概率论与数理统计电子教案：MC7_1参数的点估计

求解方程：
d ln L( ) 0 d
可以得到 的MLE .
若是向量，上述方程必须用方程组代替 .
2、用上述求导方法求参数的MLE有时行不 通，这时要用最大似然原则来求 .
数理统计
下面举例说明如何求最大似然估计
例5 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个 样本，求参数p的最大似然估计量.
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L()的最大值点) ，即 的MLE;
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
数理统计
例6 设总体 X ~N( μ ,σ 2) , μ ,σ 2 未知 . x1, , xn 是来自 X 的样本值 , 试求 μ ,σ2的最大似然估计量 .
解 μ1 E X μ
μ2 E X 2 D( X ) [E( X )]2 σ2 μ2
解得
μ μ1 σ 2 μ2 μ12
于是 μ ,σ2 的矩估计量为
数理统计
总体矩
μ A1 X
σ2

A2

A12

1 n
n i 1
X
2 i

X 2
X

1 n
n i 1
Xi,
S2

1 n1
n i 1
(Xi

X )2
数理统计
问题是:
使用什么样的统计量去估计 ？
可以用样本均值; 也可以用样本中位数; 还可以用别的统计量 .
二、寻求估计量的方法 1. 矩估计法 2. 极大似然法 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 ……
这里我们主要介绍前面两种理统计

概率论与数理统计教案-参数估计教案章节一：参数估计概述教学目标：1. 理解参数估计的定义及意义；2. 掌握参数估计的两种方法：最大似然估计和最小二乘估计；3. 了解参数估计的假设条件。

教学内容：1. 参数估计的定义及意义；2. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 参数估计的假设条件。

教学方法：1. 讲授法：讲解参数估计的定义、意义、方法及步骤；2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解参数估计的方法及应用。

教学难点：1. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；2. 参数估计的假设条件。

教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。

教学过程：1. 引入参数估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 分析实际案例，展示参数估计的应用；4. 讲解参数估计的假设条件；5. 课堂互动，回答学生问题。

作业布置：1. 复习parameter estimation 的定义及意义；2. 学习maximum likelihood estimation 和least squares estimation 的相关知识；3. 思考如何应用parameter estimation 解决实际问题。

教案章节二：最大似然估计教学目标：1. 理解最大似然估计的定义及意义；2. 掌握最大似然估计的计算方法；3. 了解最大似然估计的应用场景。

教学内容：1. 最大似然估计的定义及意义；2. 最大似然估计的计算方法；3. 最大似然估计的应用场景。

教学方法：1. 讲授法：讲解最大似然估计的定义、意义、计算方法；2. 案例分析法：分析实际案例，展示最大似然估计的应用。

教学难点：1. 最大似然估计的计算方法；2. 最大似然估计的应用场景。

教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。

教学过程：1. 引入最大似然估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计的计算方法；3. 分析实际案例，展示最大似然估计的应用；4. 课堂互动，回答学生问题。

5
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
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极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，

1. 无偏性：设ˆ ˆ(X1, X2, , Xn ) 是未知参数 的估计量，若 E(ˆ) ，则称ˆ 为 的无偏估计。
2. 有效性：设ˆ1 ,ˆ2 均为参数 的无偏估计量，若 D(ˆ1) D(ˆ2) , 则称ˆ1比ˆ2 有效。
3. 相合性（一致性）：设ˆ 为未知参数 的估计量，若对任意的 0，都有 lim P ˆ 1，即ˆ n
，
ˆ3
1 4
( X1
X2
X3
X4
)
x 0, ，其中 为未知参数，
x0
问哪一个最优？
《概率论与数理统计》 教学教案
第 6 章 参数估计
授课序号 01
教学基本指标
教学课题 教学方法 教学重点
第 6 章 第 1 节 点估计 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
点估计、估计量与估计值的概念、估计量的无偏
课的类型 教学手段 教学难点
性、有效性和一致性的概念、、估计量的相合性、
矩估计法（一阶、二阶距）和最大似然估计法。
度分别为 X1, X 2 , , X n ，试用矩估计法估计 a , b .
例 4．设袋中放有很多的白球和黑球，已知两种球的比例为 1:9，但不知道哪种颜色的球多，现从中有放
回地抽取三次，每次一球，发现前两次为黑球，第三次为白球，试判断哪种颜色的球多。
例 5．求出例 2 中未知参数 的最大似然估计量.
例
2．设某种钛金属制品的技术指标为
X
其概率密度为
f
(x)
x
10,,x x Nhomakorabea 1, 其中未知参数 1.
1，
X1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求 的矩估计量.
例 3．已知某种金属板的厚度 X 在( a , b)上服从均匀分布，其中 a , b 未知，设抽查了 n 片金属板，厚