最新人教A版必修5高中数学 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域备课资料素材(精品)

3．3．1二元一次不等式（组）与平面区域【学习目标】1．了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。

2．理解二元一次不等式的几何意义。

3．能正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合．【课前导学】（根据以下提纲，预习教材第 82 页～第 85 页）1．不等式34x -<<在数轴上的图形为 ，可见一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间.2．（1） 称为二元一次不等式；（2） 称为二元一次不等式组；（3） 称为二元一次不等式(组)的解集. 有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.可见二元一次不等式(组)的解集可以看成 .3．根据课本给出的实例,试用不等式来刻画资金分配的问题.设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，则得不等式组为： .【预习自测】 分别用图形表示以下解集：1．{}1x x >； 2．{}2x x <； 3．{}13x x <≤；4．{}(,)1,1,x y x y x y R >>∈且、； 5．{}(,)6x y x y -=； 6．{}(,)6x y x y -<.【课中导学】例1 画出不等式260x y +-< 表示的平面区域。

变式：如何确定m 的范围使点)1,1(),2,1(在03=+-m y x 的异侧？例2 用平面区域表示不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 的解集。

变式:画出不等式0)4)(12(<+-++y x y x 表示的平面区域.【反馈检测】1．已知)34,21(),1,1(),0,0(321P P P ，则在不等式0132≤+-y x 表示的平面区域内的点是（ ）. A ．21,P P B ．2P C ．32,P P D ．.3P2．不等式0623>+-y x 表示的区间在直线0623=+-y x 的（ ）.A ．右上方B ．右下方C ． 左下方D ．左上方3．若点)0,0(O 和)3,1(P 在直线0=++a y x 的两侧，则a 的取值范围为（ ）.A ．(]0,4-B ．()1,3-C ． []0,4-D ．()0,4-4．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（ ）A ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≥B ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≤ C ．10220x y x y +-⎧⎨-+⎩≥≤ D ．1022x y x y +-⎧⎨-+⎩≤≥05．不等式组⎩⎨⎧≥≥≤-+.0,001y x y x 表示的平面区域的面积是（ ）. A ． 21 B ．1 C ．2 D ．4 6．画出二元一次不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≤+06321232y x y x y x 所表示的平面区域。

高中数学 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教案新人教A版必修5一、教材分析本节课是新教材必修5第三章3.3.1节的内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，并会简单的应用。

这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。

在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。

为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。

这节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。

二、教学目标分析1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力；3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。

三﹑教学的重点、难点1、教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域；2、教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域；四、教法与学法指导及教学手段1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等；2、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。

３、教学手段：采用坐标纸让学生动手操作，利用多媒体技术优化课堂教学。

五、教学过程设计(0,0) 0-0-6<0 (1,0) 1-0-6<0 (6,-1) 6+1-6>0【一般结论】一般地，二元一次不等式A x+B y+C>0在平面直角坐标系中表示直线A x+B y+C＝0某一侧所有点组成的平面区域。

我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线；不等式A x+B y+C≥0所表示的平面区域，包括边界直线，应把边界直线画成实线。

3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第一课时 二元一次不等式（组）与平面区域 一、教学目标 （1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。

始终渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。

教学中也特别提醒学生注意0(Ax By C ++>或<0)表示区域时不包括边界，而0(Ax By C ++≥≤或0)则包括边界（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想二、教学重点、教学难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域教学难点：如何确定不等式0(Ax By C ++>或<0)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域三、教学设计（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪。

那么，信贷部应如何分配资金呢？提问：1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？2．设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，由于总资金为25000000元，得到：25000000≤+y x ①3．由于计划从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，共创收30000元以上， 所以（12﹪）x +（10﹪）y 30000000≥4．企业和个人贷款不能为负，所以0,0≥≥y x解:分析题意,我们可得到以下式子 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+0,030000001012,25000000y x y x y x （二）概念1、二元一次不等式：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。

3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域第1课时教学过程推进新课［合作探究］师二元一次方程x＋y－1＝0有无数组解，每一组解是一对实数，它们在坐标平面上表示一个点，这些点的集合组成点集{(x，y)|x＋y－1＝0}，它在坐标平面上表示一条直线. 以二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点，也拼成一个点集.如x＝3，y＝2时，x＋y －1＞0，点(3，2)的坐标满足不等式x＋y－1＞0.(3，2)是二元一次不等式x＋y－1＞0的解集中的一个元素.我们把二元一次不等式x＋y－1＞0的解为坐标的点拼成的点集记为{(x，y)|x＋y－1＞0}.请同学们猜想一下，这个点集在坐标平面上表示什么呢？生x＋y－1＞0表示直线l：x＋y－1＝0右上方的所有点拼成的平面区域.师事实上，在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋y－1＝0分为三类：在直线x＋y－1＝0上；在直线x＋y－1＝0右上方的平面区域内；在直线x＋y－1＝0左下方的平面区域内.如(2，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＞0，(2，2)点在直线x＋y－1＝0的右上方.(－1，2)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＝0，(－1，2)点在直线x＋y－1＝0上.(1，－1)点的坐标代入x＋y－1中，x＋y－1＜0，(1，-1)点在直线x＋y－1＝0的左下方.因此，我们猜想，对直线x＋y－1＝0右上方的点(x，y)，x＋y－1＞0成立；对直线x＋y－1＝0左下方的点(x，y)，x＋y－1＜0成立.师下面对这一猜想进行一下推证.在直线l：x＋y－1＝0上任取一点P(x 0，y 0)，过点P作平行于x轴的直线y＝y0，这时这条平行线上在P点右侧的任意一点都有x＞x 0，y＝y0两式相加.x＋y＞x 0＋y 0，则x＋y－1＞x0＋y0－1,P点在直线x＋y－1＝0上，x0＋y 0－1＝0.所以x＋y－1＞0.因为点P(x0，y0 )是直线x＋y－1＝0上的任意一点，所以对于直线x＋y－1＝0的右上方的任意点(x，y),x＋y－1＞0都成立.同理，对于直线x＋y－1＝0左下方的任意点(x，y)，x＋y－1＜0都成立.所以点集{(x，y)|x＋y－1＞0}是直线x＋y－1＝0右上方的平面区域，点集 {(x，y)|x＋y －1＜0} 是直线x＋y－1＝0左下方的平面区域.师一般来讲，二元一次不等式A x＋B y＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线A x＋B y＋C＝0的某一侧所有点组成的平面区域.由于对在直线A x＋B y＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，实数A x＋B y＋C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0 ，y0)，由A x0＋B y0＋C的正、负就可判断A x＋B y＋C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.当C≠0时，我们常把原点作为这个特殊点去进行判断.如把(0，0)代入x＋y－1中，x＋y－1＜0.说明：x＋y－1＜0表示直线x＋y－1＝0左下方原点所在的区域，就是说不等式所表示的区域与原点在直线x＋y－1＝0的同一侧.如果C＝0，直线过原点，原点坐标代入无法进行判断，则可另选一个易计算的点去进行判断.师提醒同学们注意，不等式A x＋B y＋C≥0所表示的区域，应当理解为{(x，y)|A x＋B y＋C ＞0}∪{(x，y)|A x＋B y＋C＝0}.这个区域包括边界直线，应把边界直线画为实线.师另外同学们还应当明确有关区域的一些称呼.（1）A为直线l右上方的平面区域(2)B为直线l左下方的平面区域(3)C为直线l左上方的平面区域(4)D为直线l右下方的平面区域［教师精讲］师二元一次不等式a x+b y+c＞0和a x+b y+c＜0表示的平面区域.（1）结论：二元一次不等式a x+b y+c＞0在平面直角坐标系中表示直线a x+b y+c=0某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式a x+b y+c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判断方法：由于对在直线a x+b y+c=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标(x,y)代入a x+b y+c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，以a x0+b y0+c的正负情况便可判断a x+b y+c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点.［知识拓展］【例1】画出不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域.解:先画直线2x＋y－6＝0(虚线)，把原点(0，0)代入2x＋y－6，得0－6＜0.因2x＋y－6＜0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x＋y－6＞0表示的平面区域与原点在直线2x＋y－6＝0的异侧，即直线2x＋y－6＝0的右上部分的平面区域.生学生课堂练习.(1)x－y＋1＜0.(2)2x＋3y－6＞0.(3)2x＋5y－10≥0.(4)4x－3y≤12.【例2】 画出不等式组⎩⎨⎧+-≥++02,063＜y x y x 表示的平面区域.x ＋3y ＋6≥0表示直线上及其右上方的点的集合. x －y ＋2＜0表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.【例3】 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3,0,05x y x y x 表示的平面区域.师 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.生 解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0右上方的平面区域，x+y≥0表示直线x+y=0右上方的平面区域，x≤3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分. 课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域. （1）x-y+1＜0;（2）2x+3y-6＞0; （3）2x+5y-10＞0; （4）4x-3y-12＜0; （5）⎩⎨⎧--+0.0,1＞＞y x y x如下图：［合作探究］师 由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？ 生 归纳如下：1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l:x+y-1=0分成三类： （1）直线l 上：{(x,y)|x+y-1=0}； （2）直线l 的上方：{(x,y)|x+y-1＞0}； （3）直线l 的下方：{(x,y)|x+y-1＜0}.对于平面内的任意一点P(x,y)的坐标,代入x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于0，或小于0.观察到所有大于0的点都在直线l 的右上方，所有小于0的点都在直线l 的左下方，所有等于0的点在直线l 上. 2.一般地，二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线A x+B y+C =0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界.二元一次不等式A x+B y+C ≥0表示的平面区域是直线A x+B y+C =0的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线应画成实线.此时常常用“直线定界，特殊点定位”的方法.（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点） ［方法引导］上述过程分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论. 课堂小结1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l 分成三类： （1）直线l 上； （2）直线l 的上方； （3）直线l 的下方.2.二元一次不等式a x+b y+c ＞0和a x+b y+c ＜0表示的平面区域. 布置作业1.不等式x-2y+6＞0表示的区域在x-2y+6=0的（ ）A.右上方B.右下方C.左上方D. 左下方 2.不等式3x+2y-6＜0表示的平面区域是（ ）3.不等式组⎩⎨⎧+-≥+-02,063＜y x y x 表示的平面区域是（ ）4.直线x+2y-1=0右上方的平面区域可用不等式___________表示.5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++0834,0,0＞＜＜y x y x 表示的平面区域内的整点坐标是_______________.6.画出(x+2y-1)(x-y+3)≥0表示的区域. 答案：1.B2.D3.B4.x+2y-1＞05.（－1，－1）6.第2课时 教学过程推进新课 ［例题剖析］师 【例1】 画出不等式x+4y ＜4表示的平面区域.师 解：先画直线x+4y-4＝0(虚线)，把原点(0，0)代入x+4y-4＝0－4＜0，因为x+4y-4＜0，说明原点在要求的区域内，不等式x+4y-4＜0表示的平面区域与原点在直线x+4y-4=0的一侧，即直线x+4y-4=0的左下部分的平面区域.师 在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，还有两直线的交点处是实点还是空点.师 【例2】 用平面区域表示不等式组⎩⎨⎧+yx x y 2,123＜＜－的解集.师 分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.生 解：不等式y ＜-3x+12表示直线y=-3x+12下方的区域；不等式x ＜2y 表示直线2xy =上方的区域.取两个区域重叠的部分，下图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.师【例3】 某人准备投资1 200万元兴办一所完全中学.对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格：(以班级为单位)学段 班级学生数配备教师数硬件建设/万元教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人 高中40354/班2/人分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.师 若设开设初中班x 个,高中班y 个,根据题意,总共招生班数应限制在20~30之间,所以应该有什么样的限制? 生 20≤x+y≤30.师 考虑到所投资金的限制,又应该得到什么?生 26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200,即x+2y≤40.另外,开设的班数不能为负,则x≥0,y≥0.把上面四个不等式合在一起,得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤.0,0,402,3020y x y x y x师 用图形表示这个限制条件,请同学完成. 生 得到图中的平面区域(阴影部分).师 例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存磷酸盐4吨，硝酸盐66吨,在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域.师 若设x 、y 分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数,则应满足什么样的条件?生 满足以下条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0(*),661518,104y x y x y x师 在直角坐标系中完成不等式组(*)所表示的平面区域. 生生 课堂练习(1)⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+.2,42,y y x x y ＜(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+≥.93,623,2,3x y y x x y x ＜＜［方法引导］上述过程分为思考、尝试、猜想、证明、归纳来进行，目的是分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出正确解答. 课堂小结1.处理实际问题，关键之处在于从题意中建立约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清约束条件，以理论指导实际生产需要.2.在实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.布置作业课本第97页练习4.板书设计第1课时二元一次不等式（组）与平面区域例1课堂小结例3例2第2课时二元一次不等式(组)与平面区域例1例3 例4例2。