从小学数学竞赛试题看估算
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从小学数学竞赛试题看估算
陕西省小学教师培训中心王凯赵熹民
一、什么是估算？
1919191919
(1)(12)(13)(110)(111)
9292929292
+++⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯++⨯的结果是x。
那么，与x最接近的整数是______________。
这是1992年小学数学奥林匹克初赛(B)卷第3题。
并不要求求x，而求“与x最接近的整数”。
这就是估算！
估算是人们运用各种运算技巧所进行的快速近似计算。
估算不仅在日常生活中有着广泛的应用，而且有助于提高检验计算结果正确性的技能，有助于学生智力的发展。
所以，《九年制义务教育小学数学教学大纲》明确规定要增加简易估算。
由人民教育出版社新编的义务教育小学数学教材中已增加了这方面的内容。
这是义务教育小学数学教学大纲和教材在计算内容方面的一个重要变化，今年来国内外重大的小学数学竞赛的试题也对“加强估算教学”起了导向的作用。
例如，小学数学奥林匹克竞赛，“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每一次的试题中都至少有一个估算方面的题目(参见下面的例题)。
二、常用的估算方法
除小学数学教材中介绍的加减乘除简单估算方法外，常用的估算方法还有以下几种：
1、转化法：就是把算式或问题的数学结构变换为便于估算的形式。
例如，9+9.1+9.2+9.3+9.4+9.5+9.6+9.7+9.8+9.9的值为( )。
(A)84.5 (B)94.5 (C)100.5 (D)102.5 (E)104.5
可以把这一加法问题转化为容易运算的乘法问题，十个数逐渐增大，9.5位于中部，故可用9.5×10=95估算。
五个备选答案中只有(B)最接近95，所以选择(B).
2、前后夹攻法：就是从大与小两个方面确定准确结果的大致范围，从而得出估算结果。
例如上题相加的10个数中，最小的是9，最大的是9.9，所以它们的和必大于9×10=90，而小于9.9×10=99，在五个备选答案中只有(B)在此范围内，故应选(B)。
3、重组法：就是不改变问题的数学结构，而把数目变换成易于估计的形式。
例如，利于计算7451+9265+8320+8077。
可先把各个加数的首位数字相加7+9+8+8=32，估计合理的答案应略大于32000，即约为33000。
三、估算方面的应用
例1 一个自然数与它自己相乘，乘积叫做完全平方数，所以1、4、9、16、25、36、49、……都是完全平方数，同时是连续自然数的完全平方数，1000位于两个连续自然数的完全平方数之间，这两个完全平方数中哪一个更接近1000？(美国小学数学奥林匹克邀请赛试题，1989年)
解：首先从302=900＜1000, 352=1225＞1000，估计30到35之间的32的平方可能比较接近1000，而322=1024, 312=961，所以322更接近1000。
例2
1919191919
(1)(12)(13)(110)(111)
9292929292
+++⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯++⨯的结果是
x。
那么，与x最接近的整数是______________。
解：x=11+19
92
×(1+2+3+……+10+11)=11+
19
92
×66=11+13
29
46
＞24
1
2。
所以x最接近的整数是25。
例3 计算：1
11111()38523571113
+++++⨯，它的整数部分是________。
(1990年小学数学奥林匹克竞赛试题) 解：因为385=5×7×11，
111236++=1，所以，原式=11111(1)3855711136++++-⨯ =385+77+55+35738578
-⨯。
因7739075385787878⨯⨯⨯=-=353578
-，即7343853578<⨯<。
所以结果为385+77+55+35－35=517。
例 4 有三十个数，1.64， 1.64+130， 1.64+230
，……，1.64+2930，如果取每个数的整数部分(例如1.64的整数部分是1，1.64+2930
的整数部分是2)，并将这些整数相加，那么其和等于_____________。
(1990年小学数学奥林匹克竞赛试题)
解：关键是判断从哪个数开始整数部分是2。
因为2－1.64=0.36，我们熟知
110330= =0.333…，故先看1130，1130
=0.366…，所以前11个数整数部分为1，后19个数整数部分为2，其和为11+19×2=49。
例5 在1，11
11,,,,23
99100⋅⋅⋅中，选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要选_______个数。
(1989年小学数学奥林匹克竞赛试题)
解：要使得所用的数个数尽量少，所选用的数应尽量大，所以应从开头依次选，首先注意到11111123456+
++++(111236++=1)=2+1145+=2.45＜3，而10.1427=⋅⋅⋅，10.1258
=， 10.1119=⋅⋅⋅，110=0.1，所以11110.47878910+++=⋅⋅⋅，从而111112345+++++111678++ +11910+=2.928…＜3，而10911⋅⋅=，可见11111231011+++⋅⋅⋅++=3.01…＞3，至少应选11个数。
例6 有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是________。
(1991年小学数学奥林匹克竞赛试题) 解：105852+=95，85952+=90，95902+=92.5，9092.52+=91.25，92.591.252
+= 91.875， 91.25与91.875的整数部分相同，而两个数的平均数总介于这两个数之间，所以后面各数的整数部分均为91，当然第19个数的整数部分也为91。
例7 已知1
111198019811991s =++⋅⋅⋅+，求s 的整数部分。
(第三届“华罗庚金杯”少
年数学邀请赛试题)
解：
121111219911980198119911980
<++⋅⋅⋅+<，所以11121219801991
s <<，即 198019911212s <<，也即165＜s ＜165+1112
，所以s 的整数部分是165。
例8 已知a=1166126713681469157011651266136714681569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯×100，问a 的整数部分是多少？(第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题) 解：
1166126713681469157011651266136714681569
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ = 1165126613671468156911651266136714681569⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+111213141511651266136714681569
++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =1+111213141511651266136714681569
++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 但6515695⨯⨯＜111213141511651266136714681569++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＜6511655
⨯⨯ 即131112131415115691165126613671468156955
++++<<⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 而130.011569=⋅⋅⋅⨯，10.0155=⋅⋅⋅，所以111213141511651266136714681569++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =0.01⋅⋅⋅，从而a=(1+0.01⋅⋅⋅)×100=101.…，即a 的整数部分是101。
四、 加强估算教学已势在必行
日本1984年在一次全国性小学数学总体评价的测验中，有这样一道题：“以下四个数中 有一个是304×18.73的近似值，请你估算一下，找出这个数：(1)570, (2)5697, (3)56967,
(4)569673。
并说明你是如何求得的。
”解答情况的统计表明，虽然有62%的学生选对了答案，但其中有19%是不用笔算而用估算得出的，大部分学生是笔算求出准确值后再挑选答案的，这说明学生习惯于笔算，受数学运算准确性要求的束缚，把估算看成是从属于笔算，这样学生不甚理解估算的意义及作用，不知道也不会进行估算，估算能力是不会自发形成的。
这个事实就说明了加强估算教学的必要性。
我国小学数学中，历来对估算不重视，在义务教育大纲和教材将要全面使用的时候，加强估算教学已成为势在必行之事。
本文发表于中国教育学会主办的《中小学数学》1992年第10期P16，17，26。
