2007-08概率统计A卷试题
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2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷
1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = ．
2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 ． 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x
，有lim n x P →∞⎫
≤=⎬⎭
．
4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= ． 5．设~(0,1)X N
，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ ．
6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k = 时，
2
21
()n
i i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．
7．设总体2~(,)X N μσ,12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,2σ未知,若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠,应取检验统计量为 ~ t (n-1). 1．若随机变量X Y 与满足()()()D X Y D X D Y +=+，则下面结论不一定成立的是（ ）
（A ）X Y 与不相关． （B ）()()()E XY E X E Y =． （C ）X Y 与相互独立．
（D ）cov(,)0X Y =．
2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2
()0,||.
2
k x x f x x ππ⎧
≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ ）
（A ）
1
4
． （B ）
12
． （C ）0． （D ）1．
3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ ）
（A ）
1
12
． （B ）0． （C ）12． （D ）1．
4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ ）
（A ）()()()Z X Y F z F z F z =．
（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--． （C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．
（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．
5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ ）
（A ）10
22211
~(9)k k X χσ
=∑． （B ）10
21~(9)k k X t =∑．
（C ）
10
2221
1
~(10)k k X χσ
=∑．
（D ）10
21
~(10)k k X t =∑．
6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ ） （A ）221/2(1)a n χχ-≤-． （B ）221(1)a n χχ-≤-． （C ）221/2()a n χχ-≤．
（D ）221()a n χχ-≤．
1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率． 2．设随机变量X 的分布律为
X -1 0 1 2
P 0.1 2.0 a b
已知()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.
3．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为
,0<1,
(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩
其他.
（1）求常数A ； （2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；
（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤． 4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为
0;e ,()0,0.x
X x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 2
0;
1e ,
()2
0,
0.
y
Y y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩ 求Z X Y =+的概率密度．
5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量． 证明题
1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >．
2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{
}
21
2
02n
i i n P X n n
=-<<≥
∑．。
