必修五：基本不等式
应用一：求最值 例：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
解：(1)y ＝3x 2＋1
2x
2 ≥2
3x 2·1
2x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例： 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
变式：设2
3
0<
-x ∴2922322)23(22)23(42
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离、换元
例：求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时,4
259y t t
≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a
f x x x
=+的单调性。 例：求函数22
4
y x =
+的值域。
2
4(2)x t t +=≥，则224
y x =
+221
4(2)4
x t t t x =+=+≥+
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。 所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
。
技巧五：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知0,0x y >>，且
191x y +=，求x y +的最小值错解．．：Q 0,0x y >>，且19
1x y
+=，∴()1992212x y x y xy x
y xy
⎛⎫+=++≥= ⎪
⎝⎭
故 ()min 12x y += 。 错因：解法中两次连用均值不等式，在2x y xy +≥x y =，在1992x
y
xy
+≥等号成立条件是
19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：19
0,0,1x y x y >>+=Q ，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
技巧六
例：已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。
同时还应化简1＋y 2
中y 2
前面的系数为 1
2
， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 22 ＝ 2 x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2 分别看成两个因式： x ·
12 ＋y 2
2
≤x 2＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝3
4
即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 3
4
2 技巧七：
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t ·16
t
＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230
ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab b
a ≥+2
）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围. 技巧八、取平方
例: 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
2244(21)(52)8y x x ==+≤+-+-=
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。 故max y =。
