高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)章末检测试题新人教B版必修1

本章测评(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知全集I ＝R ，集合M ＝{y |y ＝2|x |，x ∈R }，N ＝{x |y ＝lg(3－x )}，则(I M )∩N 等于( ) A ．(－∞，1) B ．[1,3) C ．[3，＋∞) D ．2设函数f (x )＝log 2(4－x 2)，下列命题中正确的是 …( ) A ．f (x )有最小值4，无最大值 B ．f (x )有最小值2，无最大值 C ．f (x )无最小值，有最大值2 D ．f (x )无最小值，有最大值23设a ＞1，则log 0.2a,0.2a ，a 0.2的大小关系是…( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a4某人2008年7月1日到银行存入一年期款a 元，若按年利率x 复利计算，则到2011年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )3元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x 3)元5为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移3个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移3个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移3个单位，再向下平移1个单位6已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )，若f (x )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致为( )7已知a ＝log 23，那么log 38－2log 29用a 表示为( )A ．－aB ．－1a C.3a －4a D.3a －2a 28幂函数y ＝x－1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①②③④⑤⑥⑦⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象经过的“卦限”是 ( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑧D ．①⑤9函数f (x )＝log a |x ＋b |是偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系为( )A ．f (b －2)＝f (a ＋1)B ．f (b －2)＞f (a ＋1)C ．f (b －2)＜f (a ＋1)D ．不能确定10设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11若f (2x )＝log 3(7－x )，则f (14)＝__________.12已知函数f (x )＝log 12x ，则方程f －1(x )＝4的解x ＝__________.13函数f (x )＝log a (x －3)＋2无论a 取什么值时，恒过定点__________．14已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥1，f (x ＋2)，x <1，则f (log 232)＝__________.15如图，P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆形纸板P 2，然后依次剪去一个更小的半圆(其直径为前一个被剪掉半圆的半径)形纸板P 3，P 4，…，P n ，则P n 的半径r n 是__________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16(8分)不用计算器求下列各式的值： (1)(214)12－(－9.6)0－(338)－23＋(1.5)－2；(2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 17(10分)已知函数f (x )＝2＋log 3x (181≤x ≤9)，求函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值和最小值．18(10分)科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14按确定的规律衰减，我们已经知道其“半衰期”为5730年．(1)设生物体死亡时，体内每克组织的碳14含量为1，试推算生物死亡t 年后体内每克组织中的碳14含量P ；(2)湖南长沙马王堆古墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代．19(12分)对于定义域为[0,1]的函数f (x )，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0；②f (1)＝1；③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．(1)若函数f (x )为理想函数，求f (0)的值；(2)判断函数g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，并说明理由．参考答案1解析：由M ＝{y |y ≥1}，N ＝{x |x ＜3}，I M ＝{y |y ＜1}，所以(I M )∩N ＝{x |x ＜1}． 答案：A 2答案：C3解析：∵a ＞1，∴log 0.2a ＜0,0.2a ∈(0,1)，a 0.2＞1. 答案：B4解析：若2009年7月1日取款，有a (1＋x )元； 若2010年7月1日取款，有a (1＋x )(1＋x )＝a (1＋x )2元； 若2011年7月1日取款，有a (1＋x )2(1＋x )＝a (1＋x )3元． 答案：A5解析：∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴只需把y ＝lg x 的图象向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到y ＝lg x ＋310的图象．答案：C6解析：由题意可知a ∈(0,1)，b ＜－1， ∴结合选项易判断只有A 符合． 答案：A7解析：log 38－2log 29＝3log 32－4log 23＝3log 23－4log 23＝3a －4a .答案：C8解析：对幂函数y ＝x α，当α∈(0,1)时，在区间(0,1)上，其图象在直线y ＝x 的上方，在区间(1，＋∞)上，其图象在直线y ＝x 的下方，且图象经过点(1,1)．∴y ＝x 12的图象经过①⑤两个“卦限”．答案：D9解析：由f (x )为偶函数得b ＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴0＜a ＜1.∴b －2＝－2,1＜a ＋1＜2. ∴|b －2|＞|a ＋1|＞0. ∴f (b －2)＜f (a ＋1)． 答案：C10解析：函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图易知 f (x )≤K ＝12x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案：D11解析：∵f (14)＝f (2－2)，∴f (14)＝log 3[7－(－2)]＝log 39＝2.答案：212解析：根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得x ＝f (4)＝log 124＝－2，∴方程f －1(x )＝4的解为x ＝－2.答案：－213解析：由y ＝log a x 过定点(1,0)可知y ＝log a (x －3)过定点(4,0)， ∴f (x )＝log a (x －3)＋2过定点(4,2)． 答案：(4,2)14解析：f (log 232)＝f (log 232＋2)＝f (log 232＋log 24)＝f (log 26)＝2log 26＝6. 答案：615解析：由已知可得r 1＝(12)0，r 2＝(12)1，r 3＝(12)2，r 4＝(12)3，依次类推，r n ＝(12)n －1.答案：(12)n －116解：(1)原式＝(94)12－1－(278)－23＋(32)－2＝(32)2×12－1－(32)－3×23＋(32)－2. ＝32－1－(32)－2＋(32)－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.17解：g (x )＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵f (x )的定义域为[181，9]，∴⎩⎨⎧181≤x ≤9，181≤x 2≤9，解得⎩⎨⎧181≤x ≤9，－3≤x ≤－19，或19≤x ≤3.∴19≤x ≤3，即g (x )的定义域为[19，3]． ∴－2≤log 3x ≤1.∴当log 3x ＝－2，即x ＝19时，[g (x )]min ＝－2；当log 3x ＝1，即x ＝3时，[g (x )]max ＝13.18解：(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1,1年后的残留量为x ，由于死亡机体中原有的碳14按确定的规律衰减，所以生物体的死亡年数t 与其体内每克组织的碳14含量P 有如下关系：因此，生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝x t .由于大约每过5 730年，死亡生物体的碳14含量衰减为原来的一半，所以12＝x 5 730，于是x ＝(12)15 730，这样生物死亡t 年后体内碳14的含量P ＝(12)t5 730.(2)由对数与指数的关系，指数式P ＝(12)t 5 730可写成对数式t ＝5 730log 12P .湖南长沙马王堆女尸中碳14的残留量约占原始含量的76.7%，即P ＝0.767，那么t ＝5 730log 120.767，由计算器可得t ≈2 193.所以马王堆古墓约是2 100多年前的遗址． 19解：(1)取x 1＝x 2＝0，可得f (0)≥f (0)＋ff (0)≤0.又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．理由如下：显然g(x)＝2x－1在[0,1]上满足条件①g(x)≥0，也满足条件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即满足条件③，故g(x)为理想函数．。

章末综合测评(三) 基本初等函数(Ⅰ)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4－xC ．y ＝log 14xD ．y ＝log 4x【解析】 由指数、对数函数图象性质知，与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x的图象关于直线y ＝x 对称的函数是对数函数y ＝log 14x ，故选C.【答案】 C2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x 2－2x【解析】 y ＝ln(x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增;y ＝－x ＋1的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为R ，在(0，＋∞)上递减；y ＝x 2－2x 的定义域为R ，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减．故选A.【答案】AA ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(1,2] 【解析】得0<x －1≤1， ∴1<x ≤2. 【答案】 D4．设幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3，设0<a <1，则f (a )与f －1(a )的大小关系是( )A ．f －1(a )>f (a )B ．f －1(a )＝f (a )C ．f －1(a )<f (a )D ．不确定【解析】 设f (x )＝x α，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3的坐标代入得：3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13α，∴α＝－12.∴f (x )＝x -12，即y ＝x -12， ∴x ＝y －2， ∴f －1(x )＝x －2. 又0<a <1， ∴f －1(a )>f (a )．故选A. 【答案】 A5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，(x ≤0)，log 2(x 2＋x )，(x >0)，若f (a )＝1，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－1或1或－2【解析】 ∵f (a )＝1， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－1＝1，a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧log 2(a 2＋a )＝1，a 2＋a >0，a >0，(a 2＋a >0与a >0的公共解为a >0)∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，a ≤0或⎩⎨⎧a 2＋a －2＝0，a >0. ∴a ＝－1或a ＝1. 【答案】 C6．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( ) A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c b C ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【解析】 对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c (0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c ＞b c ，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x (0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a ＜c b ，∴选项D 错误，故选B.【答案】 B7．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，x ∈(－1,1)的图象关于( )【导学号：97512061】A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称【解析】 f (x )＝lg 1＋x1－x，x ∈(－1,1)，∴f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )． 即f (x )为奇函数，关于原点对称． 【答案】 C8．若f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，f (x )的反函数为g (x )，且g (2)<1，则f (x )的图象是( )【解析】 g (x )＝a x (a >0且a ≠1)，∴g (2)＝a 2<1，故0<a <1， ∴f (x )＝log a x 是减函数，应选B.【答案】 B9．已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x ，x ∈R .( ) A ．若f (a )≤|b |，则a ≤b B ．若f (a )≤2b ，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b【解析】 ∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.若f (a )≤|b |，则|a |≤|b |，A 项错误．若f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .若f (a )≤2b ，则2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．若f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．故选B.【答案】 B10．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a【解析】 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2， b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4， c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 【答案】 C11．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)【解析】 因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1>0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，故选C.【答案】 C12．函数y ＝a x －2(a ＞0且a ≠1，－1≤x ≤1)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－53，1，则实数a ＝( )A ．3 B.13 C ．3或13D.23或32【解析】 当a ＞1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎨⎧a －2＝1，1a －2＝－53，解得a ＝3；当0＜a ＜1时，y ＝a x －2在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝－53，1a －2＝1，解得a ＝13.综上可知a ＝3或13. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________.【导学号：97512062】【解析】 原式＝lg 1425÷(102) -12＝lg10－2÷110＝－2×10＝－20. 【答案】 －20 14．化简： a a a ＝________. 【解析】a a a ＝a ·(a ·a 12)12＝a 78.【答案】 a 7815．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.【解析】 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象对称轴为x ＝1， ∴当－2<a ≤1时，y min ＝g (a )＝a 2－2a ；当a >1时， y min ＝g (a )＝－1.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ， (－2<a ≤1)－1， (a >1)【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ， (－2<a ≤1)－1， (a >1)16．对于下列结论：①函数y ＝a x ＋2(x ∈R )的图象可以由函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象平移得到；②函数y ＝2x 与函数y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log5(x 2－2)的解集为{－1,3}；④函数y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确结论的序号都填上) 【解析】 y ＝a x ＋2的图象可由y ＝a x 的图象向左平移2个单位得到，①正确；y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，②错误；由log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝x 2－2，2x ＋1>0，x 2－2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，3，x >－12，x >2或x <－2，∴x ＝3，③错误；设f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－[ln (1＋x )－ln (1－x )]＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，④正确．故正确的结论是①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求下列函数的定义域． (1)f (x )＝1log 2(x ＋1)－3；(2)f (x )＝92x －1－127.【解】 (1)要使函数有意义，须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，log 2(x ＋1)≠3＝log 28，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠7， ∴函数的定义域为{x |x >－1且x ≠7}． (2)要使函数有意义，须满足：92x －1－127≥0， ∴34x －2≥3－3，∴x ≥－14，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥－14. 18．(本小题满分12分)若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，求lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2的值． 【解】 ∵lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两根，∴⎩⎨⎧lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎩⎨⎧lg (ab )＝2，lg a ·lg b ＝12.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝[lg (ab )]2－4lg a ·lg b ＝22－4×12 ＝2.∴lg(ab )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝2×2＝4.19．(本小题满分12分)求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.【导学号：60210100】【解】 ∵2≤x ≤4， ∴－2≤log 12x ≤－1.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，y ＝t 2－12t ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋7916.∵对称轴t ＝14∉[－2，－1]，∴y ＝t 2－12t ＋5在[－2，－1]上是减函数．∴y (－1)≤y ≤y (－2)， 即当t ＝－1时，y min ＝132， 当t ＝－2时，y max ＝10.20．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．【解】 (1)要使f (x )有意义，x 的取值必须满足1＋x1－x>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x >0，1－x >0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <0，1－x <0，解得－1<x <1.故f (x )的定义域为(－1,1)．(2)当a >1时，由log a 1＋x 1－x>0＝log a 1， 得1＋x 1－x>1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x >1－x . 解得0<x <1.当0<a <1时，由log a 1＋x 1－x>0＝log a 1， 得0<1＋x 1－x<1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，1＋x <1－x . 解得－1<x <0.故当a >1时，所求x 的取值范围为0<x <1；当0<a <1时，所求x 的取值范围为－1<x <0.21．(本小题满分12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？(3)某晚会中，观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时的声压是多少？【解】 (1)由已知，得y ＝20lg P P 0. 又P 0＝2×10－5，则y ＝20lg P 2×10－5. (2)当P ＝0.002时，y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区．(3)由题意，得90＝20lg P P 0，则P P 0＝104.5， 所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕)．22．(本小题满分12分)已知指数函数y ＝g (x )满足g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝－g (x )＋n 2g (x )＋m是奇函数． (1)确定y ＝g (x )的解析式；(2)求m ，n 的值；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．【解】 (1)g (x )＝2x .(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋n 2x ＋1＋m. ∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即n －12＋m＝0，∴n ＝1. ∴f (x )＝1－2x2x ＋1＋m. 又由f (1)＝－f (－1)知1－24＋m ＝－1－12m ＋1，解得m ＝2.(3)由(2)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0.由判别式Δ＝4＋12k <0可得k <－13.。

第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分1.计算的结果为（）A.3B.4C.5D.62.若，则x等于（）A.9B.C.25D.3.若f（x）=，则f（x）的定义域为（）A. B. C. D.（0，+∞）4.函数在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A.|a|>1B.|a|>2C.a>D.1<|a|＜5.函数y=的定义域是（-∞，0］，则a的取值范围是（）A.a>0B.a>1C.0<a<1D.a ≠16.已知，则a，b，c的大小关系是（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜a＜cD.c＜a＜b7.函数y=的图象的大致形状是（）8.函数y=的值域是（）A.（-2，-1）B.（-2，+∞）C.（-∞，-1］D.（-2，-1］9.已知函数f（x）=，若f（a）=b，则f（-a）等于（）A.bB.-bC.D.-10.设函数f（x）=若>1，则的取值范围是（）A.（-∞，0）∪（2，+∞）B.（0，2）C.（-∞，-1）∪（3，+∞）D.（-1，3）11.函数的图象如图，其中a，b为常数.下列结论正确的是（）A.0<a<1，b>1B.a>1，0<b<1C.a>1，b>1D.0<a<1，0<b<112.设函数f（x），g（x）的定义域分别为F，G，且F G.若对任意的x∈F，都有g（x）= f（x），则称g（x）为f（x）在G上的一个“延拓函数”.已知函数（x≤0），若g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则函数g（x）的解析式是（）A. B.C. D.二、填空题（每小题4分，共16分）13.若函数（a>0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，-1），则a= .14.设f（x）=则f（f（2））的值为.15.若函数+1，y=b，-1的图象无公共点，则b的取值范围为.16.若函数在上单调递减，则正实数a的取值范围是.三、解答题（共74分）17.（本小题满分12分）求下列各式的值：（1）；（2）（a>0且a≠1）.18.（本小题满分12分）设函数.（1）讨论y=f（x）的单调性，并画出其图象；（2）求f（x）≥2的解集.19.（本小题满分12分）设a>1，若对于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，］满足方程，求a的取值范围.20.（本小题满分13分）若，求f（x）=·的最大值和最小值.21.（本小题满分12分）已知M={x|x>3或x<1}，当x∈M时，求的最值.22.（本小题满分13分）已知函数f（x）=.（1）证明函数f（x）是R上的增函数；（2）求函数f（x）的值域；（3）令g（x）=，判定函数g（x）的奇偶性，并证明.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）答题纸二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17.18.19.20.21.22.第三章基本初等函数（I）（人教B版必修1）参考答案1.D 解析：原式··=··=6.2.D 解析：由换底公式，得··=2，∴-=-2.解得x=.3.A 解析：要使f（x）有意义，需>0，即0<2x+1<1，解得-<x<0.4.D 解析：由-1<1得<2，∴1<|a|＜.5.C 解析：由-1≥0得≥1.又知此函数的定义域为（-∞，0］，即当x≤0时，≥1恒成立，∴0<a<1.6.C 解析：将三个数与中间量0，1相比较.＞1.7.D 解析：原函数可化为y=8.D 解析：当x≤1时，=1，∴-2≤-1.当x>1时，＜，∴0＜＜=1，则.9.B 解析：由>0，得-1<x<1，∴f（-x）=lg =lg =lg lg ，∴f（x）是奇函数，∴f（-a）=-f（a）=-b.10.C 解析：当≥2时，∵，∴，即>3；当<2时，由，得，，∴.∴∈（-∞，-1）∪（3，+∞）.11.C 解析：∵函数单调递增，∴a>1.又f（1）>0，∴，∴b>1.12.C 解析：由题意得，当x≤0时，.又g（x）是偶函数，因此有g（-x）=g（x）恒成立.当x>0时，-x<0，.综上所述，g（x）.13. 解析：由互为反函数关系知f（x）过点（-1，2），代入得=2，所以a=.14.2 解析：=1，=2.15.［-1，1］解析：如图.当-1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点.16.0＜a＜或a＞2 解析：令，则当a＞1时，在（0，+∞）上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递减.又在上恒大于0，∴＞0，即＞0，∴＞或＜0（舍去），∴a＞2.同理当0＜a＜1时，有0＜a＜.17.解：（1）.18.解：（1）y=当x≥1或x<-1时，y=f（x）是常数函数不具有单调性；当-1≤x<1时，单调递增.故y=f（x）的单调递增区间为［-1，1），其图象如图.（2）当x≥1时，y=4≥2成立.当-1≤x<1时，由≥2，得2x≥，x≥，∴≤x<1.当x<-1时，=<2，不等式不成立.综上，f（x）≥2的解集为19.解：∵=3，∴=3.∴.∴y=.∴函数y=（a>1）为减函数.又当x=a时，；当x=2a时，y=，∴⊆［a，］.∴≥a.又a>1，∴a≥2.∴a的取值范围为a≥2.20.解：.又∵-3≤≤-，∴≤3.∴当时，；当时，.21.解：M={x|x>3或x<1}，.∵x>3或x<1，∴>8或<2，∴当=，即时，f（x）最大，最大值为，f（x）没有最小值. 22.（1）证明：设是R内任意两个值，且，则>0.∴===.当时，，∴.又+1>0，+1>0，∴∴f（x）是R上的增函数. （2）解：f（x）==1-.∵+1>1，∴，即.∴. ∴f（x）的值域为.（3）解：函数g(x)为偶函数.证明如下：由题意知g（x）==·x.易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），g（-x）=（-x）·=（-x）·=x·=g（x），∴函数g（x）为偶函数.。

《基本初等函数》单元测试题班级某某序号得分一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( )A ．()m nm na a +=B ．11mm a a=C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D43()mn =2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( )A ．(1,2)B ．(2,2)C ．(2,3)D ．2(,2)33．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1B ． 2 C ．12D ．84．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ）A ．122lg xx x >> B ．122lg xx x >> C ．122lg xx x >> D ．12lg 2xx x >>5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ）A ．(3,4)B ．(2,5)C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减7．若1005,102ab==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2xxf x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ）A ．(1,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,0)-∞ 10．给出幂函数①f (x )=x ；②f (x )=x 2；③f (x )=x 3；④f (xf (x )=1x． 其中满足条件f 12()2x x +>12()()2f x f x + (x 1＞x 2＞0)的函数的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二．填空题．(每小题5分，共25分)11．计算：459log 27log 8log 625⨯⨯=． 12．已知函数3log (0)()2(0)xx x >f x x ⎧=⎨≤⎩，， ,则1[()]3f f =． 13．若3())2f x a x bx =++，且(2)5f =，则(2)f -=．14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a =． 15．已知01a <<，给出下列四个关于自变量x 的函数：①log x y a =，②2log a y x =， ③31(log )ay x = ④121(log )ay x =．其中在定义域内是增函数的有．三．解答题（6小题，共75分） 16．(12分)计算下列各式的值：（Ⅰ）4160.253216(22)4()849-+-⨯-．（Ⅱ）21log 32393ln(log (log 81)2log log 12543++++-17．（本小题满分12分）已知()2xf x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．18．(共12分)（Ⅰ）解不等式2121()x x a a-->(01)a a >≠且．（Ⅱ）设集合2{|log (2)2}S x x =+≤，集合1{|()1,2}2xT y y x ==-≥-求ST ，S T ．19．（ 12分） 设函数421()log 1x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩．（Ⅰ）求方程1()4f x =的解．（Ⅱ）求不等式()2f x ≤的解集．20．（ 13分）设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅的定义域为1[,4]4, （Ⅰ）若x t 2log =,求t 的取值X 围；（Ⅱ）求()y f x =的最大值与最小值，并求出最值时对应的x 的值．21．（14分）已知定义域为R 的函数12()22x x bf x +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）证明函数()f x 在R 上是减函数；（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值X 围．参考答案一．选择题二．填空题．11． 9 ． 12．12． 13． 1-． 14．． 15． ③，④．三．解答题：16．（Ⅰ）． 解：原式427272101=⨯+--=．（Ⅱ）解：原式33log (425)3315223223211222log ()25⨯=++⨯+=++⨯-=⨯．17．解： g(x)是一次函数 ∴可设g(x)＝kx+b (k ≠0)∴f []()g x =2kx b+ g []()f x =k 2x+b ………4分∴依题意得222225k b k b +⎧=⎪⎨+=⎪⎩………6分 即212453k b k k b b +==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩………10分 ∴()23g x x =-．………12分 ．18．解：（Ⅰ）原不等式可化为：212x x aa -->．当1a >时，2121x x x ->-⇔>．原不等式解集为(1,)+∞． 当1a >时，2121x x x -<-⇔<．原不等式解集为(,1)-∞． （Ⅱ）由题设得：{|024}(2,2]S x x =<+≤=-,21{|1()1}(1,3]2T y y -=-<≤-=-．∴(1,2]ST =-，(2,3]S T =-．19．解：（Ⅰ） 11()1424x x f x -<⎧⎪=⇔⎨=⎪⎩（无解）或411log 4x x x ≥⎧⎪⇔=⎨=⎪⎩∴方程1()4f x =的解为x = （Ⅱ）1()222x x f x -<⎧≤⇔⎨≤⎩或41log 2x x ≥⎧⎨≤⎩11x x <⎧⇔⎨≥-⎩或116x x ≥⎧⎨≤⎩． 11x ⇔-≤<或116x ≤≤即116x -≤≤．∴不等式()2f x ≤的解集为：[1,16]-． 20．解：（Ⅰ）t 的取值X 围为区间221[log ,log 4][2,2]4=-． （Ⅱ）记22()(log 2)(log 1)(2)(1)()(22)y f x x x t t g t t ==++=++=-≤≤． ∵231()()24y g t t ==+-在区间3[2,]2--是减函数，在区间3[,2]2-是增函数∴当23log 2t x ==-即322x -==()y f x =有最小值31()24f g =-=-； 当2log 2t x ==即224x ==时，()y f x =有最大值(4)(2)12f g ==．21．解：（Ⅰ）∵()f x 是奇函数，所以1(0)014bf b -==⇔=(经检验符合题设) ． （Ⅱ）由（1）知21()2(21)x x f x -=-+．对12,x x R ∀∈，当12x x <时，总有2112220,(21)(21)0x x x x ->++> ．∴122112121212121122()()()0221212(21)(21)x x x x xx x x f x f x ----=-⋅-=⋅>++++，即12()()f x f x >． ∴函数()f x 在R 上是减函数． （Ⅲ）∵函数()f x 是奇函数且在R 上是减函数，∴22222(2)(2)0(2)(2)(2)f t t f t k f t t f t k f k t -+-<⇔-<--=-．22221122323()33t t k t k t t t ⇔->-⇔<-=--．（*）对于t R ∀∈（*）成立13k ⇔<-．∴k 的取值X 围是1(,)3-∞-．。