2017至2018年北京高三模拟分类汇编之立体几何大题

2017—2018年高考数学试题立体几何汇编及答案解析类型一 空间几何体的结构特征与三视图1.【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．12+πB ．32+πC ．123+πD ．323+π【答案】A 【解析】2π1211π3(21)1322V ⨯=⨯⨯+⨯⨯=+，选A. 2.【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A ） （B ）（C ） （D ）2 【答案】B 【解析】几何体是四棱锥，如图红色线为三视图还原后的几何体，最长的棱长为正方体的对角线，l == B.3.【2017山东，理13】由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .【答案】22π+【解析】该几何体的体积为21112211242V π=π⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 4．（2018年高考北京卷理科）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．5．（2018年高考数学全国卷1理科）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：=2．故选：B．6．（2018年高考数学全国卷3理科）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B ． C ． D ．【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A ．故选：A ．7．（2018年高考浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：V=．故选：C ．8．某多面体的三视图如图所示,则该几何体的体积与其 外接球的体积之比为( )A ．π186B ．π96 C ．π36 D ．π26选A类型二 空间几何体与空间旋转体的面积、体积问题1、如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______.解：如图，2、设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S ＝2π×4sin α×2×4cos α＝32πsin2α，当α＝π4时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.3、（2018年高考数学天津卷理科）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M ﹣EFGH 的体积为 ．【解答】解：正方体的棱长为1，M ﹣EFGH 的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为， 四棱锥M ﹣EFGH 的体积：=．故答案为：．4、(2014·课标Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解：原来毛坯体积为：π·32·6＝54π(cm 3)，由三视图知该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，故该零件的体积为：π·22·4＋π·32·2＝34π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20π(cm 3)，故切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20π54π＝1027 .故选C.6.【2017课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r =则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.7.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 . 【答案】92π 【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=. 8.【2017江苏，6】 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32 【解析】设球半径为r ，则2132π2342π3V r r V r ⨯==．故答案为32． 9、（2018年高考数学全国卷3理科）10．（5分）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为9，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．54【解答】解：△ABC 为等边三角形且面积为9，可得，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：O′C==，OO′==2，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6， 则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：=18．故选：B ．10、（2018年高考数学全国卷2理科）16．（5分）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π ．【解答】解：圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为，可得sin ∠AMB==．△SAB 的面积为5，可得sin ∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA 与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．11、（2018年高考数学全国卷1理科）12．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长明明就的最大值为：6×=．故选：A．12、（2018年江苏省高考数学试卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．类型三点共线、线共点问题1、如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.求证：B，D，O三点共线.证明：∵点E∈平面ABD，点H∈平面ABD，∴EH⊂平面AB D.∵EH∩FG＝O，∴点O∈平面AB D.同理可证点O∈平面BC D.∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝B D.即B，D，O三点共线.类型四共面问题1、下列如图所示的正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是____________.(填所有满足条件图形的序号)解：易知①③中PS ∥Q R ，∴四点共面.在②中构造如图所示的含点P ，S ，R ，Q 的正六边形，易知四点共面.在④中，由点P ，R ，Q 确定平面α，由图象观察知点S 在平面α外，因此四点不共面.综上知，故填①②③.类型五 异面直线问题1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．．5 C ．5D 【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D - ,则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====因此1cos 5BC D ∠== ，故选C 。

一．1. 已知正三棱锥P ABC−的六条棱长均为6，S是ABC△及其内部的点构成的集合，设集合{5}T Q S PQ=∈，则T表示的区域的面积为（A）34π（B）π（C）2π（D）3π2. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A. B. 4 C. 3+ D. 23. 某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（）．A. 6+B. 6+C. 12+D. 12+4. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．45. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3B．2C．2D．26. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．107. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．D．18. （5分）已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．二．1. （2019文）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面P AC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由．2. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．3. （2020） 如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点．（Ⅰ）求证：1//BC 平面1AD E ；（Ⅱ）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．5. （2022·）如图，在三棱柱111ABC A B C 中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．7. （2019理）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且＝．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且＝．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．8. （14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．9. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值，若不存在，说明理由．答案2. 二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=||=||=3. （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2 3.所以PAB为直角三角形，又因为PB=2PB BC+，则PBC为直角三角形，故又因为BC PA⊥PA PB P=，平面PAB，又x轴，过A所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,AP AC BC PC ====−设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则00m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1=，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，的法向量为(22,,x n y =00BC PC ⎧⋅=⋅=，即，所以(1,0,1)n =，11,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角，所以二面角A PC B −−的大小为π系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ， 由三棱柱111ABC A B C 可得四边形11ABB A 为平行四边形， 而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ， 而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ， 而,,NK MK K NK MK =⊂平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ， （2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥， 而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ， 平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ， 因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ， 因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N =， 故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥， 所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ， 故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===， 设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =， 则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =−，则()2,2,1n =−−，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则4,2n AB =⨯，故1BB M MKN ≅， 111A B BB ⊥， 1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()0,0,0,B 故()()(0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取，则(2,2,n =−−设直线AB 与平面所成的角为42cos ,233n AB ==⨯6.7. 证明：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ， ∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面P AD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴， AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），E （0，1，1），F （，，），P（0，0，2），B（2，﹣1，0），＝（0，1，1），＝（），平面AEP的法向量＝（1，0，0），设平面AEF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），设二面角F﹣AE﹣P的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角F﹣AE﹣P的余弦值为．（Ⅲ）直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上，且＝．∴G（，﹣，），∴＝（，﹣，），∵平面AEF的法向量＝（1，1，﹣1），＝﹣＝0，故直线AG在平面AEF内．8.二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为﹣．（III）证明：F（0，0，2），（2，0，1），∴=（2，0，﹣1），∴•=2+0﹣4=﹣2≠0， ∴与不垂直，∴FG 与平面BCD 不平行，又FG ⊄平面BCD ， ∴FG 与平面BCD 相交．9. ；．。

2017年北京各区一模文科立体几何汇编1.（2017海淀一模文18）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ABCD ⊥平面，2PA AB ==，,E F 分别是,PB PD 的中点.（Ⅰ）求证：PB平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积； （Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC .2.（2017西城一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．FEABDCP3.（2017东城一模文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =,PO ⊥平面ABCD .（Ⅰ）E 为棱PC 的中点，求证：//OE 平面PAB ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（Ⅲ）若PD PB ⊥，=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.4.（2017朝阳一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD BC ，PA AB ⊥，CD AD ⊥，12BC CD AD ==，E 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：PA CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面⊥PBD 平面PAB ； （Ⅲ）在平面．．PAB 内是否存在M ，使得直线CM平面PBE ，请说明理由.PAB C DE5.（2017丰台一模文17）如图1，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，得到三棱锥D ABC -（如图2），且DA BC ，点E 为侧棱DC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.6.（2017石景山一模文18）如图，在△ABC 中，C ∠为直角，4AC BC ==．沿△ABC 的中位线DE ，将△ADE 折起到△A DE '的位置，使得90A DC '∠=︒，得到四棱锥A BCDE '-．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A CD '； （Ⅱ）求三棱锥E A BC '-的体积；（Ⅲ）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面A BC '平行，设平面α截四棱锥A BCDE '-所得截面面积为S ，试求S 的值．图1图 27.（2017房山一模文18）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AB BC ⊥，2AB CD =，DE AB ⊥. 沿DE 将1A BD 折起到1A ED 的位置，连接11,A B AC ，,M N 分别为1,AC BE 的中点，如图2.（Ⅰ）求证：1DE A B ⊥； （Ⅱ）求证：1MNA ED 平面；（Ⅲ）在棱1A B 上是否存在一点G ，使得1EG A BC ⊥平面？若存在，求出1AG GB的值；若不存在，说明理由.8.（2017平谷一模文18）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD=3，PM=2MD ，AN=2NB ，（Ⅰ）求证：直线AM ∥平面PNC ；（Ⅱ）在AB 上是否存在一点E ，使CD ⊥平面PDE ，若存在，确定E 的位置，并证明，若不存在，说明理由；（Ⅲ）求三棱锥C ﹣PDA 的体积．9.（2017大兴一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，2,AD BC =四棱锥P ABCD -的体积为10，点P 在PD 上.（Ⅰ）求证：BC //平面PAD ；（Ⅱ）若AM PD ⊥,求证：PD ⊥平面ABM ；（Ⅲ）若点M 是棱PD 的中点，求三棱锥B ACM -的体积.10.（2017通州一模文18）如图1，直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，，//AD BC ，，6AD =，4BC =，1AB =，点E F ，分别在BC AD ，上，2BE AF ==，现将四边形ABEF 沿EF 折起到''A B EF 的位置，使得'3A C =，如图2所示.（Ⅰ）若P 为线段'A D 的中点，求证：//CP 平面''A B EF ； （Ⅱ）求证：平面''A B EF ⊥平面EFDC ； （Ⅲ）求几何体''A B EFDC 的体积.。

2017至2018年北京高三模拟分类汇编之集合精心校对版题号一二三总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2017年-2018年北京高考一模和二模真题的分类汇编。

2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。

3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.（2017北京西城区高三一模数学(文)）已知全集{1,2,3,4,5,6}U ，集合{1,3,5}A ，{1,4}B ，那么U A B e （A ）{3,5}（B ）{2,4,6}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,5,6}二、选择题（本大题共21小题，每小题0分，共0分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）2.（2017北京东城区高三一模数学(文)）如果|0R A x x ，0,1,2,3B ，那么集合B A A.空集 B.0C.0,1 D.1,2,33.（2017北京丰台区高三一模数学(文)）如果集合21A x x Z ，101B ,,，那么A B = （A ）2101,,,（B ）101,,（C ）01,（D ）10,4.（2017北京丰台区高三二模数学(文)）已知集合142,A x x B x x ，那么A B U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),（D ）(2),+5.（2017北京东城区高三二模数学(文)）已知全集U 是实数集R .右边的韦恩图表示集合{|2}M x x 与{|13}N x x 关系，那么阴影部分所表示的集合可能为姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●。

2017年北京各区一模文科立体几何汇编1.（2017海淀一模文18）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ABCD ⊥平面，2PA AB ==，,E F 分别是,PB PD 的中点.（Ⅰ）求证：PB平面FAC ；（Ⅱ）求三棱锥P EAD -的体积； （Ⅲ）求证：平面EAD ⊥平面FAC .解：(Ⅰ)连接BD ，与AC 交于点O ，连接OF ， 在PBD ∆中，O ，F 分别是BD ，PD 中点， 所以OFPB ，又因为OF ⊂平面FAC ，---1分 PB ⊄平面FAC ， 所以PB平面FAC .{说明：本题下面过程中的标灰部分不写不扣分}（Ⅱ）法1：因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥， 又因为AB AD ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，在直角PAB ∆中，2PA AB ==，E 为PB 中点， 所以1PAE S ∆=，法2：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA 为棱锥P ABD -的高. 因为2PA AB ==，底面ABCD 是正方形，FEABDCP（Ⅲ）证明：因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以AD PB ⊥，在等腰直角PAB ∆中，AE PB ⊥， 又AEAD A =，,AE AD ⊂平面EAD ，所以PB ⊥平面EAD ， 又OFPB ，所以OF ⊥平面EAD ， 又OF ⊂平面FAC ， 所以平面EAD ⊥平面FAC .2.（2017西城一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PFPC的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA BC ⊥． 因为ABCD 为正方形， 所以AB BC ⊥， 所以BC ⊥平面PAB ． 所以平面PAB ⊥平面PBC ．（Ⅱ）连接AF ． 因为PC ⊥平面AEFG ， 所以PC AF ⊥． 又因为PA AC =， 所以F 是PC 的中点．（Ⅲ）AE 与平面PCD 不可能平行．证明如下： 假设//AE 平面PCD ，因为//AB CD ，AB ⊄平面PCD ． 所以//AB 平面PCD ． 而AE AB ⊂，平面PAB ，所以平面//PAB 平面PCD ，这显然矛盾 所以假设不成立，即AE 与平面PCD 不可能平行．3.（2017东城一模文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =,PO ⊥平面ABCD .（Ⅰ）E 为棱PC 的中点，求证：//OE 平面PAB ； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（Ⅲ）若PD PB ⊥，=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.解：（I ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为AC 中点 又E 为棱PC 中点，所以//OE PA 因为OE ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//OE 平面PAB（II ）因为PO ABCD ⊥面， 所以PO AD ⊥又BD AD ⊥，BD PO O ⋂=， 所以AD PBD ⊥面 因为AD PAD ⊂面， 所以PAD PBD ⊥面面（III ）因为O 是平行四边形ABCD 对角线交点，所以O 为BD 中点 又PD PB ⊥，2AD BD ==，可求得112PO BD == 因为PO ABCD ⊥面，所以13P ABCD ABCD V S PO -=1222242ABCD ABD S S ∆==⨯⨯⨯=所以11441333P ABCD ABCD V S PO -==⨯⨯=四边形4.（2017朝阳一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，ADBC ，PA AB ⊥，CD AD ⊥，12BC CD AD ==，E 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：PA CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面⊥PBD 平面PAB ；（Ⅲ）在平面．．PAB 内是否存在M ，使得直线CM平面PBE ，请说明理由.证明：（Ⅰ）因为平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB平面ABCD AB =，又因为PA AB ⊥， 所以PA ⊥平面ABCD . 则PA CD ⊥.（Ⅱ）由已知，BCED ，且BC ＝ED ，所以四边形BCDE 是平行四边形，又CD AD ⊥，=BC CD ，所以四边形BCDE 是正方形， 连接CE ，所以⊥BD CE ， 又因为,=BCAE BC AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形， 所以CEAB ，则⊥BD AB .由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ，所以⊥PA BD ， 又因为PAAB A =，则⊥BD 平面PAB ， 且⊂BD 平面PBD ， 所以平面⊥PBD 平面PAB .（Ⅲ）在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点. 理由如下： 由已知，BCED ，且BC ＝ED .所以四边形BCDE 是平行四边形，所以CD EB ，即CM EB ，又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE ， 所以CM 平面PBE .PABC DE5.（2017丰台一模文17）如图1，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，得到三棱锥D ABC -（如图2），且DA BC ，点E 为侧棱DC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ； （Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，AD BC AC ==， 又因为E 为侧棱DC 的中点， 所以AE CD ⊥；因为AC BC ⊥，AD BC ⊥，且AC AD A =，所以BC ⊥平面ACD . 因为AE ⊂平面ACD ， 所以AE BC ⊥； 因为BCCD C =，所以AE ⊥平面BCD ， 又因为AE ⊂平面ABE ， 所以平面ABE ⊥平面BCD ．（Ⅱ）解：因为E ABC B ACE V V --=，BC ⊥平面ACD ， 所以BC 是三棱锥的高， 故13B ACE ACE V BC S -∆=⨯⨯，又因为=1BC ，=2CD ,22AE =， 所以111211=2=222224ACE S AE CD ∆=⨯⨯⨯⨯⨯， 所以有 11=312B ACE ACE V BC S -∆=⨯⨯图1图2（Ⅲ）解：取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO OF=，连接AF，DF，BF.因为BC AC=，所以射线CO是角ACB∠的角分线.又因为点E是的CD中点，所以OE∥DF，因为OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，所以DF∥平面ABE.因为AB、FC互相平分，故四边形ACBF为平行四边形，有BC∥AF.因为DA BC⊥，⊥，所以有AF AD6.（2017石景山一模文18）如图，在△ABC 中，C ∠为直角，4AC BC ==．沿△ABC 的中位线DE ，将△ADE 折起到△A DE '的位置，使得90A DC '∠=︒，得到四棱锥A BCDE '-．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A CD '； （Ⅱ）求三棱锥E A BC '-的体积；（Ⅲ）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面A BC '平行，设平面α截四棱锥A BCDE '-所得截面面积为S ，试求S 的值．（Ⅰ）证明：因为//DE BC ，且90C ∠=︒， 所以DE A D '⊥，同时DE DC ⊥， 又A D DC D '⋂=， 所以DE ⊥面.A CD ' 又因为//DE BC ， 所以BC ⊥平面A CD '．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BC ⊥平面A CD '，又A D '⊂平面A DC '， 所以A D BC '⊥，又因为90A DC '∠=︒，所以A D DC '⊥.又因为BC DC C ⋂=，所以A D '⊥平面BCDE . 所以，13E A BCA EBC EBC V V S A D ''--∆'==⨯． 依题意，11=42422EBC S BC CD ∆⨯=⨯⨯=．所以，184233E A BC V '-=⨯⨯=．（Ⅲ）分别取A D '，EA '，A B '的中点N ，P ，Q ，并连接MN ，NP ，PQ ，QM ． 因为平面α//平面A CD '，所以平面α与平面A CD '的交线平行于A C '， 因为M 是中点，所以平面α与平面A CD '的交线是A CD '∆的中位线MN ． 同理可证，四边形MNPQ 是平面α截四棱锥A BCDE '-的截面． 即：=MNPQ S S ．由（I ）可知：BC ⊥平面A CD '，所以BC A C '⊥， 又//,//QM A C MN BC QM MN '∴⊥．∴四边形MNPQ 是直角梯形．7.（2017房山一模文18）如图1，在直角梯形ABCD 中，AB CD ，AB BC ⊥，2AB CD =，DE AB ⊥. 沿DE 将1A BD 折起到1A ED 的位置，连接11,A B AC ，,M N 分别为1,AC BE 的中点，如图2.（Ⅰ）求证：1DE A B ⊥； （Ⅱ）求证：1MNA ED 平面；（Ⅲ）在棱1A B 上是否存在一点G ，使得1EG A BC ⊥平面？若存在，求出1AG GB的值；若不存在，说明理由.（Ⅰ）证明：DE ABDE AE DE EB⊥∴⊥⊥、 即1DE A E DE EB ⊥⊥、 又1A E ⊂平面1A EB 、EB ⊂平面1A EB 且1EB A E E ⋂=DE ∴⊥平面1A EB1A B ⊂平面1A EB 1DE A B ∴⊥（Ⅱ）找出1A D 中点F ,连接点M 与点F 、点E 与点F .F M 、分别为. 1A D 、1AC 中点 12MF DC ∴∥在直角梯形ABCD 中：CB AB AB DF ⊥⊥、且AB CD ∥则四边形EBCD 为矩形DC EB ∴∥N 为EB 中点 1122EN EB DC ∴== MF EN ∴∥则四边形ENMF 为平行四边形MN EF ∴∥ 又EF ⊂平面1A ED , MN ⊄平面1A EDMN ∴∥平面1A ED（Ⅲ）满足题意的G 存在. ED AB ⊥1ED EB ED A E ∴⊥⊥、 又EB ⊂平面1A EB 、1A E ⊂平面1A EB且1A E EB E =ED ∴⊥平面1A EB则ED EG ⊥要使EG ⊥平面1A BC ,即1EG A B ⊥ 在矩形ABCD 中： 2AB CD DC EB AE EB==∴=、 即1A E EB =则三角形1A EB 为等腰三角形要使1EG A B ⊥,点G 应为1A B 中点8.（2017平谷一模文18）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，（Ⅰ）求证：直线AM∥平面PNC；（Ⅱ）在AB上是否存在一点E，使CD⊥平面PDE，若存在，确定E的位置，并证明，若不存在，说明理由；（Ⅲ）求三棱锥C﹣PDA的体积．证明：（Ⅰ）在PC上去一点F，使PF=2FC，连接MF，NF，因为PM=2MD，AN=2NB，所以FM∥DC，，AN∥DC，AN=，所以．所以MFNA为平行四边形即AM∥NA又AM⊄平面PNC所以直线AM∥平面PNC（Ⅱ）因为E是AB中点，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，所以∠AED=90°因为AB∥CD，所以，∠EDC=90°，即CD⊥DE．又PD⊥平面ABCD，所以CD⊥PD又DE∩PD=D所以直线CD⊥平面PDE（Ⅲ）直线AB∥DC，且由（Ⅱ）可知，DE为点A到平面PDC的距离，，，.9.（2017大兴一模文18）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90DAB ABC ︒∠=∠=，2,AD BC =四棱锥P ABCD -的体积为10，点P 在PD 上.（Ⅰ）求证：BC //平面PAD ；（Ⅱ）若AM PD ⊥,求证：PD ⊥平面ABM ；（Ⅲ）若点M 是棱PD 的中点，求三棱锥B ACM -的体积.()I 证明：因为90DAB ABC ︒∠=∠=，所以//BC AD ,又因为BC ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD ，所以//BC 平面PAD .()II 证明：因为90DAB ︒∠=，所以BA AD ⊥,又因为面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ABCD AD =， 所以BA ⊥面PAD ，所以BA PD ⊥，又因为AM PD ⊥，BA AM A =，所以PD ⊥平面ABM .10.（2017通州一模文18）如图1，直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，，//AD BC ，，6AD =，4BC =，1AB =，点E F ，分别在BC AD ，上，2BE AF ==，现将四边形ABEF 沿EF 折起到''A B EF 的位置，使得'3A C =，如图2所示.（Ⅰ）若P 为线段'A D 的中点，求证：//CP 平面''A B EF ；（Ⅱ）求证：平面''A B EF ⊥平面EFDC ；（Ⅲ）求几何体''A B EFDC 的体积.。

2017-2018立体几何高考真题分类汇编（文科）2017新课标1卷6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是答案：A16．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。

若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。

答案：36π 18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； 90APD ∠=,且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四（2）若PA =PD =AB =DC ,棱锥的侧面积.2017新课标2卷6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A.90π B.63π C.42π D.36π答案：B15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为答案：14π18.(12分)如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=12AD, ∠BAD=∠ABC=90°。

（1） 证明：直线BC ∥平面PAD;（2） 若△PAD 面积为，求四棱锥P-ABCD 的体积。

2017新课标3卷9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4答案：B10．在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，则A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥答案：C19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．2018新课标1卷5. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D.【答案】B9. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为A. B.C. D. 2【答案】B10. 在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C.D.【答案】C18. 如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且， （1）证明：平面平面，（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．2018新课标2卷9．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ．BCD答案：C16．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．答案：8π19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2S SA SB SA 30︒SAB△8P ABC -AB BC ==4PA PB PC AC ====O AC点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．2018新课标3卷3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是答案：A12．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其PO ⊥ABC M BC 2MC MB =CPOM体积的最大值为面积为D ABCA．B．C．D．答案：B19．（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．。

2018北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何1. （朝阳理16）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD .在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以2AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =.由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD所以//BE 平面PCD . (8)（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, DP =. 在PAD ∆中，GH DG PA DP =，所以GH =. 所以tan CG GHC GH ∠==，cos GHC ∠=. 即二面角A PD C --………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以 PA ⊥底面ABCD . 又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)AC = ，(1,1,0)CD =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .又因为AP AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =- .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为(1, 1, 0)CD =- ，(0, 2,1)PD =-，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos AB ABθ⋅===n n . 即二面角A PD C --的余弦值为6………………………………13分2. （朝阳文17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC ∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD ，90PAD ∠=︒. 若12AB BC AD ==. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ，求证：BE 平面PCD .解：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD . 而CD ⊂底面ABCD ， 所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==， 所以AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………6分PA B CD QM（Ⅱ）设侧棱PD 的中点为F ，连结BE ，EF ，FC ，则EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以BC AD . 又12BC AD =，所以BC EF . 且BC EF =.所以四边形BEFC 为平行四边形，所以BE CF . 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………………………………13分3. （丰台理16）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =12AD =1，CD （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：PA // 平面BMQ ； （Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ，试确定t 的值 ．证明：（Ⅰ）连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ．∵BC ∥AD 且BC =12AD ，∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 在是棱PC 的中点，∴ MN // PA ∵ MN ⊂平面MQB ，PA ⊄平面MQB ， ∴ PA // 平面MBQ ． （Ⅱ）∵AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD // BQ ． ∵∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． 又∵平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴BQ ⊥平面PAD ．∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………9分 另证：AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD //∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90°． ∵ PA =PD ， ∴PQ ⊥AD ．∵ PQ ∩BQ =Q ， ∴AD ⊥平面PBQ ． ∵ AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB PAD ．……9分（Ⅲ）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ．∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， PA BCDQM∴PQ ⊥平面ABCD ．如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；(0,0,0)Q，P ，B，(1C -．设(,,)M x y z，则(,,PM x y z =，(1,)MC x y z =---， ∵PM tMC = ，∴(1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）， ∴11t x t y t z ⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪⎩ …………………12分在平面MBQ中，QB =，(1t QM t =-+ ，∴ 平面MBQ法向量为)m t =．∵二面角M -BQ -C 为30°，c o s 30n m n m ︒⋅===∴ 3t =． ……………………14分4. （丰台文16）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，BC =12AD ，PA =PD ，Q 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PBQ ；（Ⅱ）若点M 在棱PC 上，设PM =tMC ，试确定t 的值，使得PA //平面BMQ ．证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ PA =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分C（Ⅱ）当1t =时，PA //平面BMQ ．连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC //12DQ ， ∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， ∵点M 是线段PC 的中点， ∴ MN // PA ．∵ MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ，∴ PA // 平面BMQ ． ……………………13分5. （门头沟理16）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060,ABC ∠=2PB PD AB ===，PA PC =，AC 与BD 相交于点O .（Ⅰ）求证：⊥PO 底面ABCD ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若M 是PB 上的一点，且PB CM ⊥，求PM MB的值．（Ⅰ）证明：因为ABCD 为菱形，所以O 为,AC BD 的中点……………………………1分 因为,PB PD PA PC ==,所以,PO BD PO AC ⊥⊥所以⊥PO 底面 ABCD …………3分 （Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥建立如图所示空间直角坐标系 又060,2ABC PB AB ∠===得1,1OA OB OP === ……………………………4分所以(0,0,1),(0,(1,0,0),P B C D(0,1)PB =- ,(1,0,1)PC =-,1)PD =-……………………5分 设平面PCD 的法向量(,,)m x y z =APDCOB有00m PC m PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00x z z -=⎧⎪-=解得x z y z =⎧⎪⎨=⎪⎩所以m =……………………………8分cos ,m PB m PB m PB =cos ,7m PB ==- ……………………………9分 PB 与平面PCD…………………10分 （Ⅲ）因为点M 在PB 上,所以(0,1)PM PB λλ==-所以(0,,1)M λ-+, (1,,1)CM λ=--+因为PB CM ⊥所以 0CM PB = , 得310λλ+-= 解得14λ=所以13PMMB = ……………………………14分6. （门头沟文16）如图所示，PA 垂直矩形ABCD 所在的平面， F E 、分别为PC AB 、的中点。

.【海淀一模】(19) （本小题14分）x 2 y 2 1 （ab 0）的离心率为 3 ，且点T(2,1)在椭圆C 上，设 已知椭圆C ：2 b 2 2 a与OT 平行的直线l 与椭圆C 订交于P ，Q 两点，直线TP ，TQ 分别与x 轴正半轴交于M ，两点．求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)判断OM ON 的值能否为定值，并证明你的结论． （19）（本小题 14分） 4 11 a2b 2（Ⅰ）由题意a 2b 2c 2，c 3e2a解得：a 22，b2，c6 故椭圆C 的标准方程为 x 2 y 21·······························5分8 2（Ⅱ）假定直线 TP 或TQ 的斜率不存在，则P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为112(x2)，即y 2x2.y1x 2 y 218 2联立方程，得x 2 4x40，y1 2x2此时，直线 l 与椭圆C 相切，不合题意 .故直线TP 和TQ 的斜率存在.方法1：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则直线TP:y1y 1 1(x2)，x 1 2直线TQ:y1y 2 1(x2)x 2 2x 12x 2 2故|OM|2，|ON|21y 11 y 2;...由直线OT:y1x ，设直线PQ:y1x t （t 0）22x 2 y 2 182x 22tx 2t 24 0联立方程，1xy t2当0时，x 1 x 22t ，x 1x 22t 24|OM||ON|4(x12x 2 2)y 11 y2 14 (x 1 2x 2 21x)1xt1 t12 12 24x 1x 2 (t 2)(x 1 x 2) 4(t1)1124 x 1x 2 2 (t1)(x 1x 2)(t1)42t 2 4 (t2)(2t) 4(t1)1(t1)(1(2t 24)2t)(t1)242···································14分方法2：设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线 TP 和TQ的斜率分别为k1和k2由OT:y1x ，设直线PQ:y1x t （t 0）22x 2 y 218222联立方程，x 2tx 2t 401xy t2当0时，x 1 x 22t ，x 1x 22t 24k 1 k 2y 1 1 y 2 1x 1 2x 2 21x 1 t 1 1x 2 t 12 2 x 1 2x 2 2x 1x 2 (t2)(x 1 x 2) 4(t 1)(x 1 2)(x 22);...2t 24 (t 2)(2t) 4(t 1)(x 1 2)(x 2 2)故直线TP 和直线TQ 的斜率和为零故 TMN TNM故TMTN故T 在线段MN 的中垂线上，即MN 的中点横坐标为2故|OM| |ON| 4···································14分【东城一模】(18)（本小题13分）已知椭圆C ：x 2y 21（ab0）的离心率为3，且过点A(2,0).a 2b 22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不一样于点A 的两点，且直线AM ，AN 斜率之积等于1 ，试问直4线MN 能否过定点？假如，求出该点的坐标；若不是，请说明原因．（19）（本小题14分）411a 2b 2（Ⅰ）由题意a 2b 2c 2 ，ec 3a2解得：a2 2，b2，c6故椭圆C 的标准方程为x 2 y 2 1·······························5分8 2（Ⅱ）假定直线 TP 或TQ 的斜率不存在，则 P 点或Q 点的坐标为(2，－1)，直线l 的方程为y11(x2)，即y1x2 .22x 2 y 218 2联立方程，得x 24x40，y 1x 22此时，直线 l 与椭圆C 相切，不合题意 .故直线TP 和TQ 的斜率存在.;...方法1：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则直线TP:y1y11(x2)，x12直线TQ:y1y21 (x2)x22故|OM|2x12，|ON|2x22 y11y21由直线OT:y 1x，设直线PQ:y1x t（t0）22x2y218222联立方程，x2tx2t401xy t2当0时，x1x22t，x1x22t24|OM||ON|4(x12x22)y11y214(x12x221x2) 1x1t1t1 224x1x2(t2)(x1x2)4(t1) 1xx1(t1)(x x)(t1)2 41221242t24(t2)(2t)4(t1) 1(2t24)1(t1)(2t)(t1)2 42···································14分方法2：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，直线TP和TQ的斜率分别为k1和k2由OT:y 1x，设直线PQ:y1x t（t0）22x2y218222联立方程，x2tx2t401xy t2;..当0时，x1x22t，x1x22t24k1k2y11y21x12x221x1t11x2t122x12x22x1x2(t2)(x1x2)4(t1)(x12)(x22)2t24(t2)(2t)4(t1)(x12)(x22)故直线TP和直线TQ的斜率和为零故TMN TNM故TMTN故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为2故|OM| |ON|4···································14分【西城一模】19．（本小题满分14分）已知圆O:x2y24和椭圆C:x22y24，F是椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率和点F的坐标；（Ⅱ）点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于点Q（P,Q不重合），l是过点Q的圆O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与圆F的地点关系，并证明你的结论．解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为x2y21．[1分] 42所以a24，b22，进而c2a2b22．所以a2，c2．故椭圆C的离心率e c2．[3分]a2椭圆C的左焦点F的坐标为(2,0)．[4分]（Ⅱ）直线l与圆F相切．证明以下：[5分]设P(x0,y0)，此中2x02，则x022y024，[6分] ;..依题意可设Q(x 0,y 1)，则x 02y 124．[7 分]直线l的方程为y y 1x 0(x x 0)，y 1整理为 x 0xy 1y 4 0．[ 9分]所以圆F 的圆心F 到直线l的距离d| 2x 04| | 2x 2|．[11分]x 02 y 122由于|PF|2(x2)2y2(x2)21(4x2) 1x 2 22x4．[13分]0 022所以|PF|2 d 2，即|PF|d ，所以 直线l 与圆F 相切．[14分]【旭日一模】19．(本小题满分 14分)222，且过点(1,已知椭圆C:x2y 2 1(a b 0)的离心率为2 )．ab22（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线l 1 与椭圆C 交于A,B 两点，直线l 2 过坐标原点且与直线l 1的斜率互为相反数．若直线l 2 与椭圆交于E,F 两点且均不与点A,B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为 1，直线BF 与x 轴所成的锐角为2，判断1与2大小关系并加以证明．19．(本小题满分 14分)c2,a2解：（Ⅰ）由题意得a 2b 2 2 ,解得a 2， b1 ，c．c 11 1 1.a22b22故椭圆C 的方程为xy 2 1．..5分2（Ⅱ）1=2．证明以下：由题意可设直线 l 1的方程为yk(x 1)，直线l 2 的方程为y kx ，设点A(x 1,y 1)，;..B(x 2,y 2) ，E(x 3,y 3)， F(x 3, y 3)．要证1=2，即证直线 AE 与直线BF 的斜率之和为零，即k AE k BF 0．由于k AEkBFy 1 y 3 y 2 y 3x 1 x 3 x 2x 3k(x 1 1)kx 3k(x 2 1)kx 3x 1 x 3 x 2 x 3k[2xx(xx) 2x 2]12 12x 3)3．(x 1 x 3)(x 2yk(x1),由x 2y2得(1 2k 2 )x 24k 2 x 2k 22 0 ，1,222所以x 1x 21 4k ，x 1x 22k2 ．2k 2 1 2k 2ykx,2由 x 2得(1 2k 2)x 22，所以 22．y2 1,x 31 2k2所以2x 1x 2(x 1 2 4k 244k 24．x 2)2x 3 121 2k 21202k2kkAEkBFk[2x 1x 2 (x 1 x 2) 2x 32]0 ．(x 1 x 3)(x 2 x 3)所以1=2．..14分【丰台一模】（19）（本小题共 14分）3x 2 y 21(ab0)上，F(1,0)是椭圆的一个焦点．已知点P(1,)在椭圆C ：b 2 2a 2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 对于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线 y3 截得的弦长是定值．2（19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为F(1,0)，且c1．1分由于2a22(3)22(3)24，22;..所以a 2，ba 2 c 23，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以C 的方程x 2y 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分4 3（Ⅱ）明：由意可知D ，E 两点与点P 不重合．因D ，E 两点对于原点称，所以D(m,n)，E( m, n)，(m1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分以MN 直径的与直y3 交于G(t,3),H(t,3)(t0)两点，所以GM GN ．222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分3n直PD ：y32(x1)．2m1当x 0，y3 直PE ：y2n33 n 32 ，所以M(0, 2 m 1 2 m 1n 32 (x1)． m13)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2 n 33n当x0，y2 m 13，所以N(0,22m13)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分2n33n所以GM (t,2)，m1GN(t,2)，m 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分因GMGN ，所以GMGN0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2所以GM GNt 24n 2 9 0． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分4(m 1)因m 2n 2 1，即3m 2 4n 212，4n 2 93 3m 2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分43所以t23 0，所以t3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分4．2所以G(3,3)，H(3,3)，所以GH3．2 2 2 2所以以MN 直径的被直y3 3．⋯⋯⋯⋯14分截得的弦是定2【石景山一模】18．（本小共 13分）;...在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线x1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线 l:y kx b与曲线C相切于点P，与直线x1订交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E的坐标为(x,y)，由抛物线定义知，动点E的轨迹是以(1,0)为焦点，x1为准线的抛物线，所以动点E的轨迹C的方程为y24x．5分y kxb4y4b0．（Ⅱ）证明：由，消去x得：ky2y24x由于直线l与抛物线相切，所以16-16kb0，即b 1．8分k所以直线l的方程为y kx 1．k令x1，得y k1．k所以Q1,k1．10分k设切点坐标P(x0,y0)，则ky024y0+40，k12解得：P( , )，11分设M(m,0)，MQMP 1m(1m)21)2m1 k2k(k=m m2k2k所以当m2m2=0，即m1时，MQMP0m-10所以MQ MP所以以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M(1,0)．13分;..。

立体几何1（2017北京文）（本小题14分如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2017新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点．（1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．3（2017天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.4（2017新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有以下结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；其中正确的选项是________。

（填写所有正确结论的编号）5（2017山东理）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒获取的，G 是DF 的中点. （Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.6（2017新课标Ⅰ理数）．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O 。

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题 1、（昌平区2017届高三上学期期末） 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图是2、（朝阳区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为AB ．43CD ．4 3、（西城区2017届高三上学期期末）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是（A ）3 （B ） （C ）6 （D ）4、（东城区2017届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43 （C ）2 （D ）835、（丰台区2017届高三上学期期末）已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1]B ．13[,]22C ．[1,2]D ．3[,2]27、（海淀区2017届高三上学期期末）（海淀区2017届高三上学期期末）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．8、（石景山区2017届高三上学期期末）一个几何体的三视图如右图所示．已知这个几何体的体积为8，则h （）A．1B．2C．3D．69、（通州区2017届高三上学期期末）如图，某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积为A．163B．4C．83D．34二、解答题1、（昌平区2017届高三上学期期末）如图1，四边形ABCD 为正方形，延长DC 至E ，使得2CE DC =，将四边形ABCD 沿BC 折起到11A BCD 的位置，使平面11A BCD ⊥平面BCE ，如图2.（I ）求证：CE ⊥平面11A BCD ；（II ）求异面直线1BD 与1A E 所成角的大小；（III ）求平面BCE 与平面11A ED 所成锐二面角的余弦值.2、（朝阳区2017届高三上学期期末）在如图所示的几何体中， 四边形ABCD 为正方形，四边形ABEF 为直角梯形，且//,,AF BE AB BE ⊥平面ABCD 平面,ABEF AB = 22AB BE AF ===.（Ⅰ）求证：//AC 平面DEF ； （Ⅱ）若二面角D AB E --为直二面角， （i ）求直线AC 与平面CDE 所成角的大小； （ii ）棱DE 上是否存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ?若存在，求出DPDE的值；若不存在，请说明理由．3、（西城区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥 P ABCD -的体积．4、（东城区2017届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BED ； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥AC ？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．CA5、（丰台区2017届高三上学期期末）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点. （Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BFC -- 求四棱锥P ABCD -的体积．CPGF DE QA6、（海淀区2017届高三上学期期末）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线． （Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．7、（石景山区2017届高三上学期期末）如图1，等腰梯形BCDP 中，BC ∥PD ，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1AB BC ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置（如图2），使90P AD '∠=︒． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AC '； （Ⅱ）求二面角A P D C '--的余弦值；（Ⅲ）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．8、（通州区2017届高三上学期期末）在四棱锥P ABCD -中，△PAB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，2AB AD =，,M N 分别为,PB PC 中点. （Ⅰ）求证：MN //平面PAD ； （Ⅱ）求二面角B AM C --的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？ 若存在，求BEBC的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择、填空题1、C2、B3、C4、B5、B6、C7、1638、B 9、D二、解答题1、解：(Ⅰ)证明：因为平面11A BCD ⊥平面BCE ，且平面11A BCD 平面BCE BC =， 因为四边形ABCD 为正方形，E 在DC 的延长线上， 所以CE BC ⊥.因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥平面11A BCD . ……………4分(Ⅱ)法一：连接1AC . 因为11A BCD 是正方形， 所以11AC BD ⊥.因为CE ⊥平面11A BCD ， 所以1CE BD ⊥. 因为1AC CE C = ， 所以1BD ⊥平面1ACE . 所以11BD A E ⊥.所以异面直线1BD 与1A E 所成的角是90︒. ……………9分法二：以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示. 设1,CD =则2CE =.则11(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1),(1,0,1)C B E D A . 所以11(1,0,1),(1,2,1)BD A E =-=--.因为111111cos ,0BD A E BD A E BD A E ⋅<>===， 所以11BD AE ⊥.所以异面直线1BD 与1A E 所成的角是90︒. ……………9分(Ⅲ) 因为1CD ⊥平面BCE ，所以平面BCE 的法向量1(0,0,1)CD =. 设平面11A D E 的法向量(,,)n x y z =.因为111(1,0,0),(0,2,1)D A D E ==-， 所以1110n D A n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y z =⎧⎨-=⎩. 设1y =，则2z =.所以(0,1,2)n =.因为111cos ,CD n CD n CD n⋅<>===所以平面BCE 与平面11A ED所成的锐二面角的余弦值为5……………14分 2、证明：（Ⅰ）连结BD ，设AC BD O = ，因为四边形ABCD 为正方形， 所以O 为BD 中点．设G 为DE 的中点，连结,OG FG ，则//OG BE ，且12OG BE =． 由已知//AF BE ，且12AF BE =，所以//,AF OG OG AF =． 所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以//AO FG ，即//AC FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ．……………………………………………………5分（Ⅱ）由已知，//,AF BE AB BE ⊥，所以AF AB ⊥．因为二面角D AB E --为直二面角， 所以平面ABCD ⊥平面ABEF ． 所以AF ⊥平面ABCD ， 所以,AF AD AF AB ⊥⊥．四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥．所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点，,,AD AB AF 分别为,,x y z 轴建立空间直 角坐标系（如图）． 因为22AB BE AF ===，所以(000),(0,2,0),(2,2,0),(200),(0,2,2),(0,0,1)A B C D E F ，，，，，所以(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2)AC CD CE ==-=-．（i ）设平面CDE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0CD CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得20, 220. y x z -=⎧⎨-+=⎩即0, 0. y x z =⎧⎨-=⎩ 取1x =，得(1,0,1)=n ．设直线AC 与平面CDE 所成角为θ，则1sin cos ,2AC θ=〈〉==n ，因为090θ≤≤︒，所以30θ=︒．即直线AC 与平面CDE 所成角的大小为30︒．………………………………9分（ii ）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．又(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ，所以2(22)20,2(22)20.BP DF BP EF λλλλ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=---=⎪⎩解得 23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =． （另解）假设棱DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ．设(01)DPDEλλ=≤≤，则DP DE λ= ． 设(,,)P x y z ，则(2,,)DP x y z =-，因为(2,2,2)DE =-，所以(2,,)(2,2,2)x y z λ-=-．所以22,2,2x y z λλλ-=-==，所以P 点坐标为(22,2,2)λλλ-．因为(0,2,0)B ，所以(22,22,2)BP λλλ=--．设平面DEF 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则 0,m DF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩由(2,0,1),(0,2,1)DF EF =-=-- ， 得000020,20.x z y z -+=⎧⎨--=⎩取01x =，得(1,1,2)=-m ．由m BP μ=，即(22,22,2)(1,1,2)λλλμ--=-，可得22,22, 22.λμλμλμ-=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得23λ=．因为2[0,1]3∈，所以DE 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，且23DP DE =．………………………………………………………………14分3、解：（Ⅰ）因为90BAD ∠= ，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]y又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩ 令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30 ， 所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分] 4、解：（Ⅰ）设AC 与BD 的交点为F ，连结EF ． 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点． 在△PAC 中，由已知E 为PA 中点， 所以EF ∥PC ． 又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ，所以PC ∥平面BED ． ……………………………5分 （Ⅱ）取CD 中点O ，连结PO ．因为△PCD 是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥．又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取AB 中点G ，连结OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥．所以PO OG ⊥．…………………1分 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G ． (1,2,0)AC =- ，(0,1,1)PC =-．设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x = ． 所以(2,1,1)=n ．平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =．设,OG n 的夹角为α，所以cos α=．由图可知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC B --10分 （Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=--- ，(1,2,0)AC =-．由BM ⋅ 0AC = ，即12λ=．因为1[0,1]2λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM ⊥AC ． 此时，12PM PC λ==． …………………………14分 5、证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =.又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分（Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u ruur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a =-n ． (10)分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n……………….11分解得a =2,所以2PD =．……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分6、解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅= ，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则 110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z ==，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅ 法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O x y z -，则10,0,0),(2,0,0)1,3,0),(0,0,O A B D -（， 所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则,1y z =， 所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅7、解：（Ⅰ）因为90P AD '∠=︒，所以P A '⊥AD ．因为在等腰梯形中，AB ⊥AP ，所以在四棱锥中，AB ⊥AP '．又AD AB A ⋂=，所以P A '⊥面ABCD ． 因为CD ⊂面ABCD ，所以P A '⊥CD ．……3分因为等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==．所以AC =CD 2AD =．所以222AC CD AD +=．所以AC ⊥CD ．因为P A '⋂AC =A , 所以CD ⊥平面P AC '． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，P A '⊥面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系，A ()0,0,0，B ()1,0,0，C (D ()0,2,0，P '()0,0,1．所以(1,0,0)AB = ，(1,1,P C '=由（Ⅰ）知，平面P AD '的法向量为(1,0,0)AB =，设(,,)n x y z = 为平面P CD '的一个法向量，则00n CD n P C ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即00x y x y z -+=⎧⎨+-=⎩， 再令1y =，得(1,1,2)n = ．cos ,AB n =AB n AB n⋅⋅=6 所以二面角A P D C '-- …………9分 （Ⅲ）若线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．依题意可设AM AP λ'= ,其中01λ≤≤．所以(0,0,)M λ，(1,0,)BM λ=-．由（Ⅱ）知，平面P CD '的一个法向量(1,1,2)n =． 因为BM ∥平面P CD '，所以BM n ⊥，所以120BM n λ⋅=-+= ，解得12λ=．所以，线段P A '上存在点M ，使得BM ∥平面P CD '…………………14分 8、（Ⅰ）证明：∵M ，N 分别是PB ，PC 中点∴MN 是△ABC 的中位线 ∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面PAD . ……………….4分(Ⅱ)过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 如图建立空间直角坐标系设AB =2，则A （-1,0，0），C （1,1，0）,M （12,0，2）,B （1,0，0），N （12,12，2），则(2,1,0)AC =，3(,0,22AM = 设平面CAM 法向量为1111(,,)n x y z =，由110n AC n AM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得1111203022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11x =，则112,y z =-=1(1,2,n =- 平面ABM 法向量2(0,1,0)n =所以，二面角B AM C --的余弦值1212cos 2n n n n θ ⋅==因为二面角B AM C --是锐二面角，所以二面角B AM C --等于45 ……………….10分 （Ⅲ）存在……………….11分设(1,,0)E λ，则11(,22EN λ=-- ，由0EN AM EN MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得12λ=， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ， 此时12BE BC =.……………….14分。

2018高考模拟-立体几何一、单选题（共8题；共16分）1.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 60﹣12πB. 60﹣6πC. 72﹣12πD. 72﹣6π2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. πB. πC. πD. π3.如图，已知三棱锥P﹣ABC的底面是等腰直角三角形，且∠ACB= ，侧面PAB⊥底面ABC，AB=PA=PB=2．则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x，y，z分别是（）A. ，1，B. ，1，1C. 2，1，D. 2，1，14.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2πB.C.D.5.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A. 72 cm3B. 90 cm3C. 108 cm3D. 138 cm36.已知某几何体的三视图及相关数据如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2πB. πC. πD. +47.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的体积为（）A. πB. πC. πD. π8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. +8πB. +8πC. +16πD. +16π二、填空题（共1题；共2分）9.已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为________，表面积为________．三、综合题（共32题；共330分）10.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，∠A1AC=60°，AC=2AA1=4，点D，E分别是AA1， BC的中点．（1）证明：DE∥平面A1B1C；（2）若AB=2，∠BAC=60°，求直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值．11.如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D1在底面ABCD内的射影恰好为点C．（1）求证：AD1⊥BC；（2）若直线DD1与直线AB所成角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值．12.如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．13.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是A1B1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDC1；（2）若AB⊥AC，且AB=AC= AA1，求二面角A﹣BD﹣C1的余弦值．14.在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M是PD的中点，AC⊥AD，BA⊥BC，PC=AC=2BC，∠ACD=∠ACB．（1）求证：PA⊥CM；（2）求二面角M﹣AC﹣P的余弦值．15.如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD 交于点P，Q，若 =t ．（1）当t= 时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．16.如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．（1）求证：GH∥平面ADPE；（2）M是线段PC上一点，且PM= ，求二面角C﹣EF﹣M的余弦值．17.如图，在几何体ABCDQP中，AD⊥平面ABPQ，AB⊥AQ，AB∥CD∥PQ，CD=AD=AQ=PQ=AB．（1）证明：平面APD⊥平面BDP；（2）求二面角A﹣BP﹣C的正弦值．18.如图，底面为等腰梯形的四棱锥中，平面，为的中点，，， .（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积.19.如图，在底面为矩形的四棱椎P﹣ABCD中，PB⊥AB．（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；（2）若异面直线PC与BD所成角为60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B﹣PD﹣C的大小．20.在四棱柱中，底面是正方形，且，．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC= ，M在PC上，且PA∥面BDM．（1）求直线PC与平面BDM所成角的正弦值；（2）求平面BDM与平面PAD所成锐二面角的大小．22.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥底面ABCD，且∠ABC=．（1）求证：B1C1∥平面BCD1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面BCD1．23.如图，在五面体ABCDEF中，面CDE和面ABF都为等边三角形，面ABCD是等腰梯形，点P、Q分别是CD、AB的中点，FQ∥EP，PF=PQ，AB=2CD=2．（1）求证：平面ABF⊥平面PQFE；（2）若PQ与平面ABF所成的角为，求三棱锥P﹣QDE的体积．24.如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2 ，如图2．（1）求证：FA∥平面BC'D；（2）求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；（3）在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．25.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．26.如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．27.如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BD的中点，E是棱CC1上任意一点．（1）证明：BD⊥A1E；（2）如果AB=2，，OE⊥A1E，求AA1的长．28.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=2，点E在棱AB上移动．（1）当AE=1时，求证：直线D1E⊥平面A1DC1；（2）在（1）的条件下，求的值．29.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC的中点．（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APE⊥平面GCD；（2）求平面BDE与平面GCD所成锐二面角的余弦值．30.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．31.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥PD，异面直线PA与CD所成角等于60°．（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；（2）求直线CD和平面PAD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点E，使得平面PAB与平面BDE所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点E的位置，若不存在，请说明理由．32.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．（1）证明：AB⊥平面BCE；（2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值．33.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=AB=AC=a，，PA⊥底面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由．34.如图，在四棱锥中S﹣ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD 上一点，AE=ED= ，SE⊥AD．（1）证明：平面SBE⊥平面SEC（2）若SE=1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．35.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l．（1）求证：l∥EF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P﹣AE﹣B的余弦值．36.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当时，记四面体C1﹣BEC的体积为V1，四面体D﹣BEC的体积为V2，求V1：V2．37.如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记．（1）当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值．38.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF=1．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF（含端点）上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．39.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB，PA⊥PB，AB⊥BC，且平面PAB⊥平面ABCD，若AB=2，BC=1，．（1）求证：PA⊥平面PBC；（2）若点M在棱PB上，且PM：MB=3，求证CM∥平面PAD．40.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）求证：AB∥EF．41.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1．四、解答题（共9题；共60分）42.如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面ABC；（Ⅲ）求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．43.已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC= ，点N时线段AD的中点．（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出的值，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．44.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．45.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．46.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值；（Ⅲ）在线段CC1上是否存在点P，使得平面A1CD1⊥平面PBD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．47.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2 ，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥平面ABB1A1．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面BCD；（Ⅱ）若OC=OA，△AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．48.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB= ，E、F分别为线段PD和BC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．49.如图，在三棱锥中， ,平面平面，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积．50.如图，在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且 .（1）证明：平面；（2）若，为等边三角形，求四棱锥的体积．。

2018年北京高三模拟考试理科数学试题分类汇编---- 立体几何（2018年朝阳期末）5. 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为（ B ）A. 4B.43C.3D.8. 如图1，矩形ABCD中，AD .点E 在AB 边上， CE DE ⊥且1AE =.如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1AC 所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是（ C ）A . ①B. ①②C. ①③D. ②③ (2018年东城期末)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A ）（A ）16（B ）13（C ）12（D ）1(2018年海淀期末)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形正视图侧视图俯视图A 正（主）视图侧（左）视图主视图左视图俯视图④所有正确的说法是（ D ）（A）①（B）①②（C）②③（D）①③(2018年西城期末)13．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是__36__．(2018年丰台期末)6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ A ）A．2 B．．3(2018年石景山期末)7．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ B ）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈(2018年昌平期末)5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为（ B ）A. 1B.C. 2D.(2018年通州期末)8．如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C ，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交，点Q 为MN 中点，则Q 点的轨迹的长度是（ B ）A．2 B ．C ．1 D13．在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是___12____.(2018年房山期末)（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ B ）（A ）120 （B ）60 （C ）24 （D ）20（2018年朝阳一模）6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ D ）主视图左视图俯视图1 1 NMC 1B 1A 1CBA俯视图正视图 侧视图A ．34 B ．23 C ．12D ．13(2018年东城一模)（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为______12+(2018年海淀一模)（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ，则S 的值不可能是（ D ）(A) 1(B) 65(C) 43(D)32(2018年西城一模)4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（ D ）（A ）（B（C ）6 （D ）6+14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是．(2018年丰台一模)（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （ A ）(A)23(B)43 (C) 2(D) 83(2018年石景山一模)5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此多面体的体积是（ A ）A.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm（2018年朝阳二模）12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的底面和三个侧面中，直角三角形的个数是 3 .14.如图，已知四面体ABCD 的棱AB ∥平面α，且AB =1.四面体ABCD 以AB 所在的直线为轴旋转x 弧度，且始终在水平放置的平面α上方.如果将四面体ABCD 在平面α内正投影面积看成关于x 的函数，记为()S x ，则函数()S x 的最小值为4 ；()S x 的最小正周期为 π ．正视图侧视图俯视图(2018年东城二模)（12）如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的边长为1，若过直线BD '的平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱形，则该菱形的面积为(2018年海淀二模)（14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD ABC D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于CM ，则PBC ∆的面积的最小值为(2018年西城二模)4．某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是（ B ） （A ）12 （B）（C） （D）(2018年丰台二模)（14）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设线段1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题： ① 总有BM ∥平面1A DE ；② 三棱锥1C A DE -体积的最大值为3；A1MA 1MEDCBA俯视图左视图③ 存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90 ． 其中正确的命题是 ①② ．（写出所有．．正确命题的序号） (2018年昌平二模)7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（B ） A ．4 BC ． 2 D(2018年房山二模)（6）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ B ）（A ）4 （B ）22 （C ）7（D ）2 (2018年顺义二模)4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ B ）A.338 B.163 C. D.16主视图俯视图左视图解答题部分：（2018年朝阳期末） 17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//BC 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A DAC D =，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//BC 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ，ACBB 1C 1A 1DACBB 1C 1A 1DE所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥． 又因为11A B AC ⊥，1BCA B B =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =，()2,2,0AB =，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m，即1110,20.y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩设11z =，则()=m ．故cos ,7⋅〈〉===⋅m n m n m n由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --的余弦值为7． …………14分(2018年东城期末) （17）（本小题14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ,,O M 分别为线段,AD DE的中点．四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE DE =，AE DE ⊥. （Ⅰ）求证：CM //平面ABE ；（Ⅱ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（III ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长. 证明：（Ⅰ）取线段AE 中点P .连接BP 、MP . 因为点M 为DE 中点，所以//MP AD ，12MP AD =. 又因为B C D O 为正方形，所以//BC AD ，BC AD =，所以//BC MP ，BC MP =.所以四边形BCMP 为平行四边形，所以//CM BP . 因为CM ⊄平面ABE ，BP ⊂平面ABE ， 所以//CM 平面ABE . （Ⅱ）连接EO .因为AE DE =，O 为AD 中点，所以EO AD ⊥.. 因为EO ⊂平面ADE ，平面ADE ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =所以 ,EO OB EO OD ⊥⊥又因为正方形BCDO ，所以OB OD ⊥. 如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -.()0,1,0A -，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()0,0,1E ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AB =，()0,1,1AE =，则有 0,0.AB m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令1y =-，则1x z ==，即平面ABE 的一个法向量为()1,1,1m =-.()0,1,1DE =-，cos ,6DE DE DE⋅===m m m . 所以直线DE 与平面ABE （Ⅲ）设ON OD λ=，所以()0,,0N λ=，所以()1,,0NB λ=-，111,,22MB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面BMN 的法向量为(),,n u v w =，则有 0,0.NB n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,110.22u v u v w λ-=⎧⎪⎨--=⎪⎩令1v =，则()0,1,1n =.因为0CN n ⋅=，则,21u w λλ==-.即平面BMN 的一个法向量为(),1,21n λλ=-. 因为平面BMN ⊥平面ABE ，所以0m n ⋅=. 解得23λ=，所以53AN =.(2018年海淀期末) （17）（本小题14分）如图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC CD ==，2AD =，E 为AD 中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置， 使11A E A D =如图2.（Ⅰ）求证：平面1A ED⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设M 、N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.A E DBCD图1 图217. （本小题14分）（Ⅰ）证明：由图1，梯形ABCD 中，//AD BC ，CD BC ⊥，1BC =，2AD =，E 为AD 中点，BE AD ⊥故图2，1BE A E ⊥，BE DE ⊥……………..1分 因为1A E DE E =I ，1A E ，DE ⊂平面1A DE……………..2分所以BE ⊥平面1A DE ……………..3分 因为BE ⊂平面BCDE ，所以平面1A DE ⊥平面BCDE ……………..4分（Ⅱ） 解一：取DE 中点O ，连接1OA ，ON .因为在1A DE ∆中，111A E A D DE ===，O 为DE 中点xy所以1AO DE ⊥因为平面1A DE ⊥平面BCDE平面1A DE平面BCDE DE =1AO ⊂平面1A DE 所以1AO ⊥平面BCDE 因为在正方形BCDE 中，O 、N 分别为DE 、BC 的中点，所以ON DE ⊥ 建系如图.则1(0,0,2A ，1(1,,0)2B -，1(1,,0)2C ，1(0,,0)2D ，1(0,,0)2E -.……………..5分11(1,,2A B =-uuu r11(0,,2A D =uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD所成角的正弦值为4……………..10分 （Ⅱ） 解二：在平面1A DE 内作EF ED ⊥， 由BE ⊥平面1A DE ，建系如图.则11(0,,22A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,0)E . ……………..5分xy11(1,,22A B =--uuu r11(0,,)22A D =-uuu r ，(1,0,0)DC =u u u r ，设平面1ACD 的法向量为(,,)n x y z =r，则100n A D n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uuu r，即1020y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，令1z =得，y =所以n =r是平面1ACD 的一个方向量. ……………..7分111cos ,||||A B n A B n A B n ⋅<>===⋅uuu r ruuu r r uuu r r ……………..9分所以1A B 与平面1A CD……………..10分 （Ⅲ）解：三棱锥1M ACD -和三棱锥1N ACD -的体积相等. 理由如下:方法一：由1(0,,44M ，1(1,,0)2N，知1(1,,44MN =-uuu r ，则0MN n ⋅=uuu r r……………..11分因为MN ⊂平面1ACD ，……………..12分所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取DE 中点P ，连接MP ，NP ，MN .因为在1A DE ∆中，M ，P 分别是1A E ，DE 的中点，所以1//MP A D 因为在正方形BCDE 中，N ，P 分别是BC ，DE 的中点，所以//NP CD 因为MPNP P =，MP ，NP ⊂平面MNP ，1A D ，CD ⊂平面1ACD 所以平面MNP //平面1ACD ……………..11分因为MN ⊂平面MNP ，……………..12分 所以//MN 平面1ACD……………..13分故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分DD法二 法三 方法三：如图，取1A D 中点Q ，连接MN ，MQ ，CQ .因为在1A DE ∆中，M ，Q 分别是1A E ，1A D 的中点，所以//MQ ED 且12MQ ED = 因为在正方形BCDE 中，N 是BC 的中点，所以//NC ED 且12NC ED =所以//MQ NC 且MQ NC =，故四边形MNCQ 是平行四边形，故//MN CQ ……………..11分 因为CQ ⊂平面1ACD ，MN ⊂平面1ACD ， ……………..12分 所以//MN 平面1ACD . ……………..13分 故点M 、N 到平面1ACD 的距离相等，有三棱锥1M ACD -和1N ACD -同底等高，所以体积相等. ……………..14分(2018年西城期末) 17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11AA C C ，12AA AB AC ===，160A AC ︒∠=. 过1AA 的平面交11B C 于点E ，交BC 于点F . （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1ABC ；（Ⅱ）求证：四边形1AA EF 为平行四边形； （Ⅲ）若23BF BC =，求二面角1B AC F --的大小. 解：（Ⅰ）因为 AB ⊥平面11AA C C ，所以 1A C AB ⊥． [ 1分]因为 三棱柱111ABC A B C -中，1AA AC =，所以 四边形11AA C C 为菱形，所以 11A C AC ⊥． [ 3分]所以 1AC ⊥平面1ABC ． [ 4分] （Ⅱ）因为 11//A A B B ，1A A ⊄平面11BB C C ，所以 1//A A 平面11BB C C ． [ 5分] 因为 平面1AA EF平面11BB C C EF =，所以 1//A A EF ． [ 6分]因为 平面//ABC 平面111A B C ，平面1AA EF平面ABC AF =，平面1AA EF平面1111A B C A E =，所以 1//A E AF ． [ 7分] 所以 四边形1AA EF 为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面11AA C C 内，过A 作Az AC ⊥．因为 AB ⊥平面11AA C C ，如图建立空间直角坐标系A xyz -． [ 9分] 由题意得，(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，1(0,1A，1C ．因为23BF BC =，所以 244(,,0)333BF BC −−→−−→==-， 所以 24(,,0)33F ．由（Ⅰ）得平面1ABC的法向量为1(0,1,A C −−→=设平面1AC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0,AC AF −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即30,240.33y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 令1y =，则2x =-，z = (2,1,=-n ． [11分]所以 111|||cos ,|||||AC AC AC −−→−−→−−→⋅〈〉=n n n ． [13分] 由图知 二面角1B AC F --的平面角是锐角，所以 二面角1B AC F --的大小为45︒． [14分](2018年丰台期末)17．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,AB PC 的中点，2PA AD ==，CD =（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由.17．解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG . 因为,F G 分别是,PC PD 的中点， 所以FG CD ∥，且12FG CD =. 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点， 所以AE FG ∥，AE FG =. 所以AEFG 为平行四边形. 所以EF AG ∥.又因为AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥. 如图建立直角坐标系Axyz ，所以E ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D ，所以()0,1,1EF =uu u r，,2,02DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r . 设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =r，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r，所以0202y z x y +=⎧-=⎪⎩. 令1y =，所以1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩()1n =-r .又因为)2,2PC =-uu u r，设PC 与平面EFD 所成角为θ，所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u rr 45=. 所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ⊥， 即可证明平面PAM ⊥平面EFD . 设BC 上存在一点M，则)[](),00,2Mt t ∈，所以),0AM t =uuu r .因为2,0ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令0AM ED ⋅=u u u r u u u r ，即120t -+=，所以12t =.所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ，且14BM BC =.(2018年石景山期末) 17．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，PC PD ==E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC BED 平面； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF .因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分 又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分 所以//PC 平面BED . ……………4分 （Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，BADCE P又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分 取AB 中点G ，连接OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-u u u r. ……………6分 设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩令1z =，则1y =，2x =，所以(2,1,1)n =r.平面PCD 的法向量为(1,0,0)OG =u u u r，设n r ，OG uuu r 的夹角为α，所以cos α=. ……………9分由图可知二面角A PC D --为锐角， 所以二面角A PC B --……………10分（Ⅲ）设M 是棱PC 上一点，则存在[]0,1λ∈使得PM PC λ=uuu r uu u r．因此点(0,,1)M λλ-，(1,1,1)BM λλ=---u u u r ，(1,2,0)AC =-u u u r． ……12分 由0BM AC ⋅=u u u r u u u r ，即12λ=．因为[]10,12λ=∈，所以在棱PC 上存在点M ，使得BM AC ⊥，此时12PM PC λ==． ……………14分(2018年昌平期末) 18.（本小题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上. （I ）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：PE AC ⊥；（III ）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60°，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由． （I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点，所以MH // BP . 又因为 BP⊄平面ACM , MH ⊂平面ACM .所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为PAB ∆为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD=AB ，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD .又因为AC ⊂平面ABCD ，所以PE AC ⊥. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以E 为原点，分别以,,EB EC EP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系E xyz -， 则()0,0,0E ，()1,0,0B ，(P，()0C，()D -． ………10分假设棱PD 上存在点M ，设点M 坐标为(),,x y z ，()01PM PD λλ=≤≤，MPE DCBAHMPEDCBA则((,,x y z λ-=-，所以()2)M λλ--，所以()2)EM λλ=--，()EC =，设平面CEM 的法向量为(),,x y z =n ，则2)030EMx y z EC y λλ⎧⋅=-++-=⎪⎨⋅==⎪⎩n n，解得02)y x z λλ=⎧⎪⎨=-⎪⎩． 令2z λ=，则)x λ=-，得)),0,2λλ=-n ．因为PE ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量()0,0,1=m ，所以cos |||⋅〈〉===⋅n m n,m n |m因为二面角M EC D --的大小为60°，12=， 即23210λλ+-=，解得13λ=，或1λ=-（舍去）所以在棱PD 上存在点M ，当13PM PD =时，二面角M EC D --的大小为60°．…………………14分(2018年通州期末) 17．（本题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形， //AD BC ，AB DC ==，1122AD AA BC ===，点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点.（Ⅰ）求证：//CQ 平面1PAC ； （Ⅱ）求二面角1C AP D --的余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点E ，使PE 与平面1PAC 所成角的正弦值是21，若存在，求BE 的长；若不存在，请说明理由.17. 解：（Ⅰ）连接PQ ，因为点P ，Q 分别为11A D ，AD 的中点， 所以1//PQ C C ，1PQ C C =. 所以四边形PQCC 1是平行四边形.QP D 1C 1B 1A 1DCB A所以1//.CQ C P因为CQ ⊄平面1PAC ，1C P ⊂平面1PAC ， 所以//CQ 平面1.PAC ……………………4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ,1//AA PQ ， 所以PQ ⊥平面ABCD .……………………5分所以以Q 为坐标原点，分别以直线QA ，QP 为x 轴，z 轴建立空间直角坐标系Qxyz ，则y 轴在平面ABCD 内．所以(),,A 100，(),,P 002，(),,C -1212，(),,B 210， 所以()1,0,2PA =-，()12,1,0PC =-. ……………………7分设平面1PAC 的法向量为(),,n x y z =，所以,,n PA n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩100即,.x z x y -=⎧⎨-+=⎩2020所以()2,4,1n =. ……………………8分 设平面PAD 的法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==又二面角1C AP D --为锐角， 所以二面角1C AP D --的余弦值是21……………………10分 （Ⅲ）存在. 设点(),,E a 10，所以(),1,2.PE a =-设PE 与平面1PAC 所成角为θ，所以2sin cos ,21n PE θ===，解得 1.a = 所以 1.BE =……………………14分(2018年房山期末)（17）如图几何体ADM-BCN 中，ABCD 是正方形，NM //CD ，CN CD MD AD ⊥⊥,，=∠MDC o 120， 30=∠CDN ，42==MD MN .（Ⅰ）求证：CDMN AB 平面//；（Ⅱ）求证：AMD DN 平面⊥；（Ⅲ）求二面角D AM N --的余弦值.（17）解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，CD AB //； 又 MNCD 面⊂CD ，MNCD 面⊄AB ；MNCD //面AB ∴ …………………5分（Ⅱ） 四边形ABCD 是正方形⊥∴AD DC⊥AD MD ， CD D MD =，CD ，MNCD MD 平面⊂⊥∴AD MNCD 平面MNCD DN ⊂⊥∴AD DN=∠MDC o 120， 30=∠CDN90=∠∴MDN∴MD ND ⊥D MD AD = ，AMD MD AD 平面，⊂AMDDN 面⊥∴…………………10分（Ⅲ）法1：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyzD -，如图所示；由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,32,0(),0,0,2(),3,0,0(),0,0,0(N M A D ∴)0,32,0(),3,32,0(),3,0,2(=-=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=-⇒z y z x z y z x 23230332032 令3,3,2===y x z 则，)2,3,3(=∴n431632332||||,cos ==>=<∴DN n由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43…………………14分 法2：以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系xyz D -，如图所示； 由（Ⅱ）3,3,32===CN CD DN ；)0,3,0(),0,3,4(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(N M A D C ∴)0,3,3(),3,3,3(),3,3,1(-=--=-=∴设面AMN 的法向量),,(z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥∴n AM n ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+-=-+⇒z y x z y x z y x 300333033令3,1==y z 则，)1,3,0(=∴n432323||||,cos =⋅=>=<∴DN n 由图可知二面角D AM N --为锐角∴二面角D AM N --的余弦值为43. …………………14分 （2018年朝阳一模） 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O 为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分图1EAB C DOA '图2DEO（Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ， 因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-，所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130, 20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P A C λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y zλλ=， 所以000,3,x y zλλ===，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m.即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m， 0=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分(2018年东城一模)（17）（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD ，PBC 沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.图1 图2 证明：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥,PC BC ⊥， 所以在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥. 因为OA OB O =，所以PO ⊥平面OAB .因为AB ⊂平面OAB ,所以PO AB ⊥. ……………………4分 （Ⅱ）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM .过点O 作AB 的平行线OG .因为PO ⊥平面OAB ，所以PO ⊥OF ，PO ⊥OG . 因为OA ＝OB ，F 为AB 的中点， 所以OF ⊥AB . 所以OF ⊥OG .如图所示，建立空间直角坐标系O －xyz .A ()1，3，0，B ()－1，3，0，P ()0，0，1，M (12，32，0)．因为BO ＝BA ，M 为OA 的中点，所以BM ⊥OA .因为PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，所以平面POA ⊥平面OAB . 因为平面POA ∩平面OAB ＝OA ，BM ⊂平面OAB ， 所以BM ⊥平面POA .因为BM uuu r ＝(32，－32，0)．所以平面POA 的法向量m ＝()3，－1，0.BP uu r＝(1，－3，1)．设直线BP 与平面POA 所成角为α，则sin cos BP BP BPa ×=<>==uu r uu ruu r m m,m . 所以直线BP 与平面POA 所成角的正弦值为155. ………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知1122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1122OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()OA =. 设平面OAE 的法向量为n ，则有 0,0.OA OE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩ 令1y =-，则x =z =即=-n .所以21cos ,242⋅===⋅⨯m n m n m n .由题知二面角P －AO －E 为锐角，所以它的大小为3p. ……………………………14分(2018年海淀一模)（17）（本小题14分）已知三棱锥P -ABC （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形．在三棱锥P -ABC 中： （Ⅰ）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A -PC -B 的余弦值； （Ⅲ）若点M 在棱PC 上，满足CM CP =λ，1233,⎡⎤λ∈⎢⎥⎣⎦，点N 在棱BP 上，且BM AN ⊥，求BN BP 的取值范围.(图1)CAEC（Ⅰ）方法1：OCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO . 由题意PA PB PC ===1PO =，1AO BO CO ===因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 在POB ∆中，1PO =，1OB =，PB =所以 PO OB ⊥ ········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法2：OPCA B设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 PA PB PC ==，PO PO PO ==，AO BO CO ==所以 POA ∆≌POB ∆≌POC ∆ 所以 90POA POB POC ∠=∠=∠=︒所以 PO OB ⊥ ········································································· 2分 因为 ACOB O =，,AC OB ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 方法3：OCA Q设AC 的中点为O ，连接PO ，因为 在PAC ∆中，PA PC =，所以 PO AC ⊥ ········································································· 1分 设AB 的中点Q ， 连接PQ ，OQ 及OB . 因为 在OAB ∆中，OA OB =，Q 为AB 的中点 所以 OQ AB ⊥.因为 在PAB ∆中，PA PB =，Q 为AB 的中点 所以 PQ AB ⊥. 因为 PQOQ Q =，,PQ OQ ⊂平面OPQ所以 AB ⊥平面OPQ 因为 PO ⊂平面OPQ所以 PO AB ⊥ ········································································· 2分 因为 ABAC A =，,AB AC ⊂平面ABC ···································· 3分所以 PO ⊥平面ABC因为 PO ⊂平面PAC ································································ 4分 所以 平面PAC ⊥平面ABC 法4：OPCA设AC 的中点为O ，连接BO ，PO .因为 在PAC ∆中，PA PC =，O 为AC 的中点所以 PO AC ⊥， ······································································ 1分 因为 在ABC ∆中，BA BC =，O 为AC 的中点所以 BO AC ⊥， ······································································ 2分 因为 POBO O =，PO ⊂平面PAC ，BO ⊂平面ABC ，所以∠POB 为二面角P -AC -B 的平面角。

2018北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何【2018北京市丰台区一模理】5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．4 B．4+ C ．8D．4+【答案】B【2018北京市房山区一模理】10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为.【答案】32 【2018北京市海淀区一模理】（8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为A'B'C'D'A BCD（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6 【答案】B【2018北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；PDCBA（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PACPQ PB 的值．【答案】（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，D，C .………………………………………5分所以(BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+. ………………………………………11分 由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以=.解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =. ………………………………………14分 【2018年北京市西城区高三一模理】4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）2（B ）2（C ）28cm （D ）24cm 【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.【2018北京市门头沟区一模理】3．己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为【答案】B【2018北京市门头沟区一模理】8．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为12AA =，点M 是BC 的中点，P 是平面11A BCD 内的一个动点，且满足2PM ≤，P 到11A D 和AD 的距离相等，则点P 的轨迹的长度为(A)π(B)23π(C)(D)2【答案】D【2018北京市朝阳区一模理】4. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【2018北京市朝阳区一模理】10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】324【2018北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。

2017年高考试题分类汇编之立体几何一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017课标I 理）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） 10.A12.B 12.C 16.D2.（2017课标II 理）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）π90.A π63.B π42.C π36.D 3.（2017北京理）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）23.A 32.B 22.C 2.D4.（2017课标II 理）已知直三棱柱111C B A ABC -中，1,2,12010====∠CC BC AB ABC ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）23.A 515.B 510.C 33.D 5.（2017课标III 理）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） π.A 43.πB 2.πC 4.πD 6.（2017浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）12.+πA32.+πB123.+πC 323.+πD 7.（2017浙江）如图，已知正四面体ABC D -（所有棱长均相等的三棱锥），R Q P ,,分别为CABC AB ,,上的点，2,===RACRQC BQ PB AP ，分别记二面角P QR D R PQ D Q PR D ------,,的平面角为γβα,,（第1题）（第2题）（第3题）则（ ） βαγ<<.A βγα<<.B γβα<<.C αγβ<<.D⋅二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）8.（2017江苏）如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 . 9.（2017天津理）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的积为 .10.（2017山东理）由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .11.（2017课标I 理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为cm 5，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .F E D ,,为圆O 上的点，FAB ECA DBC ∆∆∆,,分别是以AB CA BC ,,为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB CA BC ,,为折痕折起FAB ECA DBC ∆∆∆,,，使得F E D ,,重合，得到三棱锥.当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3cm ）的最大值为_______.12.（2017课标III 理）b a ,为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线（第6题）（第7题）O O 1O 2⋅⋅（第8题）（第10题）（第11题）与b a ,都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成060角时，AB 与b 成030角；②当直线AB 与a 成060角时，AB 与b 成060角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为045； ④直线AB 与a 所成角的最小值为060. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）13.（2017课标I 理）如图，在四棱锥ABCD P -中，CD AB //，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面⊥PAB 平面PAD ；（2）若090,=∠===APD DC AB PD PA ，求二面角C PB A --的余弦值.14.（2017课标II 理）如图，四棱锥ABCD P -中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。

十二、三视图（一）试题细目表区县+题号类型考点思想方法2018•西城期末·13填空三视图、几何体表面积2018•海淀区期末•7选择三视图、三棱锥2018•石景山期末•7选择三视图、几何体体积2018·丰台期末·6选择三视图2018•通州期末•13填空三视图2018·房山区期末·7选择三视图、几何体体积2018·朝阳区期末·5选择三视图、几何体体积2018·东城区期末·7 选择三视图、几何体体积（二）试题解析1.（2018•西城期末·13）．从一个长方体中截取部分几何体，得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图所示．该几何体的表面积是____．【答案】362.（2018·海淀区期末·7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为②三棱锥的四个面全是直角三角形③三棱锥的四个面的面积最大的是所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D2.（2018·石景山期末·7）《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．下图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B3.（2018·丰台期末·6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（）A．2 B．5 C．22 D．3【答案】D4.（2018·通州区期末·13）在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示．已知小正方形网格的边长为1，那么该四面体的四个面中，面积最大的面的面积是_______.【答案】125.（2018·昌平区期末·5）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为A. 1B.C. 2D.【答案】B6.（2018·房山区期末·7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是120（B）60（A）（D）20（C）24【答案】B7.（2018·朝阳区期末·5）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B. 4 3C.42D.42【答案】A2222主视图左视图俯视图1128.（2018·东城区期末·7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为A.16B.13C.12D.1【答案】A十三、立体几何（一）试题细目表线与平面平行、二面角2018•东城期末•17解答直线与平面平行、直线和平面所成的角、平面和平面垂直（二）试题解析1.（2018·朝阳区期末·8）如图1，矩形ABCD 中，3AD =.点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时， ① 存在某个位置，使1CE DA ⊥； ② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A . ① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C2.（2018•海淀区期末·13）．已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在底面内，点在线段上，若，则长度的最小值为 . 【答案】3.（2018·通州区期末·8）如图，各棱长均为1的正三棱柱111ABC A B C -，M ，N 分别为线段1A B ，1B C 上的动点，若点M ，N 所在直线与平面11ACC A 不相交， 点Q 为MN 中点，则点的轨迹的长度是1111ABCD A B C D -42M BC P ABCD Q 11A C 1PM =PQ 33Q 图1BA DCCDA图2A ．2 B ． 2C ．1D 【答案】B4.（2018•丰台区期末·17）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，,E F 分别是,AB PC 的中点，2PA AD ==，CD =（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求PC 与平面EFD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱BC 上是否存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ？若存在，求出BMBC的值；若不存在，请说明理由.【答案】解：（Ⅰ）证明：取PD 中点G ，连接,AG FG . 因为,F G 分别是,PC PD 的中点， 所以FG CD ∥，且12FG CD =. 因为ABCD 是矩形，E 是AB 中点， 所以AE FG ∥，AE FG =. 所以AEFG 为平行四边形. 所以EF AG ∥.又因为AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥.因为四边形ABCD 是矩形，所以AB AD ⊥. 如图建立直角坐标系Axyz ，所以E ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,2,0D ，所以()0,1,1EF =uu u r，2,0DE ⎫=-⎪⎪⎝⎭uuu r .设平面EFD 的法向量为(),,n x y z =r，因为00n EF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu r，所以0202y z x y +=⎧-=⎩. 令1y =，所以1z x =-⎧⎪⎨=⎪⎩()1n =-r .又因为)2,2PC =-uu u r，设PC 与平面EFD 所成角为θ，所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅===⋅uu u r r uu u r r uu u rr 45=. 所以PC 与平面EFD 所成角的正弦值为45.（Ⅲ）因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，所以只要在BC 上找到一点M ，使得DE AM ⊥， 即可证明平面PAM ⊥平面EFD . 设BC 上存在一点M ，则()[]()2,,00,2Mt t ∈，所以()2,,0AM t =uuu r .因为2,2,0ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u r ，所以令0AM ED ⋅=uuu r uu u r ，即120t -+=，所以12t =.所以在BC 存在一点M ，使得平面PAM ⊥平面EFD ，且14BM BC =.5.（2018·西城区期末·17）如图，三棱柱中，平面，，.过的平面交于点，交于点. （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：四边形为平行四边形； （Ⅲ）若，求二面角的大小.111ABC A B C -AB ⊥11AA C C 12AA AB AC ===160A AC ︒∠=1AA 11B C E BC F 1A C ⊥1ABC 1AA EF 1B AC F --【答案】解：（Ⅰ）因为 平面，所以 ． [ 1分]因为 三棱柱中，，所以 四边形为菱形， 所以 ． [ 3分]所以 平面． [ 4分]（Ⅱ）因为 ，平面，所以 平面． [ 5分]因为 平面平面，所以 ． [ 6分] 因为 平面平面，平面平面，平面平面，所以 ． [ 7分]所以 四边形为平行四边形． [ 8分] （Ⅲ）在平面内，过作．因为 平面，如图建立空间直角坐标系． [ 9分] 由题意得，，，，，． 因为 ，所以 ，所以．由（Ⅰ）得平面的法向量为．设平面的法向量为，则即令，则，，所以 ． [11分]所以 ． [13分]AB ⊥11AA C C 1A C AB ⊥111ABC A B C -1AA AC =11AA C C 11A C AC ⊥1A C ⊥1ABC 11//A A B B 1A A ⊄11BB C C 1//A A 11BB C C 1AA EF I 11BB C C EF =1//A A EF //ABC 111A B C 1AA EF I ABC AF =1AA EF I 1111A B C A E =1//A E AF 1AA EF 11AA C C A Az AC ⊥AB ⊥11AA C C A xyz -(0,0,0)A (2,0,0)B (0,2,0)C 1(0,1,3)A 1(0,3,3)C 1ABC 1AC F (,,)x y z =n 1y =2x =-3z =-(2,1,3)=--n由图知 二面角的平面角是锐角，所以 二面角的大小为． [14分]6.（2018·海淀区期末·17）如题1，梯形中，为中点.将沿翻折到的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）设分别为和的中点，试比较三棱锥和三棱锥（图中未画出）的体积大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）证明：因为，，，，平面 ……………..1分 所以平面……………..2分因为平面，所以平面平面 ……………..3分（Ⅱ）解：在平面内作， 由平面，建系如图. ……………..4分1B AC F --1B AC F --45︒ABCD //,,1,2,AD BC CD BC BC CD AD E ⊥===AD ABE ∆BE 1A BE ∆1A DE ∆⊥BCDE 1A B 1A CD ,M N 1A E BC 1M A CD -1N A CD -1BE A E ⊥BE DE ⊥1A E DE E =I 1A E DE ⊂1A DE BE ⊥1A DE BE ⊂BCDE 1A DE ⊥BCDE 1A DE EF ED ⊥BE ⊥1A DE则，，，，.，， ……………..7分设平面的法向量为，则，即，令得，，所以是平面的一个方向量. ……………..9分……………..10分所以与平面所成角的正弦值为. ……………..11分（Ⅲ）解：三棱锥和三棱锥的体积相等.……………..12分 理由如: 方法一：由，，知，则因为平面，所以平面. ……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分方法二：如图，取中点，连接，，.因为在中，，分别是，的中点，所以 因为在正方形中，，分别是，的中点，所以 因为，，平面，，平面(1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D (0,0,0)E (1,0,0)DC =u u u r1A CD (,,)n x y z =r1z =3y=n =r1A CD 1A B 1ACD 1M A CD -1N A CD -0MN n ⋅=uuu r rMN ⊂1A CD //MN 1A CD M N 1A CD 1M A CD -1N A CD -DE P MP NP MN 1A DE ∆M P 1A E DE 1//MP A D BCDE N P BC DE //NP CD MP NP P =I MP NP ⊂MNP 1A D CD ⊂1A CD所以平面平面因为平面，所以平面 ……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分法二法三方法三：如图，取中点，连接，，.因为在中，，分别是，的中点，所以且因为在正方形中，是的中点，所以且所以且，故四边形是平行四边形，故 因为平面，平面，所以平面. ……………..13分故点、到平面的距离相等，有三棱锥和同底等高，所以体积相等. ……………..14分MNP //1A CD MN ⊂MNP //MN 1A CD M N 1A CD 1M A CD -1N A CD-1A D Q MN MQ CQ 1A DE ∆M Q 1A E 1A D //MQ ED BCDE N BC //NC ED //MQ NC MQ NC =MNCQ //MN CQ CQ ⊂1A CD MN ⊂1A CD //MN 1A CD M N 1A CD 1M A CD -1N A CD -7.（2018·石景山期末·17）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，1BC =，2AB =，2PC PD ==，E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC BED 平面； （Ⅱ）求二面角A PC D --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM AC ⊥？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 的交点为F ，连接EF . 因为ABCD 为矩形，所以F 为AC 的中点， 在PAC ∆中，由已知E 为PA 中点，所以//EF PC ， ……………2分 又EF ⊂平面BED ，PC ⊄平面BED ， ……………3分 所以//PC 平面BED . ……………4分 （Ⅱ）解：取CD 中点O ，连接PO . 因为PCD ∆是等腰三角形，O 为CD 的中点， 所以PO CD ⊥，又因为平面PCD ⊥平面ABCD ， 因为PO ⊂平面PCD ，PO CD ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ． ……………5分 取AB 中点G ，连接OG ， 由题设知四边形ABCD 为矩形， 所以OF CD ⊥， 所以PO OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,1,0)A -，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(0,1,0)D -，(1,1,0)B ，(0,0,0)O ，(1,0,0)G .(1,2,0)AC =-u u u r ，(0,1,1)PC =-uu u r. ……………6分 设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0,n AC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu r r uu u r 即20,0.x y y z -=⎧⎨-=⎩ 令1z =，则1y =，2x =， 所以.平面的法向量为，设，的夹角为，所以. ……………9分由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. ……………10分（Ⅲ）设是棱上一点，则存在使得．因此点，，． ……12分由，即．因为，所以在棱上存在点，使得，此时． ……………14分8.（2018·通州区期末·17）如图，在四棱柱PCD n r OG uuu rαA PC D --A PC B --M PC PM PC λ=uuu r uu u r (0,,1)M λλ-0BM AC ⋅=uuu r uuu rPC M BM AC ⊥1111ABCD A B C D -A x DCE Pyz O BMFG中，平面,底面为梯形， ，，，点，分别为，的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（Ⅰ）连接，因为点，分别为，的中点， 所以，. 所以四边形是平行四边形. 所以因为平面，平面， 所以平面……………………4分 （Ⅱ）因为平面,， 所以平面.……………………5分所以以为坐标原点，分别以直线，为轴，轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内．所以，，，，所以，. ……………………7分设平面的法向量为，所以即所以. ……………………8分设平面的法向量为，所以1AA ⊥ABCD ABCD //AD BC 2AB DC ==P Q 11A D AD //CQ 1PAC 1C AP D --BC E PE 1PAC BE PQ P Q 11A D AD 1//PQ C C 1PQ C C =PQCC 11//.CQ C P CQ ⊄1PAC 1C P ⊂1PAC //CQ 1.PAC 1AA ⊥ABCD 1//AA PQ PQ ⊥ABCD Q QA QP x z Qxyz y ABCD (),,C -12121PAC PAD又二面角为锐角，所以二面角的余弦值是……………………10分（Ⅲ）存在. 设点，所以设与平面所成角为，所以所以，解得所以……………………14分9.（2018·昌平区期末·18）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，为线段的中点，在线段上.（I ）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM ； （II ）求证：；（III ）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）证明：连接BD 交AC 于H 点，连接MH ，因为四边形ABCD 是菱形，所以点H 为BD 的中点. 又因为M 为PD 的中点， 所以MH // BP .又因为 BP 平面ACM , 平面ACM . 所以 PB // 平面ACM . ……………4分（II ）证明：因为为正三角形，E 为AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD=AB ，PE 平面P AB ， 所以PE ⊥平面ABCD .1C AP D --1C AP D --PE 1PAC θ 1.a =1.BE =PAB ∆E AB M PD M PD PE AC ⊥M M EC D --⊄MH ⊂PAB ∆⊂又因为平面，所以. ……………8分(Ⅲ) 因为ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，E 是AB 的中点， 所以CE ⊥AB .又因为PE ⊥平面ABCD ，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． ………10分 假设棱上存在点，设点坐标为，，则， 所以，所以，，设平面的法向量为，则，解得．令，则，得．因为PE ⊥平面ABCD ， 所以平面ABCD 的法向量，所以． 因为二面角的大小为60°， 所以，即， 解得，或（舍去）所以在棱PD 上存在点，当时，二面角的大小为60°．…………………14分10.（2018·房山区期末·18）如图几何体ADM -BCN 中，是正方形，，，，，.（Ⅰ）求证：；AC ⊂ABCD PE AC ⊥3(1)x λ=-M EC D --23210λλ+-=1λ=-M EC D --ABCD NM //CD CN CD MD AD ⊥⊥,=∠MDC o 120ο30=∠CDN 42==MD MN CDMN AB 平面//（Ⅰ）求证：； （Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】解：（Ⅰ）在正方形中，； 又，；…………………5分（Ⅰ）四边形是正方形，，，，，…………………10分（Ⅲ）法1：以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；由（Ⅱ）；设面的法向量，AMD DN 平面⊥D AM N --ABCD CD AB //ΘMNCD 面⊂CD MNCD 面⊄AB MNCD //面AB ∴ΘABCD ⊥∴AD DC Θ⊥AD MD I CD D MD =CD MNCD MD 平面⊂⊥∴AD MNCD 平面ΘMNCD DN ⊂⊥∴AD DN Θ=∠MDC o 120ο30=∠CDN ο90=∠∴MDN ∴MD ND ⊥ΘD MD AD =I AMD MD AD 平面，⊂AMD DN 面⊥∴xyz D -3,3,32===CN CD DN )0,32,0(),0,0,2(),3,0,0(),0,0,0(N M A D ∴)0,32,0(),3,32,0(),3,0,2(=-=-=∴DN AN AM AMN ),,(z y x n =ϖx令，由图可知二面角为锐角二面角的余弦值为…………………14分法2：以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示； 由（Ⅱ）；设面的法向量，令，由图可知二面角为锐角二面角的余弦值为. …………………14分11.（2018·朝阳区期末·17）如图，在三棱柱中，，是线段的中点，且 平面． （Ⅰ）求证：平面平面；3,3,2===y x z 则)2,3,3(=∴nϖD AM N --∴D AM N --xyz D -3,3,32===CN CD DN )0,3,0(),0,3,4(),3,0,3(),0,0,3(),0,0,0(N M A D C ∴)0,3,3(),3,3,3(),3,3,1(-=--=-=∴AMN ),,(z y x n =ϖ3,1==y z 则)1,3,0(=∴nϖD AM N --∴D AM N --111ABC A B C -90ACB ∠=oD AC 1A D ⊥ABC 1A BC ⊥11AAC C ACBB 1C 1A 1D（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）若，，求二面角 的余弦值.【答案】 （Ⅰ）证明：因为，所以．根据题意， 平面，平面，所以．因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接，设，连接．根据棱柱的性质可知，为的中点， 因为是的中点， 所以．又因为平面，平面，所以平面．………………8分 （Ⅲ）如图，取的中点，则，因为，所以， 又因为平面， 所以两两垂直．以为原点，分别以为 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，平面, 所以．又因为，,1//B C 1A BD 11A B AC ⊥2AC BC ==1A A B C--90ACB ∠=oBC AC ⊥1A D ⊥ABC BC ⊂ABC 1A D BC ⊥1A D AC D =I BC ⊥11AAC C BC ⊂1A BC 1A BC ⊥11AAC C 1AB 11AB A B E =I DE E 1AB D AC 1//DE B C DE ⊂1A BD 1B C ⊄1A BD 1//B C 1A BD AB F //DF BC BC AC ⊥DF AC ⊥1A D ⊥ABC 1,,DF DC DA D 1,,DF DC DA ,,x y z BC ⊥11AAC C 1BC AC ⊥11A B AC ⊥1BC A B B =I ACB B 1C 1A 1DEA所以平面，所以， 所以四边形为菱形．由已知，则，，，． 设平面的一个法向量为， 因为，，所以，即设，则． 再设平面的一个法向量为， 因为，，所以，即 设，则． 故．由图知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为． …………14分11.（2018·东城区期末·17）如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ADE ⊥平面ABCD ，,O M 为线段,AD DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，,AE DE AE DE =⊥. （Ⅰ）求证：CM ∥平面ABE ；（Ⅰ）求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；（Ⅰ）点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.1AC ⊥1A BC 11AC AC ⊥11AAC C 2AC BC ==1A AB 1z =1A BC 11z =1A A B C --1A A B C --【答案】解：（Ⅰ）如图取线段AE 中点P ，连接BP 、MP ，∵M 为DE 中点，∴MP//AD ，MP ＝12AD ， 又∵四边形BCDO 是边长为1的正方形，∴BC//CO ，BC=CO,∴BC//MP,BC ＝MP ．∴四边形BCMP 为平行四边形，∴CM//BP∵CM ⊄面ABE ，BP ⊂面ABE ，∴CM ∥平面ABE ；（Ⅰ）连接EO ，∵AE=DE ，O 为AD 中点，∴EO ⊥AD ．∵EO ⊂面ADE ，面ADE ⊥面ABCD ，面ADE∩面ABCD=AD ．∴EO ⊥面ABCD ．又∵OB ⊂面ABCD ，OD ⊂面ABCD ，∵EO ⊥BO ，EO ⊥OD ，如图建立空间直角坐标系．A （0，-1，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1），11(0,,)22M设面ABE 的法向量为(,,),(1,1,0),(0,1,1)m x y z AB AE ===u r u u u r u u u r由00AB m x y AE m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，可取(1,1,1)m =-u r .(0,1,1),cos ,DE m DE m DE DE m⋅=-<>=u u u r u r u u u r u r u u u r u u u r u r . ∴直线DE 与平面ABE（Ⅰ）设11,(0,,0),(1,,0),(1,,)22ON OD N NB MB λλλ==-=--u u u r u u u r u u u r u u u r . 设面BMN 的法向量为(,,)n a b c =r 则有011022n NB a b n MB a b c λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩r u u u r r u u u r 可得(,1,21)n λλ=-r∵平面BMN ⊥平面ABE ，∴0m n ⋅=u r r ，解得2=3λ. ∴53AN =.。

立体几何（三视图）【2017年北京卷第6题】某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为（A）60 （B）30 （C）20 （D）10【2017年山东卷第13题】由一个长方体和两个14圆柱组成的几何体的三视图如右图,那么该几何体的体积为 .【2017年浙江卷第3题】某几何体的三视图如下图（单位：cm），那么该几何体的体积（单位：3cm）是A. π+12B.π+32C.π3+12D.π3+32【2017年新课标II 第6题】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部份后所得，那么该几何体的体积为A.90πB.63πC.42πD.36π立体几何（点线面关系、大题）【2017年浙江卷第11题】我国古代数学家刘徽创建的“割圆术”能够估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

祖冲之继承并进展了“割圆术”，将π的值精准到小数点后七位，其结果领先世界一千连年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6= 。

【2017年新课标I 卷第16题】已知三棱锥S-ABC 的所有极点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.假设平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，那么球O 的表面积为________.【2017年新课标I 卷第6题】如图，在以下四个正方体中，A ，B 为正方体的两个极点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，那么在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）【2017年浙江卷第9题】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 别离为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CR QC RA==，别离记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α,β,γ，那么A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【2017年新课标III 卷第9题】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π4【2017年新课标II 第15题】长方体的长、宽、高别离为3,2,1，其极点都在球O 的球面上，那么球O 的表面积为【2017年新课标III 卷第10题】在正方体1111ABCD A B C D 中，E 为棱CD 的中点，那么A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【2017年天津卷第11题】已知一个正方体的所有极点在一个球面上，假设那个正方体的表面积为18，那么那个球的体积为 .【2017年江苏卷第6题】如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

2017年北京高考数学模拟汇编--立体几何西城一模14． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．平面区域W 由所有满足15A P ≤的点P 组成，则W 的面积是____；四面体1P A BC -的体积的最大值是____．西城一模18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AC =．过点A 的平面与棱,,PB PC PD 分别交于点,,E F G （,,E F G 三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若PC ⊥平面AEFG ，求PF PC 的值； （Ⅲ）直线AE 是否可能与平面PCD 平行？证明你的结论．丰台一模6. 由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（A ） （B ）（C ） （D ）丰台一模17.如图1，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，1BC AC ==，现将△DAC 沿AC 折起，得到三棱锥D ABC -(如图2)，且DA BC ，点E 为侧棱DC 的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面DBC ；（Ⅱ）求三棱锥E ABC -的体积；正视图侧视图．正视图侧视图．Ｄ．俯视图侧视图侧视图俯视图．正（主）视图 侧（左）视图 俯视图2 11 1（Ⅲ）在ACB ∠的角平分线上是否存在点F ，使得DF ∥平面ABE ？若存在，求DF 的长；若不存在，请说明理由.石景山一模6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 （ ） A ． 25B ． 45C ． 225+D ． 5 石景山一模如图，在△ABC 中，C ∠为直角，4AC BC ==．沿△ABC 的中位线DE ，将△ADE 折起到△A DE '的位置，使得90A DC '∠=︒，得到四棱锥A BCDE '-．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面A CD '；（Ⅱ）求三棱锥E A BC '-的体积；（Ⅲ）M 是棱CD 的中点，过M 做平面α与平面A BC '平行，设平面α截四棱锥A BCDE '-所得截面面积为S ，试求S 的值．东城一模（7）如果某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的四个侧面中是直角三角形的有A.1B.2C.3 图1图2D.4东城一模 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AD BD ⊥且=AD BD ，AC BD O =,PO ⊥平面ABCD .（I ）E 为棱PC 的中点，求证：//OE 平面PAB ；（II ）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；(III) 若PD PB ⊥，=2AD ,求四棱锥P ABCD -的体积.朝阳一模（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的底面的面积是（A ）12（B ）32 （C ）14 （D ）34 朝阳一模 18如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AD BC ，PA AB ⊥，CD AD ⊥，12BC CD AD ==，E 为AD 的中点. （Ⅰ）求证：PA CD ⊥；（Ⅱ）求证：平面⊥PBD 平面PAB ；（Ⅲ）在平面．．PAB 内是否存在M ，使得直线CM平面PBE ，请说明理由.海淀一模5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长堎的长度为A. √5B. √6C. 2√2D. 35. 在△ABC 中点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 18. （本小题满分14分）在四棱锥P-ABCD 中，地面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E ，F 分别是PB ，PD 的中点。