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反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
摘要：“17.1.2反比例函数的图象和性质”是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念．本教学设计，通过引导学生类比一次函数，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣．关键词：类比；数形结合；自主探究；自主设计问题一、容和容解析容人教版课标教材八年级下册“17.1.2反比例函数的图象和性质”。
容解析函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．教学中，应从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值．教学重点对反比例函数性质的探究和掌握．二、目标和目标解析目标能描点画出反比例函数的图象；能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（为常数，≠0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题．目标解析（1）能描点画出反比例函数的图象。
（2）能根据图象数形结合,引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。
（3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定这一性质。
（4）使学生在学习一次函数的性质之后，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步学会数形结合的思想方法。
（5）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟．三、教学问题诊断分析学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；（2）由于所取的点较少，导致图象失真；（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；……基于以上可能出现的问题，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图象，回顾作图步骤），反面剖析（展示学生所画的错误图象，分析错误原因），实践操作（学生再画函数图象时，不仅能正确作出函数的图象，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．在学生探究反比例函数性质时，对于函数的增减性会出现不加“在每个象限”这个限定条件的错误．教学时将采取举例说明的方法，让学生自主发现问题、解决问题，从而加深对反比例函数增减性的体验和理解．四、教学支持条件分析为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学．在学生观察图象、探究反比例函数的性质时，可以借助《几何画板》将较多反比例函数图象呈现给学生，既节约时间，又有利于学生进行观察、总结．在“设计问题”环节的教学，如有学生提出与面积有关的问题，可以通过《几何画板》演示点在不同反比例函数图象上的移动，引导学生发现代数与几何之间的在联系和统一，将课堂延伸到课后，并为下一课的教学做好铺垫．五、教学过程设计问题1：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？（形如（）的函数叫做反比例函数．）（教师板书：反比例函数（）。
）今天我们就来探究反比例函数的图象和它的性质．【设计意图】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．问题2：请大家尝试着画一画反比例函数的图象．（教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点．）【设计意图】学习正确的作图过程，在填表过程中感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础．问题3：（教师首先展示学生所画正确的函数图象）很好！这名同学画出来的函数图象非常优美．下面要展示的几幅图同样是来自同学的作品，能不能反思一下它们的问题在哪里？这样我们下次就能画出更美的曲线（展示几幅学生所画有错误的函数图象）．【设计意图】重视反例教学，充分开发和利用“错误”资源，感受反比例函数的性质．问题4：很好！下面请大家按照正确的步骤和方法再画一下函数的图象．（1）列表（如表1）。
表1（2）描点。
（3）连线．(教师展示学生所画图象。
)【设计意图】加深学生对作反比例函数图象的认识，达到“能描点画出反比例函数的图象”的教学目标；并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质，如通过列表发现决定了图象所在的象限等．问题5：观察反比例函数的图象是两条曲线．（给出函数图象名称：双曲线．）教师借助于计算机，画出了更多反比例函数的图象，仔细观察，类比正比例函数的性质，引导学生总结反比例函数的性质．（开展小组协作、讨论。
）（教师板书：当k>0,在每个象限，随的增大而减小; 当k<0,在每个象限,随的增大而增大.）【设计意图】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．问题6：总结（如表2）。
表2师：对于反比例函数，我们一定要注意这三者之间的关系：图象，的正负，函数的增减性．可以说，只要知道其中一个，就可以知道另外两个．【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳总结能力．问题7：一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（）。
【设计意图】从实际问题抽象建模成反比例函数，同时引导学生注意实际问题中自变量的取值围．问题8：你能补全这道选择题吗？以下各图表示正比例函数与反比例函数（）的图象，其中正确的是（）。
【设计意图】从图中识别不同的函数，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识与函数图象的关系．问题9：下列反比例函数图象的一个分支，在第三象限的是（）。
（A）（B）（C）（D）【设计意图】帮助学生辨析一个常见错误（少数学生会误认为是函数解析式中的大于0或小于0）．问题10：若点（-2，y1），（-1，y2），（2，y3）在反比例函数的图象上，则（）。
（A） y1 > y2> y3（B） y2> y1> y3（C） y3> y1> y2（D）y 3 > y2> y1【设计意图】加深学生对反比例函数增减性的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．问题11：如图1，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点在点的右侧，则的取值围是．图1【设计意图】加深对反比例函数增减性和“在每个象限”的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．问题12：已知反比例函数，你能运用今天所学的知识，设计一个关于的问题么？例如，函数图象位于第二、四象限，求的取值围．解：因为双曲线在第二、四象限，所以。
所以。
【设计意图】让学生基于本节课所学的知识设计问题，对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养．问题13：学生总结．作业：教材P46页习题17.1 3第8题、第9题．【设计意图】让学生通过自我总结，更加系统、全面地认识本节课的知识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。
六、目标检测设计1.选择题（1）反比例函数的图象位于（）。
（A）第一、二象限（B）第一、三象限（C）第二、三象限（D）第二、四象限（2）已知函数的图象经过点（2，3），下列说确的是（）。
（A）y随x的增大而增大（B）函数的图象只在第一象限（C）当x＜0时，必有y＜0 （D）点（－2，－3）不在此函数图象上（3）若反比例函数的图象在其每个象限,y随x的增大而减小,则k的值可以是（）。
（A）-1 （B）3 （C）0 （D）-3（4）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（）。
（5）已知，则函数和的图象大致是（）。
（6）函数的图象上有两点，，若0<，则（）。
（A）（B）（C）（D）、的大小不确定2.填空题（7）已知下列反比例函数：①；②；③；④；⑤。
图象两支分别在第一、三象限的函数是___________；在其图象所在的每个象限，y随x的增大而增大的函数有___________。
（8）函数，当x>0时，图象在第____象限， y随x 的增大而_________。
（9）已知2，4，m是三角形的三边长，那么双曲线的两支在第_____象限。
（10）双曲线的两个分支分别位于第象限．3.解答题（11）反比例函数的图象如图2所示，，是该图象上的两点．①比较与的大小；②求的取值围．图2（12）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．①求这两个函数的函数关系式。
②在给定的直角坐标系（如图3）中，画出这两个函数的大致图象。
③当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7）①③⑤，②④；（8）一，减小；（9）一、三；（10）二、四；（11） >，；（12），，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，当时，一次函数的值小于反比例函数的值.【设计意图】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．注：省市课题组成员：袁亚良，王兴富，明生，蔡新春，陆志强，马公仕，许磊，媛，徐向清，徐强，慧，天龙。
教学设计中的“问题8”选项D缺图——D选项是由学生设计的问题，所以应该空着，不需要修改本文发表于《中国数学教育》初中版2011年第1、2期。
