2014通信原理第10章解析

第10章 正交编码与伪随机序列10.1 学习指导 10.1.1 要点正交编码与伪随机序列的要点主要包括正交编码的概念、常见的正交编码和伪随机序列。

1. 正交编码的概念对于二进制信号，用一个数字序列表示一个码组。

这里，我们只讨论二进制且码长相同的编码。

两个码组的正交性可用它们的互相关系数来表述。

设码长为n 的编码中码元只取值+1和-1。

如果x 和y 是其中的两个码组：x = (x 1, x 2, …, x n )，y = (y 1, y 2, …, y n )，其中，x i , y i ∈ {+1, -1}，i = 1, 2, …, n ，则码组x 和y 的互相关系数被定义为2. i i 11(, ) (10-1)==∑ni x y x y n ρ如果码组x 和y 正交，则ρ(x , y ) = 0。

两两正交的编码称为正交编码。

类似地，我们还可以定义一个码组的自相关系数。

一个长为n 的码组x 的自相关系数被定义为x i i + j 11(),0, 1, , 1 (10-2)===-∑ni j x x j n n ρ其中，x 的下标按模n 运算，即x n ＋k ≡ x k 。

在二进制编码理论中，常采用二进制数字“0”和“1”表示码元的可能取值。

若规定用二进制数字“0”代替上述码组中的“-1”，用二进制数字“1”代替“+1”，则码组x 和y 的互相关系数被定义为(, ) (10-3)a bx y a bρ-=+ 其中，a 表示码组 x 和y 中对应码元相同的个数，b 表示码组x 和y 中对应码元不同的个数。

例如，对于4个码组：x 1 = (1,1, 1, 1)，x 2 = (1, 1, 0,0)，x 3 = (1, 0, 0, 1)，x 4 = (1, 0, 1, 0)，它们任意两者之间的相关系数都为0。

对于采用二进制数字“0”和“1”表示的码元，若用x 的j 次循环移位代替y ，就得到x 的自相关系数ρx (j )。

通信原理樊昌信版9,10章课后答案9.9 采⽤13折线A律编码，设最⼩量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位:(1)试求此时编码器输出码组，并计算量化误差;(2)写出对应于该7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

(采⽤⾃然⼆进制码) 解（1）已知抽样脉冲值它位于第7段序号为3的量化级，因此输出码组为量化误差为635-(512+3*32)=27(2) 对应的11位均匀量化码为010********9-10采⽤13折线A律编码电路，设接收端收到的码组为“01010011”最⼩量化间隔为1个量化单位，并已知段内码改⽤折叠⼆进码：(l) 试问译码器输出为多少量化单位；(2) 试写出对应于该.7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

解（1）接收端收到的码组由C1=0知，信号为负值；由段落码知，信号样值位于第6段，起点电平为256,量化间隔为16;由段内码码器输出为C5C6C7C8 =0011 采⽤折叠码) C5C6C7C8 =0011 采⽤折叠码，对应⾃然⼆进制码为0100可知，信号样值位于第6段的第5级(序号为4)，故译码器输出为256416162328 (/)I=-+?+=-（2）均匀量化11位码为001010010009.11采⽤13折线A律编码，设最⼩的量化间隔为1个量化单位，已知抽样脉冲值为-95量化单位：(1)试求此时编码器输出码组，并计算量化误差;(2)试写出对应于该7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

解（1）因为样值为负值.所以极性码⼜因64 < 95 < 128，所以码组位于第四段，段落码为量化间隔为4。

由于95=64 +7 *4 +3,所以段内码为故编码器输出为量化误差为3个单位。

(2)对应的均匀量化11位码为（92=64 +7 *4）9.13 对10路带宽均为300Hz-3400Hz的模拟信号进⾏PCM时分复⽤传输。

设抽样速率为8000Hz，抽样后进⾏8级量化，并编为⾃然⼆进制码，码元波形是宽度为的矩形脉冲，且占空⽐为1。

9.9 采用13折线A律编码，设最小量化间隔为1个单位，已知抽样脉冲值为+635单位:(1)试求此时编码器输出码组，并计算量化误差;(2)写出对应于该7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

(采用自然二进制码) 解（1）已知抽样脉冲值它位于第7段序号为3的量化级，因此输出码组为量化误差为635-(512+3*32)=27(2) 对应的11位均匀量化码为010********9-10采用13折线A律编码电路，设接收端收到的码组为“01010011”最小量化间隔为1个量化单位，并已知段内码改用折叠二进码：(l) 试问译码器输出为多少量化单位；(2) 试写出对应于该.7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

解（1）接收端收到的码组由C1=0知，信号为负值；由段落码知，信号样值位于第6段，起点电平为256,量化间隔为16;由段内码码器输出为C5C6C7C8 =0011 采用折叠码) C5C6C7C8 =0011 采用折叠码，对应自然二进制码为0100可知，信号样值位于第6段的第5级(序号为4)，故译码器输出为256416162328 (/)I=-+⨯+=-（2）均匀量化11位码为001010010009.11采用13折线A律编码，设最小的量化间隔为1个量化单位，已知抽样脉冲值为-95量化单位：(1)试求此时编码器输出码组，并计算量化误差;(2)试写出对应于该7位码(不包括极性码)的均匀量化11位码。

解（1）因为样值为负值.所以极性码又因64 < 95 < 128，所以码组位于第四段，段落码为量化间隔为4。

由于95=64 +7 *4 +3,所以段内码为故编码器输出为量化误差为3个单位。

(2)对应的均匀量化11位码为（92=64 +7 *4）9.13 对10路带宽均为300Hz-3400Hz的模拟信号进行PCM时分复用传输。

设抽样速率为8000Hz，抽样后进行8级量化，并编为自然二进制码，码元波形是宽度为 的矩形脉冲，且占空比为1。

第十章 差错控制编码图见附图：10 ①、19、2010-1 请说明随机信道、突发信道、混合信道各自的特点。

答：随机信道的特点是错码的出现是随机的。

且错码之间是统计独立的。

突发信道的特点是错码集中成串出现。

混合信道的特点是既存在随机错码又存在突发错码。

10-2 请说明差错控制方式的目的是什么？常用的差错控制方式有哪些？答：差错控制方式的目的是在数字通信过程中发现（检测）错误，并采取措施纠正，把差错限制在所允许的尽可能小的范围内。

常用的差错控制方式包括：ARQ 、反馈校验、FEC 、HEC 。

10-3请说明ARQ 方式有哪几种？答：停止等待ARQ 、连续ARQ 、选择重发ARQ 。

10-4 已知线性分组码的八个码字为：000000，001110，010101， 011011，100011，101101，110110，111000，求该码组的最小码距。

解：线性分组码的最小码距等于码的最小码重，故30=d。

10-5 上题给出的码组若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错， 能纠几位错？若同时用于纠错，检错如何？ 答：1230+≥=d ，故可检出2个错。

11230+⨯≥=d ，故可纠正1个错。

11130++≥=d ，（1≥1）故纠检结合时可检1个错同时纠正1个错。

10-6 若两个重复码字0000，1111，纠检错能力如何？解：d=4,故可检出3个错，纠正1个错，可同时检出2个错、纠正1个错。

10-7 写出k=1，n=5时重复码的一致检验矩阵[H]及生成矩阵[G]，并 讨论它的纠、检错能力。

解：①n=5,k=1,r=4。

设码字为01234|c c c c c ,只取11111或00000，0123c c c c为监督码元。

则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====4414243c c c c c c c c⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⊕=⊕=⊕=⊕000040414243cc c c c c c c⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001|10000|10010|10100|110001234c c c c c故⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯1000110010101001100054H，[]111141==⨯TPQ。

10.1 已知码集合中有8个码组为（000000）、（001110）、（010101）、（011011）、（100011）、（101101）、（110110）、（111000），求该码集合的最小码距。

解 因为该码集合中包含全零码组（000000），所以对于线性分组码，最小码距等于除全零码外的码组的最小重量，即3min =d 。

10.2 上题给出的码集合若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错与纠错，问纠错、检错的能力如何？解 只用于检错时，由条件：最小码距1min +≥e d ，求出2=e ，即能检出2位错码。

只用于纠错时，由12min +≥t d ，可得1=t ，既能纠正1位错码。

同时用于检错与纠错，且3min =d 时，无法满足下列条件⎩⎨⎧>++≥te e t d 1m i n故该码不能同时用于检错与纠错。

10.4 已知(7,3)码的生成矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001110101001111001110G列出所有许用码组，并求监督矩阵。

解 分别将信息段（000）、（001）、（010）、（011）、（100）、（101）、（110）和（111）代入式A =m G ，得到许用码组如下 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100生成矩阵G 为典型阵，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110101111110Q 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==011110111101TQ P监督矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==0110001110001011101001011000r I P H 10.5 已知一个(7,4)系统汉明码监督矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110100101110101110100H 试求：(1) 生成矩阵G ；(2) 当输入信息序列()101101011010=m 时，求输出码序列A=？ (3) 若译码器输入()1001001B =,请计算校正子S ，并指出可能的错误图样。

第一章 通信系统概论一 填空选择题1.数字通信系统的主要优点是 __抗干扰能力强噪声不积累 、差错可控、容易加密_、可实现综合化（便于集成）等_。

2.通信系统的主要质量指标通常用_有效性_和可靠性_衡量， FSK 系统指标具体用_传输速率（传码率、传信率）和_差错率（误码率、误信率）_衡量，FM/PM 系统具体指标用_有效传输频带 和_信噪比_衡量。

3.已知二进制数字信号在2分钟内共传送72000个码元，0、1码等概率出现，则码元速率为600B ，信息速率为600b/s ；传送1小时后，接收到的错码为216个，其误码率为10-4；若保持码元速率不变，变换为8进制传输，每个码元所含信息量为3 ，信息速率为1800b/s 。

4.通信是指消息由一地向另一地进行＿＿＿＿＿＿，主要质量指标是＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿,它们在数字通信系统中具体为＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿。

5.在码元速率相同的条件下，16进制数字调制系统的信息速率是二进制的4 倍。

6.按传输媒介，通信系统可分为有线通信系统、无线通信系统。

7.数字通信系统的有效性指标包括 ( D )A.信息传输速率B.符号传输速率C.频带利用率D.以上都包括8.在码元速率相同条件下，m 进制数字调制系统的信息速率是二进制的 log 2m 倍。

9．通信系统按其传输信号形式分可分为模拟通信系统和数字通信系统 。

10.通信系统按信道中传输的信号不同分为模拟通信系统 和 数字通信系统11.衡量通信系统主要指标是有效性和可靠性，前者主要是消息传输速率问题，而后者是指消息传输的 质量问题。

12．设有四个信息A 、B 、C 、D 分别以概率1/4、1/8、1/8、1/2传送，每个消息出现是相互独立的，其平均信息量H=__1.75b/符号__。

13.设有4个消息符号，其出现概率是21、41、81、81各消息符号出现是相对独立的，该符号集的平均信息量为 1.75b/符号 。

14.某四元制信源，各符号对应的概率分别为21、41、81、1，则该信源符号的平均信息量为 1.75b/符号 。

10-1 已知一个4级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 4 + x 3 + 1，假设4个移位寄存器的初始状态为(a 3, a 2, a 1, a 0) = (1, 0, 1, 0)，试画出其组成方框图，并列出4个移位寄存器状态更新表。

解 组成方框图和状态更新表如图答10-1所示。

图答10-3 4级寄存器产生的m 序列, n = 0, 1, 2, … }(a) 组成原理方框图(b) 寄存器状态更新示意图1 0 1 0a 3 a 2 a 1 a 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 11 0 0 00 1 0 00 0 1 01 0 0 11 1 0 00 1 1 01 0 1 10 1 0 11 0 1 010-2 某3级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 3+ x + 1，试证明该特征方程是本原多项式。

证明f (x )为3阶多项式，如果它能分解因子，则其因子只有x , (x + 1)，(x 2 + 1)，和(x 2 + x + 1)四种可能。

不难验证，f (x )不能被上述四种因子整除，所以，f (x )是既约的。

3级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p = 23 - 1 = 7。

由于 7423111x x x x x x +=+++++ 即(2p + 1)能被f (x )整除。

不难验证，(26 + 1)、(25 + 1)、(24 + 1)和(23 + 1)都不能被f (x )整除。

综上所述，f (x )是本原多项式。

10-3 某4级线性反馈移位寄存器的特征方程为f (x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1，试证明该4级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。

证明 4级线性反馈移位寄存器产生的序列的最长周期为p = 24 - 1 = 15。

由于55432111()1x x x f x x x x x ++==+++++即(25 + 1)能被f (x )整除，而5 < p ，因此，f (x )不是本原多项式，也就是说，该4级线性反馈移位寄存器产生的序列不是m 序列。

第十章 正交码与伪随机码10.1 利用m 序列的移位相加特性证明双极性m 序列的周期性自相关函数为二值函数，且主副峰之比等于码长(周期)。

证：m 序列的移位相加特性特性是说，单极性m 序列和它的移位相加后仍然是m 序列。

相加的结果在一个周期内1比0多一个。

双极性m 序列是把0、表示的m 序列映射为表示，其中0映射为+1，1映射为-1。

对于双极性m 序列，一个周期内-1比+1多一个。

在这种映射下，模2加运算变成了乘法运算，如下表所示：1±⊕1 0 1 0 1 0 1 0×-1 1 -1 1 -1 1 -1 1因此m 序列的移位相加特性特性对于双极性m 序列表现为：m 序列和它的移位相乘后仍然是m 序列。

周期为p 的双极性m 序列的周期性自相关函数定义为()11pk k jk R j b p +==∑b ，其中的下标按模p 运算，即。

b k pk b b += 当j 为p 的整倍数时，k j j b b +=，1=+j k k b b ，因此()()01R j R ==，这是自相关函数的主峰值；对于0j p <<，令，则m 序列的移位相加特性表明序列kk k c b b +=j {}k c 也是m 序列，表示一个周期内求和，由于-1比+1多一个，所以，从而得1ppk k j kk k b b c +==∑∑1=11pkk c==−∑()1mod 1j p R j elsep 0=⎧⎪=⎨−⎪⎩这就证明了周期为p 的m 序列的周期性自相关函数为二值函数，且主副峰之比等于码长。

10.2 已知线性反馈移存器序列的特征多项式为，求此序列的状态转移图，并说明它是否是m 序列。

1)(3++=x x x f 解：该序列的发生器逻辑框图为：定义状态为向量()123,,s s s =s ，假设起始状态是100，则状态转移图如下：由于其周期为，所以此序列是m 序列。

7123=−10.3 已知m 序列的特征多项式为，写出此序列一个周期中的所有游程。