内蒙古包头市高三数学第一次模拟考试试题(包头一模) 理

2020年内蒙古包头市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3x−x2>0}，B={x|−1<x<1}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|−1<x<0}C. {x|0<x<1}D. {x|1<x<3}+(1−i)2(i为虚数单位)，则|z|=()2.已知复数z=21−iA. 1B. √2C. 2√2D. 23.已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1=2，a8+a10=28，则S9=()A. 36B. 72C. 144D. 2884.函数y=xe x在点(1,e)处的切线方程为()A. y=2e xB. y=x−1+eC. y=−2e x+3eD. y=2ex−e5.函数y=e x(x2+2x+1)的图象可能是()A. B.C. D.6.如图，已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B，C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动时，点H运动的轨迹()A. 是圆B. 是椭圆C. 是抛物线D. 不是平面图形7. 甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为( ) A. 34 B. 13 C. 78 D. 35 8. 已知AD 为△ABC 边BC 的中线，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10，则|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 69. 公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，提出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.如图是利用“割圆术”思想求图形面积的一个程序框图，则其输出的n 的值为(参考数据：√3≈1.73，tan π12≈0.27，tan π24≈0.13) A. 6B. 12C. 24D. 4810. 设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 22=1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为2√6，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√3xB. y =±√33xC. y =±√2xD. y =±√22x 11. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 是棱CC 1的中点，点A ，B ，D ，M 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A. 32πB. 3πC. 94πD. 9π12. 函数f(x)=(x −2)(ax +b)为偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则f(2−x)>0的解集为( )A. {x|−2<x <2}B. {x|x >2或x <−2}C. {x|0<x <4}D. {x|x >4或x <0}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若(√x +3x )n 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中常数项为______．14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为M，与抛物线的交点为N，且4|NF|=5|MN|，则p的值为______．15.已知函数y=3sin (2x+π4),x∈[0,π2]的单调增区间为[0,m]，则实数m的值为________．16.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照下图1的分形规律可得到如图2所示的一个树形图，那么第12行的实心圆点的个数是_____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3sin A，周长为4(√2+1)，且sinB+sinC=√2sinA．(1)求a及cos A的值；(2)求cos(2A−π3)的值．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．(1)求证：AC⊥平面BDEF；(2)求二面角A−FC−B的余弦值．(3)求AF与平面BFC所成角的正弦值．19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b合计▓▓(1)写出a，b，x，y的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率；(3)在(2)的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．20.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率e=12，过点F1且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为3．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过椭圆E的右焦点F2，且与x轴不重合，交椭圆E于M，N两点，求|MN|的取值范围．21.已知函数f(x)=ax2+2ln(a−x)(a∈R)，设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为l，若l与直线x−2y+2=0垂直，求a的值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =m −12t y =√32t(其中t 为参数，m 为常数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l 与曲线C 交于点A ，B 两点． (1)若|AB|=√152，求实数m 的值； (2)若m =1，点P 坐标为(1,0)，求1|PA|+1|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A={x|0<x<3}，B={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：C．2.答案：B解析：通过化简，计算即可．本题考查求复数的模，注意解题方法的积累，属于基础题．解：∵z=21−i +(1−i)2=2(1+i)(1−i)(1+i)−2i=2(1+i)1−i2−2i=1−i，∴|z|=√2．故选B．3.答案：B解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．根据{a n}是等差数列，a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14，S9=a1+a92×9可得答案．解：由题意{a n}是等差数列且a8+a10=28，得2a9=28，即a9=14．∴S9=2+142×9=72，故选B．4.答案：D解析：本题考查切线方程的求法，考查计算能力．求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．解：函数f(x)=xe x，可得：f′(x)=(1+x)e x，则f′(1)=2e，f(1)=e；曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−e=2e(x−1)，y=2ex−e．故选D．5.答案：A解析：本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的变化趋势，属于基础题．解：y=e x(x2+2x+1)=e x(x+1)2≥0，故排除B，D，当x=−1时，y=0，故排除C，故选A．6.答案：A解析：本题主要考查立体几何中的垂直关系与动点轨迹的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算，难度一般．由已知证得，，从而得出BH⊥AD,BH⊥HE，即可得出点H的运动轨迹．解：如图，过点B作圆的直径BD，连接CD，AD，再过点B作BE⊥AD于E，连接HE，因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD．又由BD为圆的直径得BC⊥CD，且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH．又BH⊥AC，且AC∩CD=C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE．所以当点C运动时，点H运动的轨迹是以BE为直径的圆．故选A．7.答案：A解析：本题考查了几何概型的概率计算，作出图形是解题关键，属于中档题．作出表示两人到达养老院的时间的平面区域，根据面积比得出概率．解：以x，y表示甲，乙两人到达养老院的时间，若两人相遇，则需满足|x−y|≤1，作出平面区域如图所示：则．故选：A ．8.答案：B解析：解：如图，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2； ∴100=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+32+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2；∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68；又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=14×(68−32)=9； ∴|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3． 故选B ．可画出图形，对BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的两边平方即可求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=68，而对AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的两边平方，即可求出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2的值，从而求出|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 考查向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量数量积的运算．解析：本题考查了程序框图和循环结构，属于基础题．模拟循环程序，进行模拟计算，列出循环过程中S和n的数值，若满足判断框的条件，即可结束循环．解：模拟执行程序，可得：当n=6时，，输出的S值为2√3≈3.46，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=12时，，不满足判断框条件S<3.2，继续执行循环体；当n=24时，≈24×0.13=3.12，满足判断框条件S<3.2，退出循环．所以输出的n的值为24．故选C．10.答案：D解析：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的方程和应用，考查运算能力，属于中档题．设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，A点代入双曲线的方程，解得y0，由三角形的面积公式，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，可得渐近线方程．解：不妨设F1(−c,0)，A(−c,y0)，c2=a2+2，则c2a −y022=1，则y02=2⋅c2−a2a2=4a2，又S△ABF2=2√6，即为12⋅2c⋅|2y0|=4ca=2√6，即为ca =√62，则ba=√c2a2−1=√22，故该双曲线的渐近线方程为y=±√22x.故选：D．解析：本题考查三棱锥的外接球的半径与棱长的关系，及球的表面积公式，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．由已知可得线段AM的中点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，求得AM，即得球O的半径，利用球的表面积公式可求．解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是棱CC1的中点，如图：∵AB⊥BC,AB⊥BB1，BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，所以AB⊥平面BCC1B1，∵BM⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BM，即△ABM为直角三角形，同理AD⊥DM，△ADM也为直角三角形，取AM的中点E，则EA=EB=EM=ED，所以点E为球O的球心，在直角三角形ACM中，AC=√AB2+BC2=√2，CM=12，∴AM=√AC2+CM2=√2+14=32，则球O的半径R=34，则球O的表面积为4πR2=4π×916=9π4．故选C．12.答案：D解析：函数f(x)=ax2+(b−2a)x−2b为偶函数，则b−2a=0，故f(x)=ax2−4a=a(x−2)(x+ 2)，因为函数f(x)在(0,+∞)单调递增，所以a>0.根据二次函数的性质可知，不等式f(2−x)>0的解集为{x|2−x>2或2−x<−2}={x|x<0或x>4}．13.答案：135解析：解：(√x+3x)n的展开式中，令x=1，可得各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为4n2n=64，∴n=6，∴(√x+3x)6展开式的展开式的通项公式为：T r+1=C6r⋅3r⋅x3−3r2．令3−32r=0，求得r=2，可得展开式中的常数项等于C62⋅32=135．故答案为：135．根据各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，求得n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．14.答案：1解析：本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题．设N(x0,2)，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=1．解：由题意知M(0,2)，设N(x0,2)，代入y2=2px(p>0)中得x0=2p，所以|MN|=2p，|NF|=2p+p2，因为4|NF|=5|MN|，所以4(p2+2p)=5×2p，解得p=−1(舍去)或p=1．故答案为1．15.答案：π8解析：本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题目．求出y=3sin(2x+π4)的单调递增区间，即可得到x∈[0,π2]的单调增区间，从而得到m的值．解：由−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，得−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，k∈Z．又0≤x≤π2，所以0≤x≤π8，即函数y=3sin(2x+π4)，x∈[0,π2]的单调增区间为[0,π8]．所以m=π8，故答案为π8．16.答案：89解析：本题主要考查了数列的应用，解题的关键构造这样一个数列{a n}表示空间圆点的个数变化规律，a n= a n−1+a n−2，属于中档题．解：观察可发现如下规律：每行空心圆点个数等于上一行的实心圆点个数；每行实心圆点个数等于上一行所有圆点个数.设a n为第n行所有圆点个数．∴第n行的空心圆点个数等于第n−1行的实心圆点个数，也即第n−2行的所有圆点个数a n−2，第n行的实心圆点个数等于第n−1行的所有圆点个数a n−1，所以a n=a n−1+a n−2，故各行中圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......a11=89，即第12行中实心圆点的个数是89，故答案为89．17.答案：解：(1)∵△ABC的面积为3sinA=12bcsinA，∴可得：bc=6，∵sinB+sinC=√2sinA，可得：b+c=√2a，∴由周长为4(√2+1)=√2a+a，解得：a=4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=a2−1212=13，(2)∵cosA=13，∴sinA=√1−cos2A=2√23，∴sin2A=2sinAcosA=4√29，cos2A=2cos2A−1=−79，∴cos(2A−π3)=cos2Acosπ3+sin2Asinπ3=4√6−718．解析：(1)由已知及三角形面积公式可求bc=6，进而可求a，利用余弦定理即可得解cos A的值．(2)利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连结FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO.因为FO∩BD=O，FO,BD⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．(2)解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，又AC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABCD，∴平面BDEF⊥平面ABCD，又平面BDEF∩平面ABCD=BD，FO⊂平面BDEF，故F O ⊥平面ABCD ． 又AO,BO ⊂平面ABCD ，∴AO ⊥FO,BO ⊥FO ，又AO ⊥BO ，由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2.因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60°， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以O(0,0,0),A(√3,0,0),B(0,1,0), C(−√3,0,0),F(0,0,√3)．所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,√3)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,−√3,−1)．因为OA ，OB ，OF 两两垂直，OA ，OF 是平面AFC 内两条相交直线，则OB ⊥平面AFC ， 可知平面AFC 的法向量为v⃗ =(0,1,0)． 由二面角A −FC −B 是锐二面角，得|cos <n ⃗ ,v ⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅v ⃗ ||n ⃗⃗ ||v ⃗ |=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155；(3)解：AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,√3)， 平面BFC 的法向量n ⃗ =(1,−√3,−1)，所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3√6×√5=−√105． 设AF 与平面BFC 所成角为θ，则．故AF 与平面BFC 所成角的正弦值为√105．解析：本题考查了直线和平面垂直的判定，考查了利用空间向量求线面角和面面角，解答的关键是建立正确的空间直角坐标系，是中档题．(1)要证AC ⊥平面BDEF ，只要证AC 垂直于平面BDEF 内的两条相交直线即可，设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ，由已知FA =FC 可得AC ⊥FO ，再由ABCD 为菱形得到AC ⊥BD ，则由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出二面角A −FC −B 的两个面的法向量，由法向量所成角的余弦值求得答案；(3)求出向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，直接用向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面BFC 的法向量所成角的余弦值求得AF 与平面BFC 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)由题意可知，样本容量=80.16=50，∴b =250=0.04，第四组的频数=50×0.08=4， ∴a =50−8−20−2−4=16． y =0.0410=0.004，x =1650×110=0.032．∴a =16，b =0.04，x =0.032，y =0.004．(2)由(1)可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分)以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学有C 62=15种情况．设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则P(A)=C 42+C 22C 62=715．所以，随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． (3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2， 则P(ξ=0)=C 42C 62=615=25，P(ξ=1)=C 41C 21C 62=815，P(ξ=2)=C 22C 62=115． 所以，ξ的分布列为所以，Eξ=0×25+1×815+2×115=23．解析：(1)利用频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ，b ，x ，y ；(2)由(1)可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出；(3)由(2)可知，ξ的可能取值为0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出． 熟练掌握频率=频数样本容量×100%，及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和等于1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式是解题的关键．20.答案：解：(1)由于c 2=a 2−b 2，将x =−c 代入椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1，即y =±b 2a ，由题意知2b 2a =3，即a =23b 2，又e =ca =12， 所以a =2，b =√3， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 由{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，Δ>0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，所以，所以|MN|∈(3,4)；当直线l 与x 轴垂直时，|MN|=3. 综上所述，|MN|的取值范围为[3,4)．解析：本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1) 由2b 2a=3，得a =23b 2，又e =c a =12，求出a ，b 即可．(2)当直线l 与x 轴不垂直时，设l 的方程y =k(x −1)(k ≠0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立，根据弦长公式求出|MN|，再与斜率不存在时比较即可．21.答案：解：由f(x)=ax 2+2ln(a −x)得f′(x)=2ax −2a−x ，所以f′(1)=2a −2a−1．由题设可得2a −2a−1=−2，从而a2=2，解得a =±√2， 检验可得a =√2符合题意， 所以a =√2．解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，以及两直线垂直的条件等基础题知识，考查运算求解能力，属于基础题，利用导数的几何意义求出x =1处的切线的斜率，再根据两直线垂直的条件：斜率之积为−1，建立方程，解之即可．22.答案：解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ=2sinθ，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ， 转化为普通方程可得x 2+y 2=2y ， 即x 2+(y −1)2=1．把{x =m −12ty =√32t代入x 2+(y −1)2=1， 并整理可得t 2−(m +√3)t +m 2=0①， 由条件可得△=(m +√3)2−4m 2>0， 解之得−√33<m <√3．设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=m +√3，t 1t 2=m 2≥0， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2， =√(m +√3)2−4m 2=√152， 解之得m =√32或√36；(2)当m =1时，①式变为：t 2−(1+√3)t +1=0， 所以：t 1+t 2=1+√3，t 1t 2=1，由点P 的坐标为(1,0)可得1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1+t 2||t 1t 2|=1+√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(2)利用(1)的关系式，根据一元二次方程根和系数的关系和点到直线的距离公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92； 当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀； 当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72． 综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}； (2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立， 可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0) ≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1， 当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1， 由a +1≤32， 可得0<a ≤12， 即a 的范围是(0,12].解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x 的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。

2021年内蒙古包头市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合2{|20}A x x x =-->，{|(2)0}B x x x =->，则()(R B A =⋂ ) A ．(1,2)-B ．(0,2)C ．[2，)+∞D ．[1-，0)2．（5分）已知角(0,)απ∈，且1tan()47πα+=，则sin (α= )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-3．（5分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，某学校积极推进教学改革，开发了10门校本课程，其中艺术类课程4门，劳动类课程6门．李杰同学从10门课程中任选3门，则含有劳动类课程的概率为( ) A ．13.15B ．2930 C ．1.2D ．4.54．（5分）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“今有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n a n b =，对于数列{}n a ，{}n b ，则5210(log a b = )A ．193209B ．209193C ．209289D ．2892095．（5分）若圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切的圆，被直线0x y -=截得的弦长为则圆心到直线y x =的距离为( ) A ．4B．CD ．26．（5分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若232(*)n n S a n N =-∈，则1062(2S a =- ) A ．243B ．244C ．245D ．2467．（5分）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )A ．FB ．EC ．HD ．G8．（5分）已知2F 是双曲线22:127x y C -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,3)A ，当2APF ∆周长最小时，该三角形的面积为( ) A ．125B ．165 C ．185D ．2459．（5分）设函数33()33f x ln x x =+-+，则()(f x )A ．是偶函数，且在(,3)-∞-单调递增B ．是奇函数，且在(3,3)-单调递减C ．是奇函数，且在(3,)+∞单调递减D ．是偶函数，且在(3,3)-单调递增10．（5分）已知946xy=，则222()(x y x y+= )A ．25B ．16C ．9D ．411．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，123AB AA ==，3AD =，点E 为11A B 的中点，若三棱锥11C EC D -的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( ) A ．22πB ．26πC ．24πD ．28π12．（5分）定义“规范01数列” {}n a 如下：{}n a 共有2k 项，其中k 项为0，k 项为1，且对任意2m k ，1a ，2a ，⋯，m a 中0的个数不少于1的个数．若5k =，则形如“0001⋯”的不同的“规范01数列”的个数为( ) A ．16B ．14C ．12D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b = ． 14．（5分）安排3名志愿扶贫干部完成4个贫困村的脱贫工作每人至少完成1个村的脱贫工作，每个村的脱贫工作由1人完成，则不同的安排方式共有 种．15．（5分）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12||z z -=12||z z += ． 16．（5分）设有下列四个命题：1p ：空间共点的三条直线不一定在同一平面内．2p ：若两平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合． 3p ：若三个平面两两相交，则交线互相平行．4p ：若直线//n 平面α，直线n ⊥直线b ，则直线b ⊥平面α．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①14p p ∧；②12p p ∧；③23p p ⌝∨；④34p p ⌝∨三、解答题：共70分。

一、单选题二、多选题1. 当时，复数在平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，，若函数至少6个零点，则取值范围是A．B．C．D．3. 已知为等差数列，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n 是（ ）A ．2021B ．4044C ．4043D ．40424. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（ ）A ．196B ．197C ．198D ．1995. 一个扇形的圆心角为，半径为4，则该扇形的弧长为（ ）A．B．C ．D．6. 已知公差不为0的等差数列满足成等差数列，则（ ）A．B．C．D．7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（ ）A．B ．1C ．3D ．58. 函数（且）的图象恒过定点，若对任意正数、都有，则的最小值是（ ）A．B．C．D．9. 设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）A．有最小值B ．没有最大值C ．有最大值为D ．有最小值为10. 如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（）A ．不存在使得内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试理科数学试题(1)内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试理科数学试题(1)三、填空题四、解答题B．若四点共面，则C ．若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为D ．若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．的图象关于点对称D ．在区间上单调递增12.已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ）A．B ．为偶函数C．的图象关于点对称D．13.已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是________.14. 对任意实数x ，有，则__________．15. 已知，是抛物线上两点，若线段的中点到抛物线的准线的距离为5，则直线的方程可能是______．（本题答案不唯一，符合题意即可）16.已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求的前100项和.17. 在△ ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，．(1)求的值；(2)若a = 15，D 为AB 边上的点，且2AD = BD ，求CD 的长．18. 如图，在等腰直角中，，和都垂直于平面，且，为线段上一点，设（）.(1)当为何值时，平面；(2)当二面角的余弦值为时，求四棱锥的体积.19. 数列的前项和为，且，设，．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．20. 某厂每日生产一种大型产品1件，每件产品的投入成本为2000元.产品质量为一等品的概率为，二等品的概率为，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元.若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，没生产一件产品还会带来1000元的损失.（1）求在连续生产3天中，恰有一天生产的两件产品都为一等品的的概率；（2）已知该厂某日生产的2件产品中有一件为一等品，求另一件也为一等品的概率；（3）求该厂每日生产该种产品所获得的利润（元）的分布列及数学期望.21. 4月23日世界读书日全称“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”．最初的创意来自于国际出版商协会．由西班牙转交方案给了联合国教育、科学及文化组织．1995年11月15日正式确定每年4月23日为“世界图书日”．其设立目的是推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界一百多个国家都会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2023年世界读书日来临之际，某中学读书协会为研究课外读书时长对语文成绩的影响，随机调查了高三年级50名学生每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：读书平均时长（单位：分钟）人数5152055语文成绩优秀181544(1)试估算该中学高三年级学生每天课外阅读时间的平均数，中位数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)若从统计表中在的学生中随机选取3名学生的语文成绩进行研究，求这3名学生的语文成绩都优秀的概率．。

包头一中高三年级校一模考试（数学理科试卷）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的). 1．若集合{}1,12-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x y y P x y y M ，那么=P M I （ ） A.),0(+∞ B.[)),0+∞ C. ),1(+∞ D. [)),1+∞2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．123. 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，369-=S ， 10413-=S ，则5a 与7a 的等比中项为（ ）A.24 B . 24± C . 22± D. 324.已知向量a ，b 满足1==+=a b a b ，则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）A.12B. 12-C.2D. 2-5．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和 直线2l 的距离之和的最小值是 （ ） A.2 B.3 C.115 D.37166.下列判断错误的是（ ）A. “22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件B.命题“2,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“ 2000,10x x x ∃∈-->R ”C.若,p q 均为假命题，则p q ∧为假命题D.若()~4,0.25B ξ，则1D ξ=7. 从点P 出发的三条射线,,PA PB PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为43π，则OP 两点之间的距离为( )C.1.5D. 28、已知,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的范围为 （ ）A.1a ≥B.1a ≤-C. 11a -≤≤D. 1a ≥或1a ≤- 9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A.283π-B. 83π- C. 82π- D.23π10.设0>ϖ,函数23sin +⎪⎭⎫⎝⎛+=πϖx y 的图像向右平移34π个单位 (第9题图) 后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） A ．32 B. 34 C. 23D. 3 11.已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >.若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．C ．48(,)33D. ()7,212．若双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （m>b>0 ）的离心率之积大于1，则以mb a ,,为边长的三角形一定是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 钝角三角形 二、填空题 （本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．若6622106)1(x a x a x a a mx ⋅⋅⋅+++=+,且63621=⋅⋅⋅++a a a ，则实数m 的值为 .14. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位）15.执行右边的程序框图，输出的T= .(第16题图)(第15题图)16.如上图，在矩形ABDC 中，O AC AB ,2,1==为AC 中点，抛物线的一部分在矩形内，点O 为抛物线顶点，点D B ,在抛物线上，在矩形内随机地放一点，则此点落在阴影部分的概率为 .三、解答题（共6个小题，第22题10分，其余12分,共70分） 17．（本小题满分12分）已知向量：(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin ),(0)m x x x n x x x ωωωωωωω=+=->u r r其中，函数()f x m n =⋅u r r，若()f x 相邻两对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求ω的值，并求)(x f 的最大值及相应x 的集合；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 分别是A ，B ，C 所对的边，△ABC 的面积53,4,()1S b f A ===，求边a 的长.18．（本小题满分12分）盒子里装有6件包装完全相同的产品，已知其中有2件次品，其余4件是合格品.为了找到2件次品，只好将盒子里的这些产品包装随机打开检查，直到两件次品被全部检查或推断出来为止.记ξ表示将两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数.（I ）求两件次品被全部检查或推断出来所需检查次数恰为4次的概率； （II ）求ξ的分布列和数学期望. 19.（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．(Ⅰ)求四棱锥P ABCD -的体积V ；(Ⅱ)若F 为PC 的中点，求证：平面PAC ⊥平面AEF ； (第19题图) (Ⅲ)求二面角E AC D --的大小．20.（本题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ，且其右焦点与抛物线x y C 4:22=的焦点F 重合.（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（II ）直线l 经过点F 与椭圆1C 相交于A 、B 两点，与抛物线2C 相交于C 、D 两点．求||||AB CD 的最大值． 21. （本题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （Ⅰ）当12a b ==时，求函数)(x f 的最大值； (Ⅱ)令21()()2aF x f x ax bx x=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．22.（本题满分10分）已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=ααsin 21cos 21y x (α为参数),点Q 的极坐标为)47,2(π.（Ⅰ）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （Ⅱ）若点P 是圆C 上的任意一点, 求P ,Q 两点间距离的最小值．高三一模理科数学参考答案 一、ABBBA DBCAC BD二、1或-3； -i; 30; 1/3;三、解答题（共6个小题，第22题10分，其余12分,共70分）17、解：（Ⅰ）x x x x x x x f ωωωωωω2sin 32cos cos sin 32sin cos )(22+=+-=Θ )62sin(2πω+=x ………………3分又题意可得)62sin(2)(,1,πωπ+=∴=∴=x x f T ………………4分当)62sin(π+x =1时，)(x f 有最大值为2，},6|{Z k k x x x ∈+=∈∴ππ………………6分（Ⅱ）πππ<<=+∴=+=A A A A f 021)62sin(1)62sin(2)(ΘΘ ……7分3,6562πππ=∴=+∴A A …………………8分 5553sin 21===c bc S π…………………9分由余弦定理得：a 2=16+25－2×4×5cos3π=21 21=∴a …………12分 18、解：（1）检查次数为4次包含两类情况：①前3次检查中有一个次品，第4次检查出次品，其概率为12324314615C C A P A ==----2分 ②前4次检查全部是合格品，余下两件必是次品，其概率为15146442==A A P ，----2分所以所求概率为1541515121=+=+P P ,-------5分 (2)ξ的可能取值为2,3,4,5-----------6分22261(2),15C P C ξ===121422362(3),15C A C P A ξ===ξξ+======4123424346314424464(4),158(5).15A C C A P A C C AP A(一个1分)---------10分分布列如下表：所以12486423451515151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=--------12分 19. 解：（Ⅰ）在Rt ABC ∆中，1AB =，60BAC ∠=︒，∴BC =，2AC =……1分在Rt ACD ∆中，2AC =，60CAD ∠=︒，∴CD =4AD =…………2分∴1111122222ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅=⨯⨯⨯=…………3分则123V ==4分ξP（Ⅱ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥…………………………5分 又AC CD ⊥，PA AC A =I ，∴CD ⊥平面PAC ……………………6分 ∵E 、F 分别为PD 、PC 中点，∴//EF CD ∴EF ⊥平面PAC ……………………7分 ∵EF ⊂平面AEF ，∴平面PAC ⊥平面AEF …………8分 （Ⅲ）取AD 的中点M ，连结EM ，则//EM PA ， ∴EM ⊥平面ACD ，过M 作MQ AC ⊥于Q ，连接EQ ，则EQM ∠为二面角E AC D --的平面角。