高中数学_3.1.1 函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

“平均变化率”的教学反思浙江衢州高级中学舒燕芳在本次课题组的研讨会中我承担了“变化率问题”的教学任务，会前根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”进行了教学设计，并在高二年级进行教学实践，课题组以教学设计及实施过程为载体，分析和评价教学过程，尤其是对核心概念与数学思想方法的教学进行了深入的讨论，提出了许多指导性意见。

经过课题组的点评与讨论后，对本堂课教学设计中的某些环节有了更深入的理解，下面结合教学实践，对教学过程各环节进行反思。

1.对教学设计的反思（1）对“平均变化率”概念在整章中的地位的认识在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念。

经过课后研讨，综合课题组成员的点评意见，经过自己的不断反思，发现“平均变化率”仅仅是个辅助性概念，它是为“导数”这个核心概念作铺垫的，当然这其中过渡性概念是“瞬时变化率”。

课堂教学中忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，定位不准确导致这一概念的教学目的不明确。

为此，修改教学设计时必须突出“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。

（2）问题1的科学性在教学设计时，我设计了如下问题作为整节课的引入：问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?设计意图是：这是学生熟悉的问题，能较快地解决，同时也有利于引出本节课的核心概念“平均变化率”。

从上课效果看也确实达到了我预想的目标，但课后点评后才发现，这一问题缺乏科学性，有待修改。

经反复思考，觉得改为：“甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元,假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”可能效果会更好。

（3）问题2与问题3的教学顺序在教学设计时，按照课本的顺序，把“气球膨胀率问题”和“高台跳水问题”分别作为问题2和问题3。

当时觉得问题2（即气球膨胀率）的背景是学生比较熟悉的，有生活体验，从此处入手更加贴近生活，况且教材也是这样安排的。

问：0—2时与2—21时，哪段时间的成交额变化快,为什么?
问：怎么量化0—2时与2—21时成交额变化快(图象陡峭)、慢(图象平缓)？
结论：成交额Q(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
Q t Q t -
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）” “陡峭（变化快）”？
结论：成交额S(t)在区间[t 1,t 2]的平均变化率：
21()()
S t S t -
这是平均变化率的几何意义
(1)求0s-3s的速度平均变化率？（2）求3s-7s的速度平均变化率？（3）求7s-14s的速度平均变化率？
结论：
y
x
∆∆减小⇔割线斜率|k|减小⇔曲线变“平缓”.
y
∆增大⇔割线斜率|k|增大⇔曲线
分析：对高度进行等分，看在均等的Δx 内，注水量大小，最后从变化率大小结合图象及瓶子选出B。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 《3.1.1函数的平均变化率》教学案1 《《3. .1. .1 函数的平均变化率》教学案教学目标：1、知识目标：通过生活实例使学生理解函数增量、函数的平均变化率的概念；掌握求简单函数平均变化率的方法，会求函数的平均变化率；理解函数的平均变化率的含义，引出函数的瞬时变化率概念，简单应用为下一节导数概念的学习打好基础. 2、能力目标：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景数学表示应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 3、情感目标：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质.并养成学生探究总结型的学习习惯. 教学重点：函数自变量的增量、函数值的增量的理解教学难点：函数平均变化率的理解. 教学过程：一、引入：1、情境设置：(图片)巍峨的珠穆朗玛峰、攀登珠峰的队员两幅陡峭程度不同的图片 2、问题：当陡峭程度不同时，登山队员的感受是不一样的，如何用数学来1 / 5反映山势的陡峭程度，给我们的登山运动员一些有益的技术参考呢？3、引入：让我们用函数变化的观点来研讨这个问题. 二、例举分析：(一)登山问题例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点，H是山顶，登山路线用y=f(x)表示 HD1 D Fy 问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？分析：1、选取平直山路AB放大研究若 ) , ( ), , (1 1 0 0y x B y xA 自变量x的改变量：0 1x x x = 函数值y的改变量：0 1y y y = 直线AB的斜率：xyx xy yk==0 10 1 说明：当登山者移动的水平距离变化量一定( x 为定值)时，垂直距离变化量( y )越大，则这段山路越陡峭； 2、选取弯曲山路CD放大研究方法：可将其分成若干小段进行分析：如CD 1 的陡峭程度可用直线CD 1 的斜率表示.(图略) 结论：函数值变化量( y )与自变量变化量 ) ( x 的比值xy反映了山坡的陡峭程度.各段的xy不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在这段山路上的平均变化量不同.当xy越大，说明山坡高度的平均变化量越大，所以山坡就越陡；当xy越小，说明山坡高度的平---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------均变化量小，所以山坡就越缓.所以，k kk kx xx f x fxy=++11) ( ) (高度的平均变化成为度量山的陡峭程度的量，叫做函数f(x)的平均变化率. 三、函数的平均变化率与应用. 1、定义：已知函数 ) ( x f y = 在点0x x = 及其附近有定义，令0x x x = ；B ) , (1 1y x A( ) ,0 0y x 0x0y1x1yO y x ) ( ) ( ) ( ) (0 0 0 0x f x x f x f x f y y y + = = = .则当 0 x 时，比值xyxx f x x f= + ) ( ) (0 0叫做函数 ) ( x f y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 2、例题解析例1.求2x y = 在0x 到x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为x xxx x xxxf x x f + = += +02020 0 02) ( ) ( ) (.当 x 取定值，0x 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样.可以由图看出变化. 例2.求xy1= 在0x 到 x x +0之间的平均变化率. 解：当自变量从0x 变到 x x +0时，函数的平均变化率为0 00 0 0 0) (11 1) ( ) (x x x xx x xxx f x x f + = += + 变式：某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：天气热得太快了！但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹.这3 / 5是什么原因呢？原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢. 问题：当自变量t表示由3月18日开始计算的天数，T表示气温，记函数 ) (t g T = 表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？分析：如图：1、选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较， C T t01 . 15 5 . 3 6 . 18 , 30 = = = ，由此可知 5033 . 0 tT； 2、选择该市2004年4月18日最高气温18.6 0 C与4月20日33.4 0 C进行比较 C T t08 . 14 6 . 18 4 .33 , 2 = = = ，由此可知 4 . 7 tT 结论：函数值的平均变化率tT反映了温度变化的剧烈程度. 各段的tT不同反映了温度变化的剧烈程度不同，也就是气温在这段时间内的平均变化量不同.当tT越大，说明气温的平均变化量越大，所以升温就越快；当tT越小，说明气温的平均变化量小，所以升温就越缓. 四、课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图 (1)(2)所示，试问：(1)甲乙二人哪一个跑得快？ (2)甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快甲乙路程 y 甲乙100m 2030 342102030A(1,3.5) B(32, 18.6) 0C(34, 33.4) T(℃) t(天)2 10 五、课堂小结：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ (1) (2)5 / 5。

变化率问题教学设计一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变；§1.1.1 变化率问题一. 内容和内容解析内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。

本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二.目标和目标解析新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

3．1.1 函数的平均变化率学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．知识点 函数的平均变化率 1．函数的平均变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义， 令Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． 则当Δx ≠0，比值f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．2．平均变化率的实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3．作用：刻画函数在区间[x 0，x 0＋Δx ]上变化的快慢．4．几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率ΔyΔx＝f x 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．1．在平均变化率的定义中，自变量x 的增量Δx ＞0.( × ) 2．对于函数f (x )在区间[x 1，x 2]内的平均变化率也可以表示为f x 2－f x 1x 2－x 1.( √ )3.Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx是f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](Δx ＞0)上的平均变化率，也可以说是f (x )在x ＝x 0处的变化率．( × )题型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近的平均变化率最大？ 考点 题点解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133， k 3＝6＋13＝193，由于k 1<k 2<k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大． 反思感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则ΔyΔx ＝________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 Δx 解析 Δy Δx＝f －1＋Δx －f －1Δx＝－1＋Δx2＋2－1＋Δx －5－－6Δx＝Δx .命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率ΔyΔx .∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2， ∴割线PQ 的斜率k ＝ΔyΔx＝1＋Δx .又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即kP 1P 2＝Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定(2)过曲线y ＝f (x )＝x1－x 图象上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作割线，则当Δx ＝0.5时割线的斜率为________． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 (1)B (2)23解析 (1)设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． (2)当Δx ＝0.5时，2＋Δx ＝2.5， 故－2＋Δy ＝ 2.51－2.5＝－53，故k ＝－53＋22.5－2＝23.题型二 求物体的平均速度例3 一质点做直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s (t )＝t 2＋1，求该质点在t ＝1,2,3附近，Δt ＝13时，平均速度的值，并比较在哪一时刻附近的平均速度最大．解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2，Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt ，将t 0＝1,2,3，Δt ＝13分别代入上式得，当t 0＝1时，平均速度Δs Δt ＝73；当t 0＝2时，平均速度Δs Δt ＝133；当t 0＝3时，平均速度Δs Δt ＝193.由上面的计算知，t ＝3附近的平均速度最大． 引申探究若该质点在2到2＋Δt 之间的平均速度不大于5，则Δt (Δt ＞0)的取值范围是什么？解 s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的位移增量为s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝(t 0＋Δt )2＋1－(t 20＋1)＝2t 0Δt ＋(Δt )2.Δs Δt ＝2t 0Δt ＋Δt 2Δt＝2t 0＋Δt .当t 0＝2时，由题意，得4＋Δt ≤5，得Δt ≤1. 又因为Δt ＞0，故Δt 的取值范围是(0,1]．反思感悟 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率． 跟踪训练3 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1；(2)Δt ＝0.1；(3)Δt ＝0.01. 解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为 v ＝1020＋Δt ＋520＋Δt 2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋5Δt 2Δt＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s)． (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s)． (3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4B ．2C ．0.3D ．0.2 答案 B 解析s 2.1－s 22.1－2＝3＋2×2.1－3＋2×20.1＝2.2．如图，函数y ＝f (x )在1到3之间的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B 解析Δy Δx ＝1－33－1＝－1. 3．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2＋Δx ,6＋Δy )，则Δy Δx 为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx－4 C ．Δx ＋4 D ．4＋Δx －1Δx答案 C 解析 Δy Δx＝f 2＋Δx －f 2Δx＝2＋Δx2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________．答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－1m －1＝28π3. ∴m 2＋m ＋1＝7， ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．一、选择题1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在时间[2，2.1]内的平均速度是( ) A ．4B ．4.1C ．0.41D ．3 答案 B 解析 v ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 但是在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )， 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小． 所以乙厂的治污效果较好．3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及附近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x答案 B解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2Δx 2Δx＝4＋2Δx .4．函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率f x 0＋Δx －f x 0Δx中，Δx 不可能( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0答案 C5．函数y ＝f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( ) A ．Δx ＋2 B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2答案 C 解析 Δy Δx＝f 1＋Δx －f 1Δx＝1＋Δx 2＋1＋Δx －12＋1Δx＝Δx ＋3.6．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( ) A ．k 1＜k 2 B ．k 1＞k 2 C ．k 1＝k 2 D ．无法确定答案 D 解析 k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx＝2x 0－Δx .又因为Δx 可正可负且不为0， 所以k 1，k 2的大小关系不确定．二、填空题7.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________．(用“＜”连接)答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .8．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f t －f －2t －－2＝t 2－t －－22－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，所以t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.9．在曲线y ＝2x 2＋1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1＋Δx ,3＋Δy )，则Δy Δx ＝________.答案 2Δx ＋4 解析 Δy Δx＝21＋Δx 2＋1－3Δx＝2Δx ＋4.10．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为________． 答案 2π＋πΔr解析 当r ∈[1,1＋Δr ]时，圆的面积S 的平均变化率为ΔS Δr ＝π1＋Δr 2－πΔr＝π＋2π·Δr ＋Δr2π－πΔr＝2π＋πΔr . 三、解答题11．过曲线y ＝f (x )＝x 3＋2x 上两点P (1,3)和Q (1＋Δx ，3＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.2时割线的斜率．解 由条件可知，当Δx ＝0.2时，k PQ ＝3＋Δy －31＋Δx －1＝ΔyΔx＝1＋Δx3＋21＋Δx －13＋2×1Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋5＝0.22＋3×0.2＋5＝5.64. 故当Δx ＝0.2时，割线的斜率为5.64.12．若函数f (x )＝－2x 2＋x 在[1,1＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 ∵函数f (x )在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝－21＋Δx2＋1＋Δx－－2＋1Δx＝－3－2Δx∴由－3－2Δx ≤－1，得Δx ≥－1. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞)．13．以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为s (t )＝v 0t －12gt 2(g 为物体的重力加速度)．(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间内的平均速度v ； (2)求物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度． 解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt . 因为Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g (Δt )2，所以v ＝Δs Δt＝v 0Δt －gt 0·Δt －12g Δt2Δt＝v 0－gt 0－12g Δt .(2)当t 0＝10s ，Δt ＝0.4s 时，则物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间内的平均速度v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g .14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月．答案 0.25解析 第二年婴儿体重的平均变化率为 14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．15．若函数y ＝f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围． 解 ∵函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝－2＋Δx2＋2＋Δx －－4＋2Δx＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2. 又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).。

《3.1.1函数的平均变化率》教学案
教学目标：
1.知识与技能
理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
2.过程与方法
通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；
3.情感、态度与价值观
感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力.
教学重点：
平均变化率的模型建立与对平均变化率的实际意义和数学意义的理解
教学难点：
平均变化率的概念与生活现象中模型的形成过程并对此做出数学解释
教学关键：
将学生头脑中的感性认知，通过多个事例，在不同的情境下，进行相同的计算程序.由此学生抽象建构出函数平均变化率的概念.并突出知识产生过程中蕴含的数学思想方法，特别是数形结合的数学能力和“以直代曲”的转化能力.
教学过程：
的方法，可以用比值
引导学生先分析平直山路OA段的斜率表示
山路的陡峭程度；再进一步研究曲线的如何表
①从图象上看，
图象，那一段更“陡峭”？
②如何量化曲线在
结论：平均变化率反映了函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上
问题1：那个企业的治污效果好一些？
结论：曲线越“陡峭”
化率的绝对值越大
例3：如图所示，已知函数在区间[-1，1]上的平均变化率
问题：结合图象分析用
曲线段的陡峭程度是否准确？。

2020年第2期中学数学月刊・1・“平均变化率”的教学设计与反思顾向忠（江苏省启东市汇龙中学226200）作者简介:顾向忠，江苏启东人#994年毕业于扬州大学师范学院，同年（月到江苏省海门师范学校任教,1995年调入启东市汇龙中学工作至今.2016年9月被评为江苏省优秀教育工作者,2017年12月被评为中学正高级教师，主持或参与多项国家级和省级课题研究，发表7篇国家级核心期刊论文,2014年9月获国家级基础教育成果奖二等奖.曾获“一师一优课一课一名师”部级优课、南通市优课评比一等奖.1基本情况1.1授课对象学生来自江苏省首批四星级高中（南通市第中学）普通班，基础较好，有一定的自学能力、抽象能力和直观想象能力.1.2教材分析为《普通高中教科书（数学•选修1-1）第3章“导数及其应用”第1“导数的”的小节“平均变化率”,它是学习“瞬时变化率一一导数”概念的基础,对实际活情景中的变化快慢画和抽象,经历“数学化”的'数的平均变化率，从而和提高学生的数学抽象与直观想象能力.教学目标（1）通际生活背景来构建平均变化率的数学模型，初以直的与的哲学；（2）为建立瞬时变化率和导数的数学模好•教学重｝平均变化率的实际意义与数学意义.教学难｝平均变化率的理解;对生活现象数学•2教学过21创设情境与引出问题•情境）改'情，并引岀“变化”.!为南通市第三中学'，即兴改《大林（花》诗一首'自的“变化”：中''入此中来.（2）通的快慢、树木的快慢、南通气温变化快慢等实际情景（图1）以“视觉化”的变化快慢的，并由刘翔110米的平均的入（图2）.第一第的平均速度？图12•问题问题1从数学学科角度思考，如何刻画铺设的“陡峭”程度？学生自习、讨论，给岀：问题2#”是一活用语，它的数学？（从数与面）问题3量化曲线上升或下降（“数学化”）的？2.2学生活动与师生互动活动预设："如图3曲线上BC之间一乎成了直线，由此联量化直线的倾斜？（2）由点B上升到点C必须考察*—%的大小,但单凭%C—%B的大小能否量化BC段・2・中学数学月刊2020年第2期陡峭的？为什么？还须考察量？(3)在考察y c —的同时必须考察尤c —，函数的本质在于一个量的改变必定相对于(参照于)另一个量的改变而言.2. 3 建构数学(1) 通过比较 在区间:! 32-上的平均变化率0. 5与 在：32, 34-上的平均变化率7. 4,感知平均变化率就 线 的“数量化$而曲线的 平均变化率的“视觉化”•至此，完 平均变化率的定量描 定性描述，进一索平均变化率的(2) 利线图，从数与 面对平均变化率 建构.⑶一般地，函数十(')在区间'1 , '2-上的'2 & '1一要注意平均变化率不能脱离区间而言'二要注意相减顺序统一(( ).'2 & '1以联系直线A#的哪个几何概念？即直线AB 的'A ~'B'2 & '1线的割线AB 的斜率(图4).但是'用平均变化率来量化一线的“粗糙'确的$应注意当'2&'1很小时，这种量化便由“近 ”逼近“精确”.随之而来的便 学习的新数学模型,即瞬时变化率一导数 的建立.2.4 第一次课堂练习教科书第69页练习第1题，力 平均变化 率的 •不妨请学生再举例，如汽车 性能(减肥”快慢效果2. 5 数学应用第一&实际背景)教科书第68页例1、例2,学生自学,教师设问.例1 中 '问题这两个平均变化率的实际意义是？注:一般情况下，曲线在不同区间上的平均变化率 同的例2中(e 近似取2.7182),问题1 平均变化率一0. 316 1(cm 3/s)是否示10 7内每一 器甲中水的体积V 减少的？问题2 平均变化率一0. 316 1(cm 3/s )的实际？问题3 第一个10 s 内，乙容器中水的体积的平均变化率为多少？注:数学中的“平均变化率”可能正,可能负,也可能为零.第 ：(数学内部)教科书第68〜69页例3、例4,学生自学，教师设问.例3 中 '问题四个区间的变化导致平均变化率有 怎样的变化？这种变化的数学？例4 中 '问题1 你在 的 中有没有发现什么？你能解释为 会 这一现象吗？问题2 一次函数y = +' + “在区间［_rn ,0-上的平均变化率有特点？注：一次函数y =+' +〃在区间/, 0-上的平均变化率相应直线的斜率+!2.6 第二次课堂练习计 数的平均变化率:教科书第69页练习第2、第32. 7 课堂小结・平均变化率的理解(1)函数((')在区间:'1 '2-上的平均变'2 &'1学，其中△'是'2相对于'1的一 量,△%是相应函数值的改变量'△y 可正、 可负 '也可为零(2) 平均变化率反映了考察对象在给定一段区间上变化的快慢 ，背景不同' 也不一样.如物体 的平均变化率就是平均 ,婴儿体重的平均 率.函数的平均变化率 这 些实际 中抽象岀来的一个重要数学 •(3) 函数((')的平均变化率的直线AB 的斜率.事实上=—肚'A &'B2020年第2期中学数学月刊•3•=产.根据平均变化率的几何意'2—义,可求解有关曲线割线的斜率.-展望新的问题由于平均变化率只是一种近似刻画，从而有待于进一步精确,随之而来的便是新的数学模型的建立.3 回顾与反思3.1教学设计的立意数学源于生活，但关键是逐步将生活场景“数学化”处理，并挖掘和表述现象背后的数学意义.本节课对概念的构建可以说浓墨重彩，先从人文情景出发，引出“变化”,再围绕课题中的关键词“变化率”，以几个场景彰显“变化”的快慢，以直观想象感知事物的形态与变化•借助实际生活中的空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.为直观感知数学中的“平均变化率”，想象当年飞人刘翔的比赛场景，不难联想到“平均速度”的物理概念，即起步到第一个栏的平均速度，以及栏与栏之间的平均速度，逐步向“平均变化率”过渡•又从气温随时间的变化符合现代函数的定义，抽象到函数图象（气温曲线图）,再自然过渡到具体函数（这里是指有解析式的函数）的“平均变化率”.对数学概念的应用，也是遵循从特殊到一般、从抽象到具体、寻找概念的现实意义和数学意义的联系.以问题开路,以数学概念的形成为载体,培养学生数学抽象和直观想象能力.3.2教学反思（1）概念教学要突出知识的动态生成师生共同经历“变化”到“变化率”，再到“平均变化率”，最后形成数学意义上的平均变化率;情、活场景、景以数学事实“斜率”为突破口，使数学概念得以鲜活生成•如何将研究对象进行“数学化”始终是执教者的首要任务和努力方向，而不是简单地用数学知识去解释现实问题，因为这样做往往会演变成空洞的解题训练•虽然这种训练可以提高形式演绎的能力,但却不能带来真正的理解概念与深入的独立思考•我们需要充分地理解数学是一个有机的整体,数学概念必须抽象化,必须经历一定的与!（2）概念教学要注重问题驱动问题驱动教学法即基于问题的教学方法•这种方法不像传统教学那样先学习理论知识再解决问题•问题驱动教学法是一种以学生为主体，以各种问题为学习起点,以问题为核心规划学习内容,让学生围绕问题寻求解决方案的一种学习方法.教师在此过程中的角色是问题的提出者、设计者以及结果的评估者•问题驱动教学法能够提高学生学习的主动性,提高学生在教学过程中的参与程度，容易激起学生的求知欲,活跃其思维•这种教学方法对教师的要求较高,教师必须具备较强的课堂掌控能力和引导能力.在的题,完成生活“数学化”的过程;在概念的应用阶段又提出八个问题,完成数学“生活化”的过程•（3）概念教学要尊重学生的个体差异笔者认为,尊重学生个体差异,应做到以下几点&）分类要求,不搞一刀切•教师一定要正视学生个体的差异,真正做到面向全体学生，使每个学生都积极主动地投入到课堂学习中去•在备课时,教师应充分考虑学生的差异性,客观地显示优、良、中、差的层次梯度,使困难学生能接受、能消化,使优秀学生能有所收获并能不断地超前发展•其次,作为教师要建立“只有差异,没有差生”的教育观,相信每一个学生•在实际教学中,教师提的问题不宜太多太碎,且要留出充分的时间让学生考虑;不同层次的问题，要抽不同层次的学生回答,使不同层次的学生都能得到心理满足•对发展水平不同的学生，布置作业和辅导时也要实现分层次.2）分类评价,不拔苗助长•对不同层次的学同的求学只有及鼓励，激发和调动学生的学习积极性,保护好学生浓厚的学习兴趣、好奇心、求知欲,要抓住有利时机用语言评价来鼓励学生，让学生在丰富、真切感人的评价语言中受到感染,从而增强必胜的信丿L、. 3）要留足学生自由发展的空间,让学生充分发挥特长•教学中,教师要让学生充分思考，切记满堂灌•课堂上,教师要有控有放,留足学生发展的空间,给学生一片自由的天地,展现智慧的无限潜能•课堂就是一个小小的舞台,它不仅需要教师的精心编导,更需要不同层次的学生齐心协力、尽情发挥,才能演绎不一样的精彩课堂.参考文献[1-单5.普通高中课程标准实验教科书（数学•选修1-1）M.南京:江苏教育出版社,2012.。

《1.1.1函数的平均变化率》教学设计（共1课时，第1课时）【课程标准要求】通过实例理解函数的平均变化率。

【教学目标】1.理解函数平均变化率的概念。

2.会求函数的平均变化率。

3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题。

【学情与内容分析】本节课是湘教版高中数学选择性必修第二册《第一章导数及其应用》的第1节，教材通过学生熟悉的概念平均速度出发，结合两个实例介绍函数在指定区间的平均变化率，并且总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，引导学生掌握求函数平均变化率的一般步骤.教材例题的设计，从直线运动的物体的平均速度到曲线运动的物体的平均速度，从物体的平均速度到一般函数的平均变化率，是一个逐步抽象，由特殊到一般的过程.它是从具体的实际背景出发，到舍去物理背景得到数学对象的过程，不断渗透了数学抽象的素养.新课程标准提出，通过实例分析，学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有极其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础.【教学准备】希沃课件。

【难、重点】重点：理解函数平均变化率的概念．难点：1.会求函数的平均变化率；2.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.【教学过程】通过教材中给出的两个具体例子作为引例，进一步理解平均速度的概念，并且总结概括出一般函数的平均变化率的定义.【引例1】（课本例1）设数轴上的动点P 在任何时刻t 的位置都能用()0.51f t t =+来表示，求该点P 在时间段[],a b 内的平均速度[],a b v . 分析： 计算得到[](),0.510.51()()0.5a b b a f b f a v b a b a+-+-===--，可见，点P 在任意时间段[],a b 内的平均速度都为0.5，所以它做匀速直线运动.作出()0.51f t t =+的图像，可以发现[],0.5a b v =就是图像上两点()()()(),,,A a f a B b f b 之间的线段AB 的斜率.【引例2】（课本例2）某物体做自由落体运动，其运动方程为212s gt =，其中t 为下落的时间（单位：s ），g 为重力加速度，大小为29.8/m s ,求它在时间段[]13，内的平均速度.分析：所求平均速度为(3)(1)219.6(/)31s s g m s -==-例3．在正弦曲线()sin f x x =上取两点()(),()22A f B f ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，求直线AB 的的斜率．分析：直接通过两点坐标运算斜率.解: ()()012222ABf f k ππππππ--===-- 例 4．充满气的气球近似为球体 在给气球充气时，我们都知道，开始充气时，气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来 气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 分析：由生活事实可知，随着气球体积的增大，半径的增长越来越缓慢，引导学生通过平均变化率来描述这一事实.解;设气球的半径为体积为r ，则343V r π=，所以1334V r π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当0.51V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1)(0.5)13 1.50.2610.50.544r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1 1.5V ≤≤时，半径的平均变化率为1133(1.5)(1)1 4.530.181.510.544.r r ππ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=-≈ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上面两个结果，随着气球体积的逐渐增大，气球的半练习 1. 小球在光滑斜面上向下滚动，从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为2()s t at =，求小球在时间段[]22h +，内的平均速度. 练习 2. 已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化（温度不变），下表记录了某温度下，该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度()c t .试根据上表求下列时间段内的平均反应速率 （1）26t ≤≤；（2）24t ≤≤；（3）02t ≤≤.【板书设计】【评价设计】【作业设计】1、完成导学案内容2、教材P5 练习题1，2，3【教学反思】。

函数的平均变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及意义。

2. 让学生掌握计算函数的平均变化率的方法。

3. 培养学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算方法3. 函数的平均变化率在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及计算方法。

2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义及计算方法。

2. 采用案例分析法，分析函数的平均变化率在实际问题中的应用。

3. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高学生的思维能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引出函数的平均变化率的概念。

2. 讲解函数的平均变化率的定义：解释函数的平均变化率的含义，让学生理解其本质。

3. 讲解函数的平均变化率的计算方法：详细讲解如何计算函数的平均变化率，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：给出实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解答，巩固所学知识。

5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。

6. 布置作业：设计适量作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、教学评价：1. 评价学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握程度。

2. 评价学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

3. 评价学生在课堂讨论中的参与度和思维能力的发展。

七、教学反馈：1. 通过课堂提问，了解学生对函数的平均变化率的定义和计算方法的掌握情况。

2. 收集学生提交的作业，评估学生运用函数的平均变化率解决实际问题的能力。

3. 听取学生的课堂反馈，了解学生在讨论中的表现和思维能力的发展。

八、教学拓展：1. 引导学生进一步研究函数的瞬时变化率，探讨其与平均变化率的关系。

2. 引入实际应用案例，让学生了解函数的平均变化率在其他领域的应用。

3.1.1变化率问题教学目标知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学重点：平均变化率的含义教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

教学过程：情景导入：展示目标: 知道平均变化率的定义。

会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。

检查预习:见学案合作探究：探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v粗略地描述其运动状态?交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。

精讲精练：例1过曲线3==上两点(1,1)y f x x()+∆+∆作曲线的割线，求出当0.1P和(1,1)Q x y∆=时割x线的斜率.例2已知函数2=，分别计算()()f x xf x在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001]有效训练练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.反思总结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量（2）计算平均变化率当堂检测1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ）A ．0()f x x +∆B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆ C ．3t +∆ D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____6、已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求xy ∆∆ T(月)6 3 9 12【板书设计】：略【作业布置】：略。

《函数的平均变化率》教学设计一、教学内容分析函数的平均变化率是解决函数问题的直观化工具，它一方面反应函数的增减性质，另一方面也反映函数的变化快慢.并且为我们今后导数相关内容的学习以及物理中的变化率学习奠定基础.本节课首先从物理中的变化率引入数学中的变化率，并首先介绍了直线斜率的定义，然后从直线斜率的角度研究了函数的单调性，并给出平均变化率的定义.引导学生会计算一个函数在相应区间内的平均变化率，并利用函数平均变化率证明函数的单调性，最后引导学生理解从函数平均变化率的角度辨析函数图像的变化快慢, 借助数形结合解决相关问题.培养学生逻辑推理、直观想象、数据分析等核心素养.二、学情分析学生已有的知识结构是对函数的认识有了一定的积累，从生活和与其他学科的交汇中逐步提高了这方面的能力，在物理学中已经学习过加速度的定义（是速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值），抽象概括思想也逐步深入学生心中，转化成了学生自己的知识技能，这些为学好平均变化率奠定扎实的基础．但是由于新教材是在函数单调性这一节给出函数平均变化率的定义，并将函数的平均变化率与单调性联系起来，相关定义和内容较抽象难理解.对于理性思维比较弱的学生，他们极容易在解题时钻牛角尖，因此若能让学生主动参与到平均变化率学习过程中，让学生体会到自己在学“有价值的数学”，就会激发学生的学习数学的兴趣，树立学好数学的自信心.三、设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习实情，函数平均变化率的教学首先要挖掘其知识背景贴近学生实际；其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

四、教学目标知识与技能：1、掌握直线的斜率公式及三点共线的充要条件；2、理解平均变化率的定义并会计算函数在相应区间上的平均变化率；3、会利用函数的平均变化率证明函数的单调性；4、掌握利用平均变化率判断函数图像问题，辨析函数增减快慢.过程与方法：1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想. 情感、态度与价值观：1、感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学语音描述刻画现实世界的过程.五、教学重点与难点教学重点：1.理解并掌握平均变化率的概念．2.会利用函数平均变化率证明函数单调性．教学难点：对生活现象和物理问题如何作出合理的数学阐释，概括抽象函数的平均变化率.六、 教学过程设计 【课前准备】1. 活动准备：常规分组，进行小组教学及学习活动.2. 知识准备：提前预习函数的平均变化率及斜率相关概念.【教学过程】1. 引入课题： 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：以上数据表明，记忆量y 是时间间隔t 的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．提出问题：“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，下降的速度是怎样变化的？ 该怎样用数学语言来刻画函数的变化快慢？ 设计意图：利用熟悉的问题激发学生的兴趣与情感，为平均变化率的自然引入提供契机.2.引入物理中的平均变化率：我们在物理中已经学过：变化率是描述变化快慢的量.例如，速度是用来衡量物体运动快慢的，速度等于位移的变化量与发生这一.x v t∆=∆变化所用时间的比值，即加速度是用来衡量速度变化的快慢，加速度等于速度的变化量与发生这一变化所用时间的比值，即设计意图：从学生们已熟知的物理知识角度事先解释一下平均变化率，一方面可以激发学生们的学习热情，也会让学生们感觉这部分知识不那么陌生. 3. 引入新知： 一、直线的斜率（1）定义：给定平面直角坐标系中的任意两点()1122(,),,A x y B x y ，当12x x ≠时，称2121y y x x --为直线AB 的斜率.（2）若记21x x x ∆=-,相应的21y y y ∆=-,当0x ∆≠时,斜率记为y x∆∆. （3）当12x x ≠时，称直线AB 的斜率不存在．（4）平面直角坐标系中的三点共线,当且仅当任意两点确定的直线斜率都相等或都不存在.例1. 已知直线l 过点()()1,1,2,1M m m N m +-,当m 为何值时，直线l 的斜率为1？ 解析：由211MN m k m -==-+，解得3.2m =变式1. 已知点()()(),5,3,4,3,5A a B C a -在同一条直线上，求实数a 的值. 解析：由AB BC k k =，即12333a a --=---，解得9.a =- 【设计意图】通过题型让同学们熟练掌握斜率公式的应用..v a t ∆=∆二、函数的平均变化率与函数的单调性观察函数图像上任意两点连线的斜率符号与函数单调性之间的关系，并总结一般规律.可以看出，函数递增的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是图像上任意两点连线的斜率都小于0. (1)()y f x =在I 上是增函数的充要条件是0yx∆>∆在I 上恒成立； (2)()y f x =在I 上是减函数的充要条件是0yx∆<∆在I 上恒成立. (3)一般地，当12x x ≠时，称()()2121f x f x y x x x -∆=∆-为函数在区间 [x 1，x 2](x 1＜x 2时)或[x 2，x 1](x 1＞x 2时)上的平均变化率．【设计意图】从斜率的角度得到函数单增和单减的充要条件，并通过数形结合的方式方便大家理解和记忆.例2．如图,函数y ＝f (x )在[1，3]上的平均变化率为( )A ．1B ．-2C ．2 D. -1 答案：D变式 2. 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5,当x 1＝4,且Δx ＝1时,求函数在区间11,x x x ⎡⎤+∆⎣⎦的平均变化率.解析：()()()()()()122121214,1,5.5421.1x x x f x f x f x f x y f f x x x =∆=∴=--∆∴===-=∆-【设计意图】使同学们熟练掌握函数平均变化率的计算.三、利用平均变化率证明函数的单调性例3. 判断函数()1f x x x=+在（0，,+∞）上的单调性.并用平均变化率证明. 解析：任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()212121212112212121121111.x x x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x -+----∆-====-∆---当()12,0,1x x ∈时，有121x x >，从而()0f x x∆<，则()fx 在()0,1上单调递减. 当()12,1,x x ∈+∞时，有121x x <，从而()0f xx∆>，则()fx 在()1,+∞上单调递增.变式3. 已知函数()231x f x x -=+ (1)判断函数()f x 在区间[0，＋∞)上的单调性，并用平均变化率证明其结论．(2)求函数()f x 在区间[2,9]上的最大值与最小值． 解析：(1)任取()12,0,x x ∈+∞，且 12x x ≠，则()()()()()()()()2121212121212121215232311115.11x x x x f x f x f x x x x x xx x x x x x x x ----∆-++++====∆---++当()12,0,x x ∈+∞时，有()0f x x∆>∆恒成立，所以()fx 在()0,+∞上单调递增.(2)由(1)知函数()f x 在区间[2,9]上是增函数，故函数()f x 在区间[2,9]上的最大值为()392f =；最小值为()122f =. 【设计意图】通过题型让同学们感受函数平均变化率对单调性的影响，并会利用函数平均变化率证明函数单调性.【学生活动】学生小组探究，将某个同学的做题过程利用投影进行展示，并让相应同学表达个人想法..四、平均变化率的应用例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y 是时间t 的函数。

函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。

为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。

本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。

这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。

本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。

学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。

且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。

而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。

课题 3.1.1 函数的平均变化率 (2课时) 课型 新教学目标：在本小节的学习中,要了解函数平均变化率,通过不同函数的平均变化率理解函数平均变化率的定义.通过相同函数在不同位置的平均变化率了解0x 和x ∆ 对平均变化率的影响,体验实际生活和数学的联系.体会导数的思想及其内涵.教学重点：函数平均变化率的定义教学难点：函数平均变化的定义的理解教学过程：（师生双边活动）函数的平均变化率(第一课时)【学习目标】1、了解函数平均变化率的概念；2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。

【学习过程】问题思考：某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：问题1：从A 到B 的位移是多少？从B 到C 的位移是多少？问题2：AB 段与BC 段哪一段走的较快？阅读教材P3-4，从数．和形．两方面对平均变化率进行意义建构. 一、函数的平均变化率：函数y=f （x ）在区间[]x x x ∆+00,（0>∆x ）或[]00,x x x ∆+（0<∆x ）的平均变化率二备例 1 求函数2x y =在区间[x x x ∆+00,]（0>∆x ）(或[00,x x x ∆+]（0<∆x ）)的平均变化率，并说明0>x 时，2x y =的图像的变化趋势。

练习1．已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]； （2）[3，5]例2．求函数1y x=在区间00[,]x x x +∆（00x ≠，0>∆x ）的平均变化率.(第二课时)例3．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.例4．试求()f x kx b =+在[x x x ∆+00,]的平均变化率，结合运算结果分析平均变化率与斜率之间的关系。

尝试从以上例题中总结二、函数的平均变化率的几何意义：三、当堂检测：1、在函数变化率定义中，自变量的增量x ∆满足（ ）A 、0<∆xB 、0>∆xC 、0=∆xD 、0≠∆xT(月) W(kg)6 3 9 12 3.56.58.6112、已知的值为时，则在y x x x x f y ∆=∆=+==1.0,2,1)(2（ ）A 、0.40B 、0.41C 、0.43D 、0.44 3、xy x y x y x y x x 14321,3.0132=====∆=）；（）；（）；（）在四个函数：（附近，取在平均变化率最大的是（ ）A 、（4）B 、（3）C 、（2）D 、（1） 4、21121,2,y y x x y x ∆=++∆+∆∆在曲线的图像中一点（，）及邻近一点（）则为（ ）A 、21+∆+∆x xB 、21-∆-∆xx C 、2+∆x D 、xx ∆-∆+12 课本P5练习A 、练习B四、小结：课后反思：本节课主要是学习函数平均变化率的概念,这里要注意(1)函数自变量x 的改变量可以是正数和负数,但不可以是0;(2)函数平均变化率同时受到0x 和x ∆的影响.2 .通过由生活背景的问题转化为函数平均变化率的研究,直观体验化曲为直的数学方法.。

3.1.1平均变化率学案（含答案）3.1导数的概念3.1.1平均变化率学习目标1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负知识点一函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r单位dm与气球空气容量体积V单位L之间的函数关系是rV.思考1当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率是多少答案平均膨胀率为0.62dm/L思考2当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少答案平均膨胀率为.梳理函数yfx在区间x1，x2上的平均变化率为，其中yfx2fx1是函数值的改变量知识点二平均变化率的意义思考如何用数学反映曲线的“陡峭”程度答案如图，表示A，B之间的曲线和B，C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化如用比值近似量化B，C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在xB，xC上的平均变化率梳理平均变化率的几何意义设Ax1，fx1，Bx2，fx2是曲线yfx上任意不同的两点，函数yfx的平均变化率为割线AB的斜率1函数yx21在2,3上的平均变化率是5.2甲.乙二人销售化妆品，从xx年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元因此我们认为乙的经营效果较好3一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率4函数fx在Ax1，y1，Bx2，y2上的平均变化率就是直线AB的斜率类型一求函数的平均变化率例11已知函数fx2x23x5.求当x14，x25时，函数增量y和平均变化率；求当x14，x24.1时，函数增量y和平均变化率.2求函数yfxx2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近的平均变化率最大解1因为fx2x23x5，所以yfx1xfx12x1x23x1x52x3x152x22x1x3x2x24x13x.2x4x13.当x14，x25时，x1，y2x24x13x21921，21.当x14，x24.1时，x0.1，y2x24x13x0.021.91.92.2x4x1319.2.2在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.当x时，k12，k24，k36.由于k1k2k3，所以在x3附近的平均变化率最大反思与感悟求平均变化率的主要步骤1先计算函数值的改变量yfx2fx1；2再计算自变量的改变量xx2x1；3得平均变化率.跟踪训练11如图所示，函数yfx在A，B两点间的平均变化率是________答案解析A1,2，B3,4，x314，y422，A，B两点间的平均变化率为.2已知函数fx53x2，分别计算fx在区间0,1，1,2，，上的平均变化率解fx在0,1上的平均变化率是253.在1,2上的平均变化率是5345319.在上的平均变化率是2.在上的平均变化率是2.类型二平均变化率的应用例2在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h单位m与起跳后的时间t单位s存在函数关系ht4.9t26.5t10.1求运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率；2求高度h在1t2这段时间内的平均变化率解1运动员在第一个0.5s内高度h的平均变化率为4.05m/s.2在1t2这段时间内，高度h的平均变化率为8.2m/s.反思与感悟1结合物理知识可知，在第一个0.5s内高度h的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1t2这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降事实上平均变化率的值可正.可负也可以是0.2平均变化率的应用主要有求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度重量的平均变化率等等解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量跟踪训练2某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，则从出生到第3个月与从第6个月到第12个月体重的平均变化率分别为________千克/月答案1,0.4解析从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为1千克/月从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为0.4千克/月.1一质点运动的方程为S53t2，则在一段时间1,1t内相应的平均速度是________答案3t6解析3t6.2圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________答案0.4解析Sr2，0.4.3如图，函数yfx在A，B 两点间的平均变化率为________答案1解析因为kAB1，由平均变化率的意义知，yfx在A，B两点间的平均变化率为1.4如图，函数yfx在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________答案x3，x4解析由平均变化率的定义可知，函数yfx在区间x1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变化率分别为，，.结合图象可以发现函数yfx的平均变化率最大的一个区间是x3，x45甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲.乙两企业的生产效益设两企业投产前的投资成本都是10万元解甲企业生产效益的平均变化率为.乙企业生产效益的平均变化率为.，甲企业的生产效益较好1准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量y与自变量取值增量x 的比值涉及具体问题，计算y很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法2函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度.平均劳动生产率.面积体积变化率等解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的。

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1.1函数的平均变化率导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【自主学习】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么? ５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？ 【自主检测】1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ． 【典型例题】例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；(2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx；例2．求函数f (x )=3x x +图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【课堂检测】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+（0→∆t ）中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.12 （ ）2. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】定义中的x 1，x 2是指其定义域内不同的两个数，记Δx＝x 2－x 1，Δy＝f(x 2)－f(x 1)，则当Δx≠0时，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝Δy Δx 称作函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率，理解平均变化率应注意以下几点：(1)函数f(x)在x 1，x 2处有定义；(2)x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可正可负；(3)注意变量的对应，若Δx＝x 2－x 1，则Δy＝f(x 2)－f(x 1)，而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；(4)平均变化率可正可负，也可为零．在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

3．1.1 函数的平均变化率[学习目标] 1.通过实例分析、了解函数平均变化率的意义.2.会求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率.3.掌握求函数f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率的方法与步骤．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答：气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V 4π，(1)当V 从0增加到1L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r －r1－0≈0.62(dm/L)．(2)当V 从1L 增加到2L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r －r2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． [预习导引]1．函数的变化率的定义已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，令 Δx ＝x －x 0；Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．则当Δx ≠0，比值f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝ΔyΔx叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 2．平均变化率的计算过程 自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1 ↓函数值的改变量Δy ＝y 2－y 1＝f x 2－f x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 ↓Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1Δx要点一 平均变化率例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当Δx 越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解(1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ，∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (2)再计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.跟踪演练1 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．解 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx 2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.要点二 求物体运动的平均速度例2 以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为：s (t )＝v 0t －12gt 2.(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间的平均速度v ； (2)求物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间的平均速度． 解 (1)由t 0到t 0＋Δt ，则改变量为Δt .Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝Δtv 0－gt 0·Δt －12g (Δt )2.v ＝Δs Δt ＝Δtv 0－gt 0·Δt －12g Δt2Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt .(2)当t 0＝10s 时，Δt ＝0.4s ，则物体在t ＝10s 到10.4s 这段时间的平均速度v ＝v 0－10g －12×g ×0.4＝v 0－10.2g .规律方法 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．跟踪演练2 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt ＝1，(2)Δt ＝0.1，(3)Δt ＝0.01.解 动点在20≤t ≤20＋Δt 时间段内的平均速度为v ＝＋Δt ＋＋Δt 2－10×20－5×202Δt＝210Δt ＋Δt 2Δt ＝5Δt ＋210，(1)当Δt ＝1时，v ＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当Δt ＝0.1时，v ＝5×0.1＋210＝210.5(m/s) (3)当Δt ＝0.01时，v ＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)． 要点三 平均变化率的实际应用例 3 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t ＝0min 到t ＝10min ，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温T (t )对时间t 的变化率．解 (1)ΔT Δt ＝T －T10＝12015＋15－1205－1510＝－1.6℃/min.∴从t ＝0到t ＝10min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min. (2)设时间的增量为Δt ，则体温T (t )的改变量为ΔT ＝T (t ＋Δt )－T (t )＝120t ＋Δt ＋5＋15－120t ＋5－15＝－120Δt t ＋Δt ＋t ＋，∴ΔT Δt ＝－120t ＋Δt ＋t ＋.故体温T (t )对时间t 的变化率为－120t ＋Δt ＋t ＋.规律方法 平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．跟踪演练3 一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数．试求铁板面积对温度的膨胀率． 解 设温度的增量为Δt ，则铁板面积S 的增量ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，∴ΔSΔt＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .故铁板面积对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt.1．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6D ．－3Δt －6 答案 D解析 ∵Δs ＝5－3(1＋Δt )2－(5－3×12)＝－3(Δt )2－6Δt ，∴v ＝ΔsΔt＝－Δt 2－6ΔtΔt＝－3Δt －6.2．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝2(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx＝2Δx ＋4.3．在曲线y ＝x 2＋2的图象取一点(2,3)及邻近一点(2＋Δx,3＋Δy )，则Δy Δx为( )A ．Δx ＋1Δx ＋4B ．Δx －1Δx－4C ．Δx ＋4D ．4＋Δx －1Δx答案 C解析 Δy Δx＝f ＋Δx －fΔx＝＋Δx 2－4Δx＝Δx ＋4.4．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－m －1＝283π.∴m 2＋m ＋1＝7. ∴m ＝2或m ＝－3(舍)．理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f x 0＋Δx －f x 0Δx的形式．(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．。

高二数学高效课堂资料3.1.1 函数的平均变化率【教学目标】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【重点难点】对变化率的理解 【教学方法】自主学习，点拨引导 【教学过程】1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ x 1－x 0 ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) ，则当Δx ≠0时，商f x 0＋Δx －f x 0Δx＝_ΔyΔx ___叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的 平均变化率 ．2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：ΔyΔx＝_____f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1_____表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 斜率 .研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一 函数的平均变化率问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直 线的斜率来量化．如用比值y C －y Bx C －x B近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．【典例剖析】例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为 6.5－3.53－0＝1(千克/月)． 从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为 11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月)． 问题3 平均变化率有什么几何意义？答 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线 y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx为割线AB 的斜率．x 1，x 2是定义域内不同的两点，因此Δx ≠0，但Δx 可正也可负；Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是相应Δx ＝x 2－x 1的改变量，Δy 的值跟踪训练1如图是函数y ＝f (x )的图象，则：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案 (1)12 (2)34探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]． 解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为f 3－f 13－1＝32－122＝4；(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝22－121＝3；3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为f 1.1－f 11.1－1＝1.12－120.1＝2.1；(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为f 1.001－f 11.001－1＝1.0012－120.001＝2.001.小结 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为1－3×1－1－01－0＝－3，自变量x 从m 变到n 时，函数f (x )的平均变化率为1－3n －1－3mn －m＝－3.问题 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？ 答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值． 探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间 t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？ 解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 则s 1t 0－s 10t 0<s 2t 0－s 20t 0，所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．小结 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．【随堂练习】甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为105×12＝1060＝16(万元/月)，乙赚钱的平均速度为25(万元/月)．所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 __－9 ________．解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为f 2－f 12－1＝5－3×22－5－31＝－9.2．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为__2______． 3. 甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____． 解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt ，所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．【课堂小结】1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1.【作业】课后习题A 组1.2第一章 导数第1节 函数的平均变化率、瞬时速度与导数的概念【使用说明及学法指导】利用15分钟先精读一遍教材选修2-2 P3—P9，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。