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11-2. 桥式起重机上悬挂一重量G=50kN 的重物，以匀速度v=1m/s 向前移动（在图中移动的方向垂直于纸面）。
若起重机突然停止移动，重物将象单摆一样向前摆动。
若梁为No14工字钢，吊索截面面积A=5×10-4m 2，试问当惯性力为最大值时，梁及吊索内的最大应力增加多少？解：（1）起重机突然停止时，吊索以初速v 作圆周运动，此时吊索轴力增量是kN Rv g G ma N n D 28.12=⋅==Δ（2）吊索的应力增量是MPa AN σDd 56.2==ΔΔ （3）梁内最大弯矩的增量是l N M D ΔΔ41=（4）查表得梁的抗弯截面系数3610102m W -⨯=（5）梁内最大正应力的增量是MPa WM σd 68.15'==ΔΔ11-4. 轴上装一钢质圆盘，盘上有一圆孔。
若轴与盘ω=40 1/s 的匀角速度转动，试求轴内因这一圆孔引起的最大正应力。
解：（1）假设挖空圆盘和圆孔部分的质量分别是M 和m ，它们的质心距轴线的距离分别为R 的r ，则有mr MR =（2）挖空圆盘的惯性力是kN ωr gVγωmr ωMR Ma F n n 64.10222=⋅==== 上式中钢的密度取3/8.76m kN γ=（3）轴内的最大正应力增量是MPa WlF W M σnd 5.1241max max ===Δ11-5. 在直径为100mm 的轴上装有转动惯量I=0.5kN ⋅m ⋅s2的飞轮，轴的转速为300r/min 。
制动器开始作用后，在20转内将飞轮刹住，试求轴内最大剪应力。
设在制动器作用前，轴已与驱动装置脱开，且轴承的磨擦力矩可以不计。
解：（1）飞轮作匀减速转动2220/25.120/42.3130s rad φωωεωs rad πn ωt t -=-=∴=== （2）惯性力距是kNm εI m d 96.1=-=（3）轴在飞轮和制动器之间发生扭转变形MPa d πTW T τm T t d 10163max ===∴= 11-6. 钢轴AB 的直径为80mm ，轴上有一直径为80mm 钢质圆杆CD ，CD 垂直于AB 。
第十一章静不定§11-1直梁静不定1、EI已知，求轴承反力2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有高低，使C支座偏离轴线δ。
梁的抗弯刚度为EI，求梁内的最大弯矩。
3、两个横梁的抗弯刚度均为EI＝24×106Nｍ2，拉杆的横截面面积为A＝3×10－4㎡。
横梁与拉杆采用同种材料E＝200GPａ。
P＝50KN，L=2m,求D点的铅垂挠度。
4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为EI。
在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连接。
求下面梁的中点的挠度。
5、求拉杆BC内的应力。
6、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形不计。
求CD杆的受力。
7、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2ａ，梁的右端用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。
求弹簧的变形。
8、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2ａ，用二根长均为ａ的拉杆BC、CD支撑。
已知拉杆的抗拉压刚度相等同为EA。
求C点的铅垂挠度。
9、直角拐ABC的直径为D＝20毫米，CD杆的横截面面积为A＝6.5㎜2，二者采用同种材料制成。
弹性模量E＝200GPａ，剪变模量G＝80 GPａ。
CD杆的线胀系数α=12.5×10-6，温度下降50o。
求出直角拐的危险点的应力状态。
10、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与杆采用同种材料制成。
梁的抗弯截面系数为WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。
其中：A为杆的横截面面积；L为梁的长度。
求拉杆内的应力。
11、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。
中间夹一刚珠。
求梁内的最大弯矩。
12、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的2.5倍。
C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
13、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。
圆轴、GH、EF处于水平。
已知：圆轴的直径为D1＝100毫米，GH、EF的直径为D2＝20毫米，材料相同。
G＝0.4E，M＝7KNｍ。
求轴内的最大剪应力。
14、AB、CD的抗弯刚度均为EI，在D处铰接。
第十一章能量要领之阳早格格创做第十一章问案图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等.试供正在F 力效率下，桁架的变形能.估计图示各杆的应变能.传动轴受力情况如图所示.轴的直径为40mm ，资料为45钢，E = 210GPa ，G = 80GPa.由扭转引起的应变能： 由蜿蜒引起的应变能：估计图示梁的应变能，并证明是可谦脚叠加本理及其本果.而没有谦脚叠加本理，果为应变能取内力的闭系没有是线性的.借帮于附录E ，供跨度中面（睹课本下册p40例12-4）11.6 图示刚刚架的各杆的EI 皆相等，试供截里A 、B 的位移战截里C 的转角.(a)A 面：正在A 面加一个背下的单位力.M (x 1)=0, M (x 2)=Fx 2, M (x 3)=FbC 面：正在C 加一个顺时针的力奇矩为１的单位力奇(b) A 面：正在A面加一个背下的单位力B 面：正在B 面加一个背左的单位力图示桁架各杆的资料相共，截里里积相等C 处的火仄位移战笔直位移.CF BAR火仄位移：(122) 3.828Fl FlEA EA +=-=-.笔直位移：Fl EA ∆=-.2，E 索 = 177GPa.F = 20kN ，(a)假设横梁ABCD 为刚刚体，供C 面的笔直位移.(2)若没有把ABCD 假设为刚刚体，且已知其抗直刚刚度为EI 2，试再供C 面的笔直位移.(1)42110.87.891033F EA -⎛⎫∆=⨯=⨯ ⎪⎝⎭m.(2)20.44047.89102Fx dx EI -∆=⨯+⎰4447.8910 1.48109.3710---=⨯+⨯=⨯m.11.9 等截里直杆BC 的轴线为四分之三的圆周.若AB 杆可视为刚刚性杆，试供正在F 力效率下，截里B 的火仄位移及笔直位移.火仄位移：M ()=FR cos, ()sin M R θθ=33320sin cos 2FR FRd EI EI πθθθ∆==⎰.D CFAB60 ° 60 ° 800 400400RFO B BF ORA F笔直位移：()(1cos )M R θθ=--33.36FR EI =.11.10 图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .力F笔直于圆环中线地圆的仄里.试供二个F 力效率面的相对于线位移.M ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=-333pFR FR EI GI ππ=+.11.11图示圆弧形小直率杆，仄衡半径为R .正在横截里A 取B 处受一对于集结力F 效率.力F 正在圆环中线地圆的仄里内.试供二个F 力效率面的相对于线位移. M ()=FR sin,()sin M R θθ=32320sin FR FRd EI EI πθπθ∆==⎰.11.12图示轴线为火仄里内四分之一圆周的直杆，正在自由端B 效率笔直荷载F ，设EI 战GI P 为已知，试供正在F 力效率下端里B 的笔直位移.F O O Rθ B F AM ()=FR sin, ()sin M R θθ= T ()=FR (1-cos), ()(1cos )T R θθ=- 33(38)44pFR FR EI GI ππ-=+.。
第十一章 静不定结构11.3求图示静不定梁的两端反力。
设固定端沿梁轴线的反力可以省略。
解：（a ）问题是二次静不定的。
由对称性2ql B A R R ==（向上）。
研究图示同解梁。
变形条件 06)2/(2)2/)(2/(2/32=-+=EI l q EI l ql EI l m A A θ解得 12qlA m -=（逆），由对称性12qlB M =11.4a 图示结构中，梁为16号工字梁，拉杆的截面为圆形，d =10mm,两者均为A3钢，E=200GN/m 2.试求梁及拉杆内的最大正应力。
解：问题是一次静不定的。
去B 变形谐调条件为B B f δ=。
即 -EIl N B δ3+EAl N EI ql B 148=解得()()()N N qlB 3400010/5000101138105.14324531⨯==⨯⨯⨯⨯+π 梁的M 图如图。
kNm M 0.22max =kN N N B BC 5.14== 于是，杆内 210105.144max /15633m MN AN B C ===⨯⨯⨯πσ 梁内 210141100.22max /15636max m MN zW M ===⨯⨯σ11.4作图示刚架的弯矩图。
设刚架各杆的ＥI 皆相等。
解：（a ）问题是一次静不定的。
去C 处多余约束，静定基如图。
变形谐调条件0=c f 。
11)(Rcx x M = （0≤1x ≤α）,22)(Px Rca x M -= （0≤2x ≤α）⎰⎰⎰=-=-+==∂∂la aEI Pa EIRca EIEI RcM EIMc adx Px Rca dx x Rcx dx f 023422111110)()(33x 1解得 P R C 83=（向上）Pa a R M C B 83==, a a C B P P a R M 85=+-= ，M 图如图示。
（c ）问题是二次静不定的。
去A 点两个位移约束，静定基如图。
第十三章静不定问题分析§13-1 静不定结构概述1．定义用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构或结构系统，统称为静不定结构或系统，也称为超静定结构或系统。
2．静定、静不定结构（系统）无多余联系的几何不变的承载结构系统，其全部支承反力与内力都可由静力平衡条件求得，此系统称为静定结构或系统。
静定结构除了变形外，没有可运动的自由度（图12-1（a、b））如解除简支梁的右端铰支座，或解除悬臂梁固端对转动约束，使之成为铰支座，则此时的梁变成了图12.1（c）的可动机构，是几何可变系不能承受横向载荷。
在无多余联系的几何不变的静定系统上增加约束或联系，称为多余约束，并因而产生多余约束反力，则这样的有多余约束的系统，仅利用静力平衡条件无法求得其反力和内力，称为静不定（或超静定）系统，如图12-2。
外静不定：静不定结构的外部支座反力不能全由静力平衡方程求出的情况，常称为外静不定结构（图12-2b，d）内静不定：静不定结构内部约束(或联系)形成的内力不能单由静力平衡方程求出的情况称为内静不定结构（图12-2a，c）。
对于内、外静不定兼而有之的结构，有时称为混合静不定结构。
3．静不定次数的确定1）根据结构约束性质可确定内、外约束力总数，内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为静不定结构的静不定次数。
2）外静不定的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。
根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为静不定次数。
如图12-3（b），外载荷为平面力系，则为三次外静不定静，而图12-3（c）为空间力系，则为六次外静不定。
3）内静不定次数确定桁架：直杆用铰相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成（图12-4a）。
图12-4（b）仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而（c）由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。
刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为刚架（图12-5）。
第十一章静不定结构目录第十一章静不定结构 (3)§11.1 静不定结构概述 (3)一、基本构件 (3)二、静不定结构 (3)§11.2 用力法解静不定结构 (4)一、只有一个多余约束的情况 (4)二、有多个多余约束情况 (5)§11.3 对称及反对称性质的利用 (7)§11.4 连续梁及三弯矩方程 (8)第十一章 静不定结构§11.1 静不定结构概述一、 基本构件1. 桁架：直杆通过铰节点连接，何载作用在节点上，每一杆件只承受拉伸或压缩。
2. 刚架：直杆通过刚节点连接，每一杆件可以承受拉伸、压缩、弯曲和扭转。
3. 连续梁：连续跨过若干支座的梁。
二、 静不定结构1. 静不定结构：支座反力不能完全由静力平衡方程求出的结构。
分外力静不定结构和内力静不定结构。
2. 几何（运动）不变结构：结构只存在由变形所引起的位移。
3. 多余约束：结构中超过使体系保持几何不变结构的最少约束的约束。
桁架（内力静不定结构）刚架1（内力静不定结构）连续梁（外力静不定结构）维持结构几何不几何可变多余约束多余约束用4. 静不定次数的判断：去掉多余约束使原结构变成静定结构，去掉多余约束的个数为静不定的次数。
多余约束RR解除一个活动铰，相当于解除一个约束；解除一连杆，相当于解除一个约束；解除单铰，相当解除两个约束5. 基本静定系：解除静不定结构的某些约束后得到的静定结构。
6. 静不定结构的基本解法：力法和位移法。
§11.2 用力法解静不定结构一、只有一个多余约束的情况 如图所示结构，求其约束反力解：1. 将约束解除得到基本静定系B1XF R2F R22. 何载单独作用在B 点产生的位移()a l EIPa P －3621-=∆3. 沿约束反力方向单位何载1单独作用在B 点产生的位移EIl 311＝δ4. 协变条件 1111X P ∆+∆∆＝ ，即 01111=∆P X ＋δ解之得： ()a l lPa X -=32321二、有多个多余约束情况 如图所示结构，求其约束反力将B 端约束解除：变形协变条件⎪⎭⎪⎬⎫=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ对于n 次静不定结构⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆+⋯⋯++⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∆+⋯⋯++=∆+⋯⋯++00022112222212111212111nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 上述求图示刚架中杆DE 中点C 点的水平位移。
第十一章 静不定结构
11.3求图示静不定梁的两端反力。
设固定端沿梁轴线的反力可以省略。
解：（a ）问题是二次静不定的。
由对称性2
ql B A R R ==（向上）。
研究图示同解梁。
变形
条件 06)
2/(2)2/)(2/(2
/3
2
=-+=
EI
l q EI l ql EI l m A A θ
解得 12ql
A m -=（逆），由对称性12
ql
B M =
11.4a 图示结构中，梁为16号工字梁，拉杆的截面为圆形，d =10mm,两者均为A3钢，E=200GN/m 2.试求梁及拉杆内的最大正应力。
解：问题是一次静不定的。
去B 变形谐调条件为B B f δ=。
即 -EI
l N B δ3+EA
l N EI ql B 14
8=
解得
()()()N N ql B 3
400010/5000101138105.14324531⨯==⨯⨯⨯⨯+π 梁的M 图如图。
k N m M 0.22max =
kN N N B BC 5.14== 于是，杆内 210105.144max /1563
3m MN A
N BC ==
=
⨯⨯⨯πσ 梁内
210141100.22max /1563
6max m MN z
W M ==
=
⨯⨯σ
11.4作图示刚架的弯矩图。
设刚架各杆的ＥI 皆相等。
解：（a ）问题是一次静不定的。
去C 处多余约束，静定基如图。
变形谐调条件0=c f 。
11)(Rcx x M = （0≤1x ≤α）,22)(Px Rca x M -= （0≤2x ≤α）
⎰⎰
⎰
=-=
-+=
=∂∂l
a
a
EI Pa EI
Rca EI
EI
Rc
M EI
M
c adx Px Rca dx x Rcx dx f 0
23422111110)()(3
3
x 1
解得 P R C 8
3
=（向上） Pa a R M C B 83
==, a a C B P P a R M 85=+-= ，M 图如图示。
（c ）问题是二次静不定的。
去A 点两个位移约束，静定基如图。
变形谐调条件为
0=A u ， 0=A v 。
11)(x R x M X = （0<1x <4）,
2
222
2
)(qx Y X x R a R x M -+= （0<2x <7 ） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-+=-+==-+=-++=⎰⎰⎰+b EI qb EI b R EI ab R qx Y X EI A EI qab EI ab R EI b a a R a b qx Y X EI X EI A Y X Y X dx x x R a R v adx
x R a R dx x x R u 083222221
623)3(0022
2111110)(0
)()(4322
23
2222 化简，代入数据⎩⎨⎧=+=+21
228
712
712
343800Y X Y X R R R R
解得 kN R X 318.2-=， kN R Y 49.12=。
m kN a R M X B ⋅-==27.9 kN b R a R M qb Y X C -=-
+=8.192
2极值点 m x q
R M Y
123.3==
，.23.102
2
kNm x R M M qx M Y E =-
=, M 图如图所示。
11.7为改善桥式起重机大梁的刚度和强度，在大梁的下方增加预应力拉杆CD 。
梁的计算简图如图b 所示。
由于CC ’和DD ’两杆甚短，且刚度较大，其变形可以不。
试求拉杆CD 因吊重P 而增加的内力。
解：由静平衡得2
P
B A R R =
-将拉杆CD 切开如图，设在P 作用下切口沿1x 方向位移为P
1∆在单位力11=X 作用下切口沿1x 方向位移为11δ，则在P 及1X 联合作用下切口沿1x 方向位移011111=∆+=∆P X δ
P
M 图
9.27
x )
(x 1 1N ( M(x )
在P 作用下梁轴力及拉杆CD 轴力0==CD AB N N
[]
{}EI
L Pe L P L PL EI EA C EA C EI
P c N N M 8)2(4)(221
42121113121111
1002 ----=++⨯⨯-⨯⨯-=++=
∆ωωω
)()(1
2
1
11
1
11A A
I E EA EA
EI e e ++
=+
+
⨯=
δ代入①得[
]0)(8)
(11
1212
=+++--EI
ZL e P A A E x
得)(8)2()(11
112
1
1128)
(A
A I E A A I E E EI ZL Pe I L Pe X ++-++=
=
-
11.9 图示静不定刚架的EI 为常量。
试用卡氏定理或莫尔积分，直接求出铰支座的反力。
解：问题是二次静不定的。
去C 处两个位移我余约束，得静定基如图所示。
变形谐调条件为0=c u ，0=c v 。
用卡氏定理 2/2/)(2
111l R qx x R x M H v --= （0≤x 1<l 22)(x R x M H = （0≤x 2≤l /2） {⎰⎰---+=2/10
10
211
221)2/)(2/(2
1dx l l R x R dx x R u H qx V EI H EI c {⎰
=--=
1
112110
)2/(2
1
dx x l R x R v
H qx v EI
c
l/2
化简 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-8
41
3112
41247ql H V ql V H R R R R 解得 10
ql
H R =
（向左）， ql R v 20
9
=（向上）
11.10 链条的一环如图所示。
试求环内最大弯矩。
R V
解：由对称性，取图示1/4结构讨论，有2/P Q B =，0=B N ，0=B θ
θθsin )(2R M M P B += （0≤θ≤2π
）
R M x M P B 2)(+= （0≤x ≤α）
即 0
)(22
22
=+++Ra M a R P PR B π
解得 PR M a
R a
R B 2++-
=π， 2212/2
PR M M a
R PR B CD +-=
+
=ππ。
显有 PR M M M a R a
R A B 2max ++=
==π
11.13车床夹具如图所示，EI 已知。
试求夹具A 截面上的弯距。
解：由对称性讨论1/6园环（曲杆CA 段）。
可判定
0=A Q ， 0=A θ 。
由BC 与AC 对称条件，考虑ACB 段曲杆平衡，易求P N A 3
3= 。
由卡氏定理 )c o s 1()(33θθ-+=PR M M A （0≤θ≤3π）
⎰
=⋅⋅-+
=3
3
31
01))cos 1((πθθθRd PR M A EI
A
即
)(2133
3
=-+RP RP M A π
解得 PR PR M A 100.0)(3
3
23
=-
=π
⎰⎰=⋅⋅++⋅⋅+=
20
0212
10
1)(1)sin (π
θ
θθa P B EI P
B EI b dx R M Rd R M M B
N A
11.15求解图示静不定刚架。
解：
0111=∆+P X δ
(
)[]
2)(
22)(2
2
2
322
2
2
111122211
13⨯⨯⨯+⨯⨯
⨯⨯⨯=
=⨯⨯=
∆⋅a a a a a EI
EI
P a
a a EI P a a δρ EI
a a a EI
12721213
33)(=+=
7
612721)/()(3
311
1P
EI a EI Pa P
X -=-==
∆-δ
a/2
a/2 a/2 a/2。
