(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案通用

专题14 多边形的边与角例1 5 7 例2 B例3 n ＝17 提示：设此角为，则（n －2）×180°＝＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，＝130°，此时n ＝17.例4 双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH 都是等腰直角三角形.设GH ＝，HA ＝y ，由MQ ＝NP ，得MF ＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP ，∴6722y +=++3y =∵MN ＝QP ，∴＝3＋，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋＋332.例5 将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1. 7；540°2. 363. 540°4. 1＜＜135. D6. C7. C8.A9. BC ＝10，DC ＝6 10. n ＝611. 提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面, 必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B 级1.52.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\ 150°四种可能,设这些角的个数分别为,y ,,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得=y=0,=1,w=10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n=3249.649提示：从A1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原图形周长的43倍.10.(1)108°;120°; ()02180nn-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有块正边形地砖，由于正n边形的所有内角都相等，则()02180360nkn-⨯=g即24222nkn n==+--.因为整数，故n－2|4，n—2=1，2，4，得 n=3,4 或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么，m，n应是方程m·90°+n·135°=360°的整数解.即2m+3n=8的整数解.∵这个方程的整数解只有12mn=⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。

专题28 整体与完形——补形法例1 134 例2 B 提示：由已知得b a ca b+=例3 （1）()12FG AB AC BC =+-，分别延长AG 、AF 交BC 于H ，K ，则AF=KF ，AB=KB,AG=HG,AC=HC.()()111222FG HK BK BH AB AC BC ==-=+-.（2）()12FG BC AC AB =+-例4 提示：作DG ⊥BC 交BC 延长线于Q ，AM ⊥CB 交CB 延长线于M ，DN ⊥MA 于N ，则MNDQ 为矩形，AD =例5 延长A 8A 1，A 3A 2相交于M ，延长A 2A 3，A 5A 4相交于N ，延长A 4A 5、A 7A 6相交于P ，延长A 6A 7、A 1A 8相交于Q. ∵∠A 1=∠A 5, ∠A 2=∠A 6，∴∠MA 1A 2=∠PA 5A 6, ∠MA 2A 1=∠PA 6A 5, ∴∠M=∠P ，同理可证：∠N=∠Q 。

∴MNPQ 为平行四边形，即A 1A 8∥A 4A 5，A 2A 3∥A 7A 6。

同理可证：A 1A 2∥A 6A 5,A 3A 4∥A 8A 7∴凸八连形内任意一点到边A 2A 3和A 6A 7的距离的和为平行线A 2A 3和A 6A 7间的距离，是一个定值.同样,这一点到边54A A 和18A A 的距离的和为平行线18A A 和54A A 间的距离；这一点到边21A A 和65A A 的距离的和为平行线21A A 和65A A 间的距离；这一点到边43A A 和87A A 的距离的和为平行线43A A 和87A A 间的距离，都是定值.所以，凸八边形内任意一点到8条边的距离的和是一个定值.例6 (1)证明略.(2)如图,过点A 分别作C B D C BC '',,的垂线,垂足分别为G F E ,,.由︒=∠45ABC 及已证结论BC C B ⊥',知四边形AGBE 是正方形, 由︒=∠45ABC ,︒=∠60ADC 及D C A '∆是ACD ∆沿AD 作对称变换得到,知点A 均在D GC GBC '∠∠,的平分线上，∴AG AF AE ==.于是，ADE R ∆t ≌ADF R ∆t ,F C A R '∆t ≌G C A R '∆t . 故︒=∠=∠='∠4521CAD EAG C DA . 则在ADC ∆中，︒=∠+∠-︒=∠75)(180DAC ADC C .能力训练1. 34 提示：延长CB 至E ，使DC BE =.2. 373. 424.76提示:延长ED AM ,及DC AB ,分别交于Q 及R ,则ARM ∆∽QDM ∆,ABP ∆∽QNP ∆. 5. < 如图,将OB C '∆沿B B '方向平移2S 到B RP '∆位置, 再将O A C '∆沿A A '方向平移3S 到QRA ∆位置, 则 OQP ∆为等边三角形,且边长为2，因321S S S ++=OQP B AR OQR S S S ∆'∆∆<-=32432=⨯ 6. D 7. D 8. C 9. B10. 提示：把ABC ∆补成一个边长为1的正三角形,延长BA 至G ,使1==BC BG ,连接CG ，在AG 上取点F ，使GF BA =,连接CF ，则A B C ∆≌FGC ∆,ACF ∆～CDE ∆,832=+∆∆CDE ABC S S . 11. 提示：以AB 为直角边向三角形外作等腰BAD R ∆t ,再作CA DE ⊥的延长线于E ，则BCED 为直角梯形，BD EC ≤.12. 证明：设八边形的边长分别为,,,,,,,,7654321b a a a a a a a a 且,,,,,,,,7654321b a a a a a a a a 都是整数，因为内角都等于︒135， 所以延长对边,,51a a 与,,73a a 这对边的延长线依次交出 N M Q P ,,,四点，则PQMN 为矩形。

专题19 平行四边形、矩形、菱形例1 75° 例2 A 只有命题③正确.例3 （1）△BEF 为正三角形 提示：由△ABD 和△BCD 为正三角形，可证明△BDE ≌△BCF ， 得：BE=BF ，∠DBE =∠CBF .∵∠DBC=∠CBF +∠DBF =∠DBE +∠DBF =60°，即∠EBF=60°，故△BEF 为等边三角形.(2)设BE BF EF x ===，则可得：24S x =，当BE ⊥AD 时，x .∴2minS ==当BE 与AB 重合时，x 有最大值为2，∴()2max 2S =⨯=S ≤≤例4 提示：PC=EF=PD ，4545CPB PFC EPG GPA BPD ︒︒∠=+∠=+∠=∠=∠，可证明 △CPB ≌△DPB .例5 （1）略 （2）45° （3）60°如图，延长AB 至H ，使AH=AD ，连DH ，则 △AHD 是等边三角形. ∵AH=AD=DF ，∴BH=GF ， 又∠BHD=∠GFD=60°，DH=DF ， ∴△DBH ≌△DGF ，∠BDH=∠GDF ，∴()1206060BDG ADC ADB GDF ADC ADB BDH ︒︒︒∠=∠-∠-∠=∠-∠+∠=-=例6 如图过M 作ME AN ，连NE ，BE ，则四边形AMEN 为平行四边形，得NE=AM ，ME ⊥BC . ∵ME=CM ，∠EMB=∠MCA=90°，BM=AC .∴△BEM ≌△AMC ，得BE=AM=NE ，∠1=∠2，∠3=∠4. ∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠4=90°且BE=NE . ∴△BEN 为等腰直角三角形，∠BNE=45°. ∵AM ∥NE ，∴∠BPM=∠BNE=45°.A 级1. 2α3. 26° 提示：作FG 边上中线，连接EC ，则EF=EC=AC .4. 20° 提示：连接AC ，则△AFC ≌△AEB ，△AEF 为等边三角形.5.C6.B7.D8. A 提示：E 、F 分别为AB 、BC 中点.9.从6个条件中任取2个，只有15种组合，其中能推出四边形ABCD 是平行四边形的有以下9种 情形：①与③；②与④；⑤与⑥；①与②；③与④；①与⑤；①与⑥；③与⑤；③与⑥. 10. 提示：（2）当D 为BC 中点时，满足题意.11. 提示：连AM ，证明△AMF ≌△BME ，可证△MEF 为等腰直角三角形.12. 6 提示：由△ABC ≌△DBF ，△ABC ≌△EFC 得：AC=DF=AE ，AB=EF=AD .故四边形AEFD 为平行四边形.又∠BAC=90°，则∠DAE =360°－90°－60°－60°=150°，则∠ADF=∠AEF=30°，则F 到AD 的距离为2，故326AEFDS=⨯=.B 级1. 92cm2. 提示：可以证明2222PA PC PB PD +=+. 3.152cm 4. 10 提示：可先证：AF=CF .设AF CF x ==，则8BF x =-， ∴()22284x x =-+. ∴5x =. ∴11541022AFC S AF BC ∆==⨯⨯=. 5.6013提示：过A 作AG ⊥BD 于G 可证PE+PF=AG ， 由AG BD AB AD =可得：512601313AG ⨯==.6. 提示：A ，C 关于BD 对称，连AE 交BD 于P . ∴PE+PC=AE .又∵AE ⊥BC 且∠BAE=30°，∴AE =. 7. B8. B 提示：取DE 中点为G ，连结AG ，则AG=DG=EG .9. C10.(1)=；图略 （2）1；图略 （3）3；图略 （4）以AB 为边的矩形周长最小，用面积法证明．11．证明：连AC ，如图，则易证△ABC 与△ADC 都为等边三角形． (1)若∠MAN ＝60°，则△ABM ≌△ACN ． ∵AM ＝AN ，∠MAN ＝60°， ∴△AMN 为等边三角形．(2)∠AMN ＝60°，过M 作CA 的平行线交AB 于P ． ∵∠BPM ＝∠BAC ＝60°，∠B ＝60°，∴△BPM 为等边三角形，BP ＝BM ，BA ＝BC ．∴AP ＝MC ． 又∠APM ＝120°＝∠MCN ．∠PAM ＝∠AMC －∠B ＝∠AMC －60°＝∠AMC －∠AMN ＝∠CMN ， ∴△PAM ≌△CMN ．∴AM ＝MN ，又∠AMN ＝60°． 故△AMN 为等边三角形．12．提示：如图，分别过点A 作AM ∥EF ，过点C 作CP ∥AB ，过点E 作EN ∥AF ，它们分别交于N ，M ，P 点，得□ABCM 、□CDEP 、□EFAN ，则EF ＝AN ，AB＝CM ，CD ＝PE ，BC ＝AM ，CP ＝DE ，AF ＝NE ，由条件得△NMP 为等边三角形，可推得六边形的每个内角均为120°．AMNPBDA B CD EP N MF。

专题08 分式方程例1 a ＜2且a ≠－4例2 原式右边＝22(1)+B(1)(1Ax x x Cx x x --+-）＝2222()()211(1)(1)A C xB A x B x x x x x x ++--+-=-- 得2111AC B A B +=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩∴1011,8.A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴A ＋B ＋C ＝13．例3 （1）x ＝12314提示：1155(5)(1)(4)(2)191968x x x x -++=++-----． （2）1,2x =，x 3＝－1，x 4＝－4 提示：令223.4x x y x x +=+-（3）1,2x =提示222222()().111x x x x x x x +=++++ 例4 （1）原方程化为11111+111+2+9+3+8x x x x --=-+-，即1111+3+2+9+8x x x x -=-，进一步可化为(x ＋2) (x ＋3)＝(x ＋8) (x ＋9)，解得x ＝－112．（2）原方程化为1111111+1+2+2+3+3+4+4x x x x x x x -+-+-=，即12+14x x =+，解得x ＝2． 例5 原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0①，当k ＝0时，原方程有唯一解x ＝12；当k ≠0，Δ＝5k 2＋4(k －1)2＞0．由题意知，方程①必有一根是原方程的曾根，即x ＝0或x ＝1，显然0不是①的根，故x ＝1是方程①的根，代入的k ＝12．∴当k ＝0或12时，原方程只有一个解．例6 11113x x y z x <++≤，即1536x x <≤，因此得x ＝2或3．当x ＝2时， 111x x y <+＝511112623y y y -=≤+=，即1123y y<≤，由此可得y ＝4或5或6；同理，当x ＝3时，y ＝3或4，由此可得当1≤x ≤y ≤z 时，(x ，y ，z )共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4组；由于x ，y ，z 在方程中地位平等，可得原方程组的解共15组：(2，4，12)，(2，12，4)， (4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4) ，(4，4，3) ，(4，3，4)．A 级1．－1 2．y 2－2y －1＝0 3．1 4．－8 5．D 6．D 7．D8．(1)12123x x ==-， (2)1226x x ==-，,3,43x =-±9．15250 提示：由x ＋13x =得2217.x x +=则2211()()21x x x x ++=，得33118x x +=． 于是221()x x +331()126x x +=，得551123x x +=．进一步得1010115127x x +=．故原式＝15250． 10．k ＝0或k ＝12提示：原方程化为kx 2－3kx ＋2x －1＝0，分类讨论． 11．设x ＋2x ＝y ，则原方程可化为y 2－2my ＋m 2－1＝0，解得y 1＝m ＋1，y 2＝m －1．∵x 2＋2x －m －1＝0①，x 2＋2x －m ＋1＝0②，从而Δ1＝4m ＋8，Δ2＝4m 中应有一个等于零，一个大于零．经讨论，当Δ2＝0即m ＝0时，Δ1＞0，原方程有三个实数根．将m ＝0代入原方程，解得123111.x x x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩12 原方程“无解”内涵丰富:可能是化得的整式方程无解,亦可能是求得的整式方程的解为増根,故需全面讨论.原方程化为(a+2)x =－3 ① , ∵原方程无解,∴a+2=0或x －1=0,x+2=0,得.21-5,2,21-a 5,－=a 分别别代入①2－= x 1,=x 把 2,－=a 或综上知--==aB 级1. 3或 － 72. x ₁=8 , x ₂=－1 , x ₃=－8 , x ₄=1 提示: 令x ²－8=y3. 3 提示:由有増根可得m=0或 m=3,但当 m=0,化为整式方程时无解4. a<2 且 a ≠－45. ⑴ －2 ⑵ －4 或 －106. A7.0≠1a ∴ 0,≠11 0≠1x 1a 01-a x ∴,111x a : a a x a B 且即且由提示<+-+<⇒<=+=⇒=+8. 设甲单独做需要x 天完成,乙单独做需要y 天完成,丙单独做需要z 天完成则1x y +=++a yz yz xz 得⑥⑤④, ⑥11yz x z x y x y ⑤,11yz x z x y x z ④.11yz x z x y yz ∴+++=+++=+++=++c b a 同理可得 111111a 1=+++++c b 得.,01.01)72(1)t -(a 1,≠,1⑴....9222=-=++-=-a t a t t x x 当原方程可化为则设.,?=a , 41-=x 81-=x ∴, 51=1-x 91=1-x 0=1+5-0=1+9-, ?=原方程有实数解时当故或或即或则方程为时即x x t t a解 . 当a ≠±1时,则Δ≥0,原方程有实数解.由Δ=[-﹙2a+7﹚]²-4﹙a ²-1﹚≥0,解得且当综上可知由于解得时但当又,2853－≥,,2853－>22±1,22±1=a ,1=t 1,≠t ,2853－≥a a .,22±1≠原方程有实数解时a253,,10.28a a <-=∴=故应当舍去 22232006()2321006,1,10.? 1x x y x x x y x x -+=-+≠--∴=把原方程变形为 200521,2005120055401,11,5,401,2005,1(x,y)=(2,2008),(6,412),(402,808),(2006,4012)x x x =-+=⨯=⨯-=-分别取从而 1000008000011 (1),,10004000,4000,4000.(2),48003500+3000(15)50000,6x 10.x ,,,,,.x x xx x x x x =+==≤-≤≤≤设今年三月份甲种电脑每台售价元由题意得解得经检验是原方程的根所以甲种电脑每台售价元设购进甲种电脑台由题意得解得因为的正整数解为678910所以共有5种进货方案 (3)设总获利为W 元,则W=(4000-35000)x+(3800-3000-a)(15-x)=(a-300)x+12000-15a当a=300时,(2)中所有方案获利相同,此时购买甲种电脑6台,乙钟电脑9台时对公司更有利。

专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1．熟悉每个公式的结构特征；2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用； 3．逆用 即将公式反过来逆向使用； 4．变用 即能将公式变换形式使用；5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．例题与求解【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 ．（全国初中数字联赛试题）解题思路：因22()()a b a b a b -=+-，而a b +a b -的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．【例2】（1）已知,a b 满足等式2220,4(2)x a b y b a =++=-，则,x y 的大小关系是( )A ．x y ≤B ．x y ≥C ．x y <D ．x y >（山西省太原市竞赛试题）（2）已知,,a b c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=-，则a b c ++的值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较,x y 的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．【例3】计算下列各题：（1） 2486(71)(71)(71)(71)1+++++；（天津市竞赛试题） （2）221.23450.76552.4690.7655++⨯；（“希望杯”邀请赛试题）（3）22222222(13599)(246100)++++-++++．解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．【例4】设221,2a b a b +=+=，求77a b +的值． （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出77a b +的结构，必须把77a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．【例5】观察：222123415;2345111;3456119;⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=⨯⨯⨯+=（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算20002001200220031⨯⨯⨯+的结果（用一个最简式子表示）．（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．【例6】设,,a b c 满足2223331,2,3,a b c a b c a b c ++=++=++=求：（1）abc 的值； （2）444a b c ++的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．能力训练A 级1．已知22(3)9x m x --+是一个多项式的平方，则m = ． （广东省中考试题） 2．数4831-能被30以内的两位偶数整除的是 ．3．已知222246140,x y z x y z ++-+-+=那么x y z ++= ．（天津市竞赛试题）4．若3310,100,x y x y +=+=则22x y += ．5．已知,,,a b x y 满足3,5,ax by ax by +=-=则2222()()a b x y ++的值为 ．（河北省竞赛试题）6．若n 满足22(2004)(2005)1,n n -+-=则(2005)(2004)n n --等于 ． 7．22221111(1)(1)(1)(1)2319992000----等于（ ） A ．19992000 B ．20012000 C ．19994000D ．200140008．若222210276,251M a b a N a b a =+-+=+++，则M N -的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．可正可负9．若222,4,x y x y -=+=则19921992xy +的值是（ ）A ．4B ．19922C ．21992D ．4199210．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO ”杯全国初中数学竞赛试题）11．设9310382a =+-，证明：a 是37的倍数． （“希望杯”邀请赛试题）12．观察下面各式的规律：222222222222(121)1(12)2;(231)2(23)3;(341)3(34)4;⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+⨯+=+⨯+ 写出第2003行和第n 行的式子，并证明你的结论．B 级1．()na b +展开式中的系数，当n =1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出901.1的值为 ． （《学习报》公开赛试题）2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为,,a b c ，则222a b c ab bc ac ++---的值为 ．（天津市竞赛试题）3．已知,,x y z 满足等式25,9,x y z xy y +==+-则234x y z ++= ．4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 ．（全国初中数学联赛试题）5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A ．16种B ．14种C ．12种D ．10种（北京市竞赛试题）7．若正整数,x y 满足2264x y -=，则这样的正整数对(,)x y 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（山东省竞赛试题）8．已知3a b -=，则339a b ab --的值是（ ）A ．3B ．9C ．27D ．81（“希望杯”邀请赛试题）9．满足等式221954m n +=的整数对(,)m n 是否存在？若存在，求出(,)m n 的值；若不存在，说明理由．第2题图11 2 1 1 3 31146 4 11 5 10 10 5 1 … … … … … … …10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．（天津市竞赛试题）11．若x y a b +=+，且2222x y a b +=+， 求证：2003200320032003x y a b +=+．12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如222222420,1242,2064,=-=-=-因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为22k +和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．例2 （1）B x －y ＝（2a ＋4a ＋a ）＋（2b －8b ＋16）＝()22a +＋()24b -≥0，x ≥y ．（2）B 3个等式相加得：()23a -＋()21b +＋()21c -＝0，a ＝3，b ＝－1，c ＝1．a ＋b ＋c ＝3－1＋1＝3．例3 （1）167 （2）4 （3）－5050例4718 提示：由a ＋b ＝1，2a ＋2b ＝2得ab ＝－12，利用1n a +＋1n b +＝（n a ＋n b ）（a ＋b )－ab (1n a -＋1n b -)可分别求得3a ＋3b ＝52，4a ＋4b ＝72，5a ＋5b ＝194，6a ＋6b ＝264，7a ＋7b ＝718．例5 （1）设n 为自然数，则n （n ＋1)(n ＋2)(n ＋3）＋1＝()2231n n ++ （2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝24006001．例6（1）设⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++③②①.3,2,1333222c b a c b a c b a2①－②，得ab ＋b c ＋a c ＝21-，∵333c b a ++－3ab c ＝（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）， ∴ab c ＝31（333c b a ++）－31（a ＋b ＋c ）（222c b a ++－ab －b c －a c ）＝31×3－31×1×（2＋21）＝61． （2）将②式两边平方，得,4222222222444=+++++a c c b b a c b a ∴()2222224442224a c c b b a c b a ++-=++ ＝4－2()[])(22c b a abc ac bc ab ++-++＝4－2⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1612212＝625．A 级1．0或6 2．26，28 3．2 4．40 5．34 6．0 7．D 8．A 9．C10.原有136或904名学生．设⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②①.1208,120822m x m xm ，n 均为正整数，且m ＞n ，①－②得（m ＋n ）（m －n ）＝240＝5324⨯⨯．2m ，2n 都是8的倍数，则m ，n 能被4整除，m ＋n ，m －n 均能被4整除．得⎩⎨⎧=-=+460n m n m 或⎩⎨⎧=-=+1220n m n m ， ∴⎩⎨⎧==2812n m 或⎩⎨⎧==416n m8x ＝2m －120＝904或8x ＝2m －120＝136．11.因为a ＝910＋338－2＝（910－1）＋（338－1）＝999 999 999＋37×（238＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）． 所以37|999 999 999，且37|37×（238＋38＋1），因此a 是37的倍数．12.第2003行式子为：()2222004200420032003+⨯+＝()2120042003+⨯．第n 行式子为：()()222211++++n n n n ＝()221++n n ．证明略B 级 1．1．0942．76 提示：由13＋a ＝9＋b ＝3＋c 得a －b ＝－4，b －c ＝－6，c －a ＝10 3．13 4．156 5．D6.C 提示：（x ＋y ）（x －y ）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：⎩⎨⎧------=-------=+.1,7,41,49,287,2009,1,7,41,49,287,2009;2009,287,49,41,7,1,2009,287,49,41,7,1y x y x 故（x ，y ）共有12组不同的表示． 7．B 8．C9．提示：不存在符合条件的整数对（m ，n ），因为1954不能被4整除．10．设所求两位数为AB ，由已知得22BA AB -＝2k （k 为整数），得2119.k A B A B =⨯+⨯-而11A B +=⎧11A B +=⎧解得65A B =⎧⎨=⎩或56A B =⎧⎨=⎩，即所求两位数为65，5611. 设2222x y a bx y a b+=+⎧⎨+=+⎩①②, 则由2,-①②得22xy ab = ③②-③, 得22()()x y a b -=-, 即x y a b -=- x y a b ∴-=-或x y b a -=-分别与x y a b +=+联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x by a =⎧⎨=⎩2003200320032003x y a b ∴+=+12. (1)22284786,=⨯=- 2220124503504502=⨯=-, 故28和2012都是神秘数 （2）22(22)(2)4(21),k k k +-=+为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. 22(21)(21)8n n n +--=,故两个连续奇数的平方差不是神秘数。

15、三角形总复习【知识精读】1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；3. 全等三角形的性质与判定；4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。

从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。

因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。

因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

【分类解析】1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知中，于D ，E 是AD 上一点。

∆ABC ∠=︒⊥BAC AD BC 90， 求证：∠>∠BED C证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C>说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在中，，AM 是BC 边的中线。

∆ABC AB AC > 求证：()AM AB AC >-12证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD在和中，∆CMA ∆BMD AM DM AMC DMB CM BM===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMD BD AC在中，，而∆ABD AB BD AD -<AD AM=2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得，然后通过倍长中2AM AB AC >-线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转∆AMC 化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ； （2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ， 再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

八年级数学———培优精品教案◆◆◆ 认真解答，一定要细心哟！一、填空题 1、设ABC 的三边长分别为a ，b ,c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ,则第三边的长c 的取值范围是 ．2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。

3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O,若∠BOC=α，则∠A=_________。

4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。

5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限,则a 的取值范围是 .6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。

7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中,汽车离出发地的距离s(km ）和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法:①汽车共行驶了120km;②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为803km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。

其中正确的说法有_______________。

8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，•两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克,你呢？”小丽思考了一会儿说:“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系,你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我,你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ）A.m B.2mC.(90—m) D 。

（90-2m)2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验,测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升）与服药后时间x (时）之间的函数关系如图所示，则Oy (微克/毫升) x (时)314 8 4 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是( ） A ．错误!≤y ≤错误! B ．错误!≤y ≤8 C ．错误!≤y ≤8 D ．8≤y ≤16八年级数学—--培优精品教案◆◆◆认真解答,一定要细心哟！3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点,该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点,打开两个进水口,关闭出水口；②1点到3点,同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口,打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ）A ．①③B 。

专题18直角三角形(吴梅录入)阅读与思考直角三角形是一类特殊三角形，有以下丰富的性质：角的关系：两锐角互余；边的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和；边角关系：30所对的直角边等于斜边的一半.这些性质广泛应用于线段计算、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面.在现阶段，勾股定理是求线段的长度的主要方法，若图形缺少条件直角条件，则可通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形为勾股定理的应用创造必要条件；运用勾股定理的逆定理，通过代数方法计算，也是证明两直线垂直的一种方法.熟悉以下基本图形基本结论：例题与求解【例11 (1)直角AABC三边的长分别是x, x + 1和5,则A ABC的周长=.AABC的面积=.(2)如图，已知RtAABC的两直角边AC=5, BC=12, D是BC ±一点，当AD是/ A的平分线时，则CD=.解题思路：对于(1),应分类讨论；对于(2),能在RtAACD中求出CD吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A, B, C,都在方格线的交点，则ZACB=( )A.1200B.135°C.150°D.165°批注[ywl]:从代数角度，考察方程a2+b2= c2的正整数解，古希腊人找到了这个方程的全部整数解：a = 2mnb = n2 - m227c = n + m其中m, 〃是自然数，n>m,m , 〃一奇一偶.17世纪，法国数学家提出猜想：当〃>3时，方程x n + y n=z n无正整(太原市竞赛试题)解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P 为AABC 边BC 上的一点，且PC=2PB,已知ZABC=45°, ZAPC =60°,求ZACB 的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路:不能简单地由角的关系推出ZACB 的度数，综合运用条件PC=2PB 及ZAPC =60°,构造出含30。

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．4321FDOE CB A【解析】BE CD BC +=， 理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，∵60A ∠=︒，∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?GNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =.在AD 上截取AG AM =，∴DG MB =，∴45AGM =∠∴135DGM MBN ==︒∠∠，∴ADM NMB =∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .M F EDCB A【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .【例4】 以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 【解析】 因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌，则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．【例5】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．EABC DM N【解析】 如图所示，延长AC 到E 使CE BM =.在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，D M D E =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.【例6】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDEABDEFC【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC .∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF ∵AB =AE ，BC =EF ∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF∵BC +DE =CD ∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .板块二、全等与角度【例7】如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长AB 至E 使BE BD =，连接ED 、EC .由AC AB BD =+知AE AC =，而60BAC ∠=，则AEC ∆为等边三角形.注意到EAD CAD ∠=∠，AD AD =，AE AC =， 故AED ACD ∆∆≌.从而有DE DC =，DEC DCE ∠=∠，故2BED BDE DCE DEC DEC ∠=∠=∠+∠=∠.所以20DEC DCE ∠=∠=，602080ABC BEC BCE ∠=∠+∠=+=.【另解】在AC 上取点E ，使得AE AB =，则由题意可知CE BD =.在ABD ∆和AED ∆中，AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =，则ABD AED ∆∆≌，从而BD DE =，进而有DE CE =，ECD EDC ∠=∠，AED ECD EDC ∠=∠+∠=2ECD ∠. 注意到ABD AED ∠=∠，则：1318012022ABC ACB ABC ABC ABC BAC ∠+∠=∠+∠=∠=-∠=，故80ABC ∠=︒.【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE ，利用角平分线AD 可以构造全等三角形.同样地，将AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想.上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考 虑的方法.【例8】在等腰ABC ∆中，AB AC =，顶角20A ∠=︒，在边AB 上取点D ，使AD BC =，求BDC ∠.【解析】 以AC 为边向ABC ∆外作正ACE ∆，连接DE .在ABC ∆和EAD ∆中，AD BC =，AB EA =，2060EAD BAC CAE ∠=∠+∠=+= 80ABC =∠，E D CB AED CB AD CBADCB AED CBA则ABC EAD ∆∆≌.由此可得ED EA EC ==，所以EDC ∆是等腰三角形. 由于20AED BAC ∠=∠=，则602040CED AEC AED ∠=∠-∠=-=，从而70DCE ∠=，706010DCA DCE ACE ∠=∠-∠=-=， 则201030BDC DAC DCA ∠=∠+∠=+=.【另解1】以AD 为边在ABC ∆外作等边三角形ADE ∆，连接EC .在ACB ∆和CAE ∆中，6020CAE ACB ︒︒∠=+=∠，AE AD CB ==，AC CA =， 因此ACB CAE ∆∆≌，从而CAB ACE ∠=∠，CE AB AC ==.在CAD ∆和CED ∆中，AD ED =，CE CA =，CD CD =， 故CAD CED ∆∆≌， 从而ACD ECD ∠=∠，2CAB ACE ACD ∠=∠=∠， 故10ACD ︒∠=，因此30BDC ︒∠=. 【另解2】如图所示，以BC 为边向ABC ∆内部作等边BCN ∆，连接NA 、ND .在CDA ∆和ANC ∆中，CN BC AD ==，20CAD ∠=， ACN ACB BCN ∠=∠-∠=806020-=， 故CAD ACN ∠=∠，而AC CA =，进而有CDA ANC ∆∆≌. 则10ACD CAN ∠=∠=，故30BDC DAC DCA ∠=∠+∠=. 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系.【例9】如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.【解析】 过M 作AB 的平行线交BC 于K ，连接KA 交MB 于P .连接PN ，易知APB ∆、M KP ∆均为正三角形.因为50BAN ∠=︒，AC BC =，20C ∠=︒，所以50ANB ∠=︒，BN AB BP ==，80BPN BNP ∠=∠=︒，则40PKN ∠=︒，180608040KPN ∠=︒-︒-︒=︒， 故PN KN =.从而MPN MKN ∆∆≌.进而有PMN KMN ∠=∠，1302NMB KMP ∠=∠=︒.【另解】如图所示，在AC 上取点D ，使得20ABD ∠=︒，由20C ∠=︒、AC BC =可知80BAC ∠=︒. 而20ABD ∠=︒，故80ADB ∠=︒，BA BD =. 在ABN ∆中，50BAN ︒∠=，80ABN ∠=︒，故50ANB ∠=︒，从而BA BN =，进而可得BN BD =.E DCBA N DC B APA BCM NK NMCBA D NMCBA而802060DBN ABC ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以BDN ∆为等边三角形.在ABM ∆中，180180806040AMB ABM BAM ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒， 804040DBM ADB AMB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故DM B DBM ∠=∠，从而D M D B =.我们已经得到DM DN DB ==，故D 是BMN ∆的外心，从而1302NMB NDB ∠=∠=︒.【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师Ross Honsberger 将其喻为“平面几何中的一颗明珠”.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易.【例10】在四边形ABCD 中，已知AB AC =，60ABD ︒∠=，76ADB ︒∠=，28BDC ︒∠=，求DBC ∠的度数.【解析】 如图所示，延长BD 至E ，使DE DC =，由已知可得：180********ADE ADB ︒︒︒︒∠=-∠=-=， 7628104ADC ADB BDC ︒︒︒∠=∠+∠=+=，故ADE ADC ∠=∠.又因为AD AD =，DE DC =，故ADE ADC ∆∆≌，因此AE AC =，E ACD ∠=∠，EAD CAD ∠=∠.又因为AB AC =， 故AE AB =，ABC ACB ∠=∠. 而已知60ABD ︒∠=，所以ABE ∆为等边三角形. 于是60ACD E EAB ∠=∠=∠=︒，故18016CAD ADC ACD ∠=︒-∠-∠=︒， 则28CAB EAB CAD EAD ∠=∠-∠-∠=︒，从而1(180)762ABC CAB ∠=︒-∠=︒，所以16DBC ABC ABD ∠=∠-∠=︒.【例11】 如图所示，在四边形ABCD 中，12DAC ︒∠=，36CAB ︒∠=，48ABD ︒∠=，24DBC ︒∠=，求ACD ∠的度数.【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是12︒的倍数，这使我们想到构造60︒角，从而利用正三角形.在四边形ABCD 外取一点P ，使12PAD ︒∠=且AP AC =，连接PB 、PD . 在ADP ∆和ADC ∆中，12PAD CAD ︒∠=∠=，AP AC =，AD AD =，故ADP ADC ∆∆≌. 从而APD ACD ∠=∠.CDB A DC BA EC D B A PDC在ABC ∆中，36CAB ∠=︒，72ABC ∠=︒， 故72ACB ︒∠=，AC AB =， 从而AP AB =.而12123660PAB PAD DAC CAB ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒， 故PAB ∆是正三角形，60APB ︒∠=，PA PB =.在DAB ∆中，123648DAB DAC CAB DBA ︒︒︒∠=∠+∠=+==∠， 故DA DB =.在PD A ∆和PDB ∆中，PA PB =，PD PD =，DA DB =， 故PDA PDB ∆∆≌，从而1302APD BPD APB ︒∠=∠=∠=，则30ACD ︒∠=.【例12】 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =， 在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.【解析】 如图所示，连接DC .因为AD BD =，AC BC =，CD CD =，则ADC BDC ∆∆≌， 故30BCD ∠=.而DBE DBC ∠=∠，BE AB BC ==，BD BD =， 因此BDE BDC ∆∆≌，故30BED BCD ∠=∠=.【例13】 如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.D E CB AD E CB A OM B MCAB【解析】 在ABC ∆中，由44BAC BCA ︒∠=∠=可得AB AC =，92ABC ︒∠=.如图所示，作BD AC ⊥于D 点，延长CM 交BD 于O 点，连接OA ， 则有30OAC MCA ︒∠=∠=，443014BAO BAC OAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 301614OAM OAC MAC ︒︒︒∠=∠-∠=-=， 所以BAO MAO ∠=∠.又因为90903060AOD OAD COD ︒︒︒︒∠=-∠=-==∠， 所以120AOM AOB ∠=︒=∠.120BOM ∠=︒ 而AO AO =，因此ABO AMO ∆∆≌， 故OB OM =.由于120BOM ︒∠=，则180302BOMOMB OBM ︒-∠∠=∠==︒，故180150BMC OMB ︒︒∠=-∠=.全等三角形培优竞赛讲义（二）【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。

专题 20 正方形例1 ①④⑤ 提示：在AD 上取AH ＝AE ，连EH ，则∠AHE ＝45°，∴∠HED ＝∠HDE ＝22.5°，则HE ＝HD ．又∵HE ＝HD ＞AE ，故②不正确．又AGD FGD CGD S S S ∆∆∆=> ，故③不正确．例2 提示：(1)延长DM 交CE 于N ，连DF ，NF ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF 得FD ＝FN ，∠DFN ＝∠CFE ＝90°，故MD ⊥MF 且MD ＝MF ．(2)延长DM 到N 点，使DM ＝MN ，连FD ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，得AD ＝EN ，∠MAD ＝∠MEN ，则AD ∥EN ．延长EN ，DC 交于S 点，则∠ADC ＝∠CSN ＝90°．在四边形FCSE 中，∠FCS ＋∠FEN ＝180°，又∵∠FCS ＋∠FCD ＝180°，故∠FEN ＝∠FCD ，再证△CDF ≌△ENF ．∴(1)中结论仍成立．例3 提示：延长BC 至点H ，使得CH ＝AE ，连结DE ，DF ，由Rt △DAE ≌Rt △DCH 得，DE ＝DH ，进而推证△DEF ≌△DFH ，Rt △DGE ≌Rt △DCH ． 例4 设AG ＝a ，BG ＝b ，AE ＝x ，ED ＝y ，则,2. a b x y ax by +=+⎧⎨=⎩①②由①得a －x ＝y －b ，平方得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－2by ＋b 2． 将②代入得a 2－2ax ＋x 2＝y 2－4ax ＋b 2， ∴(a ＋x )2＝b 2＋y 2，得a ＋x∵b 2＋y 2＝CH 2＋CF 2＝FH 2， ∴a ＋x ＝FH ，即DH ＋BF ＝FH ．延长CB 至M ，使BM ＝DH ，连结AM ，由Rt △ABM ≌Rt △ADH ，得AM ＝AH ，∠MAB ＝∠HAD ． ∴∠MAH ＝∠MAB ＋∠BAH ＝∠BAH ＋∠HAD ＝90°． 再证△AMF ≌△AHF ．∴∠MAF ＝∠HAF ． 即∠HAF ＝12∠MAH ＝45°． 例5 (1)如图，延长CD 至点E 1，使DE 1＝BE ，连结AE 1，则△ADE 1≌△ABE ． 从而，∠DAE 1＝∠BAE ，AE 1＝AE ，于是∠EAE 1＝90°．在△AEF 和△AE 1F 中，EF ＝BE ＋DF ＝E 1D ＋DF ＝E 1F ，则△AEF ≌△AE 1F ． 故∠EAF ＝∠E 1AF ＝12∠EAE 1＝45°． (2)如图，在AE 1上取一点M 1，使得AM 1＝AM ，连结M 1D ，M 1N ．则 △ABM ≌△ADM 1，△ANM ≌△ANM 1， 故∠ABM ＝∠ADM 1，BM ＝DM 1，MN ＝M 1N ．∵∠NDM 1＝90°，从而M 1N 2＝M 1D 2＋ND 2，∴MN 2＝BM 2＋DN 2．FEAD CB MNM E 11A D CFHB MGEP例6 (1)BM ＋DN ＝MN 成立．如图a ，把△AND 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ，E 、B 、M 三点共线，则△DAN ≌△BAE ， ∴AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，得△AEM ≌△ANM ，∴ME ＝MN ． ∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴DN ＋BM ＝MN ． (2)DN －BM ＝MN ．如图b ，对于图2，连BD 交AM 于E ，交AN 于F ，连EN ，FM 可进一步证明：①△CMN 的周长等于正方形边长的2倍； ②EF 2＝BE 2＋DF 2；③△AEN ，△AFM 都为等腰直角三角形； ④2AMN AEF S S ∆∆=．A 级1．75°2．②3．34．5．C 6．B 7．B 8．B9．提示：△ABE ≌△DCE ，△ADF ≌△CDF ，证明∠ABE ＋∠BAF ＝90°． 10．提示：延长CE 交DA 的延长线于G ，证明FG ＝FC ． 11．提示：连PC ，则PC ＝EF ．12．(1)延长DM 交EF 于N ，由△ADM ≌△ENM ，得DM ＝NM ，MF ＝12DN ，FD ＝FN ，故MD ⊥MF ，且MD ＝MF ．(2)延长DM 交CE 于N ，连结DF ，FN ，先证明△ADM ≌△ENM ，再证明△CDF ≌△ENF ，(1)中结论仍成立．B 级1.2 22.60°°提示：MA 2＋MC 2＝MD 2＋MB 23.54.D5.C6.B7.B8.提示:⑴在AD 上截取AF ＝AM ，∠DFM ＝∠MBN ，由△DFM ≌△MBN ，故DM ＝MN . ⑵证法同上，结论仍成立.⑶在AD 延长线取一点E ，使DE ＝BM ，可证明△DEM ≌△MBN ，故DM ＝MN .9.提示：构造边长为1的正方形ABCD ，P 为正方形ABCD 内一点，过P 作FH ∥AB 交AD 于F ，交BC 于H,作EG ∥AD 交AB 于E ，交CD 于G .设AE ＝a,则BE ＝1－a .设AF ＝b ，则DF ＝1－b .∴PA ＝a 2＋b 2,同理：PB ＝(1－a )2＋b 2,PC ＝(1－a )2＋(1－b )2，PD ＝a 2＋(1－b )2. 又∵PA ＋PB ＋PC ＋PD ≥2AC ＝22，∴命题得证.图b图aEEFADCBM N NM BCD A10.提示：MN ＝BM ＋DN ，延长CD 至M ',使M 'D ＝BM ，证明△ADM '≌△ABM ，△AM 'N ≌△AMN ，则∠MAN ＝∠M 'AN ＝12∠M ’AM ＝45°.11.提示：八边形八个内角分成两组，每一组四个角都相等.12.连结RN,MP ，△MPC ≌△BAC ≌△BRN ，则RB ＝MP ，又△RNM ≌△PCB ，则RM ＝BP ，从而四边形RBPM 是平行四边形，故BP ∥RM .。

八年级数学提优练习题参考答案与试题解析一•选择题（共7小题）点，OP=OC，下面的结论：①/ APO+ / DCO=30 °②厶OPC是等边三角形；③AC=AO+AP ;④S^ABC=S四边形AOCP・其中正确的有（）个.考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质. 分析：① 利用等边对等角，即可证得：/ APO= / ABO, / DCO= / DBO，贝U/ APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD，据此即可求解；②证明/ POC=60。

且OP=OC，即可证得△ OPC是等边三角形；③首先证明•••△ OPABA CPE，贝U AO=CE , AC=AE+CE=AO+AP .④过点C作CH丄AB于H，根据S四边形AOCP=S A ACP+S A AOC，利用三角形的面积公式即可求解. 解答：解：连接OB,•/ AB=AC , AD 丄BC ,• BD=CD , / BAD=2 / BAC== X120 °60 °• OB=OC , / ABC=90 °-Z BAD=30 °•/ OP=OC ,• OB=OC=OP ,•/ APO= / ABO , / DCO= / DBO ,•/ APO+ / DCO= / ABO+ / DBO= / ABD=30 ° 故①正确；•// APC+ / DCP+ / PBC=180 ° °•/ APC+ / DCP=150 ° °•// APO+ / DCO=30 °°•••/ OPC+ / OCP=120 ° °•/ POC=180°-(/ OPC+ / OCP) =60 ° °•/ OP=OC ,•••△OPC是等边三角形；故②正确；在AC上截取AE=PA ,•// PAE=180°-Z BAC=60 °•△ APE是等边三角形，•/ PEA= / APE=60 ° PE=PA ,•/ APO+ / OPE=60 °•// OPE+ / CPE=/ CPO=60 °°•/ APO= / CPE ,•/ OP=CP ,在厶OPA和厶CPE中，B .①②④C •①③④D .①②③④A •①②③1「PA二PE“ Z APO =Z C :PB ，[OF=CF•••△ OPA ^A CPE ( SAS ), ••• AO=CE ,• AC=AE+CE=AO+AP ; 故③正确；过点C 作CH 丄AB 于H ,•••/ PAC=Z DAC=60 ° AD 丄 BC ,• CH=CD , •- S A ABC = AB?CH ,S 四边形 AOCP =S A ACP +S A AOC =—AP?CH+—OA?CD=—AP?CH+ —OA?CH=—CH? (AP+OA ) =—CH?AC ,2 2 2 S 2 2点评：本题考查了等腰 三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线.2.如图，四边形 ABCD 是直角梯形，AB // CD , AD 丄AB ，点P 是腰AD 上的一个动点，要使 PC+PB 最小，则点 P 应该满足（）考点：轴对称-最短路线问题；直角梯形. 专题：压轴题；动点型.分析：首先根据轴对称的知识，可知 P 点的位置是连接点 B 和点C 关于AD 的对称点E 与AD 的交点，利用轴对 称和对顶角相等的性质可得.解答： 解：如图，作点 C 关于AD 的对称点E ,连接BE 交AD 于P ,连接CP .A . PB=PCB . PA=PDC . / BPC=90 / APB= / DPC•- S A ABC =S 四边形 AOCP ； 故④正确. 故选D .根据轴对称的性质，得/ DPC= / EPD, 根据对顶角相等知/ APB= / EPD, 所以/ APB= / DPC .故选D.点评：此题的关键是应知点P是怎样确定的•要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.如图，△ ABC是等腰直角三角形，△ DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△ DEF ,DE, DF分别交AC , BA的延长线于E, G,则下列结论:AG=CE ② DG=DE其中总是成立的是（）A .①②③B .①②③④C .②③④ 考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质.专题：开放型.分析：连DA ,由厶ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，根据等腰直角三角形的性质得AD丄BC, AD=DC , / ACD= / CAD=45 °,得到/ GAD= / ECD=135 °,由/ EDF=90 °,根据同角的余角相等得到/ 仁/ 2，所以△ DAG ◎△ DCE , AG=EC , DG=DE，由此可分别判断.解：连DA，如图，•••△ ABC是等腰直角三角形，D点为BC的中点，••• AD 丄BC , AD=DC，/ ACD= / CAD=45 °•••/ GAD= / ECD=135 °又•••△ DEF是一个含30°角的直角三角形,• / EDF=90 ° • / 1 = / 2,•△ DAG ◎△ DCE ,•AG=EC , DG=DE，所以①② 正确;-AB=AC ,• BG - AC=BG - AB=AG=EC，所以③正确;故选B .BG - AC=CE ④BDG - S^ CDE=』S A ABC3.D .①②④解答:•' BDG-CDE=S A BDG- j ADG=S A ADB= ABC•所以④正确.Ax£点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等•也考查了等腰直三角形的性质，特别是斜边上的中线垂直斜边并且等于斜边的半.4.如图：△ ABC 中，/ ACB=90 ° / CAD=30 ° AC=BC=AD , CE 丄CD，且CE=CD，连接BD , DE, BE,则下列结论：①/ ECA=165 ° ②BE=BC ;③AD丄BE;④ 0=1 .其中正确的是（）BDA .① ②③B .①②④C .①③④|D .① ②③④考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形.分析：①根据：/ CAD=30 ° AC=BC=AD，禾U用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出/ ECA=165 °从而得证结论正确；②根据CE丄CD，/ ECA=165 °利用SAS求证△ ACD ◎△ BCE即可得出结论；③根据/ ACB=90 ° / CAD=30 ° , AC=BC ,利用等腰三角形的性质和△ ACD ◎△ BCE ,求出/ CBE=30 ° ,然后即可得出结论；④过D作DM丄AC于M,过D作DN丄BC于N .由/ CAD=30 °可得CM=丄AC ,求证△ CMD CND ,2可得CN=CM= >!A C=2BC ,从而得出CN=BN .然后即可得出结论.___________ 2 2解答：-解：①•••/ CAD=30 ° °AC=BC=AD , /-Z ACD= / ADC=三（180°- 30°=75° °2•/ CE丄CD, /.Z DCE=90 ° ,•••Z ECA=165 °••① 正确；②•/ CE 丄CD , Z ECA=165 ° （已证），•Z BAE= Z ECA -Z ACB=165 - 90=75 ° ,ACD ◎△ BCE （SAS）,• BE=BC , •② 正确；③T Z ACB=90 ° , Z CAD=30 ° , AC=BC ,•Z CAB= Z ACB=45 °•Z BAD= Z BAC -Z CAD=45 - 30=15 °•/△ ACD ◎△ BCE,•Z CBE=30 ° ,•Z ABF=45+30=75 ° ,•Z AFB=180 - 15 - 75=90 °• AD 丄BE .④证明：如图，过D作DM丄AC于M，过D作DN丄BC于N .•••/ CAD=30 ° 且DM=丄AC ,2•/ AC=AD，/ CAD=30 ° /-Z ACD=75 °•••/ NCD=90 °-Z ACD=15 ° Z MDC= Z DMC -Z ACD=15 °CMD ◎△ CND ,• CN=CM= 4C=〉BC ,2 2•C N=BN .•/ DN 丄BC ,•B D=CD .•••④ 正确.所以4个结论都正确.故选D.点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题.5.如图，BC // AM , Z A=90 ° Z BCD=75 °点E在AB上，△ CDE为等边三角形，BM交CD于F,下列结论：①Z ADE=45 ° ②AB=BC ,③EF丄CD ,④若Z AMB=30 °则CF=DF .其中正确的有（）A .① ②③B .①②④C .①③④|D .② ③④考点：直角梯形；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析：由BC // AM得Z CDA=105 °根据等边三角形的性质得Z CDE=60 °则Z EDA=105 °-60°=45 °过C作CG丄AM，则四边形ABCG为矩形，于是Z DCG=90。

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

专题23 面积的计算例1．22 提示：连接AF ． 例2．选C 提示：连接DE ．例3．12- 提示：连接GA ，HB ，EC ，FD ，AC ，BD ，则(1)(1)HAE HAB ABD S m S m mS =+=+∙△△△，同理(1)FCG BCD S m m S =+△△，故+(1)HAE FCG ABCD S S m m S =+∙△△，同理+(1)EBF GDH ABCD S S m m S =+△△.例4． 提示：过E 作EF ∥BC 交AB 于F ，△AEF ≌△ADE ≌△ADQ ，又△AED ∽△PEC ，则AD DEPC CE=，积AD ·CE =PC ·DE ． 例5． 提示：（1）362y x =-+（0≤x ≤4）（2）22336(2)622S x x x =-+=--+，当x =2时，S 最大值=6.例6．（1）如图，分别过P ，A 作BC 的垂线，垂足为P 1，A 1．11111212PBCABCBC PP S PP PD S AA AD BC AA ===△△则． 同理PCA ABC S PE BE S =△△，=PABABCS PF CF S △△， 故++=1BPC PCA PAB ABCS S S PD PE PF AD BE CF S ++=△△△△． （2）=3()2PD PB PC PD PE PFAD BE CF AD BE CF++-++=. A 级1．54cm2．18cm3．324．3155．C6．C7．D 8．C9．提示：当正方形ABCD 与正方形A ’B ’C ’D ’的对应边平行时，两者重合部分面积为正方形面积的14；转动后，两者重合面积仍为定值． 10． 提示：过A 、K 、B 分别作CD 的垂线． 11．（1）结论仍然成立，证明略． （2）2DBC DACDMC S S S -=△△△12．（1）略 （2）△ACA ’∽△BCB ’2213ACA BCB S AC S BC ''==△△（3）120°，32aB 级12．256 3．3122n m + 4提示：S 梯形ABCD=2+5．B 6．C 7．D 8．（1）略 （2）10 9．提示：（1）当t =4时，Q 与B 重合，P 与D 重合，如图a ，重合部分是△BDC ， S △BDC=122⨯⨯=． （2）①当4≤t ≤6时，如图b ，BQ =t －4，CR =6－4， 由△PQR ∽△BQM ∽△CRN ，得22(),CRN PQRS CR SPQ ==PQRBQM S S ∆∆＝(PQ BQ )2＝(324-t )2， ∴S ＝S △PQR －S △BQM －S △CRN ＝235)5(32+--t ．当t ＝5时，S 最大值＝325．②当6＜t ≤10时，如图c ，BR ＝10－t ，BK ⊥RK ，且∠KRB ＝30°，所以BK ＝21BR ＝21(10－t )，KR ＝23(10－t )，S ＝21BK ·KR ＝83(10－t )2．当t ＝6时，S 最大值＝23． 综合①②，当t ＝5时，S 最大值＝325．图c图b图aA10．提示：（1）S ＝2cm 2；S ＝2cm 2．（2）当0＜x ≤4时，如图a ，DG ＝AD ＝x ，AE ＝EF ＝x ＋2，S ＝2)(DEDG EF ⨯+＝2x ＋2cm 2．（3）当4＜x ＜10时，应分两种情况进行讨论：①当4＜x ＜6时，如图b ，DG ＝AD ＝x ，EF ＝BE ＝12－x －2＝10－x ，S ＝S △ABC －S △ADG －S △BEF ＝－x 2＋10x －14＝－(x －5)2＋11，故当x ＝5时，S 最大值＝11．②当6≤x ＜10时，如图c ，BD ＝DG ＝12－x ，EF ＝BE ＝10－x ，S ＝22－x ，当x ＝6时，S 最大值＝10． 综上所述，4＜x ＜10时，S 的最大值为11cm 2．图a图b图c11．∵∠HBD ＝∠HAE ，∴Rt △BDH ∽Rt △ADC ．∴HDDC BD AD =．又BD ＝DC ＝21BC ， ∴AD ·HD ＝BD ·DC ＝41BC 2．∴S △ABC ·S △HBC ＝(21AD ·BC )(21HD ·BC )＝161BC 4．而BC 是不变的，∴当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC ·S △HBC 保持不变． 12．（1）（2）略（3）如图，存在符合条件的直线l ．过点D 作DA ⊥OB 于A ，则点P (4，2)为矩形ABCD 的对称中心． ∴过点P 的直线只要平分△DOA 的面积即可．易知，在OD 边上必存在点H ，使得直线PH 将△DOA 的面积平分，从而，直线PH 平分梯形OBCD 的面积，直线PH 即为所求直线l ．设直线PH 的表达式为y ＝kx ＋b ，且点P (4，2)，∴2＝4k ＋b ，即b ＝2－4k ，∴y ＝kx ＋2－4k ． ∵直线OD 的表达式为y ＝2x ，∴⎩⎨⎧=-+=x y k kx y 242，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=k k y k k x 284242，∴点H 的坐标为(k k --242，kk --284)． ∴PH 与线段AD 的交点F 的坐标为(2，2－2k )， ∴0＜2－2k ＜4，∴－1＜k ＜1．∴S △DHF ＝21(4－2＋2k )·(2－kk --242)＝21×21×2×4，解得k ＝2313-(k ＝2313--不合题意，舍去)．∴b ＝8－213，∴直线l 的表达式为y ＝2313-x ＋8－213．。