专题七-全等三角形的探究题

全等三角形的判定中考题一、已知两个三角形两边及夹角分别相等，根据哪种全等判定定理可以确定这两个三角形全等？A. SSS（三边相等）B. SAS（两边及夹角相等）C. ASA（两角及夹边相等）D. AAS（两角及非夹边相等）（答案：B）二、在△ABC与△DEF中，若∠A=∠D，∠C=∠F，且AC=DF，则依据哪个判定定理可证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：C）三、若△PQR与△STU中，PQ=ST，QR=TU，且∠Q=∠T，但∠Q并非PQ与QR的夹角，则根据哪个判定不能直接证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. ASAD. 以上均不可（答案：D）四、两个三角形中，如果两个角和一条边分别相等，且这条边是这两个角的夹边，应使用哪个全等判定定理？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：C）五、在△ABC与△MNP中，若AB=MN，BC=NP，且∠B=∠N，但∠B不是AB和BC的夹角，则不能直接通过哪个判定证明两三角形全等？A. SSSB. SASC. AASD. 以上都不是直接证明的依据（答案：B）六、若两个三角形的两个角及非夹边分别相等，应依据哪个全等判定定理来确定它们全等？A. SSSB. SASC. ASAD. AAS（答案：D）七、在△XYZ与△LMN中，若XY=LM，YZ=MN，且∠YZX=∠LMN，但∠YZX并非XY与YZ的夹角，则不能直接应用哪个全等判定？A. SSSB. SAS（答案）C. 这种情况无法判定三角形全等D. AAS八、已知△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，若要证明两三角形全等，还需满足以下条件中的哪一个？A. AB=DEB. AC=EF（非夹角对应的边）C. BC=DF（夹角对应的边，即SAS情况）（答案）D. ∠C=∠F（已有两角相等，再加一角无法判定全等）。

三角形全等的判定专题训练题（1）1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。

求证：△ABD ≌△ACD 。

2、如图（2）：AC ∥EF ，AC=EF ，AE=BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

3、 如图（3）：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

4、 如图（4）：AB=AC ，AD=AE ，AB ⊥AC ，AD ⊥AE 。

求证：（1）∠B=∠C ，（2）BD=CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB=CD ，BC=DE 。

求证：AC ⊥CE 。

6、如图（6）：CG=CF ，BC=DC ，AB=ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF=EG ，（2）BF ∥DG 。

7、如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN=BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。

8、如图（8）：A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC=DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。

求证：△ABE ≌△DCF 。

9、如图（9）AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

10、如图（10）∠BAC=∠DAE ，∠ABD=∠ACE ，BD=CE 。

求证：AB=AC 。

11、如图（11）在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC上任一点。

求证：PA=PD 。

12、如图（12）AB ∥CD ，OA=OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE=DF 。

求证：EB ∥CF 。

13、如图（13）△ABC ≌△EDC 。

求证：BE=AD 。

14、如图（14）在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AE 是BC 的中线，过点C 作CF ⊥AE 于F ，过B 作BD ⊥CB 交CF 的延长线于点D 。

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB从D 做辅助线3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

初二物理：全等三角形经典模型及例题详解全等三角形是初中物理中重要的概念之一，它涉及到三角形的形状和属性。

全等三角形意味着两个三角形在形状和大小上完全相同。

在本文档中，我们将详细讨论全等三角形的经典模型以及解决例题的方法。

1. 全等三角形的定义全等三角形的定义是指两个三角形的对应边长和对应角度完全相等。

当两个三角形的全部对应边长和对应角度分别相等时，我们可以说它们是全等三角形。

2. 全等三角形的经典模型在初二物理中，有一些经典的全等三角形模型，它们是我们解决问题时的基础。

- SSS模型：当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的三边长，推导出全等三角形的其他属性。

- SAS模型：当两个三角形的一边和两个对应角相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的一个边和两个对应角，推导出全等三角形的其他属性。

- ASA模型：当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。

我们可以根据给定的两个角和一边，推导出全等三角形的其他属性。

3. 全等三角形的例题详解通过解决一些例题，我们可以更好地理解全等三角形的概念和应用。

例题1：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，BC = EF，∠ABC = ∠DEF。

问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据SSS模型，当两个三角形的三边对应相等时，它们是全等三角形。

根据题目条件，AB = DE，BC = EF，∠ABC =∠DEF，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。

例题2：已知三角形ABC和三角形DEF，它们满足AB = DE，∠ABC = ∠DEF，∠ACB = ∠DFE。

问：是否可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形？解析：根据ASA模型，当两个三角形的两个对应角和一边相等时，它们是全等三角形。

根据题目条件，AB = DE，∠ABC =∠DEF，∠ACB = ∠DFE，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是全等三角形。

七年级数学全等三角形型动点问题专题训练1.如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A=90°，若AB=16厘米，AC=12厘米，BC=20厘米，如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动时间，那么：(1)如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA=AP；(2)如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的1；4(3)如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的1．42.如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．=_________ .(用t的代数式表示)(1)如图1，S△DCP(2)如图1，当t=3时，试说明：△ABP≌△DCP．(3)如图2，当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．3.如图(1)，AB=7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=5cm.点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)，当点P到达点B时，点Q也停止运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1s时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ吗？请说明理由．(2)将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”后得到如图(2)，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．(3)在(2)成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ=______.(直接写出结果)4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm.过点C作直线l⊥BC，动点P从点C开始沿射线CB方向以2cm/s的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1cm/s的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为ts．(1)请写出CP、CQ的长度(用含t的代数式表示)：CP=______cm，CQ=______cm；(2)当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24cm2，求t的值；(3)当t为多少时，△ABP与△ACQ全等？5.如图①，在ΔABC中，AB=12cm，BC=20cm，过点C作射线CD//AB.点M从点B出发，以3cm/s速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD 匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t(s)．(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为_____s；(2)当ΔABM与ΔMCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求a的值；(3)如图②，当点M、N开始移动时，点P同时从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿BA返回．当点M到达点C时，点M、N、P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在ΔPBM与ΔMCN全等的情形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．。

专题07 全等三角形【真题测试】 一、选择题1．（长宁2019期末18）下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（ ） A. 含60︒角的两个直角三角形； B.腰对应相等的两个等腰三角形； C.边长均为5厘米的两个等边三角形； D.一个钝角对应相等的两个等腰三角形. 【答案】C ；【解析】含60度角的两个直角三角形的对应边不一定相等，因此不一定全等，A 错误；腰对应相等的两个等腰三角形的顶角不一定相等，故B 错误；边长为5厘米的两个等边三角形全等，因此C 正确；一个钝角对应相等的两个等腰三角形的对应边不一定相等，因此D 错误；故此题选C.2．（长宁2018期末18）在ABC ∆中，已知点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 与CD 相交于点O ，依据下列各个选项中所列举的条件，不能说明AB=AC 的是（ ） A. BE=CD ，EBC DCB ∠=∠； B. AD=AE ，BE=CD ； C. OD=OE ，ABE ACD ∠=∠； D. BE=CD ，BD ＝CE ．O D C BA E【答案】B ；【解析】 A 、因为EBC DCB ∠=∠，所以OB=OC ，又BE=CD ，故OD=OE ，可证DOB EOC ∆∆≌，得ABE ACD ∠=∠，可得ABC ACB ∠=∠，即得AB=AC ；B 、已知两边及一边的对角对应相等，不一定能得出ABE ACD ∆∆≌，故不一定能得AB=AC ；C 、由OD=OE ，ABE ACD ∠=∠及DOB EOC ∠=∠得DOB EOC ∆∆≌，所以OB=OC ，所以OBC OCB ∠=∠，因此ABC ACB ∠=∠，所以AB=AC ； D 、由BE=CD ，BD ＝CE 胶BC=CB 得出DBC ECB ∆∆≌，所以ABC ACB ∠=∠即AB=AC ；故此题选B.二、填空题3．（普陀2018期末14）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、DB 交于点E ，AB=CD ，AC=DB ，图中全等的三角形共有 对．DC BAE【答案】3;【解析】解：∵AB=CD ，AC=DB ，BC=BC ，∴△ABC ≌△DBC ，∴∠BAC=∠BDC ，∵∠AEB=∠DEC ，AB=DC ，∴△ABE ≌△DEC ，∴BE=CE ，AE=DE ，∵AB=DC ， BD=AC ，AD=AD ，∴△ABD ≌△ADC ，∴图中全等的三角形共有3对，故答案为：34.（松江2018期末16）如图，已知ABC ∆与DEF ∆全等，且724563A B E ∠=︒∠=︒∠=︒、、、BC=10、EF=10，那么D ∠= 度.1045°72°C BA【答案】72；【解析】因为7245A B ∠=︒∠=︒、，所以180724563C ∠=︒-︒-︒=︒，又63E ∠=︒，故E C ∠=∠，又BC=EF=10，依题得ABC DFE ∆∆≌，故72D A ∠=∠=︒.5.（浦东四署2019期末16）如图，ABC DCB ∆∆≌，A 、B 的对应顶点分别为点D 、C ，如果AB=6cm ，BC=12cm ，AC=10cm ，DO=3cm ，那么OC 的长是 cm.OD CBA【答案】7；【解析】因为ABC DCB ∆∆≌，所以AC=BD ，ACB DBC ∠=∠，所以OB=BC ，所以AO=DO=3cm ，所以OC=AC-AO=10-3=7cm. 三、解答题6．（闵行2018期末24）如图，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，且FD ＝ED ，BF ＝CD ，∠FDE ＝∠B ，那么∠B 和∠C 的大小关系如何？为什么？ 解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB ，即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ． 又因为∠FDE ＝∠B （已知）， 所以∠＝∠ ． 在△DFB 和△EDC 中，所以△DFB ≌△EDC ． 因此∠B ＝∠C ．DFBA E【答案与解析】解：因为∠FDC ＝∠B +∠DFB （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即∠FDE +∠EDC ＝∠B +∠DFB ．又因为∠FDE ＝∠B （已知），所以∠DFB ＝∠EDC ． 在△DFB 和△EDC 中，()(FB ED DFB EDC BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知已知)，所以△DFB ≌△EDC （SAS ）．因此∠B ＝∠C ．7.（黄浦2018期末26）如图，在ABC V 中，点D 在AC 边上，AE//BC ，联接ED 并延长交BC 于点F. 若AD=CD ，请说明ED=FD 的理由.DFCB AE【答案与解析】解：如图所示，Q AE//BC ，1,2C E ∴∠=∠∠=∠，在AED CFD ∆∆和中，12C E AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AED CFD ∴∆∆≌（AAS ），ED FD ∴=.21DF CBA E8.（宝山2018期末27）如图，已知点D、E、F分别在AB、BC、CA上，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，ABC∆是等边三角形吗？试说明理由.【答案与解析】解：ABC∆是等边三角形.因为DEF∆是等边三角形，可知60DEF∠=︒（等边三角形每个内角是60︒），因为31DEC DEF B∠=∠+∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），又13∠=∠，所以60B DEF∠=∠=︒（等式性质），同理可证：60,60A C∠=︒∠=︒，所以A B C∠=∠=∠，所以ABC∆是等边三角形（三个内角都相等的三角形是等边三角形）.9.（松江2018期末27）如图，在ABC∆中，已知AB=AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，且BD=CE，BF=CD. （1）说明BDF CED∆∆≌的理由；（2）说明FDE=B∠∠的理由.DFCBAE【答案与解析】（1）因为在ABC∆中，已知AB=AC，所以B C∠=∠，在BDF CED∆∆与中，BF CDB CBD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BDF CED∆∆≌（SAS）；（2）因为BDF CED∆∆≌，所以BFD CDE∠=∠，又FDC B BFD∠=∠+∠，所以FDE CDE B BFD∠+∠=∠+∠，所以FDE B∠=∠.10.（浦东2018期末25）如图，在ABC∆中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD=DE，BF=CD，FDE=B∠∠，那么B C∠∠与的大小关系如何？为什么？【答案与解析】因为FDC B BFD ∠=∠+∠即FDE CDE B BFD ∠+∠=∠+∠，又因为FDE=B ∠∠，所以CDE BFD ∠=∠，在BFD CDE ∆∆与中，BF CD BFD CDE FD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以BFD CDE ∆∆≌（SAS ），所以B=C ∠∠.11．（普陀2018期末25）如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 上，且BD=CE ，∠DEF=∠B ，问：DE 和EF 是否相等？并说明理由．【答案与解析】解：∵∠B=∠C ，∵∠DEF=∠B ，∵∠DEC=∠B +∠BDE （三角形的外角定理）， ∴∠BDE=∠FEC ，在△BDE 与△CEF 中，∵，∴△BDE ≌△CEF （ASA ），得DE=EF ．12．（普陀2018期末26）如图，∠1=∠2，AD=AE ，∠B=∠ACE ，且B 、C 、D 三点在一条直线上． （1）试说明△ABD 与△ACE 全等的理由．（2）如果∠B=60°，试说明线段AC 、CE 、CD 之间的数量关系，并说明理由．【答案与解析】解：（1）理由：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 与△ACE 中，，∴△ABD ≌△ACE （AAS ）；（2）由（1）△ABD ≌△ACE 可得：BD=CE ，AB=AC ，∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∴BD=CE=BC +CD=AC +CD ，即CE=AC +CD ．13.（杨浦2018期末25）如图，已知90,B C AE ED ∠=∠=︒⊥，AB=EC ，点F 是AD 的中点，说明EF AD ⊥的理由.解：AE ED ⊥Q （已知），90AED ∴∠=︒（垂直的意义）， 又90B ∠=︒Q （已知），B AED ∴∠=∠（等量代换）.AEC B BAE ∠=∠+∠Q（）即AED DEC B BAE ∠+∠=∠+∠Q ，DEC BAE ∴∠=∠（等式性质）在ABE ECD ∆∆与中，B CAB EC DEC BAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ABE ECD ∴∆∆≌（ ）AE ED ∴=（ ）Q （已知）EF AD ∴⊥（ ）【答案与解析】解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）；ASA ；全等三角形对应边相等；点F 是AD 的中点；等腰三角形的三线合一.14.（松江2018期末26）阅读并补充完成下列解题过程：如图：用尺规作线段中点的方法，作出了线段AB 的中点C ，请说明这种方法正确的理由. 解：联结AE 、BE 、AF 、BF.在AEF BEF ∆∆与中，(______________)(________EF EF AE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩画弧时所取的半径相等）（画弧时所取的半径相等），所以AEF BEF ∆∆≌（ ）. 所以AEF=BEF ∠∠（ ）.又因为AE=BE ，所以AC=BC （ ）.即点C 是线段AB 的中点.【答案与解析】公共边； AF=BF ；SSS ；全等三角形对应角相等； 等腰三角形的三线合一. 15．（闵行2018期末26）已知∠AOB ＝120°，OC 平分∠AOB ，点P 是射线OC 上一点． （1）如图1，过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，说明PD 与PE 相等的理由；（2）如图2，如果点F 、G 分别在射线OA 、OB 上，且∠FPG ＝60°，那么线段PF 与PG 相等吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，联结FG ，△PFG 是什么形状的三角形，请说明理由．【答案与解析】解：（1）∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC ＝∠BOC ，∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°，在△POD 和△POE 中，90PDO PEO POD POE OP OP ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△POD ≌△POE ，∴PD ＝PE ；（2）相等，理由：如图2，过点P 作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，∴∠PMO ＝∠PNO ＝90°， 同（1）的方法得，PM ＝PN ，在四边形PMON 中，∠MPN ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵∠FPG ＝60°，∴∠FPG ＝∠MPN ，∴∠MPF ＝∠NPG ，在△PMF 和△PNG 中，90FPM NPG PM PN PMF PNG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△PMF ≌△PNG ，∴PF ＝PG ；（3）△PFG 是等边三角形，理由：如图2，连接FG ，由（2）知，PF ＝PG ，∵∠FPG ＝60°， ∴△PFG 是等边三角形．16.（杨浦2019期末30）在ABC ∆中，90,60C BAC ∠=︒∠=︒，ABC ∆绕点C 顺时针旋转，旋转角为(0180)αα︒<<︒，点A 、B 的对应点分别是点D 、E.（1）如图1，当点D 恰好落在边AB 上时，试判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由.（2）如图2，当点B 、D 、E 三点恰好在一直线上时，旋转角α=︒，此时直线CE 与AB 的位置关系是 .（3）在（2）的条件下，联结AE ，设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，则12S S 与的数量关系是 .（4）如图3，当点B 、D 、E 三点不在一直线上时，（3）中的12S S 与的数量关系仍然成立吗？试说明理由.【答案与解析】解：（1）DE//AC. 理由：ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，,A CDE AC DC ∴∠=∠=，60,BAC AC DC ∠=︒=Q ，DAC ∴∆是等边三角形. 60DCA ∴∠=︒. 又60CDE BAC ∠=∠=︒Q ，60DCA CDE ∴∠=∠=︒，DE AC ∴∥.（2）如图4所示：延长EC 交AB 于点F. 由旋转的性质可知：CB=CE ，30CBE E ∴∠=∠=︒.120BCE ∴∠=︒，即旋转角120α=︒，30,30ABC CBE ∠=︒∠=︒Q ，60FBE ∴∠=︒，306090E FBE ∴∠+∠=︒+︒=︒，90BFE EC AB ∴∠=︒∴⊥. 故旋转角120α=︒，EC AB ⊥（3）如图5所示，延长EC 交AB 于点F ，过点D 作DG BC ⊥于G . Q 由（2）可知CE AB ⊥，120BCE ∠=︒，9030CFA BCD ∴∠=︒∠=︒，6030FAC FCA ∠=︒∴∠=︒Q ，30FCA DCG ∴∠=∠=︒. 由旋转的性质可知：AC=CD ，在FCA GCD ∆∆和中，90FCA DCG CFA DGC AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，FCA GCD ∆∴∆≌，AF GD ∴=，又因BC=CE ， 1122EC AF CB DG ∴=g g 即12S S =. （4）12S S =仍然成立；理由：如图6所示：过D 作DH BC ⊥于H ，过A 作AG EC ⊥交EC 的延长线于G.,DH BC AG EC ⊥⊥Q ，90AGC DHC ∴∠=∠=︒，ABC ∆Q 旋转后与DCE ∆全等，90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC=DC ，BC=CE. 180,ACE BCD ∠+∠=︒Q180,GCA ECA ∠+∠=︒Q ACG DCH ∴∠=∠.在AGC DHC ∆∆和中，AGC DHCACG DCHAC DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AGC DHC ∴∆∆≌，AG DH ∴=，1122EC AF CB DG ∴=g g ，即12S S =.。

专题07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B =90°AB ∥DF ，AB =3cm ，BD =8cm ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC ⊥CE ，若AC =CE ,则DE 的长为______.【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC 是边长为2的等边三角形，点P 为直线BC 上的动点，把线段AP 绕A 点逆时针旋转60°至AE ，O 为AB 边上一动点，则OE 的最小值为____．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1)观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．一、选择题1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A 为线段BC 上方的一动点，且满足AC -AB =3，BC =8，若AD 平分∠BAC ，且CD ⊥AD 于点D ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．32．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，D 为AC 中点，P 为AB 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90°得到P ′，连CP′的最小值为（ ）A．1.6 B ．2.4 C ．2 D ．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．52B ．152C ．3D ．125二、填空题4．（2022·全国·八年级）如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AB =6，BC =8，CD =2，点P 为BC 边上一动点，当BP ＝________时，形成的Rt △ABP 与Rt △PCD 全等．5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 __．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．三、解答题7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E ，F 为线段BC 上的两个动点，AE DF ∥，且AE DF CF BE AD ==，，交EF 于点O ．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：点O 是AD 的中点；乙：点O 是BC 的中点；丙：点O 是EF 的中点；丁：AB CD ∥正确的结论是____________；请选择一个你认为正确的结论进行证明；(2)当点E ，F 移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 在AC 上，且AD =6cm ，过点A 作射线AE ⊥AC （AE 与BC 在AC 同侧），若动点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm /s ，设点P 运动时间为t 秒．连接PD 、BD ．(1)如图①，当PD ⊥BD 时，求证：△PDA ≌△DBC ；(2)如图②，当PD ⊥AB 于点F 时，求此时t 的值．9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t （s ）（0<t <3）．解答下列问题：（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；（2）是否存在某一时刻t ，使ABP PCQ ∆∆≌若存在，求出t 的值，并判断此时AP 和PQ 的位置关系；若不存在，请说明理由．10．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．。

专题七几何图形综合题类型一与全等三角形有关的探究(2014·安徽)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P点作PM∥AB交AF于点M，作PN∥CD交DE于点N.(1)①∠MPN＝________°；②求证：PM＋PN＝3a；(2)如图2，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；(3)如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．例1题图【分析】(1)①∵正六边形的每个内角均为120°，且PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM＝∠CPN＝60°，问题解决：②作A G⊥MP交MP于点G，作B H⊥MP交MP 于点H，作D K⊥NP交NP于点K，作C L⊥NP交NP于点L，得GH＝AB＝a，KL＝CD＝a，再利用正六边形内角的关系和性质可求出HP＋PL和MG＋KN的值，再根据PM＋PN＝MG＋GH＋HP＋PL＋LK＋KN计算PM＋PN的值即可证明；(2)根据题意，先证明△O A M≌△OEN，即可证得OM＝ON；(3)先证明△GOE≌△NO D得OG＝ON，再证明△GON和△OMG是等边三角形，得到OM＝MG＝GN＝NO，即可得到四边形OMGN是菱形．【自主解答】【方法点拨】本题是压轴题，综合性较强，每个小问都需作出辅助线，然后利用数形结合、转化思想进行求解，如(1)中的②，将证明PM＋PN＝3a转化为AB ＋CD＋GM＋PH＋PL＋NK＝3a，(3)中将问题转化为证明△MGO与△NGO都为等边三角形，对学生的思维能力要求较高．【难点突破】本题的难点是第(3)问，突破口是作辅助线OE，既可利用(2)的结论及已知推出∠MON＝120°，又可以证明△GOE≌△NO D达到证明OG＝ON的目的，从而使问题解决．1．(2018·阜新)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图1，点E，F在AB，AC上，且∠E DF＝90°.求证：BE＝AF；(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°.①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB＋AN＝2AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长．第1题图2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作等边△ADE(顶点A、D、E按逆时针方向排列)，连接CE.(1)如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD＝CE；②AC＝CE＋CD；(2)如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC＝CE＋CD是否成立？若不成立，请写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系．第2题图3．(2018·长春)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C、D重合)，连接BE.【感知】如图1，过点A作A F⊥BE交BC于点F，易证△AB F≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.(1)求证：BE＝FG.(2)连接CM.若CM＝1，则FG的长为______．【应用】如图3，取BE的中点M，连接CM.过点C作C G⊥BE交AD于点G，连接EG、MG.若CM＝3，则四边形GMCE的面积为______．第3题图类型二与相似三角形有关的探究(2012·安徽)如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC＝a、AC＝b、AB＝c.例2题图(1)求线段BG的长；(2)求证：DG平分∠E DF；(3)连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：B G⊥CG.【分析】 (1)根据△BDG与四边形ACDG的周长相等和D是BC的中点，可知BG ＝AC＋AG.根据等量代换即可求得BG的长．(2)由题可知DF、BF的长，根据等边对等角的性质，可知∠F DG＝∠FG D，由三角形中位线定理可知D E∥AB，根据角的基本运算和角平分线的定义即可得证．(3)根据相似三角形对应角相等的性质和等量代换，可知∠FG D＝∠B，根据等角对等边的性质的等量代换，可知DG＝BD＝CD，根据圆内接三角形的性质，可得B、G、C三点在以BC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角的性质即可证得B G⊥CG.【自主解答】【方法点拨】本题中涉及线段长度的求解有两个思路：一是直接求；二是通过等量代换来求．而证明角平分线常用到角平分线定义或判定定理，证明两直线垂直常用到勾股定理或圆中直径所对的圆周角是直角的性质．【难点突破】结合图形可以发现如果B G⊥CG，则B、G、C三点共圆，故只需证明DG＝BD＝CD即可突破难点．1．(2018·芜湖繁昌县一模)如图1，点D为正△ABC的BC边上一点(D不与点B，C重合)．点E、F分别在边AB、AC上，且∠E DF＝∠B.(1)求证：△BD E∽△CFD；(2)设BD＝a，CD＝b，△BDE的面积为S1，△CDF的面积为S2，求S1·S2(用含a，b的式子表示)；(3)如图2，若点D为BC边的中点，求证：DF2＝EF·F C.2．(2018·安庆二模)在△ABC中．∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点C为等边△DEF 的边DE 的中点．(1)如图1，当DE 与BC 在一条直线上时，已知CF AF ＝12，求EDDB的值；(2)如图2.当DE 与AC 在同一条直线上时，分别连接AF ，BD ，试判断BD 和AF 的位置关系并说明理由；(3)如图3，当DE 与△ABC 的边均不在一条直线上时，分别连接AF ，BD.求证：∠F AC ＝∠CBD.第2题图3．(2018·枣庄)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边上的点E 处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长．第3题图4．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等．．．)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．第4题图理解：(1)如图1，已知Rt△ABC，在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺．．．．．．在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；运用：(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG，若△EFG的面积为23，求FH的长．类型三与全等和相似三角形有关的探究(2017·安徽)已知正方形ABCD，点M为边AB的中点．(1)如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.①求证：BE＝CF；②求证：BE2＝BC·CE.例3题图【分析】(1)①由互余及等量代换可证∠BAE＝∠CBF，再证明△AB E≌△BCF即可得出结论，②由已知先证∠G AM＝∠AGM，再证△C GE∽△CBG，可推CG2＝BC·CE，结合①下面只需证明CF＝CG，BE＝CG.【自主解答】(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan∠CBF的值．【分析】 (2)两个思路：一是延长AE，DC交于点N，先证△C EN∽△BEA，可得B E·CN ＝AB ·CE ，再证FC ＝CN ＝BE ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，而tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求；二是作GN∥BC ，令BE ＝x ，BC ＝1，根据BE 2＝BC ·CE 求出x ，再令MN ＝y ，易得GN ＝2y ，由GN BE ＝AN AB 可求y ，从而GM ＝12＝MA ＝MB ，说明G 点在以AB 为直径的圆上，∴∠AGB ＝90°，由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝BEBC ＝BE 即可求．【自主解答】【方法指导】本题以正方形为载体，往往要用到正方形的直角及边的平行且相等，从而可以应用三角形全等及三角形相似的判定与性质．注意，在这样的压轴题中往往需要作辅助线才可以用上全等或相似．【难点突破】证明BE ＝CF 是本题的关键，第(2)问的突破口是作辅助线并利用相似三角形的性质和M是AB的中点．1．(2018·安徽)如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AC上一点，D E⊥AB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F.(1)求证：CM＝EM；(2)若∠BAC＝50°，求∠EMF的大小；(3)如图2，若△DA E≌△CEM，点N为CM的中点，求证：A N∥EM.2．(2018·庐阳区一模)已知四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作C E⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，连接DF.(1)求证：CD＝CF；(2)连接DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC；(3)若点H 为线段DG 上一点，连接AH ，若∠ADC ＝2∠H AG ，AD ＝3，DC ＝2，求FGGH 的值．第2题图3．(2018·海南)已知，如图1，在▱ABCD 中，点 E 是AB 中点，连接DE 并延长，交CB 的延长线于点 F. (1)求证：△AD E≌△BFE ；(2)如图2，点G 是边BC 上任意一点(点G 不与点B 、C 重合)，连接AG 交DF 于点H ，连接HC ，过点A 作A K∥H C ，交DF 于点K.①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，恰有 HD＝n·HK(n为正整数)，求n的值．第3题图4．(2018·禹会区二模)如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF 与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G.(1)求证：△D OK≌△BOG；(2)求证：AB＋AK＝BG；(3)如图2，若KD＝KG＝2，点P是线段KD上的动点(不与点D、K重合)，PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD＝x，S△PMN＝y，求出y与x的函数关系式．第4题图5．(2018·瑶海区三模)如图1，点O为正方形ABCD的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△E BF的周长等于BC的长．(1)求∠EOF的度数；(2)连接OA、OC(如图2)．求证：△A OE∽△CFO；(3)若OE＝52OF，求AECF的值．第5题图6．(2018·资阳)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD＝CM，D E⊥AB于点E，连接AD、CD.(1)求证：△ME D∽△BCA；(2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△M DE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2＝175S1时，求cos∠ABC的值．第6题图参考答案类型一【例1】 (1)①解：60；②证明：如解图1，作AG⊥MP 交MP 于点G ，作BH⊥MP 交MP 于点H ，作DK⊥NP 交NP 于点K ，作CL⊥NP 交NP 于点L ，PM ＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ， ∵正六边形各个角都等于120°，且PM∥AB，PN∥CD， ∴GH＝AB ＝a ，KL ＝CD ＝a ，且∠BPM＝∠CPN＝60°， ∴HP＝BP·cos 60°＝12BP ，PL ＝PC·cos 60°＝12PC ，∴HP＋PL ＝12(BP ＋PC)＝a2，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，∴四边形ABPM 和四边形CDNP 均为等腰梯形，根据等腰梯形的性质MG ＝HP ，KN ＝LP ，∴MG＋KN ＝HP ＋LP ＝a2，∴PM＋PN ＝MG ＋GH ＋HP ＋PL ＋LK ＋KN ＝a ＋a ＋a 2＋a2＝3a.例1题解图(2)证明：如解图2，连接OE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，且PM∥AB，PN∥CD，则可得四边形ABPM 和四边形CDNP 为等腰梯形，则AM ＝BP ，CP ＝ND ， 又∵BC＝ED ，则AM ＝BP ＝EN ， ∵点O 是AD 的中点，∴OA＝OE ，∠OAM＝∠OEN＝60°， 在△OAM 和△OEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝EN ，∠OAM＝∠OEN，OA ＝OE ，∴△OAM≌△OEN(SAS )．∴OM＝ON ； (3)解：四边形OMGN 是菱形， 理由如下：如解图3，连接OE ，由(2)得△OAM≌△OEN，∴∠AOM＝∠EON， ∵EF∥AD，AF∥OE，∴四边形AOEF 是平行四边形， ∵∠F＝120°，∴∠AOE＝120°，∠DOE＝60°，∵∠AOM＝∠EON，∴∠MON＝120°， ∵OG 平分∠MON，∴∠GON＝∠MOG＝60°， ∵∠GOE＝∠GON－∠EON＝60°－∠EON， ∠NOD＝∠DOE－∠EON＝60°－∠EON， ∴∠GOE＝∠NOD，在△GOE 和△NOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GOE＝∠NOD OE ＝OD∠OEG＝∠ODN， ∴△GOE≌△NOD(ASA )，∴OG＝ON ，∵∠GON＝60°，∴△GON 是等边三角形，∴GN ＝ON ， ∵OM＝ON ，∴OM＝OG ，∵∠MOG＝60°，∴△OMG 是等边三角形， ∴OM＝MG ＝GN ＝NO ， ∴四边形OMGN 是菱形． 针对训练1．证明：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，∴∠B＝∠C＝45°， ∵AD⊥BC，∴BD＝CD ，∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠CAD＝∠B，AD ＝BD ， ∵∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA )， ∴BE＝AF ；第1题解图(2)①证明：如解图，过点M 作MP⊥AM，交AB 的延长线于点P ， ∴∠AMP＝90°，∵∠PAM＝45°， ∴∠P＝∠PAM＝45°， ∴AM＝PM ，∵∠BMN＝∠AMP＝90°， ∴∠BMP＝∠AMN，∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB(ASA )， ∴AN＝PB ，∴AP＝AB ＋BP ＝AB ＋AN ， 在Rt △AMP 中，∠AMP＝90°，AM ＝MP ， ∴AP＝2AM ，∴AB＋AN ＝2AM ； ②解：AM ＝2－63.2．解：(1)∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝BD ＋CD ，AC ＝BC ，∴AC＝CE ＋CD ；(2)AC ＝CE ＋CD 不成立，AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CE －CD. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC ＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE ， ∴C E －CD ＝BD －CD ＝BC ＝AC ， ∴AC＝CE －CD ； (3)补全图形(如解图)，第3题解图AC 、CE 、CD 之间存在的数量关系是：AC ＝CD －CE. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC ＝BC ，AD ＝AE ，∠BAC＝∠DAE＝60°. ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAE，AD ＝AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS )，∴BD＝CE. ∵BC＝CD －BD ， ∴AC＝CD －CE.3．【探究】(1)证明：如解图，过点A 作AH∥GF，交BC 于点H ，则AH ＝FG ，第3题解图∵FG⊥BE，∴AH⊥BE， ∴∠ABE＋∠BAH＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝∠BCE＝90°，AB ＝BC ， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°， ∴∠BAH＝∠EBC. 在△ABH 和△BCE 中，∵∠BAH＝∠EBC，AB ＝BC ，∠ABC＝∠BCE， ∴△ABH≌△BCE(ASA )，∴AH＝BE. 又∵AH＝FG ，∴BE＝FG ； (2)解：FG ＝2. 【应用】S 四边形CEGM ＝9. 类型二【例2】 (1)∵△BDG 与四边形ACDG 的周长相等， ∴BD＋BG ＋DG ＝AC ＋CD ＋DG ＋AG.∵D 是BC 的中点，∴BD＝CD ，则BG ＝AC ＋AG ， ∵BG＋AG ＝AB ，∴BG＝AC ＋AB －BG ， 即BG ＝12(AB ＋AC)＝12(b ＋c)；(2)∵点D 、F 分别是BC 、AB 的中点， ∴DF＝12AC ＝12b ，BF ＝12AB ＝12c.∵FG＝BG －BF ＝12(b ＋c)－12c ＝12b ，∴DF＝FG ，则∠FDG＝∠FGD， ∵点D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE∥AB，故∠EDG＝∠FGD， ∴∠FDG＝∠EDG，即DG 平分∠EDF； (3)当△BDG∽△DFG 时，则∠B＝∠FDG， 由FD ＝FG ＝12b 可得∠FDG＝∠FGD，∴∠FGD＝∠B，故DG ＝BD. ∵BD＝CD ，BD ＝GD ，∴DG＝BD ＝CD ，则B 、G 、C 三点在以D 为圆心、BC 为直径的圆上，故∠BGC＝90°，即BG⊥CG. 针对训练1．(1)证明：在△BDE 中，∠BDE＋∠DEB＋∠B＝180°， 又∵∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∴∠BDE＋∠DEB＋∠B＝∠BDE＋∠EDF＋∠FDC ， ∵∠EDF＝∠B，∴∠DEB＝∠FDC， 又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD；第1题解图(2)解：分别过E ，F 作EG⊥BC 于点G ，FH⊥BC 于点H ，如解图， S 1＝12BD·EG＝12a·BE·sin 60°＝34a·BE，S 2＝12CD·FH＝34b·CF，∴S 1·S 2＝316ab·BE·CF，由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD BE ＝FCCD ，即BE·FC＝BD·CD＝ab ，∴S 1·S 2＝316a 2b 2；(3)证明：由(1)得△BDE∽△CFD，∴BD DE ＝FCDF ，又∵BD＝CD ，∴CD DE ＝FCDF，又∵∠EDF＝∠C＝60°，∴△DFE∽△CFD， ∴EF DF ＝DFFC ，即DF 2＝EF·FC. 2．(1)解：易得DF∥AB， ∵CF AF ＝12，∴CD DB ＝12， ∵ED＝2CD ，∴EDDB的值为1；(2)解：如解图1，连接CF ，延长BD 交AF 于点G ，则BD⊥AF 于G.第2题解图1理由：∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∠ACF＝∠BCD＝90°， ∴AC CF ＝CB CD， ∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD，∵∠BDC＋∠DBC＝90°，∴∠ADG＋∠DAG＝90°， 即BD⊥AF 于G ；(3)证明：连接CF ，如解图2，易得∠FCD＝90°，第2题解图2∵∠FCA＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠FCA＝∠BCD，∵tan 60°＝CF CD ＝ACCB ＝3，∴△ACF∽△BCD，∴∠FAC＝∠CBD.3．(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.由翻折的性质可知GD ＝GE ，DF ＝EF ，∠DGF＝∠EGF， ∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE ＝DF ＝EF.∴四边形EFDG 为菱形； (2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：如解图1所示，连接DE ，交AF 于点O.第3题解图1∵四边形EFDG 为菱形， ∴GF⊥DE，OG ＝OF ＝12GF ，∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA， ∴△DOF∽△ADF.∴DF AF ＝FODF，即DF 2＝FO·AF. ∵FO＝12GF ，DF ＝EG ，∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：如解图2：过点G 作GH⊥DC，垂足为H.第3题解图2∵EG 2＝12GF·AF.AG＝6，EG ＝25，∴20＝12FG·(FG＋6)，整理得：FG 2＋6FG －40＝0. 解得FG ＝4，FG ＝－10(舍去)． ∵DF＝GE ＝25，AF ＝10， ∴AD＝AF 2－DF 2＝45， ∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD. ∴△FGH∽△FAD.∴GH AD ＝FGAF，即GH 45＝410.∴GH＝855.∴BE＝AD －GH ＝45－855＝1255.4．解：(1)如解图1所示(找出D 1，D 2，D 3，D 4中任意3个即可)；第4题解图(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°，∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC.∴△ABD∽△DBC. ∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”； (3)解：∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH 与△HFG 相似．又∠EFH＝∠HFG， ∴△FEH∽△FHG，∴FE FH ＝FHFG .即FH 2＝FE·FG.过点E 作EQ⊥FG，垂足为Q.如解图2， 则EQ ＝FE·sin 60°＝32FE. ∵12FG·EQ＝23，∴12FG·32FE ＝23， ∴FG·FE＝8，∴FH 2＝FE·FG＝8，∴FH＝2 2. 类型三【例3】 (1)证明：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∵∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF；②∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，从而∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG. 由①知，BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE；(2)解：(方法一)延长AE，DC交于点N(如解图1)，例3题解图1 ∵四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.∴∠N＝∠EAB，又∠CEN＝∠BEA，∴△CEN∽△BEA.∴CE BE ＝CN BA ，即BE·CN＝AB·CE，∵AB＝BC ，BE 2＝BC·CE，∴CN＝BE ，由AB∥DN，知CN AM ＝CG GM ＝CF MB .又∵AM＝MB ，∴FC＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，∴BE BC ＝5－12.∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12；(方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC·CE，得x 2＝1·(1－x)．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)，即BE ＝5－12.作GN∥BC 交AB 于点N(如解图2)，则△MNG∽△MBC，例3题解图2∴MN NG ＝MBBC ＝12.∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121， 解得y ＝510，∴GM＝12， 从而GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在以AB 为直径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB＝90°.由(1)知BE ＝CF ，∴tan ∠CBF＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. 针对训练1．(1)证明：∵∠ACB＝90°，点M 为BD 的中点，∴CM＝12BD ，同理EM ＝12BD ， ∴CM＝EM ；(2)解：方法一：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，由(1)得CM ＝DM ＝BM ＝EM ，∴点B ，C ，D ，E 在以点M 为圆心，BD 为直径的⊙M 上，∴∠CME＝2∠ABC＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°；方法二：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，∴∠ABC＝40°，∵DE⊥AB，∴∠CDE＝∠A＋∠DEA＝140°，由(1)得CM ＝DM ＝EM ，∴∠MCD＝∠MDC，∠MED＝∠MDE，∴∠DCM＋∠DEM＝∠MDC＋∠MDE＝140°，∴∠CME＝360°－140°－140°＝80°，∴∠EMF＝180°－80°＝100°.(3)证明：方法一：∵△DAE≌△CEM，∴∠CME＝∠DEA＝90°，DE ＝CM ，AE ＝EM ，又∵CM＝DM ＝EM ，∴DM＝DE ＝EM ，∴△DEM 是等边三角形，∴在Rt △EMF 中，∠EMF＝90°，∠MEF＝∠DEF－∠DEM ＝30°，∴MF EF ＝12，又∵NM＝12CM ＝12EM ＝12AE ，∴FN＝FM ＋NM ＝12EF ＋12AE ＝12(AE ＋EF)＝12AF.∴MF EF ＝NF AF ＝12.∵∠AFN＝∠EFM，∴△AFN∽△EFM，∴∠NAF＝∠MEF，故AN∥EM.方法二：如解图，连接AM ，则∠EAM＝∠EMA＝12∠MEF＝15°，第1题解图∴∠AMC＝∠EMC－∠EMA＝75°，①又∠CMD＝∠EMC－∠EMD＝30°，且MC ＝MD ，∴∠ACM＝12(180°－30°)＝75°.② 由①②可知AC ＝AM ，又N 为CM 的中点，∴AN⊥CM，而EM⊥CM，∴AN∥EM.2．(1)证明：AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC 和△ABC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC ∠DAC＝∠BAC AD ＝AB，∴△ADC≌△ABC(SAS )，∴CD＝CB ，∵CE⊥AB，EF ＝EB ，∴CF＝CB ，∴CD＝CF ；(2)证明：∵△ADC≌△ABC，∴∠ADC＝∠B，∵CF＝CB ，∴∠CFB＝∠B，∴∠ADC＝∠CFB，∴∠ADC＋∠AFC＝180°，∵四边形AFCD 的内角和等于360°，∴∠DCF＋∠DAF ＝180°，∵CD＝CF. ∴∠CDG＝∠CFD，∵∠DCF＋∠CDF＋∠CFD＝180°，∴∠DAF＝∠CDF＋∠CFD＝2∠CDG，∵∠DAB＝2∠DAC，∴∠CDG＝∠DAC，∵∠DCG＝∠ACD，∴△DGC∽△ADC；(3)解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∠CDG＝∠DAC ，CG CD ＝DG AD， ∵∠ADC＝2∠HAG，AD ＝3，DC ＝2，∴∠HAG＝12∠DGC，CG 2＝DG 3， ∴∠HAG＝∠AHG，CG DG ＝23，∴HG＝AG ， ∵∠GDC＝∠DAC＝∠FAG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴GF AG ＝CG DG ＝23，∴FG GH ＝23. 3．(1)证明：在▱ABCD 中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠F，∵E 是AB 的中点，∴AE＝BE ，又∵∠AED＝∠BEF(对顶角相等)，∴△ADE≌△BFE(AAS )；(2)①证明：如解图1，第3题解图1在▱ABCD 中，AB∥CD，AB ＝CD ，∴∠AEK＝∠CDH，∵AK∥HC，∴△AEK∽△CDH.∴AE CD ＝AK CH， 又∵E 是边AB 的中点，∴2AE＝AB ＝CD ，∴HC＝2AK ；②解：当点G 是BC 的中点时，如解图2，第3题解图2在▱ABCD 中，AD∥BC，AD ＝BC ，∴△AHD∽△GHF，∴AD GF ＝HD HF， 由(1)得，△ADE≌△BFE，∴AD＝BF ，又∵G 是BC 的中点，∴2BG＝AD ＝BF ，∴AD GF ＝23，∴HD＝23HF ， 如解图3，第3题解图3∵AD∥FC，∴∠ADK＝∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH＝∠CHK，∴∠AKD＝∠CHF(等角的补角相等)，∴AD CF ＝KD HF ＝12，∴KD＝12HF ，∴HK＝HD －KD ＝16HF ，∴HD HK ＝23HF16HF＝4，∴HD＝4HK ，∴n＝4.4．(1)证明：∵在矩形ABCD 中，AD∥BC，∴∠KDO＝∠GBO，∠DKO＝∠BGO，∵点O 是BD 的中点，∴DO＝BO ，∴在△DOK 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠KDO＝∠GBO，∠D KO ＝∠BGO，DO ＝BO ，∴△DOK≌△BOG(AAS )；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AF 平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠BAF＝∠BFA，∴AB＝BF ，∵OK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK 是平行四边形，∴AK＝FG ，(3)解：如解图，过点G 作GI⊥KD 于点I ，由(2)知，四边形AFGK 是平行四边形，△ABF 为等腰直角三角形．第4题解图∴AF＝KG ＝2，AB ＝22AF ＝2， ∵四边形ABCD 是矩形，∴GI＝AB ＝2，S △KDG ＝12KD·GI＝12×2×2＝ 2. ∵PD＝x ，∴PK＝2－x ，∵PM∥DG，PN∥KG，∴四边形PMGN 是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ，∴S △DPN S △DGK ＝(x 2)2＝x 24，即S △DPN ＝x 24S △DKG ＝24x 2. 同理，S △KPM ＝2（2－x ）24， S ▱PMGN ＝S △DKG －S △DPN －S △KPM ＝2－24x 2－2（2－x ）24. 则S △PMN ＝12S ▱PMGN ＝－24x 2＋22x.(0<x<2) 5．(1)解：如解图，在BC 上取一点G ，使得CG ＝BE ，连接OB 、OC 、OG. ∵点O 为正方形ABCD 的中心，第5题解图∴OB＝OC ，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°. ∴△OBE≌△OCG(SAS )．∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE ＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF 的周长等于BC 的长，∴EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS )．∴∠EOF＝∠GOF＝45°.(2)证明：如解图，∵点O 为正方形ABCD 的中心， ∴∠OAE＝∠FCO＝45°.∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°.∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO.∴△AOE∽△CFO.(3)解：∵△AOE∽△CFO，∴AO CF ＝OE FO ＝AE CO. 即AE ＝OE FO ·CO，CF ＝AO÷OE FO. ∵OE＝52OF ，∴OE FO ＝52. ∴AE＝52CO ，CF ＝25AO. AE 56．(1)证明：∵MD∥BC，∴∠DME＝∠CBA， ∵∠ACB ＝∠MED＝90°，∴△MED∽△BCA；(2)证明：∵∠ACB＝90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB＝MC ＝AM ，∴∠MCB＝∠MBC，∵∠DMB＝∠MBC，∴∠MCB＝∠DMB＝∠MBC， ∵∠AMD＝180°－∠DMB，∠CMD＝180°－∠MCB－∠MBC＋∠DMB＝180°－∠MBC， ∴∠AMD＝∠CMD，在△AMD 与△CMD 中，⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD≌△CMD(SAS )；(3)解：∵MD＝CM ，∴AM＝MC ＝MD ＝MB ，∴MD＝12AB.由(1)可知：△MED∽△BCA，∴S 1S △ACB＝(MD AB )2＝14，∴S △ACB ＝4S 1，∵CM 是△ACB 斜边AB 上的中线，∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1，∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1，∵S 1S △EBD ＝ME EB ，∴S 125S 1＝ME EB ， ∴ME EB ＝52， 设ME ＝5x ，EB ＝2x ， ∴MB＝7x ，∴AB＝2MB ＝14x ， ∵MD AB ＝ME BC ＝12，7x 14x ＝5x BC ， ∴BC＝10x ，∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.。

探究题讲练类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（）A．330°B．315°C．310°D．320°2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．683.如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P(4,4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B。

（1）求OA+OB的值；（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值；类型2.线段间的数量关系基础练习1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．3.如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．例1.已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC （或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．：例2.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN）绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时（如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．例3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．练习.已知：△ABC中，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：BE+FC＞EF．例4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE ______CF；EF __________|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件_________________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．例5．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．（1）求图①中，∠APD的度数______________；（2）图②中，∠APD的度数为______________，图③中，∠APD的度数为________________；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．练习：1．（1）已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；（2）如图②，在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为______________；∠APB的大小为______________；．（1）若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是____________；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；例7．如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？。

专题4.17 探索三角形全等的条件（HL ）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，AC AD =，则判定Rt Rt ABC ABD ≌的依据是（ ）A ．SASB ．SSSC ．HLD ．无法确定2．如图，在ABC 中，90C ∠︒＝，DE AB ⊥于点D ，BC BD ＝，若8AC ＝cm ，则AE DE +的值为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm3．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（ ） A ．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B ．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D ．两个面积相等的直角三角形全等4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD ＝BDB ．BD ＝CDC ．⊥BAD ＝⊥CADD ．⊥B ＝⊥C5．如图，AC BC ⊥，AD BD ⊥，垂足分别是C ，D ，AC BD =，32CBA ∠=︒，则CAD ∠等于（ ）A ．32︒B ．58︒C ．24︒D ．26︒6．已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程： ⊥⊥⊥BED ＝⊥CFD ＝90°， ⊥⊥()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△． ⊥⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF=⎧⎨=⎩， 证明步骤正确的顺序是（ ） A ．⊥→⊥→⊥→⊥ B ．⊥→⊥→⊥→⊥ C ．⊥→⊥→⊥→⊥D ．⊥→⊥→⊥→⊥7．如图，在ABC 中，BE AC ⊥于点E ，AF 分别交BE ，BC 于点F ，D ，AE BE =，若依据“HL ”说明AEF BEC ≌，则下列所添条件合理的是（ ）A ．EF CE =B ．AFEC ∠=∠C ．BD AD ⊥D ．AF BC =8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）A ．1.2B ．1.5C ．2.5D ．39．如图，BD=CF ，FD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BE=CD ，若⊥AFD=135°，则⊥EDF 的度数为（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．65°10．如图，在⊥ABC 中， AC ＝BC ，过点 B 作射线 BF ，在射线 BF 上取一点 E ，使得∠CBF ＝∠CAE ，过点C 作射线 BF 的垂线，垂足为点 D ，连接 AE ，若 DE ＝1，AE ＝4 ， 则 BD 的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题11．如图，AB BC AD DC ⊥⊥，，请你添加一个条件_______，利用“HL ”，证明Rt Rt ABC ADC ≌．12．如图，在Rt ABC 与Rt DEF △中，90B E ∠=∠=，BF CE =，AB DE =，50A ∠=，则DFE ∠=______．13．如图，点D 、A 、E 在直线m 上AB AC =，90BAC ∠=︒，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，且BD AE =，若3BD =，5CE =，则DE =___________．14．如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB 与右边滑梯的高度DE 相等．若右边滑梯与地面的夹角55DFE ∠=︒，则ABC ∠的度数为______°．15．如图，四边形ABCD ，连接BD ，AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，AB ＝CE ，BD ＝CD ．若AD ＝5，CD ＝7，则BE ＝________．16．Rt ⊥ABC 和Rt ⊥DEF 如图放置，其中⊥ACB ＝⊥DFE ＝90°，AB ＝DE 且AB ⊥DE ．若AC ＝6，EF ＝4，CF ＝3，则BD 的长为______．17．如图，四边形ABCD 中，⊥B ＋⊥D ＝180°，AC 平分⊥DAB ，CM ⊥AB 于点M ，若AM ＝4cm ，BC ＝2.5cm ，则四边形ABCD 的周长为_____cm ．18．如图，在Rt ⊥ABC 中，90C ∠=︒，12cm AC =，6cm BC ，一条线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AX 上运动，要使⊥ABC 和⊥QPA 全等，则AP =_____．三、解答题19．如图，已知A 、F 、B 、D 在同一直线上，且AF BD =，90C E ∠=∠=︒，AC DE =，BC 与EF 相交于点O ．(1) 求证：ABC DFE △≌△； (2) 若50D ∠=︒，求COF ∠的度数．20．如图，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北、正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，均以60km/h 的速度沿直线行驶，2小时后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，1小时后同时到达A 、B 两点．(1) 请写出CE 与DF 的数量关系______，AC 与BD 的数量关系______； (2) 由（1）中的结论，试探究CE 与DF 的位置关系，并说明理由．21．如图，已知AD BC 、相交于点O ，AB CD =，AM BC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ，BN CM =．(1) 求证：ABM DCN △≌△；(2) 试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．22．如图，在Rt ABC △和Rt ADE △中，==90?ABF ADE ∠∠，BC 与DE 相交于点F ，且=AB AD ，=AC AE ，连接CD ，EB ．(1) 求证：CAD EAB ∠=∠；(2) 试判断CF 与EF 的数量关系，并说明理由23．如图，在ABC 中，AB AC DE =，是过点A 的直线，BD DE ⊥于D ，CE DE ⊥于点E ；(1) 若B C 、在DE 的同侧（如图1所示）且AD CE =．求证：DAB ECA ∠=∠； (2) 若B C 、在DE 的两侧（如图2所示），其他条件不变，AB 与AC 垂直吗？若垂直请给出证明；若不垂直，请说明理由．24．题提出：学习了三角形全等的判定方法“SSS ”“ SAS ”“ ASA ”“ AAS ”和“HL ”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等．初步思考：他们先用符号语言表示了这个问题：在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠．然后，对B ∠进行分类，可分为“B ∠是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．深入探究：过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整． (1) 第一种情况：当B ∠是直角时，ABC DEF ≅△△．如图1，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，90B E ∠=∠=︒，根据 ，可以知道ABC DEF ≅△△．(2) 第二种情况：当B ∠是钝角时，ABC DEF ≅△△．如图2，在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是钝角，求证：ABC DEF ≅△△．(3) 第三种情况：当B ∠是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等．在ABC 和DEF 中，AB DE =，AC DF =，B E ∠=∠，且B ∠，E ∠都是锐角，请你用尺规在图3中作出DEF ，使DEF 和ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） (4) 在（3）中，B ∠与C ∠的大小关系还要满足什么条件，就可以使ABC DEF ≅△△？请根据以上作图过程直接写出结论．参考答案1．C【分析】由图可得公共边相等，所以全等的条件是两个直角三角形的斜边直角边相等． 解：AC BC ⊥，AD BD ⊥，∴在Rt ABC △和Rt △ABD 中，AC ADAB AB=⎧⎨=⎩ ， ∴Rt Rt ABC ABD ≌（HL ）．故选：C ．【点拨】本题考查了三角形全等的判定，解决本题的关键是找到全等的条件． 2．B【分析】由条件可证明Rt CBE Rt DBE ≌，则可求得DE EC =，可求得答案． 解：⊥DE AB ⊥， ⊥90BDE ∠=︒ ⊥90C BDE ∠=∠=︒， 在Rt CBE 和Rt DBE 中，BE BEBC BD=⎧⎨=⎩ ⊥()Rt CBE Rt DBE HL ≌， ⊥CE DE =，⊥8AE DE AE CE AC cm +=+== 故选：B ．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握HL 证全等及边的转换．3．D【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案． 解：A 、利用AAS 来判定全等，不符合题意； B 、利用SAS 来判定全等，不符合题意； C 、利用HL 来判定全等，不符合题意；D 、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意． 故选：D ．【点拨】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS 、SAS 、AAS 、HL 等．4．A【分析】根据已知和公共边科证明⊥ADB⊥⊥ACD ，则这两个三角形的对应角、对应边相等，据此即可解答．解：⊥AB ＝AC ，AD ＝AD ，AD ⊥BC ， ⊥Rt⊥ADB ⊥Rt⊥ACD （HL ），⊥BD ＝CD ，⊥BAD ＝⊥CAD ，⊥B ＝⊥C （全等三角形的对应角、对应边相等） 故B 、C 、D 一定成立，A 不一定成立． 故选A ．【点拨】本题考查直角三角形全等的判定和性质，解决问题时注意利用已知隐含的条件AD 是公共边．5．D【分析】根据已知条件可以利用HL ，判定Rt Rt ADB BCA △≌△，全等后可得32DAB CBA ∠=∠=︒，再根据直角三角形两个锐角互余，可求得58CAB ∠=︒，进而可求得CAD ∠．解：证明：AC BC ⊥，AD BD ⊥，90D C ∴∠=∠=︒，在Rt ADB 和Rt BCA 中，BD ACAB BA =⎧⎨=⎩， Rt Rt (HL)ADB BCA ∴≌△△，⊥32DAB CBA ∠=∠=︒，在Rt BCA 中，90CAB CBA ∠+∠=︒, ⊥58CAB ∠=︒，⊥583226CAD CAB DAB ∠=∠-∠=︒-︒=︒, 故选：D ．【点拨】本题考查全等三角形的判断定理，HL 定理，根据已知条件求证Rt Rt ADB BCA △≌△是解题关键．6．B【分析】根据垂直定义得出⊥BED =⊥CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 解：证明：⊥DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ⊥⊥BED =⊥CFD =90°， 在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CDDE DF =⎧⎨=⎩， ⊥Rt △DEB ⊥Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点拨】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．7．D【分析】根据“HL ”进行判断即可．解：由题意得，AEF △和BEC 中，有一组直角边对应相等，即AE BE =缺少斜边对应相等，即AF BC =，故选：D ．【点拨】此题主要考查了“HL ”的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法是解答此题的关键．8．A【分析】先证明Rt ACD ⊥()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．解：AD 是ABC 的高，AD BC ∴⊥，ADC BDE 90∠∠∴==︒，在Rt ACD 和Rt BED 中，AC BE AD BD =⎧⎨=⎩， Rt ACD ∴⊥()Rt BED HL ，CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，C CAD 90∠∠+=︒，C EBD 90∠∠∴+=︒，BFC 90∠∴=︒，BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，111AC BF AD BD CD AD 222∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，即10BF 8886112=⨯+⨯=，BF 11.2∴=，EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．9．B【分析】由⊥AFD=135°知⊥DFC=45°，根据“HL”证Rt⊥BDE和Rt⊥CFD得⊥BDE=⊥CFD=45°，从而由⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE可得答案．解：⊥⊥AFD=135°，⊥⊥DFC=45°，⊥DE⊥AB，DF⊥BC，⊥⊥DEB=⊥FDC=90°，在Rt⊥BDE和Rt⊥CFD中，⊥BD CFBE CD=⎧⎨=⎩，⊥⊥BDE⊥⊥CFD（HL），⊥⊥BDE=⊥CFD=45°，⊥⊥EDF=180°﹣⊥FDC﹣⊥BDE=45°，故选B．【点拨】考查全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．B【分析】连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M，从而易得⊥CDB ⊥⊥CMA，进而根据全等三角形的性质及题意可得CD＝CM ，进而得到Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM，然后问题得解．解：如图，连接CE ，过点C 作CM⊥AE 交AE 延长线于M ．CD⊥BF ，CM⊥AM ，∴∠CDB＝∠M＝90︒，∠CBD＝∠CAM ，CB＝AC ，易证⊥CDB ⊥⊥CMA( AAS ) ，∴ CM＝CD ，BD＝AM ，∠M＝∠CDE＝90︒，CE＝CE ，CD＝CM ，∴ Rt⊥CED ⊥ Rt⊥CEM (HL) ，∴ DE＝EM＝1 ，∴ BD＝AM＝AE +EM＝AE +DE＝1+4＝5 ．故选B ．【点拨】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．11．AB AD =或BC CD =【分析】根据“HL ”定理内容即可进行解答．解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：Rt ABC △和Rt ADC 斜边为公共边，即AC AC =，⊥应添加：AB AD =或BC CD =，故答案为：AB AD =或BC CD =．【点拨】本题主要考查了用“HL ”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”．12．40°【分析】根据HL ，可以证明Rt ABC ≌Rt DEF △，则50D A ∠∠==，再根据余角的性质即可求出DFE ∠的度数．解：在Rt ABC ≌Rt DEF △中，AC DF AB DE =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ABC ≌()Rt DEF HL △⊥50D A ∠∠==，⊥90E =∠，⊥180180509040DFE D E ∠=-∠-∠=--=，故答案为：40°【点拨】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 13．8【分析】根据垂直得到直角三角形，利用HL 判定证明(HL)ADB CEA ∆∆≌，即可得到答案．解：⊥BD m ⊥，CE m ⊥，⊥90BDA CEA ∠=∠=︒，在Rt ADB ∆与Rt CEA ∆中，⊥BD AE AB AC =⎧⎨=⎩， ⊥(HL)ADB CEA ∆∆≌，⊥3BD AE ==，5AD CE ==，⊥8DE AD AE =+=，故答案为：8．【点拨】本题考查直角三角形判定：一条直角边与斜边对应相等三角形全等．14．35【分析】先证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出35DEF ∠=︒即可得到答案．解：由题意得90AB DE BC EF BAC EDF ====︒，，∠∠，⊥()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△，⊥ABC DEF ∠=∠，⊥55DFE ∠=︒，⊥9035DEF DFE ∠=︒-=︒∠，⊥35ABC ∠=︒，故答案为：35．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，证明Rt Rt ABC DEF △≌△，得到ABC DEF ∠=∠是解题的关键．15．2【分析】根据HL 证明Rt Rt ABD ECD ≌，可得5ED AD ==，根据BE BD ED =-即可求解． 解： AB ⊥AD ，CE ⊥BD ，90BAD CED ∴∠=∠=︒，在Rt △ABD 与Rt ECD △中，AB CE BD CD=⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABD ECD ≌，AD ＝5，CD ＝7，∴5ED AD ==，BD =CD ＝7，2BE BD ED ∴=-=故答案为：2【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．16．7【分析】先证明⊥A=⊥D，然后证明Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE得到BC=EF=4，DF=AC=6，即可求出BF=BC-CF=1，则BD=DF+BF=7．解：⊥⊥ACB=90°，⊥⊥A+⊥B=90°，⊥AB⊥DE，⊥⊥B+⊥D=90°，⊥⊥A=⊥D，又⊥⊥ACB=⊥DFE=90°，AB=DE，⊥Rt⊥ACB⊥Rt⊥DFE（HL），⊥BC=EF=4，DF=AC=6，⊥BF=BC-CF=1，⊥BD=DF+BF=7，故答案为：7．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．17．13【分析】过C作CE⊥AD的延长线于点E，由条件可证⊥AEC⊥⊥AMC，得到AE＝AM．证明⊥ECD⊥⊥MBC，由全等的性质可得DE＝MB，BC＝CD，则问题可得解．解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，⊥AC平分⊥BAD，⊥⊥EAC＝⊥MAC，⊥CE⊥AD，CM⊥AB，⊥⊥AEC＝⊥AMC＝90°，CE＝CM，在Rt⊥AEC和Rt⊥AMC中，AC=AC，CE=CM，⊥Rt⊥AEC⊥Rt⊥AMC（HL），⊥AE＝AM＝4cm，⊥⊥ADC ＋⊥B ＝180°，⊥ADC ＋⊥EDC ＝180°，⊥⊥EDC ＝⊥MBC ，在⊥EDC 和⊥MBC 中，DEC CMB EDC MBC CE CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥EDC ⊥⊥MBC （AAS ），⊥ED ＝BM ，BC ＝CD ＝2.5cm ，⊥四边形ABCD 的周长为AB ＋AD ＋BC ＋CD ＝AM ＋BM ＋AE ﹣DE ＋2BC ＝2AM ＋2BC ＝8＋5＝13（cm ），故答案为：13．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握常用的判定方法是解题的关键． 18．12cm 或6cm##6cm 或12cm【分析】当AP ＝12cm 或6cm 时，⊥ABC 和⊥PQA 全等，根据HL 定理推出即可． 解：⊥⊥C ＝90°，AO ⊥AC ，⊥⊥C ＝⊥QAP ＝90°，⊥当AP ＝6cm ＝BC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥QAP 中⊥AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥QAP （HL ），⊥当AP ＝12cm ＝AC 时，在Rt ⊥ACB 和Rt ⊥P AQ 中AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥ACB ⊥Rt ⊥P AQ （HL ），故答案为：12cm 或6cm ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA ，AAS ，SAS ，SSS ，HL ．19．(1) 见分析； (2) 80︒．【分析】（1根据AF BD =，求出AB DF =，运用HL 即可证；（2）结合全等三角形的性质，利用锐角互余和三角形的外角，求解即可．解：（1）证明：AF BD =,AB DF ∴=，90C E ∠=∠=︒，在Rt ABC △与Rt DFE △中，AB DE AC DE =⎧⎨=⎩， ()Rt ABC Rt DFE HL ∴≌ ；（2）()Rt ABC Rt DFE HL ≌，ABC EFD ∴∠=∠，90C E ∠=∠=︒,50D ∠=︒，9040ABC EFD D ∠=∠=-∠=︒，404080COF ABC DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒ ．【点拨】本题考查了全等三角形的证明和性质、直角三角形锐角互余以及三角形的外角；构建线段相等，证明三角形的全等并正确计算时阶梯的关键．20．(1) CE DF AC BD ==， (2) CE DF ∥，理由见分析【分析】（1）根据路程=速度×时间可知，两车速度相同，同时出发，同时到达目的地，则行驶的路程相同，据此即可得到答案；（2）只需要利用HL 证明Rt Rt ACE BDF △≌△，得到=AEC BFD ∠∠，即可证明CE DF ∥．解：（1）解：由题意得，CE DF AC BD ==，，故答案为：CE DF AC BD ==，；（2）解：CE DF ∥，理由如下：在Rt ACE 和Rt BDF △中，AC BD CE DF =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ACE BDF △≌△，⊥=AEC BFD ∠∠，⊥CE DF ∥．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，正确理解题意得到CE DF AC BD ==，是解题的关键．21．(1) 见分析 (2) OA OD =，理由见分析【分析】（1）根据HL 可证明ABM DCN △≌△；（2）根据AAS 证明AMO DNO ≌△△可得结论． 解：（1）证明：⊥BN CM =，⊥BN MN MN CM +=+，即CN BM =，⊥AM BC ⊥，DN BC ⊥，⊥90AMB DNC ∠=∠=︒，在Rt ABM 和Rt DCN △中，AB CD BM CN =⎧⎨=⎩， ⊥()Rt Rt HL ABM DCN ≌△△；（2）解：OA OD =，理由如下：⊥ABM DCN △≌△，⊥AM DN =，在AMO 和DNO 中，AOM DNO AMO DNO AM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥()AAS AMO DNO ≌△△， ⊥OA OD =．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．22．(1) 见分析 (2) CF EF =，理由见分析【分析】（1）利用“HL ”证明Rt Rt ABC ADE △≌△得∠=∠BAC DAE ，继而知BAC DAB DAE DAB ∠-∠=∠-，据此即可得证；（2）根据三角形全等的判定定理证明ADC ABE △≌△，再证明DFC BFE △≌△，根据全等三角形的性质证明即可．（1）解：在Rt ABC △和Rt ADE △中，==AC AE AB AD⎧⎨⎩ ⊥()Rt Rt HL ABC ADE △≌△，⊥∠=∠BAC DAE ，⊥BAC BAD DAE BAD ∠-∠=∠-∠⊥CAD EAB ∠=∠；（2）在ADC △和ABE △中，===AC AE CAD EAB AB AD ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()SAS ADC ABE ≅△△⊥,DC BE ACD AEB =∠=∠又⊥Rt Rt ABC ADE △≌△，⊥ACB AED ∠=∠⊥ACB ACD AED AEB ∠-∠=∠-∠⊥DCF BEF ∠=∠在DFC 和BFE △中===DCF BEF DFC BFE DC BE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩⊥()AAS DFC BFE △≌△，⊥CF EF =．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、AAS 或ASA 以及直角三角形的HL 以及全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．23．(1) 见分析 (2) AB AC ⊥，理由见分析【分析】(1)由已知条件，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌，根据全等三角形的性质即可得解；(2)同(1)，先证Rt ABD Rt CAE ≌，再利用角与角之间的关系求证90BAD CAE ∠+∠=︒，即可证明AB AC ⊥．解：（1）证明：⊥BD DE CE DE ⊥⊥，，⊥90ADB AEC ∠=∠=︒，在Rt ABD △和Rt CAE 中，AB AC AD CE=⎧⎨=⎩， ⊥()Rt ABD Rt CAE HL ≌，⊥DAB ECA ∠=∠；（2）AB AC ⊥，理由如下：同（1）一样可证得Rt ABD Rt CAE ≌，⊥DAB ECA DBA EAC ∠=∠∠=∠，，⊥90CAE ECA ∠+∠=︒，⊥90CAE BAD ∠+∠=︒，即90BAC ∠=︒，⊥AB AC ⊥．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用HL 证明Rt ABD Rt CAE ≌是解题的关键．24．(1) HL (2) 见分析 (3) 见分析 (4) B C ∠>∠【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF即可；（2）先证⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），则AG=DH，再证Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH，的⊥C=⊥F，然后由AAS证明⊥ABC⊥⊥DEF即可；（3）以A为圆心、AC长为半径画弧，交BC于F，得钝角三角形DEF，则⊥DEF和⊥ABC 不全等；（4）利用（3）中方法可得出当⊥B≥⊥C时，则⊥ABC⊥⊥DEF．（1）解：⊥⊥B=⊥E=90°，⊥⊥ABC和⊥DEF是直角三角形，⊥AC=DF，AB=DE，⊥Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF（HL），故答案为：HL；（2）明：如图2，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，过点D作DH⊥FE交FE 的延长线于点H．则⊥AGB=⊥DHE=90°，⊥⊥ABC=⊥DEF，⊥⊥ABG=⊥DEH，⊥AB=DE，⊥⊥AGB⊥⊥DHE（AAS），⊥AG=DH，⊥AC=DF，⊥Rt⊥ACG⊥Rt⊥DFH（HL），⊥⊥C=⊥F，又⊥⊥ABC=⊥DEF，AB=DE，⊥⊥ABC⊥⊥DEF（AAS）；（3）：如图3，⊥DEF即为所求；（4）解：⊥B≥⊥C，理由如下：由图3可知，⊥C=⊥AFC=⊥B+⊥BAF，⊥⊥C＞⊥B，⊥当⊥B≥⊥C时，⊥ABC就唯一确定了，则⊥ABC⊥⊥DEF．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．。

全等三角形难题集锦1.已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥XXX于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。

1）证明BF=AC；2）证明CE=BF/2；3）推导CE与BC的大小关系。

2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF。

1）当点D在边BC上时，证明BD=CF和AC=CF+CD；2）当点D在边BC的延长线上时，AC≠CF+CD，AC、CF、CD之间存在什么数量关系；3）当点D在边BC的延长线上时，补全图形并直接写出AC、CF、CD之间的数量关系。

3.在△ABC中，BC边在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC。

△EFP的边FP也在直线l上，XXX与XXX重合，且EF=FP。

1）通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2）将△EFP沿直线l向左平移到图中的位置时，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明猜想；3）将△EFP沿直线l向左平移到图中的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，猜想并说明BQ与AP的数量关系和位置关系是否仍然成立。

4.△AOB，△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90º。

1）在图1中，证明AC与BD相等且垂直；2）当△COD绕点O顺时针旋转到图2的位置时，AC与BD不相等且不垂直；3）当△COD绕点O顺时针旋转到图3的位置时，AC与BD不相等但仍然垂直。

复“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”XXX是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．解答：1）由已知得，∠QAP=∠BAC。

全等三角形的判定方法50道经典题全等三角形的判定方法是初中数学中重要的一部分，主要包括以下50道经典题目。

1. 如何通过边长判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的三条边对应相等，则它们全等。

2. 如果通过角度判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的三个角度对应相等，则它们全等。

3. 如何通过边角判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形中有一个角相等，并且两边对应相等，则它们全等。

4. 如果两个三角形的底边相等，底边上的高相等，判断它们是否全等。

答：根据边角对应的原理，如果底边和高都相等，则这两个三角形全等。

5. 给定两个相等的边和它们之间的夹角，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据边角对应的原理，如果两个相等的边和它们之间的夹角都相等，则这两个三角形全等。

6. 如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边分别等于另一个三角形的两个角的两边，判断它们是否全等。

答：根据边角边的原理，如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边分别等于另一个三角形的两个角的两边，则这两个三角形全等。

7. 如何通过勾股定理判断两个三角形是否全等？答：如果两个三角形的两条边的平方和相等，则它们全等。

8. 如果两个三角形的一个角相等，并且两边的比例相等，判断它们是否全等。

答：根据角边角的原理，如果两个三角形的一个角相等，并且两边的比例相等，则这两个三角形全等。

9. 如果两个三角形的两个角相等，并且两边的比例相等，判断它们是否全等。

答：根据角角边的原理，如果两个三角形的两个角相等，并且两边的比例相等，则这两个三角形全等。

10. 给定两个相等的边和它们夹角的正弦值，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据正弦定理，如果两个相等的边和它们夹角的正弦值都相等，则这两个三角形全等。

11. 给定两个相等的边和它们夹角的余弦值，判断它们所在的两个三角形是否全等。

答：根据余弦定理，如果两个相等的边和它们夹角的余弦值都相等，则这两个三角形全等。

2021年中考数学复习之专题突破训练《专题七：三角形初步和全等三角形》一、选择题1．如图，要用“HL ”判定Rt ABC ∆和Rt △A B C '''全等的条件是( )A ．AC AC =''，BCBC ='' B ．A A ∠=∠'，AB A B =''C ．AC AC =''，AB A B =''D ．B B ∠=∠'，BC B C =''2．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么1∠等于( )A ．120︒B ．105︒C ．60︒D ．45︒3．下列语句中，正确的是( )A ．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线B ．等腰三角形的对称轴是底边上的高C ．一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D ．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线4．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S ∆=，则CD 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是()A ．CB CD =B ．BCA DCA ∠=∠C ．BAC DAC ∠=∠D ．90B D ∠=∠=︒6．ABC DEF ∆≅∆，下列结论中不正确的是( )A ．AB DE =B ．BE CF =C ．BC EF =D ．AC DE =7．如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD CA =，连接BC 并延长到E ，使CE CB =，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离．我们可以证明出ABC DEC ∆≅∆，进而得出AB DE =，那么判定ABC ∆和DEC ∆全等的依据是( )A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS8．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是( )A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．ASA9．如图所示，在ABC ∆中，AC BC ⊥，AE 为BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，7AB cm =，3AC cm =，则BD 等于( )A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当PCE∆的周长最小时，P点的位置在()A．ABC∆的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处11．如图，已知D、E分别为ABC∆的中线，连接EF，∆的边AC、BC的中点，AF为ABD若四边形AFEC的面积为15，且8∆中AB边上高的长为()AB=，则ABCA．3B．6C．9D．无法确定12．如图，ABC∆中，AD BC⊥，D为BC的中点，以下结论：∆≅∆；ABD ACD=；AB AC∠=∠；B CAD是ABC∆的一条角平分线．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图ABC ∆中，已知D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且4ABC S ∆=，那么阴影部分的面积等于( )A ．2B ．1C ．12D ．1414．如图，将两根钢条AA '、BB '的中点O 连在一起，使AA '、BB '能绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A B ''的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB ∆≅△OA B ''的理由是( )A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS15．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的( )A ．三边高的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边垂直平分线的交点D ．三边中线的交点16．如图，AB DB =，12∠=∠，请问添加下面哪个条件不能判断ABC DBE ∆≅∆的是()A ．BC BE =B ．AC DE =C ．AD ∠=∠D ．ACB DEB ∠=∠17．如图，已知ABC ∆的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC ∆全等的图形是( ) A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有乙D ．只有丙18．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中12∠+∠等于( )A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．225︒19．如图，ABC ∆中，AB AC =，BD CE =，BE CF =，若50A ∠=︒，则DEF ∠的度数是()A ．75︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒20．点D 是在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的中点，点E ，点F 分别是AC ，BC 上的中点，连接DC ，DE ，DF ，那么图中的等腰直角三角形的个数是( )A ．8个B ．7个C ．6个D ．5个21．如图，用三角板作ABC ∆的边AB 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是( )A ．B ．C ．D ．22．如果线段AM 和线段AN 分别是ABC ∆边BC 上的中线和高，那么下列判断正确的是()A ．AM AN >B ．AM ANC ．AM AN <D ．AM AN23．如图，在ABC ∆中，120ACB ∠=︒，4BC =，D 为AB 的中点，DC BC ⊥，则ABC ∆的面积是( )A ．16B ．163C ．8D ．8324．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF 固定长方形门框ABCD ，使其不变形，这样做的根据是( )A ．两点之间的线段最短B ．长方形的四个角都是直角C ．长方形是轴对称图形D ．三角形有稳定性25．如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，AD 与BE 交于点G ．若6BG =，则(EG = )A ．4.5B ．4C ．3.5D ．326．若一个三角形的两边长分别为3cm 、6cm ，则它的第三边的长可能是( ) A ．2cmB ．3cmC ．6cmD ．9cm27．如图，直线//AB CD ，且AC CB ⊥于点C ，若35BAC ∠=︒，则BCD ∠的度数为()A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．35︒28．如图，在ABC ∆中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，则ADC ∠的度数是()A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒29．如图，若ABC ADE ∆≅∆，则下列结论中一定成立的是( )A ．AC DE =B ．BAD CAE ∠=∠C ．AB AE =D ．ABC AED ∠=∠30．如图，ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=︒，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =，若25BAE ∠=︒，则(ACF ∠= )A ．70︒B ．75︒C ．60︒D ．65︒二、填空题31．一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，32x y -，2x y +，若这两个三角形全等，则x y +的值是 ．32．如图65A ∠=︒，40B ∠=︒，则ACD ∠= ．33．如图，已知ABC ADE ∆≅∆，若7AB =，3AC =，则BE 的值为 ．34．如图，在ABC ∆中，60ACB ∠=︒，75BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，AD 与BE 交于H ，则CHD ∠= ．35．如图，四边形ABCD 中，90ACB BAD ∠=∠=︒，AB AD =，2BC =，6AC =，四边形ABCD 的面积为 ．36．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，CE BD ⊥，交BD 的延长线于点E ，若8BD =，则CE = ．37．如图，在ABC ∆中，ABC ∠，ACB ∠的平分线交于点O ，OD BC ⊥于D ，如果25AB cm =，20BC cm =，15AC cm =，且2150ABC S cm ∆=，那么OD = cm ．38．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是 ．39．若a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且3a cm =，4b cm =，5c cm =，则ABC ∆最大边上的高是 cm ．40．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则123∠-∠+∠= ．41．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有 对．42．如图，面积为212cm 的ABC ∆沿BC 方向平移至DEF ∆位置，平移的距离是BC 的三倍，则图中四边形ACED 的面积为 ．43．如图，点G 是ABC ∆的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，过点G 作//GE BC 交AC 于点E ，如果6BC =，那么线段GE 的长为 ．44．如图，点D 在线段BC 上，AC BC ⊥，8AB cm =，6AD cm =，4AC cm =，则在ABD ∆中，BD 边上的高是 cm ．45．如图，12//l l ，//AB CD ，2BC CF =．若CEF ∆的面积是5，则四边形ABCD 的面积是 ．46．如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是 ．47．在ABC ∆中，30A ∠=︒，C ∠为钝角，若6AB =，BC 边长为整数，则BC 的长为 ． 48．如图，已知ABC ∆中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，DE ，180C AED ∠+∠=︒，请你添加一个条件，使BDE BDC ∆≅∆，你所添加的条件是 ．49．如图，ABC DEC ∆≅∆，点E 在边AB 上，76DEC ∠=︒，则BCE ∠的度数是 ．50．如图，在正方形网格中，123∠+∠+∠= ．51．如图，在ABC ∆中，100ABC ∠=︒，ACB ∠的平分线交AB 边于点E ，在AC 边取点D ，使20CBD ∠=︒，连接DE ，则CED ∠的大小= 在ABC ∆中，4AB =，60C ∠=︒，A B ∠>∠，则BC 的长的取值范围是 ．53．如图所示的网格是正方形网格，A ，B ，C ，D 是网格线交点，则ABC ∆的面积与ABD ∆的面积的大小关系为：ABC S ∆ ABD S ∆一副直角三角板按如图所示放置，其中90C DFE ∠=∠=︒，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上，点D 在AC 上，AB 与DF 相交于点O ．若//DE CF ，则BOF ∠等于 ．55．如图，ACD ∠是ABC ∆的一个外角，CE 平分ACD ∠，若60A ∠=︒，40B ∠=︒，则DCE ∠的大小是 度．三、解答题56．如图，在ABC ∆中()AC AB >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC ∆的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长．57．已知22a m n =+，2b m =，c mn =，且0m n >>．比较a ，b ，c 的大小；请说明以a ，b ，c 为边长的三角形一定存在．58．已知：如图，AD 是ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．59．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G 是ABC ∆的重心．求证：3AD GD =．60．如图，ABC ∆中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，50CAB ∠=︒，60C ∠=︒，求DAE ∠和BOA ∠的度数．61．如图，已知ABC ∆．若4AB =，5AC =，则BC 边的取值范围是 ；点D 为BC 延长线上一点，过点D 作//DE AC ，交BA 的延长线于点E ，若55E ∠=︒，125ACD ∠=︒，求B ∠的度数．62．如图所示，有一池塘，要测量池塘两端A 、B 的距离，请用构造全等三角形的方法，设计一个测量方案，并说明测量步骤和依据．63．如图，点C、E分别在直线AB、DF上，小华想知道ACE∠是否互补，但是∠和DEC他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF 的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，他发现EO BO=，因此他得出结论：ACE=．小华的想法对吗？为什∠和DEC∠互补，而且他还发现BC EF么？64．已知：如图，在ABC∆中，80B∠，60∠=︒；BAC∠=︒，AD BC⊥于D，AE平分DAC 求AEC∠的度数．65．如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB CF=，⊥于B，DE CF⊥于E，AC DF =．求证：CE BFAB DE=．66．已知：如图，D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，62A∠=︒，∠=︒．求：ABE35∠=︒，20ACD∠的度数；BDC∠的度数．BFD67．如图，在ABC∆中，AB AC=，G=，D，E，F分别在三边上，且BE CD=，BD CF为EF的中点．若40∠的度数；∠=︒，求BA试说明：DG垂直平分EF．68．如图，在ABC⊥，垂足为F．∆中，CD AB⊥，垂足为D，点E在BC上，EF ABCD与EF平行吗？请说明理由．如果12∠=∠，且3115∠=︒，求ACB∠的度数．69．如图，在BCD∆中，4BD=，BC=，5求CD的取值范围；若//BDE∠的度数．∠=︒，求CAE BD，55A∠=︒，12570．如图，在ABC∆中30∠，∠=︒，AD是BC边上高线，AE平分BACBACB∠=︒，110求DAE∠的度数．71．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，DAB∠和BCD∠的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：在图1中，请直接写出A∠、B∠、C∠、D∠之间的数量关系：；仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；图2中，当50D∠=度，40B∠=度时，求P∠的度数．图2中D∠和B∠为任意角时，其他条件不变，试问P∠与D∠、B∠之间存在着怎样的数量关系．．72．如图，在三角形ABC中，10AB cm=，6AC cm=，D是BC的中点，E点在边AB上，三角形BDE与四边形ACDE的周长相等．求线段AE的长．若图中所有线段长度的和是53cm，求12BC DE+的值．73．如图，有一时钟，时针OA长为6cm，分针OB长为8cm，OAB∆随着时间的变化不停地改变形状．求：13点时，OAB∆的面积是多少？14点时，OAB∆的面积比13点时增大了还是减少了？为什么？问多少整点时，OAB∆的面积最大？最大面积是多少？请说明理由．设(0180)BOA αα∠=︒︒，试归纳α变化时OAB ∆的面积有何变化规律74．如图，已知CD 平分ACB ∠，EDC ECD ∠=∠．若30ACD ∠=︒，25B ∠=︒，求BDE ∠度数．75．如图1，ABC ∆与DBC ∆全等，且90ACB DBC ∠=∠=︒，6AB =，4AC =．如图2，将DBC ∆沿射线BC 方向平移得到△111D B C ，连接1AC ，1BD ．求证：11BD AC =且11//BD AC ；DBC ∆沿射线BC 方向平移的距离等于 时，点A 与点1D 之间的距离最小．76．如图，已知B 、D 在线段AC 上，且AD CB =，BF DE =，90AED CFB ∠=∠=︒．求证：AED CFB ∆≅∆．77．同学们小学已经学习了三角形面积计算方法．如图是直角三角形，请你根据图中标注的量，解决下列问题：如图，以BC为底，AC为高，可得三角形ABC的面积为；也可以以AB为底，CD为高，可得三角形ABC的面积为．根据的启示，请列方程求出图中GH的长．78．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE ＝CD．求证：△BDE≌△CFD；若∠A＝80°，求∠EDF的度数；若AB＝AC＝5，BC＝6，AF＝x，BE＝y，请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围．79．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动，连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E．当∠BDA＝120°时，∠EDC＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变；当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数，若不可以，请说明理由．80．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C 走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语．具体信息如下：如图，////AB PM CD ，相邻两平行线间的距离相等．AC ，BD 相交于P ，PD CD ⊥垂足为D ．已知16CD =米．请根据上述信息求标语AB 的长度．。