习题课(导数的应用)

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义 ． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型： 其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式 ．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数 阶导数 如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点 ．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。 的驻点。
3．函数的单调区间的判别 ．
函数在[a,b]上连续 在(a,b)内可导 上连续,在 内可导. 函数在 上连续 内可导

1 xlna
⑧
1 x
⑨f′(x)±g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ⑪f′(x)g(xg)－2(xf)(x)g′(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
()
①y＝ln2，则y′＝12 ②y＝x12，则y′|x＝3＝－227 ③y
＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝xl1n2
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解： (1)两个函数和(或差)的函数的求导法则 设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则 设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x) ＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋ 1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
于是有aa＋＋2b＝＋21c＝，4d.
① ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③
由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④
∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－12. ∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝427.

一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0 )均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 大 ; 函 f 一 极 值 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域 对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除 点 0外 f (x) > f (x0 )均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x)的 个 小 . 函 f 一 极 值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当

足的条件是什么?
(2)对于函数y=f(x),x∈[a,b],若存在x0∈[a,b],使得f(x)≥c,或f(x)≤c成
立,则c满足的条件是什么?
提示:(1)c≤f(x)min或c≥f(x)max.
(2)c≤f(x)max或c≥f(x)min.
2.利用导数解决不等式恒成立问题
(1)不等式λ≥f(x)恒成立,则λ≥[f(x)]max;
所以 f(x)∈[0,2e2],故实数 m 的取值范围为(-∞,0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用导数研究方程的根或函数的零点
例1已知函数f(x)=x3-x2-x+a,g(x)=x3-2x-ln x+3,其中a∈R.
(1)若方程f(x)=0只有一个实数根,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)有两个零点,求实数a的取值范围.
(2)不等式λ≤f(x)恒成立,则λ≤[f(x)]min.
【做一做1】 方程x3-3x2-2=0实根的个数为(
)
A.0
B.1
C.2 D.3
解析:令f(x)=x3-3x2-2,则f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以f(x)有极大值f(0)=2,极小值f(2)=-6,结合函数图象可知其与x轴有一个交点,因此方程
所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-2)和(0,+∞);
e
由 f'(x)= 2 x(x+2)<0 解得-2<x<0,
所以 f(x)的单调递减区间是(-2,0).
x
(2)令 f'(x)=xe
1 2 x e
+2x e = 2 x(x+2)=0,