数论入门

数论基础知识一质数和合数（1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.(2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住:0和1不是质数，也不是合数.（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数,其他质数都为奇数;最小的合数是4。

（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数.互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５),可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。

（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（６）１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７二整除性（１）概念一般地,如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说,a能被b 整除(或者说b能整除a）。

记作b|a.否则，称为a不能被b整除，(或b不能整除a），记作b a.如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数.(２）性质性质1:（整除的加减性）如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。

即:如果c|a，c|b，那么c|（a±b）.例如：如果2|10，2|6,那么2｜（10＋6）,并且2|（10—6）。

也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即:如果bc|a,那么b|a，c｜a。

性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

数论基础（六讲）第一讲：数的概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和结构。

在数论中，我们需要理解一些基本概念。

整数：整数是数学中最基本的概念之一，包括正整数、负整数和零。

正整数是自然数，可以用来表示数量；负整数是自然数的相反数，用来表示缺少或债务；零是整数中的中性元素。

自然数：自然数是正整数的集合，通常用0, 1, 2, 3, 表示。

自然数是数论研究的核心，许多数论问题都与自然数有关。

有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数和分数。

有理数在数论中也有重要应用，例如研究整数分解和数论函数。

素数：素数是大于1的自然数，除了1和它本身以外，没有其他因数。

素数在数论中有着重要的地位，许多数论问题都与素数有关。

整除：如果一个整数a能够被另一个整数b整除，即a/b是一个整数，我们说a被b整除。

整除是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到整除关系。

同余：两个整数a和b，如果它们除以同一个整数m的余数相同，即a%m = b%m，我们说a和b同余。

同余是数论中的基本概念，许多数论问题都涉及到同余关系。

在数论中，我们还需要了解一些基本的运算规则，如加法、减法、乘法和除法。

这些运算规则是数论研究的基础，我们需要熟练掌握它们。

第二讲：数的分解数的分解是数论中的一个重要问题，涉及到将一个整数分解为素数的乘积。

这个问题在密码学、计算机科学和数学的其他领域中都有广泛的应用。

素数分解：素数分解是将一个整数分解为素数的乘积的过程。

例如，将60分解为2×2×3×5。

素数分解是数论中的基本问题，也是密码学中 RSA 算法的基础。

最大公约数：最大公约数（GCD）是两个或多个整数共有的最大的因数。

例如，12和18的最大公约数是6。

最大公约数在数论中有着重要的应用，例如求解线性丢番图方程。

最小公倍数：最小公倍数（LCM）是两个或多个整数共有的最小的倍数。

例如，12和18的最小公倍数是36。

数论基础知识数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和整数之间的相互关系。

数论的基础知识包括但不限于以下几个方面：1. 整数和自然数整数包括正整数、负整数和零，而自然数通常指的是从1开始的正整数。

在数论中，整数的性质和它们之间的运算是研究的重点。

2. 素数和合数素数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数，例如2、3、5、7等。

合数则是除了1和它本身之外，还能被其他自然数整除的数。

例如，4是合数因为它可以被2整除。

3. 因数和倍数一个数的因数是可以整除它的数，而倍数则是这个数的整数倍。

例如，6的因数有1、2、3和6，而6的倍数包括6、12、18等。

4. 最大公约数和最小公倍数两个或多个整数的最大公约数（GCD）是它们共有的最大的因数。

最小公倍数（LCM）是能被这些数整除的最小的正整数。

例如，8和12的最大公约数是4，最小公倍数是24。

5. 算术基本定理算术基本定理指出，每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积，不考虑因数的顺序。

例如，60可以分解为2^2 * 3 * 5。

6. 同余和模运算同余是指两个整数在除以某个数后余数相同。

模运算是数论中的一个重要概念，它涉及到整数除法的余数。

例如，5和10在模3的意义下是同余的，因为5除以3余2，10除以3也余2。

7. 二次剩余和勒让德符号二次剩余是指在模p（p为素数）的意义下，某个数的平方根存在的情况。

勒让德符号是一个用于判断一个数是否是某个素数模的二次剩余的符号。

8. 费马小定理费马小定理是数论中的一个基本定理，它指出如果p是一个素数，那么对于任何整数a，a^p - a是p的倍数。

特别地，当a不是p的倍数时，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

9. 欧几里得算法欧几里得算法是一种用于计算两个整数最大公约数的算法。

它基于这样的事实：两个整数的最大公约数与它们的差的最大公约数相同。

10. 丢番图方程丢番图方程是一类特殊的多项式方程，它们通常涉及到整数解。

小学数学数论基础知识1. 什么是数论？数论是研究整数的性质和关系的数学分支，也是数学的一个重要分支之一。

它主要涉及整数、质数、因数分解、最大公约数、最小公倍数等概念与性质的研究。

数论在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在密码学、计算机科学和通信技术中起着重要的作用。

2. 整数整数是数论中最基本的概念之一。

整数是由自然数和它们的负数构成的集合。

整数可以进行加、减、乘运算，但除法需要注意被除数不能为0。

整数有以下性质：•整数可以分为正整数、负整数和0三种。

•对于任意的整数a，都存在唯一的整数-b，使得a + b = 0。

•整数具有封闭性，即两个整数相加、相减或相乘的结果仍然是一个整数。

3. 质数和合数质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。

例如，2、3、5、7都是质数。

合数是指除了1和自身之外，还能被其他数整除的整数。

例如，4、6、8、9都是合数。

质数和合数在解决实际问题中起着重要的作用，例如在分解因式、素数筛选等方面。

4. 因数和倍数因数是能够整除给定正整数的整数。

例如，12的因数有1、2、3、4、6和12。

倍数是给定正整数的整数倍数。

例如，5的倍数有5、10、15、20等。

最大公约数是指两个或多个整数共有的最大因数，而最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。

5. 互质与公因数互质，又称互素，是指两个或多个整数的最大公约数为1的关系。

例如，2和3是互质的，而4和6不是互质的。

公因数是指能够同时整除多个整数的因数。

例如，6和9的公因数有1、3，而5和6没有公因数。

互质和公因数在解决问题中有着重要的应用，例如在分数化简和求解线性方程中的应用。

6. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中常见的概念。

最大公约数是指两个或多个数最大的公因数。

最小公倍数是指两个或多个数的公倍数中最小的一个。

最大公约数和最小公倍数在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在分数比较、分数化简和倍数计算中。

数论基础知识数论是研究整数性质和整数运算规律的分支学科，是纯粹数学的一部分。

它是数学中最古老，最基础，最重要的学科之一，对数学发展和应用具有重要的意义。

本文将介绍数论的基础知识，包括整除性质、素数与合数、同余关系等内容。

整除性质整除是数论中的重要概念，用来描述一个整数能被另一个整数整除的关系。

如果一个整数a能够被另一个整数b整除，我们称a为b的倍数，b为a的约数。

如果一个整数a能被另一个整数b整除且除以b后余数为0，我们称a被b整除。

可以表示为a = b * c，其中c为整数。

整除的性质有以下几个重要定理：1. 任意整数a都能被1和它自身整除，即1和a是a的约数。

2. 如果a能被b整除且b能被c整除，则a能被c整除。

3. 如果a能被b整除且b能被a整除，则a与b相等或者互为相反数。

素数与合数素数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11等。

合数是除了1和自身外还有其他约数的正整数，例如4、6、8、9等。

素数和合数是数论中的两个重要概念。

素数有以下重要性质：1. 每个大于1的整数，都可以被表示为若干个素数的乘积。

2. 若一个整数n不是素数，则它一定可以被表示为两个整数的乘积。

对于一个数字n，判断其是否为素数的一种有效方法是试除法。

我们只需要从2到√n的范围内尝试将n进行整除，如果都无法整除，则n为素数。

例如判断17是否为素数，只需要从2到4的整数范围内进行试除即可。

同余关系同余是数论中研究整数之间的等价关系。

如果两个整数a和b满足除以某个正整数m后的余数相等，即(a - b)能被m整除，我们称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。

同余关系有以下性质：1. 若a ≡ b (mod m)，则对于任意整数c，a + c ≡ b + c (mod m)。

2. 若a ≡ b (mod m)，则对于任意整数c，a * c ≡ b * c (mod m)。

同余关系在密码学、编码理论等领域都有广泛的应用。

数论基础知识一质数和合数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

（2）自然数除0 和1 外，按约数的个数分为质数和合数两类。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住：0 和1 不是质数，也不是合数。

（3）最小的质数是 2 ，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是4。

（4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。

互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1 与另一个自然数。

（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

（６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７二整除性（１）概念一般地，如a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数 a 除以整除b（b 不等于0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说 b 能整除a）。

记作b｜a.否则，称为 a 不能被 b 整除，（或b 不能整除a），记作b a。

如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

（２）性质性质1：（整除的加减性）如果a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。

性质2：如果 b 与c 的积能整除a，那么 b 与c 都能整除 a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

数论基础知识解读数论是数学中的一个重要分支，研究整数及其性质。

它涵盖了许多基本概念和定理，为解决许多实际问题提供了重要的工具和方法。

本文将对数论的基础知识进行解读，帮助读者更好地理解和应用数论。

一、素数及其性质素数是指除了1和它本身外，没有其他正整数能整除的数。

例如2、3、5、7等都是素数。

关于素数有许多有趣的性质，其中一个重要的概念是素数定理，它表明在给定范围内的素数个数大致与范围的大小成正比。

这个定理在数论中有重要的应用。

另一个重要的概念是最大公约数和最小公倍数。

最大公约数是指两个或多个整数中能够整除所有整数的最大正整数。

最小公倍数则是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。

最大公约数和最小公倍数在分数的化简、方程的解法等方面都有重要的应用。

二、同余关系同余关系是数论中一个基本的概念，用符号“≡”表示。

如果两个整数的差能被一个正整数整除，那么它们就是关于这个正整数的同余数。

例如，对于模3同余，整数1和整数4是同余的，因为它们的差3能被3整除。

同余关系有许多有趣的性质和定理。

其中一个重要的定理是欧拉定理，它给出了同余关系在幂运算中的应用。

欧拉定理表明，如果a和n互质，那么a的φ(n)次幂与1同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

这个定理在加密算法和密码学中有广泛应用。

三、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它给出了同余关系的另一种应用。

费马小定理表明，对于任意正整数a和素数p，如果a不是p的倍数，则a^(p-1)与1模p同余。

这个定理在判断素数、求解同余方程等问题上有重要的应用。

四、质因数分解和数的性质质因数分解是将一个正整数分解为质数的乘积。

它是数论中一个基础而重要的概念。

质因数分解有许多有趣的性质和应用，例如可以用它来解决最大公约数、最小公倍数等问题，也可以用它来判断一个数是否为完全平方数等。

数论还涉及到许多其他的概念和定理，如欧几里得算法、中国剩余定理、模反演定理等。

数论基础知识点总结1. 整数的性质整数是我们熟悉的数学概念，包括正整数、负整数和零。

整数有许多基本性质，比如加法、减法和乘法的封闭性、交换律、结合律和分配律等。

这些性质在数论中都有重要的应用，例如在证明整数的性质、定理及推论时经常用到。

2. 素数素数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7、11等。

素数具有许多重要的性质，比如任何一个大于1的整数都可以被唯一地分解为若干个素数的乘积。

这就是著名的素因数分解定理。

素数在密码学中有着重要的应用，比如RSA加密算法就是基于素数的乘积难以分解的特性来实现的。

3. 同余同余是数论中一种重要的概念，表示两个数的差能被某个数整除。

例如，对于整数a、b和n，如果a-b能够被n整除，即(a-b) mod n=0，则称a与b关于模n同余，记作a≡b(mod n)。

同余在数论中有着广泛的应用，比如判断整数的奇偶性、最大公约数等问题。

4. 求模运算求模运算是数论中常见的一种运算，它指的是对一个整数进行取余操作。

例如，对于整数a和n，a mod n表示a除以n的余数。

求模运算在数论中有着重要的应用，比如判断奇偶性、判断整数是否能被某个数整除等问题。

5. 费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了在模p意义下的幂的性质。

具体来说，费马小定理说明，如果p是素数，且a是p的倍数，那么a^p与a模p同余。

费马小定理在密码学中有着重要的应用，比如用来生成加密密钥、生成大素数等。

6. 欧拉定理欧拉定理是数论中的一个重要定理，它描述了模n意义下幂的性质。

具体来说，欧拉定理说明，如果n是大于1的整数，a和n互质（即它们的最大公约数是1），那么a的φ(n)次方与a模n同余，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。

欧拉定理有着广泛的应用，比如RSA加密算法就是基于欧拉定理来实现的。

7. 等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，它的每一项与前一项之差都相等。

例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。

这份资料的来源，是中学奥数里面的数论模块，主要讲一些基本的知识和分析方法，没有具体的算法和程序，但是，对于学习ACM 的数论模块依然是很有帮助的整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。

若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。

更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。

或着i b a |，则∑=n i i i bc a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。

解析数论入门知识点总结一、狭义数论1. 整数的基本性质整数是数论的研究对象，因此我们首先需要了解整数的一些基本性质。

整数包括正整数、负整数和零，它们之间满足加法、减法和乘法的封闭性。

此外，我们还需要了解整数的奇偶性质、整除性质以及整数的基本分解定理等。

2. 素数和合数素数是指只能被1和自身整除的正整数，而大于1且不是素数的整数就称为合数。

素数在数论中具有非常重要的地位，例如在数的分解和同余定理中都有着非常重要的应用。

3. 因数分解因数分解是将一个整数分解为质数的乘积，这是整数的一种基本性质。

因数分解有许多重要的应用，例如在最大公约数和最小公倍数的求解中都要用到因数分解。

4. 同余同余是数论中一个重要的概念，它表示两个整数之间的差是另一个整数的倍数。

同余在密码学和离散数学中都有着广泛的应用，因此了解同余的性质和定理对于数论的学习非常重要。

5.模运算模运算是数论中的一个重要概念，它是指将一个整数与另一个整数做除法得到的余数。

模运算在密码学和计算机科学中有着非常重要的应用，因此了解模运算的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

6. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是整数的两个重要性质，它们在因数分解和同余定理等领域都有着非常重要的应用。

了解最大公约数和最小公倍数的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

二、广义数论1. 素数分布定理素数分布定理是数论中非常重要的一个定理，它描述了素数的分布规律。

素数分布定理在分析数论和数论中都有着非常重要的应用，因此了解素数分布定理对于数论的学习也非常重要。

2. 质因数分解定理质因数分解定理是数论中一个非常重要的定理，它描述了任何一个大于1的整数都可以分解为一个或多个质数的乘积。

质因数分解定理在数论中有着非常重要的应用，因此了解质因数分解定理对于数论的学习也非常重要。

3. 代数数论代数数论是数论中一个非常重要的研究领域，它涉及到了整数环和有限域等数学概念。

代数数论在数论中有着非常重要的应用，因此了解代数数论的性质和定理对于数论的学习也非常重要。

数 论 基 础一、知识点介绍 一、整除1．整除的定义 两个整数a 和b(b ≠0)，若存在整数k ，使得a=bk ，我们称a 能被b 整除，记作b|a ． 2．数的整除特征 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a ，总有1|a ． 0是任何非零整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则a|0． （2）能被2，5；4，25；8，125；3，9；11，7，13整除的数的特征： 能被2整除的数的特征：个位为0，2，4，6，8的整数能被2整除，我们记为2k(k 为整数)． 能被5整除的数的特征：个位数为0或5的整数必被5整除，我们记为5k(k 为整数)． 能被4、25整除的数的特征：末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必能被4（25）整除． 能被8，125整除的数的特征：末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除． 能被3，9整除的数的特征：各个数位上数字之和能被3或9整除的整数必能被3或9整除． 能被11整除的数的特征：一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是11的倍数，则这个数就能被11整除． 能被7，11，13整除的数的特征：一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除． 二、同余1．同余的定义 给定一个正整数m(≥2)，如果两个整数a, b 除以m 所得的余数相同，则称a 与b 对模m 同余，记作a ≡b(modm)；如果余数不相同，则称a 与b 对模m 不同余，记作a ≡b(modm) 2．同余的性质 （1）自反性：a ≡a(modm)(a 为任意自然数) （2）对称性：若a ≡b(modm)，则b ≡a(modm) （3）传递性：若a ≡b(modm), b ≡c(modm)，则a ≡c(modm) （4）可加减性：若a ≡b(modm), c ≡d(modm)，则a ±c ≡b ±d(modm) （5）可乘性：若a ≡b(modm), c ≡d(modm)，则ac=bd(modm) （6）可乘方性：若a ≡b(modm), n ∈N +，则a n =b n (modm) 注意：一般地同余没有“可除性”，但是（7）如果：ac ≡bc(modm)且(c, m)=1，则a ≡b(modm)如果ac ≡bc(modm), (c, m)=d ，则a ≡b(mod dm)（8）如果a ≡b(modm), a ≡b(modn)且[m, n]=k ，则a ≡b(modk)（[m, n]表示m, n 的最小公倍数） （9）设p ∈N +, p ≥2，则任何一个p 进制自然数与其数码和(p 进制下各数码之和)对模p-1同余；特别地，p=10时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据． 三．数论中的几个常用结论 （1）若a ≡b(modm)，则m|(a-b)（2）任意连续n 个自然数的积一定是n!的倍数（3）整数A 的正约数个数与正约数和的计算公式：如果A 分解因式为：A=12nr r r 12n p p p ⨯⨯⨯则A 的全体正约数的个数为：(r 1+1)×(r 2+1)×…×(r n +1)A 的全体正约数的和为：(1+p 1+…+p 1r1)(1+p 2+…+2r 2p )…(1+p n +…+n r n p ) （4）对于整数a, b, q, r ，若a=bq+r ，则(a, b)=(b, r)（5）关于x, y 的不定方程ax+by=c ，当且仅当(a, b)|c 时，方程有整数解 （6）(a, b)[a, b]=ab（7）b d (b,d)b d [b,d](,);[,]a c [a,c]a c (a,c)==（8）ax ≡b(modm)有解的充要条件为：(a, m)|b四、几个著名数论定理1．费马小定理 设p 是素数，a 是与p 互素的任一整数，则a p-1≡1(modp).费马小定理有一个变异的形式，这有时更为适用：对任意整数a 有 a p ≡a(modp)． 二、典型例题例1：已知直角三角形的三条边长都是整数，证明：至少有一条直角边的边长是3的倍数． 分析：由条件中的直角三角形想到勾股定理，进一步由都是整数，想到利用勾股来完成． 证：设x, y 是两直角边长，z 是斜边长．则x 2+y 2=z 2，若(x, y, z)=k ，则x=ka, y=kb, z=kc ，则a 2+b 2=c 2且(a, b, c)=1，故m, n ∈N +，使a=m 2-n 2, b=2mn, c=m 2+n 2 ①若m, n 中有一个能被3整除，则3|b, ∴3|y ；②若m, n 中没有被3整除的，令m=3s+p, n=3t+q(p, q=1或2) 由a=(m+n)(m-n)知，当p=q 时，3|m-n ；当p ≠q 时，3|m+n ， 都有3|a, ∴3|x ，故x, y 中至少有一个是3的倍数． 例2：试求使2m +3n 为完全平方数的所有正整数m, n ． 分析：利用完全平方数及整数的性质，分析式子，讨论奇偶性．解：设2m +3n =x 2，显然2 x, 3 x ，由3 x ，则x 2≡1(mod3)，∴2m ≡1(mod3)，故2|m ，令m=2s ，由22s =x 2-3n 知x 2-3n ≡0(mod4), 即x 2-(-1)n ≡0(mod4)，而2 x ，∴x 2≡1(mod4)，故n 为偶数，令n=2t ，得22s =x 2-32t =(x-3t )(x+3t )，∵x 是奇数，故x ±3t 均为偶数．可设 x-3t =2α, x+3t =2β(β>α≥1且α+β=2s)．若α≥2, 则β≥3，有4|2α+2β，而2α+2β=(x-3t )+(x+3t )=2x, ∴2|x 与2 x 矛盾．故α=1，从而β=2s-1≥2,s ≥32由tt 2s 1x 32x 32-⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得3t =22s-2-1，即3t +1=22s-2, ∵s ≥2，∴3t +1≡0(mod4)，即(-1)t +1≡0(mod4)，∴t 为奇数．由22s-2=3t +1=(3+1)(3t-1-3t-2+…+-3+1)．第二个因式是t 个奇数的代数和，而t 为奇数，故此和为奇数，故t=1，于是s=2, m=4, n=2．此时24+32=52，故(m, n)=(4, 2)为所求． 例4：已知正整数 x=1911331517，求x 的末二位数．分析：100=4×25，观察更小的模． 解： 设x=19a , a 为奇数， （1）∵19≡3≡-1(mod4), ∴x=19a ≡(-1)a =-1≡3(mod4) ①（2）∵19≡-6(mod25), 192≡36≡11(mod25), 193≡11×(-6)=-66≡9(mod25), 194≡-54≡-4(mod25), 195≡(-4)(-6) ≡-1(mod25), 1910≡1(mod25)记a=17k , k 为奇数，∵17≡-3(mod10), 172≡9≡-1(mod10), 173≡(-3)(-1) ≡3(mod10), 174≡1(mod10)，又∵15≡-1(mod4)，而k=15b , b 为奇数，故k ≡(-1)b =-1≡3(mod4)，令k=4q+3，∴a=174q+3=174q ·173≡173≡3(mod10)，令a=10m+3, ∴x=19q =1910m ·193≡193≡9(mod25) ②由①②及孙子定理，可得x ≡59(mod100)．故x 的末二位数是59． 例6：设n ∈N +，整数k 与n 互质，且0<k<n ，令M={1, 2, …，n-1}，给M 中每个数染上黑白两种颜色中的一种，染法如下：（1）对M 中每个i ，i 与n-i 同色；（2）对M 中每个i(i ≠k)，i 与|k-i|同色． 求证：M 中所有的数必为同色． 分析：由(k, n)=1，可构造模n 的完系，再利用两个条件及同余知识给予证明．证明：∵(k, n)=1, 又0，1，2，…，n-1是模n 的一个完系，∴0, k, 2k, …，(n-1)k 也是模n 的一个完系．设j k =r j (modn)，其中1≤r j ≤n-1, j=1, 2, …，n-1，故M={r 1, r 2, …，r n-1}．下证：r j+1与r j 同色(1≤j ≤n-2)（∵若如此，当r 1的颜色确定后，M 中所有数都与r 1同色）． 事实上，由于(j+1)k ≡r j+1(modn)，∴r j +k ≡r j+1(modn)①若r j +k<n 时，则r j+1=r j +k ，由（2）知r j+1与|k-r j+1|=|k-k-r j |=r j 同色； ②若r j +k>n 时，则r j+1=r j +k-n ，由（1）知，k-r j+1=n-r j 与n-(n-r j )=r j 同色． 由（2）知，k-r j+1与|k-(k-r j+1)|=r j+1同色． 故r j+1与r j 同色．由①②知，r j+1与r j 同色，故命题得证．立 体 几 何一、 知识点介绍 一、空间中的角求二面角，一般要先作出二面角的平面角，作法一般有：1）在棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线；2）利用三垂线及三垂线逆定理；3）作棱的垂面；4）利用射影面积公式cos S θ=射影S.还有一些特殊方法，如向量法以及下面（四）的结论2，3，4等.二、 空间中的距离空间中的距离指的是空间点、线、面之间的距离.一般是作出垂线，求出垂线段的长度即为所求的距离.垂线段不易直接求解的话，也可用向量法或体积法求距离.三、 多面体与球 1、多面体多面体特别是四面体体积的计算是常见的题目，常见的方法有①直接法；②换底法；③割补法；④等积变化法；⑤比例法；⑥向量法等。

数论基础（六讲）第一讲：数论的基本概念数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质。

它包括整数分解、同余、素数分布、二次剩余等内容。

数论在密码学、计算机科学、编码理论等领域有着广泛的应用。

一、整数分解整数分解是将一个整数表示为若干个整数的乘积的过程。

其中，素数分解是最基本的整数分解方式。

素数是只能被1和它本身整除的大于1的自然数。

例如，6可以分解为2×3。

二、同余1. 反身性：a ≡ a (mod m)；2. 对称性：如果a ≡ b (mod m)，则b ≡ a (mod m)；3. 传递性：如果a ≡ b (mod m)且b ≡ c (mod m)，则a ≡ c (mod m)；4. 加法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则a + c ≡ b + d (mod m)；5. 乘法同余：如果a ≡ b (mod m)且c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)。

三、素数分布素数分布研究素数在整数序列中的分布规律。

其中，欧拉筛法和埃拉托斯特尼筛法是常见的素数方法。

素数定理是描述素数分布的一个重要定理，它指出素数密度大约为1/ln(n)，其中n为自然数。

四、二次剩余二次剩余是指一个整数a关于模m的二次同余方程x² ≡ a (mod m)有解的情况。

二次剩余问题在数论中有着重要的地位，如二次互反律、高斯和等。

五、同余方程同余方程是数论中的一个重要问题，它研究形如ax ≡ b (mod m)的方程的解。

同余方程的解法包括逆元法和扩展欧几里得算法等。

六、数论在现代数学中的应用数论在现代数学中有着广泛的应用，如密码学中的RSA算法、计算机科学中的哈希函数、编码理论中的纠错码等。

这些应用使得数论在解决实际问题时具有很高的价值。

数论基础（六讲）第二讲：数论中的经典定理一、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它指出如果p是一个素数，a是一个整数，且a与p互质，那么a^(p1) ≡ 1 (mod p)。

一些基本的数论知识：1、整除与同余a∣b,b∣a⇒a=bp∣a⇔a≡0(mod p)带余除法a=bp+r(0≤r<b)⇔a≡r(mod p)2、完全平方数（以下a∈Z+）a2≡0or1(mod4)a2≡0or1or4(mod8)a2≡0or1(mod3)a2≡0or±1(mod5)3、完全立方数a3≡0or±1(mod7)a3≡0or±1(mod9)整数集合可以按模n的余数来分类，每一个这样的类称为模n的同余类，若该同余类中的数与n互素，则称这样的同余类为模n的缩同余类。

4、完全剩余系在n个同余类中各任取一个数作为代表，这样的n个数称为模n 的一个完全剩余系（完系）c1,c2,…,cn是模n的一个完系⇔c1,c2,…,cn模n互不同余若c1,c2,…,cn是模n的一个完系，(a,n)=1，b∈Z，则ac1+b,ac2+b,…,acn+b也是模n的一个完系5、欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数的个数(a,b)=1⇒φ(ab)=φ(a)φ(b)（积性函数）p为素数⇒φ(pl)=pl−pl−16、简约剩余系在模n的φ(n)个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的φ(n)个数称为模n的一个简约剩余系（缩系）c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系⇔c1,c2,…,cφ(n)模n互不同余且均与n互素若c1,c2,…,cφ(n)是模n的一个缩系，(a,n)=1，则ac1,ac2,…,ac φ(n)也是模n的一个缩系7、最大公约数与最小公倍数(a,b)[a,b]=ab(a,b)=d⇒(ad,bd)=1（将非互素情况转为互素情况）d∣a,d∣b⇒d∣(a,b)d∣ab,(d,b)=1⇒d∣a8、裴蜀定理：a,b不全为0，则存在整数x,y，使得ax+by=(a,b)a,b互素⇔存在整数x,y，使得ax+by=19、唯一分解定理每个大于1的正整数n可唯一表示成n=p1α1p2α2…pkαk，其中p1,p2,…,pk是互不相同的素数，α1,α2…,αk是正整数，这称为n的标准分解正约数个数τ(n)=(α1+1)(α2+1)…(αk+1)正约数之和σ(n)=1−p1α1+11−p1⋅1−p2α2+11−p2⋅ (1)pkαk+11−pkn的标准分解中p的幂次vp(n)=∑l=1∞[npl]=[np]+[np2]+…10、升幂定理（LTE引理）（1）n为正整数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x−y，则vp(xn−yn)=vp(x−y)+vp(n)（2）n为正奇数，x,y为整数，p为奇素数，且p∤x，p∤y，p∣x+y，则vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n)（3）n为正整数，x,y为奇整数，4∣x−y，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(n)（4）n为正偶数，x,y为奇整数，则v2(xn−yn)=v2(x−y)+v2(x+y)+v2(n)−111、威尔逊定理：p为素数⇔(p−1)!≡−1(mod p)12、欧拉定理：设n>1为整数，a是与n互素的任一整数，则aφ(n)≡1(mod n)13、费马小定理：设p是素数，a是与p互素的任一整数，则ap−1≡1(mod p)14、中国剩余定理：设m1,m2,…,mk是k个两两互素的正整数，b1,b2,…,bk为任意整数，则同余方程组{x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)……x≡bk(mod mk)在模m1m2…mk意义下有唯一解x。