衡阳县2024-2025学年上学期高一期中考试数学（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.设集合{}21,Z|M x x n n ==+∈，{}31,Z |N x x n n ==+∈，{}61,Z |P x x n n ==+∈，则（）A.M P ⊂B.N P⊂ C.P M N=⋂ D.M N ⋂=∅【答案】C 【解析】【分析】由612(3)13(2)1n n n +=+=+，可得结论.【详解】因为612(3)13(2)1n n n +=+=+，所以P M ⊂且P N ⊂，所以P M N =⋂.故选：C.2.有下列四个命题，其中真命题是（）A.R n ∀∈，2n n≥B.R n ∃∈，R m ∀∈，m n m⋅=C.若命题p ：2x ∀>，380x ->，那么p ⌝是2x ∃≤，380x -≤D.R n ∀∈，2n n <【答案】B 【解析】【分析】通过取反例可排除A,D 两项；通过取1n =，易得B 成立；根据命题的否定只需否定量词和结论的判断词即可排除C 项.【详解】对于A ，不妨取12n =，即可得A 错误；对于B ，只需取1n =，即可得R m ∀∈，m n m ⋅=均成立，故B 正确；对于C ，由命题p ：2x ∀>，380x ->，可得p ⌝是2x ∃>，380x -≤，故C 错误；对于D ，不妨取1n =，则2=n n .故D 错误.故选：B.3.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{27}xx -<<∣，其中,,a b c 为常数，则不等式20cx bx a ++的解集是（）A .1127x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.17x x ⎧-⎨⎩，或12x ⎫⎬⎭C.12x x ⎧-⎨⎩，或17x ⎫⎬⎭ D.1172x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集得出5,0,14,0,b a a c a a =-⎧⎪<=-⎨⎪<⎩再化简得出214510x x +-≤,即可得出不等式的解集.【详解】关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{27}xx -<<∣，则0a <，且2,7-是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，于是0,27,27,a b a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得5,14,0,b ac a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩则不等式20cx bx a ++≤化为21450ax ax a --+≤，即214510x x +-≤，解得1127x -≤≤，所以不等式20cx bx a ++≤的解集是1127x x ⎧⎫-≤≤⎨⎩⎭.故选：A.4.若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，函数(1)f x +是偶函数，则()2f =（）A.2B.0C.60D.62【答案】B 【解析】【分析】根据题意，可得()00f =，又()()11f x f x -+=+，令1x =，得解.【详解】因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，又函数()1f x +是偶函数，则()()11f x f x -+=+，令1x =，()()200f f ∴==.故选：B.5.若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）.A.a c b <<B.a b c <<C.c a b<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】由函数3log y x =、5x y =和0.1y x =的单调性可依次得01a <<、1b >和b c >，进而得解.【详解】因为3log y x =是()0,∞+上的增函数，所以33350log 1log log 312=<<=，即01a <<，又因为5xy =是增函数，所以0.10.1015515b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，又0.1y x =是[)0,+∞上的增函数，所以0.10.10.10.11255515522--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1b c >>，综上所述，a ，b ，c 的大小关系为a c b <<.故选：A.6.函数()ln ln(2)f x x x =+-的单调递增区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.(),1-∞ D.()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据对数型复合函数的单调性即可求解.【详解】函数()ln ln(2)f x x x =+-，因为020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<．所以函数()ln ln(2)f x x x =+-的定义域为(0,2)，且2()ln(2)f x x x =-+，((0,2))x ∈．因为函数22((0,2))t x x x =-+∈在区间()0,1上单调递增，在区间 ri 上单调递减，函数ln y t =单调递增，所以由复合函数的单调性知函数()ln ln(2)f x x x =+-在区间()0,1上单调递增，在区间 ri 上单调递减,故选：A7.函数()f x 的部分图象如图，则()f x 的解析式可能是（）A.()11f x x =- B.()11f x x =-C.()11f x x =+ D.()11f x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数图象对称性以及定义域可利用排除法得出结论.【详解】根据函数图象的对称性可知()f x 为偶函数，A 选项()11f x x =-的定义域为{}1x x ≠，C 选项()11f x x =+的定义域为{}1x x ≠-，它们的定义域都不关于原点对称，所以不可能是偶函数，即可排除AC 选项；又1x =±不在函数()f x 的定义域内，而D 选项()11f x x =+定义域包括1x =±，所以排除D 选项；故选：B 8.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：()()6f x f x =-，且当03x ≤≤时，0.5log (1),01()(2),13a x x f x x x x ++≤≤⎧=⎨-<≤⎩（a 为常数），则()()20222024f f +的值为（）A. iB.1- C.0D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 在R 上的奇函数，求得其解析式，再根据()()6f x f x =-，由()f x 的周期为6及对数运算求解.【详解】因为()f x 在R 上的奇函数，所以()0.50=log 1=0f a +，解得0a =，所以()()()()()0.5log 101213x x f x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨⋅-<<⎪⎩，因为()()6f x f x =-，所以()f x 的周期为6，所以()()()()20222024063372f f f f +=+⨯+，()()02000f f =+=+=，故选：C二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.设正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法中正确的有（）A.有最大值B.11a b+有最大值4C.+ D.22a b +有最小值12【答案】ACD 【解析】【分析】运用重要不等式和基本不等式变形计算即可.【详解】对于A ,1a b +=,则2a b +≥12≤,当且仅当a b =时，取得最大值为 i .故A 正确；对于B ,11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =,即12a b ==,11a b +有最小值4，故B 错误；对于C ,()222a b a b =+++=，解得0<≤12a b ==有最大值为i ，故C 正确；对于D ，由于()()()222222122222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，则2212a b +≥，当且仅当12a b ==,22a b +有最小值为i ，故D 正确.故选：ACD.10.下列说法正确的有（）A.1x y x+=的最小值为2B.已知1x >，则4211y x x =+--的最小值为1+C.函数2y =的最小值为2D.若正数x y ､满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为3【答案】BD 【解析】【分析】举反例判断A ；变形后利用基本不等式判断B ；结合对勾函数的单调性可判断C ；将23x y xy+=化为213x y+=，结合“1”的巧用，即可判断D.【详解】对于A ，当1x =-时，102x y x+==<，即1x y x +=的最小值为2错误；对于B ，1x >时，10x ->，则()44212111111y x x x x =+-=-++≥+=+--，当且仅当()4211x x -=-，即1x =+时取等号，则4211y x x =+--的最小值为1+，正确；对于C ，22y ===令2t t =≥，则1y t t=+在[2,)+∞上单调递增，故1y t t =+的最小值为15222+=，C 错误；对于D ，正数,x y 满足23x y xy +=，即213x y+=，则()121122122553333y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y ==时取等号，D 正确，故选：BD11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2f x f x =-，()2f x +的图象关于()0,0对称.当[]0,1x ∈时，()e x f x a b =+，若()()231e f f +=-，则下列说法正确的是（）A.()f x 的周期为4B.()f x 的图象关于()4,0对称C.()20251e f =-D.当(]1,2x ∈时，()1e1x f x -=-【答案】AB 【解析】【分析】由已知可得()()22f x f x -+=-+，结合()()2f x f x =-，可求周期判断A ；由已知可得()f x 的图象关于irh 对称，结合对称性与周期性可得()f x 的图象关于()4,0对称，判断B ；由已知可得()()200f f a b ==+=，()3(e )f a b =-+，结合已知可求()2025f 判断C ；利用对称性可求当(]1,2x ∈时，()f x 的解析式判断D.【详解】因为()2f x +的图象关于()0,0对称，所以()()22f x f x -+=-+，又()()2f x f x =-，所以 t i ，所以 t h t i ，所以()f x 的周期为4，故A 正确；因为()2f x +的图象关于()0,0对称，所以()f x 的图象关于irh 对称，因为()()2f x f x =-，所以()f x 关于1x =对称，所以()f x 的图象关于()0,0对称，又()f x 的周期为4，所以可得()f x 的图象关于()4,0对称，故B 正确；因为()f x 关于1x =对称，所以()()20f f a b ==+，又()f x 的图象关于()0,0对称，所以()00f =，所以()()200f f a b ==+=，()()31(1)(e )f f f a b =-=-=-+，又()()231e f f +=-，所以(e )1e a b a b -+++=-，解得1,1a b ==-,所以当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，()2025(45061)(1)e 1f f f =⨯+==-，故C 错误；当(]1,2x ∈，则2[0,1)x -∈，因为()()2f x f x =-，所以()()221xf x f x e -=-=-，故D 错误.故选：AB.【点睛】思路点睛：本题解题思路在于利用函数的对称性及相关条件推断出函数具备的轴对称和中心对称的特征，再利用对称性推断结论，得到相关点的函数值，确定参数值，得到函数的解析式，再利用函数对称性求出相应解析式.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数()()245,241x f x g x x ax x -+==-++，若对任意[]10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是______________．【答案】9,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由题意可知只需()min min ()f x g x ≥，易求出()f x 的值域，进而只需()()2min24g x x ax f x =-+≤有解即可，用分离参数的方法即可.【详解】因为()459411x f x x x -+==-+++，所以()f x 在[0,2]x ∈时单调递减，所以()min (2)1f x f ==-，()max (0)5f x f ==，即()[]1,5f x ∈-；因为对任意[]10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，所以()min min ()f x g x ≥，所以存在[]1,2x ∈,使得()2241g x x ax =-+≤-，即2250x ax -+≤,即522x a x≥+能成立,令()522x h x x=+,则要使()a h x ≥在[]1,2x ∈能成立,只需使min ()a h x ≥,由对勾函数的性质可知，函数()522x h x x=+在[]1,2x ∈上单调递减,所以()min 9()24h x h ==,故只需94a ≥.故答案为：9,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭13.不等式305x x +<-的解集为______．【答案】{}35x x -<<【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可．【详解】()()303505x x x x +<⇔+-<-，解得35x -<<.故答案为：{}35x x -<<14.已知集合{}2320A xx x =-+=∣，{}220B x x ax =-+=∣，且A B B = ，则实数a 的取值集合是_________【答案】{a a -<<，或}3a =【解析】【分析】化简集合A ，由条件A B B = 可得B A ⊆，结合集合的包含关系列关系式，由此可得结论.【详解】因为方程2320x x -+=的解集为{}1,2，所以{}1,2A =，因为A B B = ，所以B =∅或{}1B =或{}2或{}1,2B =，又{}220B xx ax =-+=∣，所以280a -<或28120a a ⎧=⎨-+=⎩或284220a a ⎧=⎨-+=⎩或1204220a a -+=⎧⎨-+=⎩，所以a -<<或3a =，所以a 的取值集合是{a a -<<，或}3a =.故答案为：{a a -<<，或}3a =.四、解答题（本题共6小题，共70分）15.设命题:1p x ∀≥，210x x m -+->，命题:q x ∀∈R ，24(42)10x m x +-+≠．（1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 为假命题、q 为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1322m -<<；（2）312m ≤<.【解析】【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出m 的取值范围即得.（2）由命题p ⌝为真命题求出m 的范围，再结合（1）求出答案.【小问1详解】由x ∀∈R ，24(42)10x m x +-+≠，得关于x 的方程24(42)10x m x +-+=无实根，因此2(42)160m ∆=--<，解得1322m -<<，所以实数m 的取值范围是1322m -<<.【小问2详解】由p 为假命题，得:1p x ⌝∃≥，210x x m -+-≤为真命题，即1x ∃≥，21m x x ≥-+，而当1x ≥时，21(1)11x x x x -+=-+≥，当且仅当1x =时取等号，因此1m ≥，由（1）知，1322m -<<，则312m ≤<，所以实数m 的取值范围是312m ≤<.16.已知函数()21,1,1x ax x f x ax x ⎧-++≤=⎨>⎩，（1）若3a =，试用定义法证明：()f x 为单调递增函数；（2）若对任意的x ，都有2()2f x x >-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）(2,2)-．【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证；（2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解.【小问1详解】证明：当3a =时，()231,13,1x x x f x x x ⎧-++≤=⎨>⎩，当121x x <≤时，()()()()()2212112212121231313f x f x x x x x x x x x x x -=-+++--=-+-+-1212()[3()]x x x x =--+，由于121x x <≤，则120x x -<，122x x +<，123()0x x -+>，则1212()[3()]0x x x x --+<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <；当121x x ≤<时，()()212112313f x f x x x x -=-++-，由于121x x ≤<，则211313x x -++≤，则()21122231333310x x x x x -++-≤-=-<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <；当121x x <<时，121212()()333()f x f x x x x x -=-=-，由于121x x <<，则120x x -<，()1212()()30f x f x x x ∴-=-<，即12()()f x f x <；综上，()f x 为单调递增函数；【小问2详解】①当1x ≤时，2()2f x x >-恒成立，即210x ax ++>恒成立，∴12110a a ⎧-≥⎪⎨⎪++>⎩或21240a a ⎧-<⎪⎨⎪=-<⎩ ，解得22a -<<；②当1x >时，2()2f x x >-恒成立，即220x ax +>恒成立，即2a x >-在(1,)+∞上恒成立，则2a ≥-；综上，实数a 的取值范围为(2,2)-．17.已知函数()f x 是定义在 上的偶函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示，并根据图象．（1）画出()f x 在y 轴右侧的图象并写出函数()()f x x ∈R 的增区间；（2）写出函数()()f x x ∈R 的解析式；（3）若函数()()()[]()4221,2g x f x a x x =+-+∈，求函数()g x 的最小值．【答案】（1）图象见解析，递增区间为()1,0-， r t ∞（2）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩（3）()2min 52,212,23104,3a a g x a a a a a -<⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出()f x 的增区间；（2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可；（3）由题意可得()()2222g x x a x =+-+，对称轴为1x a =-，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当11a -<、112a ≤-≤、12a ->时的()min g x即可.【小问1详解】函数()f x 是定义在 上的偶函数，即函数()f x 的图象关于y 轴对称，其递增区间为()1,0-， r t ∞；【小问2详解】根据题意，令0x >，则0x -<，则()22f x x x -=-，又由函数()f x 是定义在 上的偶函数，则()()22f x f x x x =-=-，则()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩；【小问3详解】根据题意，[]1,2x ∈，则 i i ，则()()()222422222g x x x a x x a x =-+-+=+-+，其对称轴为1x a =-，当11a -<时，即2a <时，()g x 在区间 ri 上为增函数，()()min 152g x g a ==-；当112a ≤-≤时，即23a ≤≤时，()()2min 112g x g a a a =-=+-；当12a ->时，即3a >时，()g x 在区间 ri 上为减函数，()()min 2104g x g a ==-，则()2min 52,212,23104,3a a g x a a a a a -<⎧⎪=+-≤≤⎨⎪->⎩．18.已知函数()()()2log 41R x f x kx k =++∈是偶函数.（1）求k 的值；（2）设函数()()2log 24x g x a a =⋅-，其中0a >.若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.【答案】（1）1k =-（2）()1,+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可；（2）设2,x t =转化为方程()21410a t at ---=在()4,∞+上只有一个解，分类讨论即可.【小问1详解】函数()()()2log 41R x f x kx k =++∈是偶函数，故()()()2log 41x f x kx f x --=-++=，即2412log 041x x kx -⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，220kx x +=，故1k =-.【小问2详解】()()2log 24x g x a a =⋅-，故240,2x a a x ⋅->>，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，即()()f x g x =在()2,∞+上只有一个解，故()()22log 41log 24x x x a a -++=⋅-，即()()()222log 2log 41log 24x x x a a -++=⋅-，即2224x x x a a -+=⋅-，设2,2,4,x t x t =>∴> 故14t at a t+=-只有一个解，即()21410a t at ---=，当1a =时，()21410a t at ---=，则14t =-，不符合4t >，故舍去；当01a <<时，函数()()2141h t a t at =---的对称轴为()4021a t a =<-，故()h t 在hr t ∞单调递减，且()010h =-<，故方程()()21410h t a t at =---=在()4,∞+无解；当1a >时，函数()()2141h t a t at =---的对称轴为()4021a t a =>-，且()010h =-<，()()4161161170h a a =---=-<，故方程()()21410h t a t at =---=在()4,∞+上有唯一解，符合题意，综上所述，a 的取值范围是 r t ∞.19.学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当50x =时，W 取得最大值为3680万元【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，分别求出当010x <≤时和当10x >时的年利润()()1620W xR x x =-+，即可求解；（2）分类讨论，当010x <≤时根据二次函数的单调性求出最大值，当10x >时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解．【小问1详解】因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，所以()488208161196a -⨯⨯--⨯=，解得200a =，当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以253002020201629602020b ⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭，解得40000b =，当010x <≤时，()()()()2162020041620418420W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-，当10x >时，()()()25300400004000016201620165280W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=--+ ⎪⎝⎭，综上2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩．【小问2详解】①当010x <≤时，24(23)2096W x =--+单调递增，所以()max 101420W W ==；②当10x >时，40000165280W x x=--+，由于40000161600x x +=≥，当且仅当4000016xx=，即5010x=>时取等号，所以此时W的最大值为3680，综合①②知，当50x=时，W取得最大值为3680万元．。
