重庆一中高2020级高三下期第二次学月考试(理科)数学试题一、选择题:(本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题有且只有一项是正确的).1.已知集合{}|(23)(3)0,A x Z x x =∈+-<{|B x y ==,则A∩B=( )A.(0,e]B.{0,e}C.{1,2}D.(1,2) 2.已知复数z 满足11212i i z +=+(i 为虚数单位),则z 的虚部为( ) A.4 B.4i C.-4 D.-4i3.下列说法正确的是()A.a ∈1,"1"R a<是“a>1"的必要不充分条件 B."p ∧q 为真命题"是"p ∨q 为真命题"的必要不充分条件C.命题"∃x ∈R,使得x 2+2x-3<0"的否定是:"∀x ∈R,x 2+2x-3>0"D.命题p:"∀x ∈R,sin cos x x +…则⌝p 是真命题4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话:"今有金锤,长五尺.斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤.由本至末递次减,中间三尺重几何."意思是:"现有一根金锤,长5尺,头部1尺,重4斤;尾部1尺,重2斤.且从头到尾,每一尺的重量构成等差数列,问中间三尺共重多少斤."( )A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤5.设sin5a π=,设b =c 231()4=,则() A.a<c<b B.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a 6.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为3,且5||2AB p =,则p=() A.8B.2C.6D.4 7.一架飞机有若干引擎,在飞行中每个引擎正常运行的概率为p,且相互独立.已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可安全飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机才可安全飞行.若已知4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则p 的取值范围是() A 2(,1)3 B.1(,1)3 C.2(0,)3 D.1(0,)38.下列关于函数1()2sin()26f x x π=+的图像或性质的说法中,正确的个数为() ①函数f(x)的图像关于直线83x π=对称②将函数f(x)的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin()23y x π=+ ⑧函数f(x)在区间5(,)33ππ-单调递增④若f(x)=a,则1()232a cos x π-= A.1个 B.2个C.3个D.4个 9.已知S={1,2,3,…,40},A ⊆S 且A 中有三个元素,若A 中的元素可构成等差数列,则这样的集合A 共有()个A.460B.760C.380D.19010.已知三棱锥P-ABC 的四个顶点均在同一个确定的球面上,底面△ABC 满足BA BC ==2ABC π∠=,若该三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为() A.8π B.16π C.163π D.323π 11.若曲线21()(11)ln(1)f x e x e a x =-<<-+和g(x)=-x 3+x 2(x<0)上分别存在点A 和B,使得ΔAOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形,且斜边AB 的中点在y 轴上,则实数a 的取值范围是()A. (e,e 2)B. 2(,)2e e C. (1,e 2) D.[1,e)12.在平面直角坐标系xOy 中,A 和B 是圆C:(x-1)2+y 2=1上的两点,且AB =点P(2,1),则|2PA PB -u u u r u u u r |的取值范围是()A.B.1⎤⎦C .6⎡-+⎣ D.7⎡-+⎣ 二、填空题:(本大题4个小题,每小题5分,共20分).13.双曲线22163x y -=的渐近线与圆(x-3)2+y 2=r 2(r>0)相切,则r=______ 14.某个正四棱柱被一个平面所截,得到的几何体的三视图如右图所示,则这个几何体的体积为____15. 61(1)(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中x 2的系数为240,则0⎰=___16.已知数列{a n }满足:a 1=1*1,(2n n n a a n N a +=∈+).设*11(2)(1)(),n n b n n N a λ+=-⋅+∈b 1=λ2-5λ,且数列{b n }是单调递增数列,则实数λ的取值范围是_____.三、解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,∠ADC=60∘,AB =(1)求△ABD 的面积.(2)若∠BAC=120°,求sinC 的值.18.(本小题满分12分)如图,在斜三棱柱111ABC A B C -中,正三角形ABC 的边长为2,BB 1=3,1AB =∠CBB 1=60°.(1)求证:面ABC ⊥面BCCB 1;(2)求二面角C-BB 1-A 的余弦值.19.(本小题满分12分)为了了解同学们的视力情况,学校研究性学习小组对高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到左图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与成绩是否有关系,对年级名次在1～50名和951~1000名的学生进行了调查,得到右表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与成绩有关系?(3)在(2)中调查的100名学生里,按分层抽样从不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯.现从这9人中随机选出3人,记名次在1～50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.20.(本小题满分12分)已知椭圆22221(0x ya ba b+=>>的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为4,直线l1:by xc=与椭圆相交于A、B两点,F2关于直线l1的对称点E恰好在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)与直线l 1垂直的直线l 2与线段AB(不包括端点)相交,且与椭圆相交于C 、D 两点,求四边形ACBD 面积的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx-aln(x+b),g(x)是f(x)的导函数.(1)若a>0,当b=1时,函数g(x)在(0,)2π内有唯一的极大值,求a 的取值范围; (2)若a=1,(1,)2b e π∈-,试研究f(x)的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果都做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4-坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为 (2cos 22sin x y θθ=⎧⎪⎨⎪=+⎩(θ为参数).以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系. (I)写出曲线C 的极坐标方程;(I)设点M 的极坐标为()4π,过点M 的直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,若|MA|=2|MB|,求AB 的弦长.23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知a>-1,函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|,g(x)=4x2+ax-3(1)当1,22ax⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(2)在(1)中a的最大值为m,若bc ca abma b c++=,证明:a+b+c≤m。
2023年重庆一中高2024届10月月考数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D A D A D 【解析】1．对于A和B，集合为点集，显然不是M的子集，故A，B错误；对C，{0}⊆M，故C正确；对D，化简为｛1｝，不是M的子集，故D错误，故选C．3．由条件知113a b+=111144(4)5333a ba b a ba b b a⎛⎫⎛⎫⇒+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当21a b==时取等号，故选C．数学参考答案·第1页（共8页）数学参考答案·第2页（共8页）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号 9 10 11 12 答案BCDACABDAD【解析】．由题得2i z =-，所以虚部为1-，所以选项A 是错误的；z 对应的点(12)，在第一象限，选正确；|||2i|51z -===，所以选项C 是正确的；||1z z -≤2(2)(x y ⇔-+数学参考答案·第3页（共8页）12．由条件知(e 4e )(e 4e )e e 0y y --+--++=，令()hx xx =+，则()h x 是奇函数且单调递增，所以有3(e4e )(e )0x x x h y h --+=3e 4e e 0x x x y ⇒--+=3e 3e x x y ⇒=-，即3()e 3e x x f x =-，则A 正确；根据选项A 知：32()3e 3e 3e (e 1)x x x x f x '=-=-，则当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，故0x =是函数的极小值点，故B 错误；33333ln ln ()3e 3e 3e 3e e 3e ax ax ax ax x x f ax x x x x -⇒--⇒--≥≥≥()(ln )f ax f x ⇒≥ln ax x ⇒≥ln x a x ⇒≥，令ln ()(1)x m x x x=>21ln ()x m x x -'⇒=，则()m x 在(1e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，1(e)e m =，故1e a ≥，故C 错误；又()m x 在(1e)，上单调递增，则ln πm m >⇒>⇒>，所以D 正确，故选AD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）数学参考答案·第4页（共8页）【解析】四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）2()2f x x x '=-，所以22n S n n =-．当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-．显然1n =时也满足，故43n a n =-． ………………………………………………（5分） （2）2πcos 3n n b =∵， 32(64)π4π1coscos 332n n b --===-∴，31(62)π2π1cos cos 332n n b --===-，36πcos 13n n b ==， 设32313n n n n c b b b --=++，则0n c =，1233120n n b b b b c c c ++++=+++= ∴．…………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）（1）证明：因为DM BN ∥，所以B D M N ，，，四点共面． DM ABCD ⊥平面∵，DM AC ⊥∴，又BD AC ⊥，DM BD D = ，DM ⊆平面BDM ，BD ⊆平面BDM ，数学参考答案·第5页（共8页）AC BDM ⊥平面∴，而PQ BDM ⊆平面，PQ AC ⊥∴．………………………………………………（4分）（2）解：分别以DA ，DC ，DM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则00)A ，，(00)C ，(002)M ，，，1)N ．……………………………………………（6分）设平面AMN 的法向量为()n x y z = ，，，因为(02)AM = ，，(01)AN =， 所以由0n AM n AN ==得20z +=0z +=，不妨令z =，得(21n =-，，又01)CN =，，………………………………………………（9分）设直线CN 和平面AMN 所成角为θ，则||sin ||||n CN n CN θ=7==．………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：2()cos f x x x x =+sin 2(1cos 2)22x x =+-1sin 22222x x ⎫=-+⎪⎪⎭π232x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………………………（4分）（1）π02x <<∵，ππ2π2333x -<-<∴，πsin 2123x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭≤∴，0()2f x <+∴， 故()f x的值域是02⎛+ ⎝⎦．………………………………………………………………………（7分）（2）由2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 3A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，ππ2π333A -<-<∵，2π3A =∴， 延长AD 到点E ，使得AD DE =，连接CE ，BE 易知ABEC 是平行四边形．数学参考答案·第6页（共8页）在ACE △中，AE =，4CE =，π3ACE ∠=，由余弦定理得2211682AC AC =+-⨯，即2440AC AC -+=，2AC =∴，12π42sin 23ABC S =⨯⨯=△∴．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分） 解：（1）由10(0.0050.030.040.005)1a ++++=得0.02a =，所以600.05700.3800.4900.21000.0579x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………（4分）（2）由已知，复赛选手进入决赛的概率为0.0228，又因为复赛成绩ξ服从2(799.5)N ，，而10.9544(2)0.02282P ξμσ-+==≥， 所以进入决赛的分数线为2799.5298μσ+=+⨯=．……………………………………………（8分）（3）若乙所说消息为真，则决赛中获得特等奖的概率为520.02282280≈(2)P ξμσ=+≥， 由902752μσσ=+=+得7.5σ=，37522.597.5μσ+=+=∴，而(3)0.0013P ξμσ+=≥，所以甲获得99分是小概率事件，这几乎是不可能发生的．根据统计学的相关原理，我们可以判断，乙所说的消息是不真实的．………………………………………………（12分）(注：答案不唯一，只要言之有理都可给分) 21．（本小题满分12分） （1）解：函数()f x 的定义域为(0)+∞，，()1ln f x a x '=++，当1e a x --<时，()0f x '<，当1e a x -->，()0f x '>；故()f x 在1(0e )a --，上单调递减，在1(e )a --+∞，上单调递增．…………………………………（4分）（2）证明：令()e 1()x g x f x =+-e ln 1x x x x =--+，则()e ln 2x g x x '=--，令()()h x g x ='，则1()e x h x x'=-，显然()h x '在(0)+∞，上单调递增． 又(1)e 10h '=->，1202h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，故存在唯一的0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得0()0h x '=．数学参考答案·第7页（共8页）从而()g x '在0(0)x ，上单调递减，在0()x +∞，上单调递增， 0()()g x g x ''≥∴，……………………………………………（8分）又001e x x =∵，两边取对数得00ln x x =-，故000()e ln 2x g x x '=--00120x x =+-≥，0()()0g x g x ''≥≥∴，故()g x 在(01]，上单调递增，所以()(1)e g x g =≤，得证．………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）由题意，a =，又1221223AF F b S c a =⨯⨯=△2=22b =∴，从而22222a c c -==，21c =∴，23a =，∴椭圆G 的方程为22132y x +=． ………………………………………………（4分） （2）设2(2)Q t t ，，易得切线方程为2y tx t =-，联立22236y x +=得223(23)4t x t x +-+4260t -=，设11()C x y ，，22()D x y ，，由韦达定理得3122423t x x t +=+，41222623t x x t -=+，所以||CD ==．………………………………………（7分）易得直线MN 的方程为x t ty =-，联立22236y x +=得2222(32)6360t y t y t +-+-=， 设33()M x y ，，44()N x y ，，由韦达定理得2342632t y y t +=+，23423632t y y t -=+，所以||MN ==，22||||2(23)CD t s MN t +==+∴，……………………………………………（9分）令23x t =-=()f x =2()f x '=， 因为点2(2)Q t t ，，数学参考答案·第8页（共8页）在椭圆内，4223(2)6t t +<，即42630t t +-<，解得21032t <-<≤，532x <≤∴， 令2()65999g x x x =-+，显然()g x 在532⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，而525565999242g ⎛⎫=⨯-⨯+ ⎪⎝⎭27329502-=<，()0g x <∴，即()0f x '<，()f x ∴在532⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，min ()(3)3f x f ==∴，故s 有最小值， 当点Q 在原点处时，s……………………………………………（12分）。
2020年重庆一中高2020级高三下期模拟考试数 学 试 题 卷（理科）参考答案1--6：DABCAD 7---12:CABCBD 13.3 14.9 15.6 16.217.解：（1）122310,40,4a a a a q +=+==所以公比故111410,2a a a +==得，121242n n n a --=⨯=所以212log 221n n b n -==-，()()1212122n n n n n a a S n +-⎡⎤+⎣⎦===（2）假设存在正整数m ，使得24,4,85m m m b S b +成等差数列，则28485m m m S b b =++，即223200m m --=解得542m m =-=或，由,4m N m *∈=得，故存在. 18.解：（1）证明：因为2AC =，12CC ，16AC =所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11BB CC ∥，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C .以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =u r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1AP t AC =u u u r u u u u r（01t <<），(,,)P x y z ， (,,3)AP x y z =u u u r，1(12,3)AC =--u u u u r ，代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t -.设平面MNP 的一个法向量为111(,,)n x y z =r ，2,0)MN =u u u u r ，(233)MP t t t =-u u u r，x由00n MN n MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，得11110)0tx t z =-++-=⎪⎩.，令1z t =，得,0,)n t =r . 因为二面角P MN C --的平面角的大小为30°，所以2m n m n =u r r g u r r=，解得34t =. 所以点P 为线段1AC 上靠近点1C的四等分点，故1PC =19.解：（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组.X 的所有可能取值为1,2,3.()()()1625343636367779991151,2,312212C C C C C C P X P X P X C C C =========（2）由题意知()()11.880.9924 1.5niix x r ωω---==≈=-⨯⨯∑， 0.990.789r =>Q ，∴有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；（3）对bx y ae =两边取对数得ln ln y a bx =+,设ln a μ=，又ln y ω=，则ˆˆˆbx ωμ=+， ()()()9192111.88ˆ0.19860iii ii x x bx x ωω==---===--∑∑，易知5x =， 1.550.1729ω=≈. µ=1.162 1.16bx μω∴=-≈$，而ˆ0.20b ≈-，故µ0.20 1.16x ω=-+， ∴所求y x 与的经验关系式为0.20 1.16x y e -+=$，即0.203.19x y e -=$.20.解：（1）设()2()()()=⋅=-++xF x f x g x exx a ，()2()1'=--++x F x e x x a ，由条件知：()0'≤F x 在R 上恒成立，即210--++≤x x a 在R 上恒成立，即45-≤a ，∴a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-45,.（2）设公切线l 分别与)(x f 、)(x g 切于B A 、两点，设()()a x x x B e x A x++-22221,,,1，()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:，()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a ex e x x ，)(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根，令()()R x a ex e x h xx∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。
