数论基础

数论基础（六讲）第一讲：数的概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和结构。

在数论中，我们需要理解一些基本概念。

整数：整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。

正整数是自然数，可以用来表示数量；负整数是自然数的相反数，用来表示缺少或债务；零是整数中的中性元素。

自然数：自然数是正整数的集合，通常用0, 1, 2, 3, 表示。

自然数是数论研究的核心，许多数论问题都与自然数有关。

有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

有理数在数论中也有重要应用，例如研究整数分解和数论函数。

素数：素数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数。

素数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与素数有关。

整除：如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a/b是一个整数，我们说a被b整除。

整除是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到整除关系。

同余：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m的余数相同，即a%m = b%m，我们说a和b同余。

同余是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到同余关系。

在数论中，我们还需要了解一些基本的运算规则，如加法、减法、乘法和除法。

这些运算规则是数论研究的基础，我们需要熟练掌握它们。

第二讲：数的分解数的分解是数论中的一个重要问题，涉及到将一个整数分解为素数的乘积。

这个问题在密码学、计算机科学和数学的其他领域中都有广泛的应用。

素数分解：素数分解是将一个整数分解为素数的乘积的过程。

例如，将60分解为2×2×3×5。

素数分解是数论中的基本问题，也是密码学中 RSA 算法的基础。

最大公约数：最大公约数（GCD）是两个或多个整数共有的最大的因数。

例如，12和18的最大公约数是6。

最大公约数在数论中有着重要的应用，例如求解线性丢番图方程。

最小公倍数：最小公倍数（LCM）是两个或多个整数共有的最小的倍数。

例如，12和18的最小公倍数是36。

1. 倍数规律末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。

练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。

）数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。

） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。

（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。

）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。

6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。

7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。

例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。

练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。

1131、25795、34177、123452. 分解质因数把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。

解析数论的基础概念与应用数论是研究整数性质的一个分支学科，它在数学领域中具有重要的地位和广泛的应用。

本文将介绍数论的基础概念与应用，并探讨其在密码学、计算机科学和其他领域中的重要性。

一、基础概念1. 整数与素数：整数是数论中最基本的概念，它包括自然数、负整数和零。

素数是只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。

2. 最大公约数与最小公倍数：最大公约数是两个数中最大的能够同时整除它们的正整数，最小公倍数是两个数的公倍数中最小的正整数。

3. 同余与模运算：同余是指两个数除以同一个正整数所得的余数相等，模运算是一种对整数进行同余运算的方法。

4. 欧拉函数与费马小定理：欧拉函数是小于等于一个正整数n且与n互质的正整数的个数，费马小定理是描述了在模n意义下的幂运算的规律。

二、应用领域1. 密码学：数论在密码学中起到了关键的作用。

其中，大素数的选择和素数分解是公钥密码系统中的重要问题，而离散对数问题和模幂运算是基于数论的加密算法的核心。

2. 计算机科学：数论在计算机科学中有广泛的应用。

例如，在计算机算法设计中，数论可以用于解决各种问题，如最大公约数和最小公倍数的计算、素数的判定和生成、同余关系的处理等。

3. 数字签名与认证：基于数论的方法可以实现数字签名和认证，用于验证数字信息的完整性和真实性，保证信息传输的安全性。

4. 信息编码与压缩：数论的一些基本概念和方法被应用于信息编码和压缩领域，例如霍夫曼编码和循环冗余校验等。

5. 算法设计与优化：数论中的一些算法和技巧可以用于算法设计和优化，提高计算机算法的效率和性能。

三、数论的研究方向1. 素数分布与素数定理：素数的分布一直是数论研究的核心问题之一，素数定理描述了素数的分布规律。

2. 整数因子分解与质因数分解：整数因子分解是将一个整数表示为若干个素数的乘积，质因数分解是将一个合数分解为若干个素数的乘积。

3. 同余方程与模运算：同余方程是数论中的一个重要问题，模运算可以用于解决同余方程和模幂运算等问题。

数论基础知识数论是研究整数性质和整数运算规律的分支学科，是纯粹数学的一部分。

它是数学中最古老，最基础，最重要的学科之一，对数学发展和应用具有重要的意义。

本文将介绍数论的基础知识，包括整除性质、素数与合数、同余关系等内容。

整除性质整除是数论中的重要概念，用来描述一个整数能被另一个整数整除的关系。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，我们称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个整数a能被另一个整数b整除且除以b后余数为0，我们称a被b整除。

可以表示为a = b * c，其中c为整数。

整除的性质有以下几个重要定理：1. 任意整数a都能被1和它自身整除，即1和a是a的约数。

2. 如果a能被b整除且b能被c整除，则a能被c整除。

3. 如果a能被b整除且b能被a整除，则a与b相等或者互为相反数。

素数与合数素数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11等。

合数是除了1和自身外还有其他约数的正整数，例如4、6、8、9等。

素数和合数是数论中的两个重要概念。

素数有以下重要性质：1. 每个大于1的整数，都可以被表示为若干个素数的乘积。

2. 若一个整数n不是素数，则它一定可以被表示为两个整数的乘积。

对于一个数字n，判断其是否为素数的一种有效方法是试除法。

我们只需要从2到√n的范围内尝试将n进行整除，如果都无法整除，则n为素数。

例如判断17是否为素数，只需要从2到4的整数范围内进行试除即可。

同余关系同余是数论中研究整数之间的等价关系。

如果两个整数a和b满足除以某个正整数m后的余数相等，即(a - b)能被m整除，我们称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。

同余关系有以下性质：1. 若a ≡ b (mod m)，则对于任意整数c，a + c ≡ b + c (mod m)。

2. 若a ≡ b (mod m)，则对于任意整数c，a * c ≡ b * c (mod m)。

同余关系在密码学、编码理论等领域都有广泛的应用。

数论基础知识解读数论是数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。

它涵盖了许多基本概念和定理，为解决许多实际问题提供了重要的工具和方法。

本文将对数论的基础知识进行解读，帮助读者更好地理解和应用数论。

一、素数及其性质素数是指除了1和它本身外，没有其他正整数能整除的数。

例如2、3、5、7等都是素数。

关于素数有许多有趣的性质，其中一个重要的概念是素数定理，它表明在给定范围内的素数个数大致与范围的大小成正比。

这个定理在数论中有重要的应用。

另一个重要的概念是最大公约数和最小公倍数。

最大公约数是指两个或多个整数中能够整除所有整数的最大正整数。

最小公倍数则是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。

最大公约数和最小公倍数在分数的化简、方程的解法等方面都有重要的应用。

二、同余关系同余关系是数论中一个基本的概念，用符号“≡”表示。

如果两个整数的差能被一个正整数整除，那么它们就是关于这个正整数的同余数。

例如，对于模3同余，整数1和整数4是同余的，因为它们的差3能被3整除。

同余关系有许多有趣的性质和定理。

其中一个重要的定理是欧拉定理，它给出了同余关系在幂运算中的应用。

欧拉定理表明，如果a和n互质，那么a的φ(n)次幂与1同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

这个定理在加密算法和密码学中有广泛应用。

三、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它给出了同余关系的另一种应用。

费马小定理表明，对于任意正整数a和素数p，如果a不是p的倍数，则a^(p-1)与1模p同余。

这个定理在判断素数、求解同余方程等问题上有重要的应用。

四、质因数分解和数的性质质因数分解是将一个正整数分解为质数的乘积。

它是数论中一个基础而重要的概念。

质因数分解有许多有趣的性质和应用，例如可以用它来解决最大公约数、最小公倍数等问题，也可以用它来判断一个数是否为完全平方数等。

数论还涉及到许多其他的概念和定理，如欧几里得算法、中国剩余定理、模反演定理等。

数论基础知识点总结1. 整数的性质整数是我们熟悉的数学概念，包括正整数、负整数和零。

整数有许多基本性质，比如加法、减法和乘法的封闭性、交换律、结合律和分配律等。

这些性质在数论中都有重要的应用，例如在证明整数的性质、定理及推论时经常用到。

2. 素数素数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11等。

素数具有许多重要的性质，比如任何一个大于1的整数都可以被唯一地分解为若干个素数的乘积。

这就是著名的素因数分解定理。

素数在密码学中有着重要的应用，比如RSA加密算法就是基于素数的乘积难以分解的特性来实现的。

3. 同余同余是数论中一种重要的概念，表示两个数的差能被某个数整除。

例如，对于整数a、b和n，如果a-b能够被n整除，即(a-b) mod n=0，则称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)。

同余在数论中有着广泛的应用，比如判断整数的奇偶性、最大公约数等问题。

4. 求模运算求模运算是数论中常见的一种运算，它指的是对一个整数进行取余操作。

例如，对于整数a和n，a mod n表示a除以n的余数。

求模运算在数论中有着重要的应用，比如判断奇偶性、判断整数是否能被某个数整除等问题。

5. 费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模p意义下的幂的性质。

具体来说，费马小定理说明，如果p是素数，且a是p的倍数，那么a^p与a模p同余。

费马小定理在密码学中有着重要的应用，比如用来生成加密密钥、生成大素数等。

6. 欧拉定理欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了模n意义下幂的性质。

具体来说，欧拉定理说明，如果n是大于1的整数，a和n互质（即它们的最大公约数是1），那么a的φ(n)次方与a模n同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

欧拉定理有着广泛的应用，比如RSA加密算法就是基于欧拉定理来实现的。

7. 等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都相等。

例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。

第五章数论基础5.1 基本要求1. 掌握整除、因数、倍数等概念，记住并会应用整除的性质。

2. 掌握最高公因数的概念，能够使用辗转相除法求两个数的最高公因数并表示为它们的倍数和。

会利用数的数码特征判别某些整除性。

3. 掌握互质的概念和质数的性质。

掌握质数、合数的概念以及算术基本定理、欧几里德定理。

4. 掌握合同的概念以及合同的基本性质。

5. 掌握剩余系、剩余类的概念。

了解一次合同方程在什么条件下有解、什么条件下无解、什么时候有唯一解（一个剩余类）、什么时候有多解（多个剩余类），并对有解的情况掌握求解方法。

6. 掌握秦九韶定理(及其推广)、合同方程组的一般解法。

7. 掌握简化剩余系、Euler函数、Euler函数的可乘性、欧拉定理、费尔马定理。

8. 掌握二次同余的概念、二次同余方程的判定和求解、勒让德符号、欧拉判别法则。

9.了解合同在计算机编码中的应用。

5.2 主要解题方法5.2.1 关于整除的问题这部分习题主要是应用整除的性质。

整除的性质教材中列举得已经很详细，比如，若在一等式中，除某项外，其余各项都是a 的倍数，则此项也是a 的倍数，等7条。

下面一些例题中还常用到质数的一个性质如教材中定理 5.2.5所述：若质数p 整除a 1a 2…a n ，则p 整除a 1，a 2，…，a n 之一。

关于使用辗转相除法求两个数a ，b 的最高公因数并表示为它们的倍数和，在教材中已有实例和习题，不再举例，需要使用的主要公式如下：S 0=0，S 1=1，T 0=1，T 1=q 1。

以及S k = q k S k-1+S k-2 ，T k = q k T k-1+T k-2。

若使用辗转相除法到某一步有r n-1=q n+1r n ，则r n 即最高公因数d ，且d=(-1)n-1S n a+(-1)n T n b 。

例5.2.1 对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y ，9x+5y同时能被17整除。

证明：设u=2x+3y ，v=9x+5y 。

解析数论基础电子版数论基础（Number Theory Fundamentals）是数学中一个重要的主题，它涉及到把数字拆分成较小的数字，以求解未知数。

它也被称为高等代数学。

一、基本概念：1、质数：是一个没有分解因子的正整数，只能被1和它自身整除。

2、整除/约数：所有除了质数的整数都由质数的乘积表示，并且所有能够整除这个数的因子都叫作约数。

3、最大公约数（Greatest Common Divisor，GCD）：最大公约数就是两个或多个数之间最大的公共约数。

4、最小公倍数（Least Common Multiple，LCM）：最小公倍数就是两个或多个数之间最小的公共倍数。

二、整数类型：1、有理数：是指用一对整数表示的特殊数字，它们可以表示为a/b，其中a，b都是整数，b不能为0。

2、无理数：这些特殊的数字不能写成一对整数的形式。

例如，π或者虚数。

3、抽象整数：一个以数字表示的抽象数字，它可以用整数的运算表示。

三、数论算法：1、质数检测：用于判断一个数是否为质数的算法。

2、最大公约数：用于求出两个数之间的最大公约数的算法。

3、埃氏筛：用于求解所有小于某个数的质数的算法。

4、欧几里德算法：用于求最大公约数的一种算法，被广泛应用于数论中。

四、数论的应用：1、素数应用：素数在很多领域都担当着重要的角色，如编码、密码学等；2、图论：数论的图论应用可以帮助我们解决路径优化，最短路径和最小生成树等问题；3、应用于金融：数论还能用于金融领域，如货币合约、投资和风险管理等；4、计算科学领域：数论在计算机科学领域也有着重要的作用，如分布式系统设计、密码学等。

第一讲因数和倍数(一)【知识要点】1．因数和倍数整数)0b(≠b得到整数C，那么a和b叫做C的因数，C叫aa乘整数)0(≠做ba,的倍数。

2．倍数的特征2的倍数的特征：个位上是0、2,4、6、8的数都是2的倍数。

5的倍数的特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。

3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

3.奇数、偶数的意义自然数中，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数。

【例题讲解】例1、48的全部因数有哪几个?20以内3的倍数有哪几个?例2、一个数既是40的因数，又是5的倍数。

这个数可能是几?例3、在方框里填上适当的数字,使它是2和3的倍数.（1）38□（2）945□例4、观察下面各数：16 45 50 63 96 191 120432 115 84 130 75 799 662的倍数有既有因数2,又有因数3的数有既有因数3，又有因数5的数有同时是2,3,5的倍数的数是例5、在下面方格内填上适当的数字。

（1）26□4能被2整除，又能被3整除。

（2）412□能被3整除，又能被5整除。

（3）61□□能同时被2、3、5整除。

【巩固练习】A组2、填一填。

(1)32的因数有（）共（）个，其中最小因数是（），最大因数是（）。

(2)一个数的倍数的个数是（）的，其中最小倍数是（）。

(3)24的全部因数从小到大依次为（）。

(4)一个数既是15的倍数，又是15的因数，这个数是（）。

(5)如果数a能被数b整除（b:*0）a就叫做b的（），b就叫做a的（）。

3、连一连。

4、猜数。

(1)它是24的最大因数，这个数是_______。

(2)它的最小倍数是45，这个数是________。

(3)它是l2的倍数，又是24的因数，这个数可能是________。

B组一、填空。

1．自然数按是不是2的倍数，可分为( )和( )。

2．在30、47、28、51、36、41、135、102中是2的倍数的数有( )，是3的倍数的数有( )，是5的倍数的数有( )。

小学三年级数学课堂认识数的数论基础数学是我们日常生活中必不可少的一部分，数学的学习可以帮助我们培养出良好的逻辑思维和解决问题的能力。

在小学三年级的数学课堂上，我们将开始认识数的数论基础。

本文将从数的基本概念、数的分类和数的运算三个方面进行论述。

一、数的基本概念数是用来计量和表达事物数量多少的抽象概念。

在数学中，我们所认识的数分为自然数、整数、有理数和实数等。

自然数是最基本的数，包括0和比0大的所有正整数，即1、2、3、4……；整数包括正整数、0和负整数，形如-3、-2、-1、0、1、2、3……；有理数由整数和分数组成，可以用有限小数或无限循环小数的形式表示；实数则包括有理数和无理数，可以在数轴上准确地表示出来。

二、数的分类在小学三年级数学中，我们将主要学习正整数和零。

正整数就是大于0的自然数，如1、2、3、4……，可以用来表示人的年龄、书的页数等；而零则表示没有数量或者没有变化，它起到了一个“空位”的作用。

例如，如果有5个苹果，但我吃掉了3个，那么剩下的就是2个苹果。

这个“2”就是我们通过减法得到的答案。

三、数的运算小学三年级数学课堂上，我们将开始接触加法和减法的运算。

通过加法，可以将两个或多个数合并在一起，得出它们的总和；而减法则是将一个数减去另一个数，得出它们的差。

例如，如果我有3本书，又买了2本书，那么我现在总共有5本书，可以用3+2=5来表示。

同样地，如果我有7个苹果，吃掉了3个，那么剩下的就是4个，可以用7-3=4来表示。

在数的运算中，我们还会接触到乘法和除法。

乘法是将两个数相乘，得到它们的积；除法则是将一个数除以另一个数，得出它们的商。

例如，如果我有3个篮球队友，每个队友又各自有2个篮球，那么总共有6个篮球，可以用3×2=6来表示。

同样地，如果我有8个苹果，要平均分给2个小朋友，那么每个小朋友可以分到4个苹果，可以用8÷2=4来表示。

总而言之，在小学三年级数学课堂上，我们将开始认识数的数论基础。

高中数学中的数论基础知识点数论，即数的理论，是研究整数及其性质的一个分支学科。

在高中数学中，数论是一个重要的知识点，也是建立数学思维和逻辑推理的基础。

本文将介绍一些高中数学中的数论基础知识点。

一、整数的性质1. 整数的分类整数根据其性质可分为正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是既不大于零也不小于零的整数。

2. 整数的运算整数的加法、减法、乘法和除法运算遵循相应的规律。

加法运算满足交换律和结合律，减法运算可以转换为加法运算，乘法运算满足交换律和结合律，除法运算满足除法原则。

3. 整数的整除性对于两个整数a和b，如果存在整数c使得a = bc，我们称b整除a，记作b|a。

整除性具有传递性，即如果b|a且c|b，则c|a。

二、素数与合数1. 素数的定义素数是大于1且只能被1和自身整除的整数。

例如，2、3、5、7、11等都是素数。

2. 合数的定义合数是除了1和自身之外还有其他的因数的整数。

例如，4、6、8、9、10等都是合数。

3. 互质数的概念如果两个整数a和b的最大公因数（即它们的公约数中最大的一个）是1，则称a和b互质。

例如，3和5是互质数，而6和9就不是互质数。

三、质因数分解1. 质因数的定义质因数是指一个大于1的整数的质数因子。

2. 质因数分解的方法质因数分解是将一个大于1的整数分解为几个质因数的乘积的过程。

可以通过试除法或分解质因数法来进行质因数分解。

3. 最小公倍数和最大公约数对于两个整数a和b，它们的最小公倍数是能同时整除a和b的最小整数，最大公约数是能同时整除a和b的最大整数。

最小公倍数和最大公约数之间有以下关系：最小公倍数 ×最大公约数 = a × b。

四、同余与模运算1. 同余关系的定义对于整数a、b和正整数m，如果m能整除(a - b)，则称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。

2. 模运算的性质模运算具有以下性质：- (a + b) mod m ≡ (a mod m + b mod m) mod m- (a - b) mod m ≡ (a mod m - b mod m) mod m- (a × b) mod m ≡ (a mod m × b mod m) mod m五、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理如果p是一个素数，a是不可被p整除的整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

解析数论入门知识点总结一、狭义数论1. 整数的基本性质整数是数论的研究对象，因此我们首先需要了解整数的一些基本性质。

整数包括正整数、负整数和零，它们之间满足加法、减法和乘法的封闭性。

此外，我们还需要了解整数的奇偶性质、整除性质以及整数的基本分解定理等。

2. 素数和合数素数是指只能被1和自身整除的正整数，而大于1且不是素数的整数就称为合数。

素数在数论中具有非常重要的地位，例如在数的分解和同余定理中都有着非常重要的应用。

3. 因数分解因数分解是将一个整数分解为质数的乘积，这是整数的一种基本性质。

因数分解有许多重要的应用，例如在最大公约数和最小公倍数的求解中都要用到因数分解。

4. 同余同余是数论中一个重要的概念，它表示两个整数之间的差是另一个整数的倍数。

同余在密码学和离散数学中都有着广泛的应用，因此了解同余的性质和定理对于数论的学习非常重要。

5.模运算模运算是数论中的一个重要概念，它是指将一个整数与另一个整数做除法得到的余数。

模运算在密码学和计算机科学中有着非常重要的应用，因此了解模运算的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

6. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是整数的两个重要性质，它们在因数分解和同余定理等领域都有着非常重要的应用。

了解最大公约数和最小公倍数的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

二、广义数论1. 素数分布定理素数分布定理是数论中非常重要的一个定理，它描述了素数的分布规律。

素数分布定理在分析数论和数论中都有着非常重要的应用，因此了解素数分布定理对于数论的学习也非常重要。

2. 质因数分解定理质因数分解定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了任何一个大于1的整数都可以分解为一个或多个质数的乘积。

质因数分解定理在数论中有着非常重要的应用，因此了解质因数分解定理对于数论的学习也非常重要。

3. 代数数论代数数论是数论中一个非常重要的研究领域，它涉及到了整数环和有限域等数学概念。

代数数论在数论中有着非常重要的应用，因此了解代数数论的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

数论专题（⼆）数论基础知识⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德算法(辗转相除法)2、扩展欧⼏⾥德定理a.线性同余b.同余⽅程求解c.逆元3、中国剩余定理（孙⼦定理）4、欧拉函数a.互素b.筛选法求解欧拉函数c.欧拉定理和费马⼩定理5、容斥原理⼆、数论基础知识1、欧⼏⾥德定理（辗转相除法）定理：gcd(a, b) = gcd(b, a % b)。

证明：a = kb + r = kb + a%b，则a % b = a - kb。

令d为a和b的公约数，则d|a且d|b 根据整除的组合性原则，有d|(a-kb)，即d|(a%b)。

这就说明如果d是a和b的公约数，那么d也⼀定是b和a%b的公约数，即两者的公约数是⼀样的，所以最⼤公约数也必定相等。

这个定理可以直接⽤递归实现，代码如下：int gcd(int a, int b) {return b ? gcd(b, a%b) : a;}这个函数揭⽰了⼀个约定俗成的概念，即任何⾮零整数和零的最⼤公约数为它本⾝。

【例题8】f[0] = 0, 当n>1时，f[n] = (f[n-1]+a) % b，给定a和b，问是否存在⼀个⾃然数k (0 <= k< b)，是f[n]永远都取不到的。

永远有多远？并不是本题的范畴。

但是可以发现的是这⾥的f[...]⼀定是有循环节的，如果在某个循环节内都⽆法找到那个⾃然数k，那么必定是永远都找不到了。

求出f[n]的通项公式，为f[n] = an % b，令an = kb + r，那么这⾥的r = f[n]，如果t = gcd(a, b)，r = an-kb = t ( (a/t)n -(b/t)k )，则有t|r，要满⾜所有的r使得t|r,只有当t = 1的时候，于是这个问题的解也就出来了，只要求a和b的gcd，如果gcd(a,b) > 1，则存在⼀个k使得f[n]永远都取不到，直观的理解是当gcd(a, b) > 1，那么f[n]不可能是素数。

数论基础（六讲）第一讲：数论的基本概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质。

它包括整数分解、同余、素数分布、二次剩余等内容。

数论在密码学、计算机科学、编码理论等领域有着广泛的应用。

一、整数分解整数分解是将一个整数表示为若干个整数的乘积的过程。

其中，素数分解是最基本的整数分解方式。

素数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数。

例如，6可以分解为2×3。

二、同余1. 反身性：a ≡ a (mod m)；2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)；3. 传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)；4. 加法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)；5. 乘法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。

三、素数分布素数分布研究素数在整数序列中的分布规律。

其中，欧拉筛法和埃拉托斯特尼筛法是常见的素数方法。

素数定理是描述素数分布的一个重要定理，它指出素数密度大约为1/ln(n)，其中n为自然数。

四、二次剩余二次剩余是指一个整数a关于模m的二次同余方程x² ≡ a (mod m)有解的情况。

二次剩余问题在数论中有着重要的地位，如二次互反律、高斯和等。

五、同余方程同余方程是数论中的一个重要问题，它研究形如ax ≡ b (mod m)的方程的解。

同余方程的解法包括逆元法和扩展欧几里得算法等。

六、数论在现代数学中的应用数论在现代数学中有着广泛的应用，如密码学中的RSA算法、计算机科学中的哈希函数、编码理论中的纠错码等。

这些应用使得数论在解决实际问题时具有很高的价值。

数论基础（六讲）第二讲：数论中的经典定理一、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它指出如果p是一个素数，a是一个整数，且a与p互质，那么a^(p1) ≡ 1 (mod p)。

数学中的数论基础数论作为数学的一个重要分支，研究的是整数及其性质。

它既有深刻的理论基础，又有广泛的应用价值。

本文将从数论的基础概念入手，逐步展开对数论的探索。

一、素数与合数数论的基础概念之一就是素数与合数。

素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。

合数则是指能够被除了1和自身之外的其他整数整除的整数，如4、6、8、9等。

素数与合数之间存在着天然的对立关系。

素数的研究自古以来就备受数学家的关注。

古希腊数学家欧几里得曾证明了素数的无穷性，即素数的数量是无穷的。

此后，数学家们陆续发现了一些素数的特殊性质，如梅森素数、费马素数等。

素数的研究不仅有助于深化对整数的理解，还在密码学、编码等领域具有重要的应用价值。

二、质因数分解质因数分解是数论中的重要概念之一。

它指的是将一个合数分解为若干个素数的乘积。

例如，将12分解为2的平方乘以3，即12=2²×3。

质因数分解的好处在于可以帮助我们更好地理解一个数的因数结构，从而推导出一些有用的性质。

质因数分解还有助于解决一些实际问题。

例如，我们可以利用质因数分解来求解最大公约数和最小公倍数。

对于两个数a和b，它们的最大公约数就是它们的质因数中相同的部分的乘积，而最小公倍数则是它们的质因数中所有部分的乘积。

三、同余与模运算同余是数论中的一个重要概念，它描述了两个数在模某个数下的余数相等的关系。

例如，对于任意整数a和正整数n，如果a与b在模n下的余数相等，则称a与b对于模n同余，记作a≡b(mod n)。

同余关系具有一些重要的性质。

首先，同余关系构成了一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。

其次，同余关系在数论中有广泛的应用，如解方程、构造等差数列等。

模运算是同余关系的具体运算形式。

对于任意整数a和正整数n，a mod n表示a除以n所得的余数。

模运算有一些特殊的性质，如(a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n，(a×b) mod n = (a mod n × b mod n) mod n等。

数论基础是数学中一个非常重要的分支，它研究的是整数的性质和相互关系。

在数学家John Stillwell的著作中，他深入浅出地介绍了数论基础的概念和原理，使得这一深奥的学科变得更加容易理解。

本文将从简单到复杂、由浅入深地探讨数论基础这一主题，以便读者能更深入地理解这一数学领域。

1. 整数的性质我们来谈谈整数的性质。

整数包括自然数、负整数和0。

它们有着独特的性质，比如质数和合数的区分、奇数和偶数的特点等。

John Stillwell在他的著作中对整数的性质进行了清晰的阐述，使我们能够更好地理解整数的特点和规律。

2. 素数和因数分解素数是指只能被1和自身整除的整数，它们在数论中扮演着非常重要的角色。

而因数分解则是将一个数分解成若干个质数的乘积，这是数论中一个基本且重要的概念。

John Stillwell在书中对素数和因数分解进行了详细的讲解，揭示了它们之间的深刻联系。

3. 费马大定理费马大定理是数论中的一个著名问题，它的表述非常简单，但解决却困扰了数学家们几个世纪之久。

John Stillwell在书中对费马大定理进行了介绍，并阐述了其背后的数学原理和历史渊源。

通过对这一定理的探讨，我们能更加深入地理解数论中的证明方法和思维模式。

4. 数论的应用我们来看看数论在现实生活中的一些应用。

数论在密码学、编码理论、密码分析等领域都有着重要的应用，它为这些领域的发展提供了数学基础。

John Stillwell在书中也对这些应用进行了简要的介绍，让我们能够更好地了解数论在现实中的意义和作用。

总结回顾在本文中，我们从整数的性质开始，逐步深入地探讨了数论基础这一主题。

John Stillwell的著作为我们提供了清晰的指引，使得这一深奥的学科变得更加容易理解。

数论基础不仅是对整数性质的研究，还涉及到了许多深刻的数学原理和应用。

通过学习和理解数论基础，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，并且能够在数学领域中更加自如地思考和探索。

一些基本的数论知识：1、整除与同余a∣b,b∣a⇒a=bp∣a⇔a≡0(mod p)带余除法a=bp+r(0≤r<b)⇔a≡r(mod p)2、完全平方数（以下a∈Z+）a2≡0or1(mod4)a2≡0or1or4(mod8)a2≡0or1(mod3)a2≡0or±1(mod5)3、完全立方数a3≡0or±1(mod7)a3≡0or±1(mod9)整数集合可以按模n的余数来分类，每一个这样的类称为模n的同余类，若该同余类中的数与n互素，则称这样的同余类为模n的缩同余类。

4、完全剩余系在n个同余类中各任取一个数作为代表，这样的n个数称为模n 的一个完全剩余系（完系）c1,c2,…,cn是模n的一个完系⇔c1,c2,…,cn模n互不同余若c1,c2,…,cn是模n的一个完系，(a,n)=1，b∈Z，则ac1+b,ac2+b,…,acn+b也是模n的一个完系5、欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数(a,b)=1⇒φ(ab)=φ(a)φ(b)（积性函数）p为素数⇒φ(pl)=pl−pl−16、简约剩余系在模n的φ(n)个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的φ(n)个数称为模n的一个简约剩余系（缩系）c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系⇔c1,c2,…,cφ(n)模n互不同余且均与n互素若c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系，(a,n)=1，则ac1,ac2,…,ac φ(n)也是模n的一个缩系7、最大公约数与最小公倍数(a,b)[a,b]=ab(a,b)=d⇒(ad,bd)=1（将非互素情况转为互素情况）d∣a,d∣b⇒d∣(a,b)d∣ab,(d,b)=1⇒d∣a8、裴蜀定理：a,b不全为0，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)a,b互素⇔存在整数x,y，使得ax+by=19、唯一分解定理每个大于1的正整数n可唯一表示成n=p1α1p2α2…pkαk，其中p1,p2,…,pk是互不相同的素数，α1,α2…,αk是正整数，这称为n的标准分解正约数个数τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)正约数之和σ(n)=1−p1α1+11−p1⋅1−p2α2+11−p2⋅ (1)pkαk+11−pkn的标准分解中p的幂次vp(n)=∑l=1∞[npl]=[np]+[np2]+…10、升幂定理（LTE引理）（1）n为正整数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x−y，则vp(xn−yn)=vp(x−y)+vp(n)（2）n为正奇数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x+y，则vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n)（3）n为正整数，x,y为奇整数，4∣x−y，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(n)（4）n为正偶数，x,y为奇整数，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(x+y)+v2(n)−111、威尔逊定理：p为素数⇔(p−1)!≡−1(mod p)12、欧拉定理：设n>1为整数，a是与n互素的任一整数，则aφ(n)≡1(mod n)13、费马小定理：设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap−1≡1(mod p)14、中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，b1,b2,…,bk为任意整数，则同余方程组{x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)……x≡bk(mod mk)在模m1m2…mk意义下有唯一解x。