层次分析法建模的使用

第八章 层次分析法建模
在生产实践甚至日常生活中，常常会遇到这样一类决策问题，通常有多而有限种可供选择（典型的）的方案，但对一个方案的评价却需要考虑多方面的因素，这些方案本身以及影响因素的重要性、优先程度往往难以量化，人的主观选择会起着相当主要的作用。

这方面的例子很多，小到像城市居民购房、学生毕业时职业的选择，大到像三峡工程、南水北调过程等这样巨大建设项目的立项以及在立项后多种设计方案的取舍等。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process ）是T.L. Saaty 等人在二十世纪七十年代提出的一种系统化、层次化的分析方法，其方法思想朴素，但却能很有效的整合那些影响一个复杂决策系统的因素和数据信息。

在诸如资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解等领域得到广泛的应用。

§8.1 方法的思想原型
一． 成对比较矩阵和权向量
原型一、设有)2(≥n n 篮子苹果，你可以择其多者拿走。

问题是如何评估几篮子苹果的多少呢？
我们很自然能够想到用称来称量，这时直接给出的是n 篮子苹果的重量
()T
n x x x x Λ
21,=。

如果仅仅局限于所关心几篮子苹果多少的比较，将X 进
行归一化处理是有益的，不妨记
()T
n
i i n n i i n i i T
n x x x x x x w w w w ⎪⎭
⎫ ⎝⎛==∑∑∑===1121121//,/,ΛΛ
，若已知某
5.0≥i w ，则第i 篮子苹果肯定是最多的；若已知某n w i /1≥，则第i 篮子苹果肯定不是最少的。

称n 维向量()T
n w w w w Λ
21,=为一个权向量，若0≥i w ，且11
=∑=n
i i w 。

它通常被用来描述多个被比较对象的重要性或优劣程度，这时称)..1(n i w i =为第i 个被比较对象的权重。

我们还可以给出另外一种形式来描述n 个被比较对象的重要性的基础数据：n n ij a A ⨯=)(，分量)
..1,(n j i a ij =表示，相对于第j 个对象，第i 个对象的重要性
程度。

这时称A 为成对比较矩阵。

因为分量)
..1,(n j i a ij =仅涉及i 、j 两个对象的比较，它可以最大限度的排除其它因素的影响，使那些只适于依靠主观判断以给出其重要性的一个大致性数量指标成为可能。

回到“原型一”，()T
n w w w w Λ21,=、n n ij a A ⨯=)(分别表示n 篮子苹果的权向量与成对比较矩阵，理想的情形应有：j
i ij w w a /=。

这时成对比较矩阵n
n ij a A ⨯=)(满足：
1）非负性：)
..1,(0n j i a ij =>；
2）互反性：)
..1,(1n j i a a ji ij ==⋅，特别)..1(1n i a ii ==； 3）一致性：
)
..1,,(/n k j i a a a jk ik ij ==。

显然一致性比互反性更强，在对复杂决策系统的多个设计方案进行优化决策时，构造的成对比较矩阵通常很难满足一致性，而互反性却会被很自然的满足。

称一个满足非负性、互反性的矩阵为正互反矩阵，称一个满足非负性、一致性的矩阵为一致阵。

定理：设n
n ij a A ⨯=)(是一个一致阵，则： 1）A 的秩等于1，0是它的1-n 重特征值；
2）n 是A 的另外一个特征值，且A 的任何一个列向量均为它对应特征值n 的特征向量。

结合前面的讨论，不难发现权向量与一致阵之间的一一对应关系。

定理：设n
n ij a A ⨯=)(是一个正互反矩阵，则：
1）对A 的所有特征值按模取最大的，必对应一个一重的正的特征值，不妨以*
λ记之；
2）A 的对应特征值*λ的特征向量的所有分量的正负一致，不妨以*
w 表示A 的
对应特征值*
λ的符合归一化条件的特征向量，则*lim w e
A e e
A k T k k =∞→，这里
n T R e ∈=)11,1(Λ；
3）n ≥*λ，且当且仅当A 是一致阵时，n =*
λ。

准确理解该定理应做到如下几点： 其一，该定理事实上给出了数值求解一个正互反矩阵最大正特征值以及相应特征向量的一个算法，称之为幂法，描述如下： 幂法：
步1：给定精度要求0>ε，e w n ⋅=1
；
步2：计算Aw w
=~，)..1(/~n i w w i
i
i
==λ，}..1|{max
n i Max i
==λλ，}..1|{min n i Min i ==λλ，w w
e w T ~~1⋅⋅=
； 步3：若ελλ>-min max ，转步2；否则，以2/)(min max λλλ+=、w 为A 的最大
正特征值以及相应特征向量，停。

其二，它提供了一个评价正互反矩阵一致性程度的指标，即以*
λ与n 的差来判断，后面专门讨论。

二． 成对比较矩阵的构造
就成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(的构造，Saaty 建议ij a
在数字1~9及其倒数中取值，这是综合考虑人们的经验与认知局限、方法的实用性，甚至还包括心理学研究的成果等因素给出的。

当然将比较的量度幅值限制在1/9~9，这是因为超过这个范围之外的两个对象或方案本质上不具有可比性，那些不具有任何竞争力的方案从一开始就应当被淘汰，以免在方法的应用中被过多的干扰因素所淹没。

下表给出了ij a
取值的标度及其含义：
为了评价一个成对比较矩阵n
n ij a A ⨯=)(一致性程度，Saaty 定义)1/()(*--=n n CI λ为A 的一致性指标，它是A 的除了*λ之外其余1-n 个特征
值平均值的相反数，它越接近0说明A 的一致性越好。

但数值实验表明，成对比较矩阵的一致性指标同样没有将矩阵阶数对它的影响完全排除，为此，Saaty 提出随机一致性指标RI ：对于取定的n ，随机的从数字1~9及其倒数中取值构造大量的成对互反矩阵，计算它们的一致性指标，再取平均值。

当然n 比较小时可以穷举这样的矩阵。

RI 从其数学期望的角度讲，只与数n 有关。

在此基础上定义成对比较矩阵A 的一致性比率CR 如下：
RI CI CR /=
当一致性比率CR 小于某个值（通常取1.0）时，认为所构造的成对比较矩阵具有满意的一致性，否则需要对之进行适当的调整。

三． 组合权向量
原型二：设有2≥m 种水果分装在2≥n 个篮子中，已知n 个篮子中水果的权重向
量()
T
n w w w w )
2()2(2)2(1)2(,Λ=，以及每篮子中各种水果的权重向量()
)..1(,~~,~~)3()3(2)3(1)3(n j w w w w T jm j j j ==Λ，你可以选择其中多的一种水果拿走。

问题是如何估算各种水果的多少呢？
对这个问题，若以
(
)
T
m
w w w w )
3()3(2)3(1)3(,Λ=表示各种水果的权重向量，
不难得到)..1(~~~~1
)3()2()3()2()3(2)2(2)3(1)2(1
)3(m i w w w w w w w w
w
n j ji j ni
n i i i
=⋅=⋅++⋅+⋅=∑=Λ，若记)~~,~(~)3()3(2)3(1)3(n
w w w W Λ=，上述关系式可以表示为)2()3()3(~w W w ⋅=，它时权向量组)..1(,~)3(n j w j =的一个凸组合，称之为组合权向量。

我们可以将该原型推广为一类（完全）层次结构图),(E V G ，它的顶点集V
可以被分为m 组，)()2()1(m V V V V Y ΛY Y =，
)..1}(,{)()
(2)(1)(m i v v v V i n i i i i
==Λ，其中i n 表示i V 中元素（顶点）的个数，特别11=n ；而边集
}..1,..1,1..1|{11)
1()(1+++==-==+n i i i i j i j n j n j m i v v E i i 。

直观上，),(E V G 的顶点分为m 层，相邻的两层间的任意一对点均连边。