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第二节 目标规划的图解法

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目标规划——建模与图解法

目标规划——建模与图解法

目标规划模型一般形式
L K min Pl [ ( lk d k lk d k )] l 1 k 1 n s.t. ckj x j d k d k g k , k 1,2, , K (LGP ) j 1 n aij x j (, )bi , i 1,2,, m j 1 x j , d k , d k 0, j 1,2, , n, k 1,2, , K
目标规划问题的提出
例5.1 某公司分厂用一条生产线生产两 种产品A和B ，每周生产线运行时间为 60小时，生产一台A产品需要4小时，生 产一台B产品需要6小时．根据市场预测， A、B产品平均销售量分别为每周9、8 台，它们销售利润分别为12、18万元。 在制定生产计划时，经理考虑下述4项 目标：
首先，产量不能超过市场预测的需求；
目标函数的基本形式有三种： （1） 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可 能地小。这时取 min（d+ + d- )； （2） 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。 这时取 min（d+ )； （3） 要求不低于目标值，即使相应目 标约束的负偏差变量要尽可能地小。 这时取 min （d- )；
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估计为 252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
目标规划模型的基本概念
（1）正、负偏差变量d+，d我们用正偏差变量d+ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量d- 表示决策 值不足目标值的部分。因决策值不可能 既超过目标值同时又末达到目标值，故 恒有 d+ d- ＝ 0 ． （2）绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两 部分：绝对约束和目标约束。

目标规划的图解法

目标规划的图解法

O
50
E 500/11;500/11 ; d1 d1 d2 d2 0 D 360/7;360/7 ; d1 d1 d2 0,d2 92/7
C 100 l2
150
d
2
d
2
l4
x1 l1
小结
第一节 目标规划的基本概念与数学模型 一 问题的提出 二 目标规划的基本概念
1 决策变量与偏差变量 ２ 目标约束与绝对约束 ３ 目标规划的目标函数达成函数 ４ 优先因子与权系数
x1
2 x2
d3d3 6
x1,x2
0,di,di
0,(i
1,2,3) x2
l2
(l1)
(l2)
考虑P2 级目标，由于直线 交，所以在R1 内无法使
dl22与(Rl031不)因相此
在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级
目标完全满足．这样R2 就缩为一点，
因为在R1中，使 达到d 最小的为A点，
所以：x* = (10 ,0),
关于最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点;
使单个目标达到最优值最大值或最小值 而目标规划是在
可行域内;首先寻找到一个使P1级目标均满足的区域R1; 然后再在R1中寻找一个使P2级目标均满足或尽最大可能 满足的区域R2R1;再在R2中寻找一个满足P3的各目标的 区 域 R3R2R1;…; 如 此 下 去 ; 直 到 寻 找 到 一 个 区 域 RkRk1…R1;满足Pk级的各目标;这个Rk即为所求的解 域;如果某一个Ri 1 i k已退化为一点;则计算终止;这一 点即为满意解;它只能满足P1;…;Pi 级目标;而无法进一步 改进;当然;此时或许有低于Pi级目标被满足;这纯属巧合
2x1 1.5x2 180

目标规划的图解法

目标规划的图解法
解 作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d

运筹学目标规划

运筹学目标规划

目标规划举例
• 例1. 某工厂生产I、II两种产品，已知有关数据如 表。试求获利最大的生产方案。
产品I 产品II 拥有量 1 11 原材料(kg) 2 1 2 10 设备(hr) 10 利润(元/件) 8
• • • • •
实际上，工厂在作决策时，要考虑一系列因素： (1) 产品I的产量不大于产品II； (2)原材料超过时，采购成本增加； (3) 设备台时尽量用完； (4) 尽可能达到并超过计划利润指标56元。
第 5章
目标规划
(Goal programming)
第1节 目标规划的数学模型
第2节 目标规划的图解法
第3节 目标规划的单纯形法
第1节 目标规划的数学模型 一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管 理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。 线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函 数取得最优解，在实际问题中，可能会同时考虑几个 方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好， 利润最大，环境达标，运输满足等。 目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系， 求得更切合实际要求的解。
解: 分析 第一目标：min z1= P 1d1
设备(台时) 单件利润
1 8
2 10
10
第二目标：min z2= P (d d )
第三目标：min z3= P d
2 2 3 3
2
规划模型：
min Z P d P2 (d d ) P3d 2 x1 x2 11 x1 x2 d1 d1 0 x1 2 x2 d 2 d 2 10 8 x 10 x d d 56 1 2 3 3 x1, 2 0, d , d 0 ( j 1 , 2 , 3 ) j j

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划

• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。

目标规划的图解法共33页

目标规划的图解法共33页

σmn+2m
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min
Z
P1
d
1
P2
(
2
.5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
d
2
d
2
)
P3
d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d
1
8
x

目标规划的图解法

目标规划的图解法
11x1 2x2 25 (resource2) x1, x2 0
假定重新确定这个问题的目标为：
P1: z的值应不低于1900; P2: 资源1必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型.
2019/5/23
3
根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P1 : 100x1 50x2 1900 P2 : 10x1 16x2 200 约束转化：引入偏差变量
例 用图解法求如下目标规划问题
min
z

P1d1

P2
(d
2

d
2
)

P3d
3
s.t. 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
x1
2x 2

d
2

d
2

10
8x1
10x2

d
3

d
3

56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i

0, i
(1)
x1
2x2

d
2

d
2

4
x1
2x2

d
3

d
3

8
x1 ,x2 ,di ,di 0,i 1,2,3
min
z
P1d
3

P2d
2

P3 (d1

d
1
)
(2)
s.t.
6 x1 2 x2 d1 d1 24

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法

x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1

目标规划图解法

目标规划图解法

§2目标规划的图解法和线性规划问题一样，图解法虽然只适用于两个决策变量的目标规划问题，但其操作简便，原理一目了然，并且有助于理解一般目标规划问题的求解原理和过程。

图解法解题的步骤为1．确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件(包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量)在坐标平面上表示出来；2．在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；3．求满足最高优先等级目标的解；4．转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5．重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6．确定最优解或满意解。

下面通过例子来说明目标规划图解法的原理和步骤。

例1 用图解法求解目标规划问题：解确定各个约束条件的可行域。

在x1O x2坐标平面上，暂不考虑每个约束方程中的正、负偏差变量，将上述每一个约束方程用一条直线表示出来，再用两个箭头分别表示上述目标约束方程中的正、负偏差变量。

如图(5-1)所示，其中，阴影区域OAB为满足条件(5.12)的可行域。

接着先考虑具有最高优先等级的目标，即。

为了实现这个目标，必须。

从图5-1可以看出，凡落在直线CD上的点都能体现。

但如果同时满足条件(5.12)，则只有线段CH上的点才能实现。

这也就是说，在线段CH上的任何一点都能使最高优先等级目标。

其次考虑第二优先等级目标。

从图5.1可以看出，直线EF与EF右上方的点均能实现。

若同时满足条件5.12，则应为三角形AEI上的点能实现。

但第二优先等级目标的实现应在不影响第一优先等级目标的前提下，显然，在三角形AEI中，只有线段CG上的点才能实现这一要求，这就是问题的解。

于是，C,G两点及CG线段上的所有点(无穷多个)均是该问题的最优解。

其中C点对应的解为：x1=0，x2=5.2083；G点对应的解为：x1=0.6250，x2=4.6875；例 2已知一个生产计划的线性规划模型为；其中目标函数为总利润，则三个约束条件均为甲、乙、丙三种资源限制。

第六章 目标规划

第六章 目标规划

X1 , X2 , di- , di+ 0（i=1，…，4）
minZ=P1d1-+P2(d2++d2-)+P3 [3(d3+ +d3- ）+ d4+] 2X1+2X2 12 2X1 +3X2+d1- -d1+=15 2X1 - X2 +d2- -d2+=0 4X1 +d3- -d3+=16
① ② ③
X1 +2X2 +d2- -d2+=10
8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ 0
建模：
(1)、设定约束条件。(目标约束、绝对约束)
(2)、规定目标约束优先级 (3)、建立模型 Pk>>Pk+1
三、应用实例 电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需 装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计 每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21 寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标： 1、充分利用装配线，避免开工不足。
第六章 目标规划
第一节 第二节 第三节 目标规划问题及其数学模型 目标规划问题的图解法 目标规划问题的单纯形法
第一节 目标规划问题及其数学模型
线性规划(LP)：单一目标函数 追求目标的极端值
目标规划(GP) ：多个目标函数 从总体上离规定目标的差距最小
一、引例 甲 金工 装配 收益 2 4 100 乙 4 2 80 有效工时 500 400
5X2+d4- -d4+=15 ④ X1 , X2 , di- , di+ 0（i=1，…，4）

5-2目标规划的图解法

5-2目标规划的图解法

d1 4

30
(1) (2)

x1
d3
d3

6
(3)
s.t.
2
x1

16
2x2 10
(4) (5)
6 D 4
3x1 4x2 32 x1, x2 0 dl , dl 0(l 1, 2, 3)
(6)
(7) 2
x1=5, x2=4
d
3

0
(l 1.2.3.4)
作图：
x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d1
BA
d
2
d
2
C
d
4
d
4
⑷
min
Z

P1d1

P2 (2.5d3

d
4
)

P3d
2
30
x1
2x1
12 x2 x2
d1 d1

d
2

d
2
2500 140
(1) (2)

x1

d
3

d
3

60
(3)

x2

d
4

d
4
100
(4)
x12 0, dl , dl 0 (l 1.2.3.4)
40
20
D
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。

目标规划图解法标规划单纯形法

目标规划图解法标规划单纯形法
X1 , X2 , di- , di+ 0
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB

目标规划图解法

目标规划图解法
P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
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d1 0 , d1 0
min z P ( d d d d 2 2 ) 1 1 1
4
1 1 d1 d 2 2 2 2
①
x2
d
1
d2
③
②
d1
d2
x1
请练习：
137页
习题 6 6.3题
x2
90 80 70 60 50 40 30 20 10
求在下述各目标函数下的满意解：
(1)min z P1 (d1 d1 d 2 d 2 ) (2)min z 2 P1 (d1 d1 ) P1 (d 2 d 2 ) (3)min z P1 (d1 d1 ) 2 P1 (d 2 d 2 ) (3)min z P1 (d1 d1 ) P2 (d 2 d 2 )
min f (d ) P d 2.5 P d P d P d 1 1 2 2 2 3 3 4
300 x1 120 x2 d1 d1 24000 x d d 60 2 1 2 x d d 100 3 3 2 20 x 10 x d d 1 2 4 4 1400 x 、x 、d 、d 0，i 1， 2, 3, 4 i i 1 2
③
x1 x2 80 x1 x2 90 x1 60 ④ x2 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
x1
②
①
x2
90 80 70 60 50 40 30 20 10
d4
min f (d ) P d P d 5 P d P d 1 1 2 2 3 3 3 4
① 300 x 120 x d d 24000 1 2 1 1
20 40 60 80
x1
④
图 6－1
20 x1 10 x2 d4 d4 1400
min f (d ) P d 2.5 P d P d P d 1 1 2 2 2 3 3 4
满意解 次优解
x1
②
10
20
30
40
50
60
70
80
90
①
20 x1 10 x2 d4 d4 1400
图 6－1
min f (d ) P d 2.5 P d P d P d 1 1 2 2 2 3 3 4
x2
d1
d4
d1 ③
d2 d2
①：右上方
d
4
d d
3
③ ：左方
100 80 60 40 20
x2
d1
d1 ②
d2
①：右上方
d
4
d4 d2
d d
3
③ ：左方 ③ ④：下方
100 80 60 40 20
3
②：左下方
无解
min(d4 0)
①
20 40 80
min(d4 0)
60
④
第三目标: 总工时最好 不超过1400小时,不得已 x1 时,超过量越小越好．
1 2( x1 d1 ) x2 2 2 x1 x2 d1 d1 2 2 d 2 0 , d 2 0 1 2( x1 d 2 ) 3 x2 6 2 x1 3 x2 d 2 d 2 6 2

① ② ③ ④
①
20 40 80
60
x1
图 6－1
④
x2
d1
d1 ②
100 80 60 40 20
300 x1 120 x2 24000 ① ② x1 60 ③ x 100 2 ③ 20 x 10 x 1400 ④ 1 2
① 300 x 120 x d d 24000 1 2 1 1
20 40 60
④
80
x1
图 6－1
直线上的点：
x2
d1
d1
300 x1 120 x2 24000 d1 =d1 =0
直线左下方的点：
300 x1 120 x2 24000 d1 >0,d1 0
100 80 60 40 20
直线右上方的点：
300 x1 120 x2 24000 d1 =0,d1 0
x1 60, x2 50
E (60, 50)
①
20 40 80
60④x1满意来自 次优解图 6－1四、已知目标规划问题的约束条件如下：
2 x1 x2 d1 d1 2 2 x1 3 x2 d 2 d 2 6 x1 6 x , x ; d , d 0，i 1， 2 i i 1 2
300 x1 120 x2 24000 x1 60 x2 100 20 x 10 x 1400 1 2
把 x1做为横轴，x2做为纵轴，建立直角坐标系， 作出去掉偏差变量后的约束方程的图形.
x2
②
100 80 60 40 20
300 x1 120 x2 24000 x1 60 ③ x2 100 20 x 10 x 1400 1 2
③
d2
d2
d
4
d1
d1
d3
d3
x1 x2 d1 d1 80 x x d d 1 2 2 2 90 x d d 1 3 3 60 x d d 40 2 4 4
④
A(60, 30)
① 300 x 120 x d d 24000 1 2 1 1
20 40 60 80
x1
图 6－1
x2
d1
d4
d1 ②
d2 d2
x1 d2 d 2 60
d3 d3


d
4
100 80 60 40 20
③
x2 d3 d3 100
6.2
目标规划的图解法
当目标规划模型中只含两个决策 变量（不计偏差变量）时，可以用图解 法求出满意解。
例 某工厂生产A、B两种机床．在一个周期内 有效工时为1400小时；平均每生产一台A需要 20小时，一台B需要10小时；市场预测，一个 周期内A的需求量为60台，B的需求量为100台； 每台利润A为300元，B为120元． 试制定满足下列目标的生产计划： 第一目标: 尽量完成本周期的利润指标24000元； 第二目标: 生产量不超过最大销售量； 第三目标: 总工时最好不超过1400小时,不得已时, 超过量越小越好．
3
④
④：下方
②：左下方
无解
E
①
20 40 80
min(d4 0)
min(d4 0)
60
x1
图 6－1
②
x2
d1
d1 ②
d2 d2 d3 d3
E : ①和② 的交点
③
100 80 60 40 20
300 x1 120 x2 24000 x1 60