形的高的作图，线段的垂直平分线的作图，逐一分析各选项即可．【详解】解：∵到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点，∴选项B中的作图是作的三角形的两边的垂直平分线，符合题意，选项A中的作图，作的一个内角的平分线，作的一边的垂直平分线，不符合题意；选项C中的作图作的是两个内角的平分线，不符合题意，选项D中的作图作的一边的垂直平分线，作的一边上的高，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质再判断作图是解本题的关键．2．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，已知在ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC 交CD 于点E ，8,3BC DE ，则BCE 的面积等于（）A ．24B ．12C ．8D ．4∵CD 是AB 边上的高线，∴DE BD ，∵BE 平分ABC ，3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AD 平分BAC ，DE 平分ADC ，55B ，35C ，则ADE （）A ．50B ．55C ．60D ．62.5123货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A ．1处B ．2处C ．3处D ．4处【答案】D 【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路所围成部分三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解．【详解】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理的应用，熟练运用角平分线的性质定理是解决问题的关键．5．（2022秋·北京平谷·八年级统考期末）如图，Rt ABC △中，90A ，BP 平分ABC 交AC 于点P ，若4cm PA ，13cm BC ，则BCP 的面积是（）A ．252cm B ．213cm C ．245cm D ．226cm 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到线段两端的距离相等，可得4cm PH PA ，即可直接求得BCP 的面积．【详解】解：过点P 作PH BC 于点H ，∵BP 平分ABC ，4cm PH PA ，∵13cm BC ，2113426cm 2BCP S△．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是作出垂线求得BCP 的高．．（秋八年级单元测试）如图，是ABC 的角平分线，于点，且DE DG ，52ADG S ，38AED S △，则DEF 的面积为（）A ．7B ．12C ．8D ．14【答案】A 【分析】过点D 作DH AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF DH ，然后利用“HL ”证明Rt DEF △和Rt DGH △全等，根据全等三角形的面积相等可得EDF GDH S S ，设面积为S ，然后根据ADF ADH S S V V 列出方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH AC 于H ，∵AD 是ABC 的角平分线，DF AB ，∴DF DH ，在Rt DEF △和Rt DGH △中，DE DG DF DH，∴ Rt Rt HL DEF DGH ≌ ，∴EDF GDH S S ，设面积为S ，同理Rt Rt ADF ADH ≌ ，∴ADF ADH S S V V ，即3852S S ，解得7 S ，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明Rt Rt DEF DGH ≌ ．二、填空题7．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，点P 是AOB 的平分线上的一点，过点P 作PC OA ∥交OB 于点C ，PD OA ，若60AOB ，8OC ，则PD ___________为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC 、于点D 、E ；②分别以点D 、E 为圆心，大于12DE 的同样长为半径作弧，两弧交于点F ；③作射线BF 交AC 于点G ．如果6AB ，8BC ，ABG 的面积为12，则CBG 的面积为________．【答案】16【分析】由作图步骤可知：BG 为ABC 的角平分线，过G 作,GH BC GM AB ，可得GM GH ，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：由作图作法可知：BG 为ABC 的角平分线过G 作,GH BC GM AB ，∴GM GH∴16218ABG AB GM S AB S BC为OC 上一点，过D 作直线DE ⊥OA ，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示，若DE =3，则DF =_______．【答案】6【分析】过点D 作 DM OB ，垂足为M ，则3DM DE ，在Rt OEF △中，利用三角形内角和定理可求出30 DFM ，在Rt DMF △中，由30 角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【详解】解：过点D 作 DM OB ，垂足为M ，如图所示．OC ∵是AOB 的平分线，3DM DE ．在Rt OEF △中，90OEF ，60EOF ，30OFE ，即30 DFM ．在Rt DMF △中，90DMF ，30 DFM ，26DF DM ．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30 角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF 的长是解题的关键．10．（2021春·贵州贵阳·八年级贵阳市第十七中学校考期中）如图，在ABC 中，90B Ð=°，AD 平分BAC ，10BC ，6CD ，则点D 到AC 的距离为______．【答案】4【分析】过点D 作DE AC 于点E ，再根据角平分线的性质，即可进行解答．【详解】解：过点D 作DE AC 于点E ，∵10BC ，6CD ，∴1064BD BC CD ，∵AD 平分BAC ，90B Ð=°，DE AC ，∴4DE BD ，即点D 到AC 的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边的距离相等．三、解答题11．（2022秋·天津南开·八年级校考期末）如图，DE AB 于E ，DF AC 于F ，AD 平分BAC ，若BD CD ，10AB ，18AC ，求BE 的长．【答案】4BE ，【分析】先证明Rt BDE 与Rt CDF 全等得BE CF ，再证明Rt ADE △与Rt ADF 全等得AE AF ，设=BE CF x ，通过等量代换列方程即可求解．【详解】解：DE AB DF AC ∵，，AD 平分BACDE DF在Rt BDE 与Rt CDF 中DE DF BD CDRt BDE Rt CDF HL BE CF在Rt ADE △与Rt ADF 中DE DF AD ADRt ADE Rt ADF HL AE AF设=BE CF x ，18AC ∵，10AB ，∴18AF AC FC x ，10AE AB BE x1810x x4x 即4BE 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质和直角三角形全等的判定．12．（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）已知：如图，AD 为ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF 交AD 于点O ，求证：AD 垂直平分EF【答案】见解析【分析】根据AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，可得DE DF ，90DEA DFA ，则可证DEF DFE ，并得AEF AFE ，可证得AE AF ，根据DE DF ，AE AF ，得到点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，可证AD 垂直平分EF ．【详解】证明∵AD 平分BAC ，DE AB ，DF AC ，∴DE DF ，90DEA DFA ，∴DEF DFE ，∴DEA DEF DFA DFE ，∴AEF AFE∴AE AF ，∵DE DF ，AE AF ，∴点D 、点A 在EF 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分EF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．一、填空题1．（2022秋·河南安阳·八年级统考期中）如图，AD 平分CAB ，若:4:5ACD ABD S S △△，则:AB AC ________．【答案】5:4【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等可得两个三角形的高一样，再根据三角形面积公式即可求得．【详解】∵AD 平分CAB ，∴D 到AC 、AB 的距离相等，又∵:4:5ACD ABD S S △△根据三角形面积等于底乘以高，∴:5:4AB AC ，答案为∶5:4．【点睛】此题考查了角平分线的性质和三角形面积，解题的关键是熟悉角平分线的性质和三角形面积公式．2．（2021秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，E为AC的中点，AD平分23BAC BA CA，：：，AD与BE相交于点O，若OAE△的面积比BOD的面积大2，则ABC的面积是_____∵AD平分BAC，∴DM DN，∴121ABDAB DN S BD△是线段BC 的中垂线交AE 于E ，EF AF ，若26ACB ，25CBE ，则AED ∠___________．【答案】39°【分析】连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出CE BE ，ER EF ，根据全等求RCE EBF ，求出26ACB QED ，求出65BED CED ，求出REF 的度数，再求出CAB ，求出CAE ，根据三角形的外角性质求出DOE ，再求出答案即可．【详解】解：连接CE ，过E 作ER AC 于R ，交CD 于Q ，AE 交BC 于O ，∵DE 是线段BC 的中垂线，∴90EDC ，CE BE ，∴ECB CBE ，∵25CBE ，∴25ECB ，∴902565DEB CED ，∵ER AC ED BC ，，∴90QRC QDE ，9090ACB CQR EQD QED ，，CQR EQD ∵，ACB QED ，26ACB ∵，26QED ，AE ∵平分CAM ER AC EF AM ，，，ER EF ，在Rt ERC 和Rt EFB △中，CE BE ER EFRt ERC Rt EFB HL ≌（），262551EBF ACE ACB ECD ，90EFB ∵，90905139BEF EBF ，266539130REF RED BED BEF ，90ARE AFE ∵，360909013050CAM ，AE ∵平分CAM ，252651DOE CAE ACB ，ED BC ∵，90EDB ，90905139AED DOE ，故答案为：39°．【点睛】本题考查角平分线性质、中垂线性质、三角形内角和180°、三角形外角等于与它不相邻内角和、全等三角形的性质与判定，掌握这些并正确添加辅助线才能解答正确．4．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在AOB 和COD △中，OA OB ，OC OD ，OA OC ，40AOB COD ．连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①40AMB ，②AC BD ，③OM 平分AOD ，④MO 平分AMD ∠．其中正确的结论有______．（填序号）【答案】①②④【分析】由SAS 证明AOC BOD △△≌得出OCA ODB ，AC BD ，②正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，得出40 AMB AOB ，①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示：则90OGA OHB ，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；假设MO 平分AOD ，则 DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ≌ ，得AO OD ，而OC OD ，所以OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵40AOB COD ，∴AOB BOC COD BOC ，即AOC BOD ，在AOC 和BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD，∴AOC BOD △△≌ SAS ，∴OCA ODB ，AC BD ，故②正确；同时OAC OBD ，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ，∴40 AMB AOB ，故①正确；作OG AM 于G ，OH DM 于H ，如图所示，则90OGA OHB ，∵AOC BOD △△≌，∴OG OH ，∴MO 平分AMD ∠，故④正确；假设MO 平分AMD ∠，则 DOM AOM ，在AMO 与DMO 中，AOM DOM OM OM AMO DMO，∴AMO DMO ≌ SAS ，∴AO OD ，∵OC OD ，∴OA OC ，而OA OC ＜，故③错误；正确的个数有3个，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·山东聊城·八年级校考期末）如图，BAC 的角平分线与线段BC 的垂直平分线DG 交于点D ，DE AB ，DF AC ，垂足分别为点E 、F ．若10＝AB ，8AC ＝，则BE ______．【答案】1【分析】先根据角平分线性质定理得到DF DE ，再利用中垂线性质得到CD BD ．进而证明 Rt Rt CDF BDE HL ≌，通过线段之间的数量关系即可求解．【详解】解：如图，连接CD ，∵AD 是BAC 的平分线，DE AB ，DF AC ，∴DF DE ，90F DEB ，ADF ADE ，∴AF AE ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD BD ，在Rt CDF △和Rt BDE △中，CD BD DF DE，∴ Rt Rt CDF BDE HL ≌，∴BE CF ，∴2AB AE BE AF BE AC CF BE AC BE ，∵10AB ，8AC ，∴1BE 故答案为：1【点睛】本题考查了三角形中垂线的性质，角平分线的性质定理，还有用HL 证明两三角形全等．综合性较强，中等难度．合理的作出辅助线是解决这类图形问题的有效方法和解题关键．二、解答题6．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，点C 是MAN 的平分线上一点，CE AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且2AE AD AB ．求证：12180 ．34 ∵，CE AM ，CF CE ，CFD CEB 1AE AD AB∵，AD AF ACE ，BD 交AC 于点F ，连接AD ．(1)当40BAC =时，求BDC 的度数．(2)请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明．(3)求证：AD BE ∥．【答案】(1)20(2)12BDC BAC ，证明见解析(3)见解析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出70ABC ACB ，再利用邻补角的定义得到110ACE ，然后根据角平分线的定义可计算出1352DBC ABC ，1552ECD ACE ，再利用三角形外角性质可计算出BDC ；（2）由外角的性质得到1122BDC ABC ACE ，BAC ABC ACE ，即可得出12BDC BAC ；（3）作DM BG 于M ，DN AC 于N ，DH BE 于H ，根据角平分线的定义以及平行线的判定即可得到结论．【详解】（1）解：∵AB AC ，40BAC ，∴ 118040702ABC ACB，∴110ACE ，∵BD ，CD 分别平分EBA ，ECA ，形的性质，角平分线的定义与性质与判定，平行线的判定，熟练的利用角平分线的性质与判定进行证明是解本题的关键．8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）己知ABC 为等边三角形，取ABC 的边,AB BC 中点,D E ，连接DE ，如图1，易证DBE 为等边三角形，将DBE 绕点B 顺时针旋转，设旋转的角度ABD ，其中080I ．(1)如图2，当60 时，连接,AD CE ，求证：AD CE ；(2)在DBE 旋转过程中，当 超过一定角度时，如图3，连接,AD CE 会交于一点，记交点为点F ，AD 交BC 于点P ，CE 交BD 于点Q ，连接BF ，求证：FB 平分AFE ；(3)在第（2）问的条件下，试猜想线段,AF BF 和CF 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)AF CF BF ，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到答案；（2）过点B 作BN AD 于N ，过点B 作BH CE 于H ，如图所示，根据等边三角形性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABD CBE V V ≌，利用全等性质即可得到AD CE ，ABD CBE S S ，BAD BCE ，利用等面积得到BN BH ，再根据角平分线的判定定理即可得到答案；（3）在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示，根据等边三角形的判定与性质，利用两个三角形全等的判定定理得到 SAS ABM CBF △≌△，利用全等的性质即可得到答案．ABC ∵ ，DBE 都是等边三角形，AB BC ，BD BE ，ABC ABD CBE ，在ABD △和CBE △中，FB 平分AFE ；（3）解：AF CF BF ．理由如下：在AF 上截取MF BF ，连接BM ，如图所示：60AFB ∵，MF FB ，MFB △是等边三角形，MB BF ，60MBF ABC ，ABM CBF ，在ABM 和CBF V 中，CB AB ABM CBF BM BFSAS ABM CBF △≌△，AM CF ，AF AM MF ∵，AF CF BF ．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识，根据题意，添加恰当辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．。

5　角平分线基础过关全练知识点1　角平分线的性质定理1.(山东济南莱芜期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的平分线,已知DC=2,则BD的长为( )A.3.5B.4C.4.5D.52.【一题多变】(河南新乡辉县期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为( )A.2B.3C.4D.6[变式·条件变结论](北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD= .3.【一题多解】已知△ABC是等腰直角三角形,AB是其斜边,AD平分∠BAC,求证:AC+CD=AB.4.如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG垂直平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC交AC的延长线于F.(1)求证:BE=CF;(2)如果AB=5,AC=3,求AE、BE的长.知识点2　角平分线的判定定理5.如图所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,连接OP,若PA=PB,则∠1与∠2的大小关系是( )A.∠1=∠2B.∠1>∠2C.∠1<∠2D.无法确定6.【一题多解】如图,DB⊥AB于B,DC⊥AC于C,BD=DC,∠BAC=80°,则∠BAD的度数为( )A.10°B.40°C.30°D.20°7.(陕西咸阳武功期中)如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为N、M,OM=ON,BM与AN 相交于点P,连接OP.求证:点P在∠AOB的平分线上.知识点3　三角形三个内角的平分线的性质8.【社会主义先进文化】要想富,先修路.道路通,百业兴.古往今来,人们一直很重视修建道路.因为只有交通便利,货物才能流通,商业才能发达.如图,三条公路两两相交,现计划在△ABC内部安装一个探照灯,要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,则探照灯的位置是△ABC 的交点.( )A.三条角平分线B.三条中线C.三边上高的交点D.三边垂直平分线9.(山东临沂一模)如图,点P是△ABC内部的一点,点P到三边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,则∠BAC的度数为　( )A.65°B.80°C.100°D.70°能力提升全练10.(山东枣庄薛城期中,9,★★☆)如图,△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16,点O是△ABC三条角平分线的交点,则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC=( )A.4∶3∶2B.5∶3∶2C.2∶3∶4D.3∶4∶511.【新考向·尺规作图】(山东济南长清二模,9,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心, MN的长为半径画弧,两弧交于点O,作射线AO,交BC于点E.已知CE=3,BE=5,大于12则AC的长为( )A.8B.7C.6D.512.【一题多解】(黑龙江牡丹江中考,17,★★☆)在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD= .13.【教材变式·P126T2】(山东聊城临清期中,19,★★☆)如图,某私营企业要修建一个加油站,其设计要求:加油站到两村A、B的距离必须相等,且到两条公路m、n的距离也必须相等,那么加油站应修在什么位置?在图上标出它的位置.(要有作图痕迹)14.(山东烟台海阳期末,22,★★☆)如图,AD∥BC,∠D=90°,∠CPB=30°,∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P,且D,P,C在同一条直线上.(1)求∠PAD的度数;(2)求证:P是线段CD的中点.素养探究全练15.【推理能力】(江西赣州上犹月考)如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E.(1)求证:BD=CE;(2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长.答案全解全析基础过关全练1.B　过D点作DE⊥AB于E,如图,∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC=2.在Rt△BDE中,∵∠B=30°,∴BD=2DE=4.故选B.2.C　如图,过点D作DF⊥AC,垂足为F,∵△ACD的面积为16,AC=8,AC·DF=16,∴DF=4,∴12∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=4,故选C.[变式]　答案　1解析　过D点作DH⊥AC于H,如图,×2×1=1.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD=123.证明　证法一:如图,过点D作DE⊥AB于E,∵△ABC是等腰直角三角形,AB是斜边,∴∠B=45°,∠C=90°,∴△BDE是等腰直角三角形,∴BE=DE,∵AD平分∠BAC,CD⊥AC,DE⊥AB,∴CD=DE,∴CD=BE.在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD, CD=ED,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,∵AE+BE=AB,∴AC+CD=AB.证法二:如图,延长线段AC到E,使CE=CD,连接DE,∵CE=CD,∴∠E=∠EDC,∵∠ACB=90°,∠E+∠EDC=∠ACB,∴∠E=∠EDC=45°,∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=45°,∴∠B=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠BAD,在△EAD和△BAD中,∠EAD=∠BAD,∠E=∠B,AD=AD,∴△EAD≌△BAD(AAS),∴AE=AB,又∵AE=AC+CE=AC+CD,∴AC+CD=AB.4.解析　(1)证明:连接BD、CD,如图.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AF,∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°,∵DG垂直平分BC,∴BD=CD.在Rt△BED与Rt△CFD中,BD=CD, DE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),∴BE=CF.(2)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.在△AED和△AFD中,∠AED=∠AFD=90°,∠EAD=∠FAD,AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS),∴AE=AF,设BE=x,则CF=x,∵AB=5,AC=3,AE=AB-BE,AF=AC+CF,∴5-x=3+x,解得x=1,∴BE=1,∴AE=5-1=4.5.A　∵AD⊥OB,BC⊥OA,∴∠ACP=∠BDP,又∵∠APC=∠BPD,PA=PB,∴△ACP ≌△BDP(AAS),∴CP=DP,∴OP 平分∠AOB,∴∠1=∠2.故选A.6.B 解法一:【角平分线法】∵DB ⊥AB,DC ⊥AC,且BD=DC,∴AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°.故选B.解法二:【全等三角形法】∵DB ⊥AB,DC ⊥AC,∴∠B=∠C=90°,在Rt △ABD 和Rt △ACD 中,AD =AD ,BD =CD ,∴Rt △ABD ≌Rt △ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,又∵∠BAC=80°,∴∠BAD=40°.故选B.7.证明　∵AN ⊥OB,BM ⊥OA,∴∠ANO=∠BMO=90°,在Rt △ONP 和Rt △OMP 中,OP =OP ,ON =OM ,∴Rt △ONP ≌Rt △OMP(HL),∴PN=PM,∴OP 平分∠AOB,即点P 在∠AOB 的平分线上.8.A ∵探照灯的位置到这三条公路的距离都相等,∴探照灯的位置是△ABC 三条角平分线的交点.9.B 由题意可知,BP 、CP 是∠ABC 、∠ACB 的平分线,∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,∵∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=50°,∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2(∠PBC+∠PCB)=100°,∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故选B.能力提升全练10.A 如图,过点O 作OD ⊥AB 于点D,OE ⊥BC 于点E,OF ⊥AC 于点F,∵点O 是△ABC 三条角平分线的交点,∴OD=OE=OF,∵S △OAB =12AB·OD=12×16OD=8OD,S △OBC =12BC·OE=12×12OE=6OE,S △OAC =12AC·OF=12×8OF=4OF,∴S △OAB ∶S △OBC ∶S △OAC =8OD ∶6OE ∶4OF=4∶3∶2.故选A.11.C 过点E 作ED ⊥AB 于点D(图略),由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线,∵EC ⊥AC,ED ⊥AB,∴EC=ED=3,在Rt △ACE 和Rt △ADE 中,AE =AE ,EC =ED ,∴Rt △ACE ≌Rt △ADE(HL),∴AC=AD,∵在Rt △EDB 中,DE=3,BE=5,∴BD=4,设AC=x,则AB=4+x,故在Rt △ACB 中,AC 2+BC 2=AB 2,即x 2+82=(x+4)2,解得x=6,即AC 的长为6.故选C.12.答案　3解析　如图,过点D 作DE ⊥AB 于E,解法一:∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC 2+B C 2=62+82=10,∵AD 平分∠CAB,∠C=90°,DE ⊥AB,∴CD=DE.∵S △ACD +S △ABD =S △ABC ,∴12AC·CD+12AB·DE=12AC·BC,即12×6CD +12×10CD =12×6×8,解得CD=3.解法二:由解法一知CD=DE,AB=10,在Rt △ACD 和Rt △AED 中,AD =AD ,CD =ED ,∴Rt △ACD ≌Rt △AED(HL),∴AE=AC=6,∴BE=AB-AE=10-6=4,设CD=DE=x,则BD=8-x,在Rt △BDE 中,DE 2+BE 2=BD 2,即x 2+42=(8-x)2,解得x=3,故CD 的长为3.13.解析　如图,点P 或点P'即为所求作的点.14.解析　(1)∵AD ∥BC,∴∠C+∠D=180°,∴∠C=180°-∠D=180°-90°=90°,∵∠CPB=30°,∴∠PBC=90°-∠CPB=60°,∵BP 平分∠ABC,∴∠ABC=2∠PBC=120°,∵AD ∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴∠DAB=180°-120°=60°,∵AP 平分∠DAB,∴∠PAD=12∠DAB=30°.(2)证明:过P 点作PE ⊥AB 于E 点,如图,∵AP 平分∠DAB,PD ⊥AD,PE ⊥AB,∴PD=PE,∵BP 平分∠ABC,PC ⊥BC,PE ⊥AB,∴PC=PE,∴PD=PC,∴P 是线段CD 的中点.素养探究全练15.解析　(1)证明:连接PB,PC,如图,∵PQ 垂直平分BC,∴PB=PC,∵AP 平分∠DAC,PD ⊥AB,PE ⊥AC,∴PD=PE.在Rt △BPD 和Rt △CPE 中,PB =PC ,PD =PE ,∴Rt △BPD ≌Rt △CPE(HL),∴BD=CE.(2)在Rt △ADP 和Rt △AEP 中,AP =AP ,PD =PE ,∴Rt △ADP ≌Rt △AEP(HL),∴AD=AE,∵BD=CE,∴AD+AB=AC-AE,∴AD+6=12-AD,∴AD=3 cm.。