第一讲 运动的合成与分解 平抛运动

运动的合成和分解·平抛运动【基础知识归纳】一、运动的合成和分解1．运动的独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，互不影响．2．运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量的合成法则．（1）两分运动在同一直线上时，同向矢量大小相加，反向矢量大小相减．（2）两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4—1—1所示．图4—1—1（3）两分运动垂直时或正交分解后的合成a合＝22y xa a+v合＝22y xv v+s合＝2 2y xs s+3．运动的分解：是运动合成的逆过程．分解原则：根据运动的实际效果分解或正交分解．二、曲线运动1．曲线运动的特点：运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向．因此，质点在曲线运动中的速度方向时刻在改变．所以曲线运动一定是变速运动．但是，变速运动不一定是曲线运动．2．物体做曲线运动的条件：从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动．从动力学的角度说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体就做曲线运动．三、平抛运动1．定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动．2．性质：是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．3．处理方法：可分解为（1）水平方向速度等于初速度的匀速直线运动．v x＝v0，x＝v0t．（2）竖直方向的自由落体运动．v y＝gt，y＝21gt2．下落时间t＝gy/2（只与下落高度y有关，与其他因素无关）．任何时刻的速度v及v与v0的夹角θ：v＝22)()(gtv+，θ＝arctan（gt/v0）任何时刻的总位移：s＝22222)21()(gttvyx+=+【方法解析】1．匀变速曲线运动与非匀变速曲线运动的区别：加速度a恒定的曲线运动为匀变速曲线运动，如平抛运动．加速度a变化的曲线运动为非匀变速曲线运动，如圆周运动．2．对运动的合成和分解的讨论（1）合运动的性质和轨迹两直线运动合成，合运动的性质和轨迹由分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定：两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动．一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：二者共线时为匀变速直线运动；二者不共线时为匀变速曲线运动．两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动：当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动．（2）轮船渡河问题的分解方法1：将轮船渡河的运动看做水流的运动（水冲船的运动）和轮船相对水的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动．方法2：将船对水的速度沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解如图4—1—2所示，则v1－v2cosθ为轮船实际上沿水流方向的运动速度，v2sinθ为轮船垂直于河岸方向的运动速度．图4—1—2①要使船垂直横渡，则应使v1－v2cosθ＝0，此时渡河位移最小为d．②要使船渡河时间最短，则应使v2sinθ最大，即当θ＝90°时，渡河时间最短为t＝d/v2．（2）物体拉绳或绳拉物体运动的分解——按运动的实际效果分解．例如，图4—1—3中，人用绳通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，求物体A的速度．图4—1—3首先要分析物体A的运动与人拉绳的运动之间有什么样的关系．物体A的运动（即绳的末端的运动）可看做两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短，绳长缩短的速度即等于v0；二是垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值．这样就可以将v A按图示方向进行分解，很容易求得物体A的速度v A＝cosv．当物体A向左移动，θ将逐渐变大，v A逐渐变大．虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动．在进行速度分解时，要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线．虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，v1才等于v0，才能找出v A与v0的关系，因此，分速度方向的确定要视题目而具体分析．在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出v A＝v0cosθ的错误结果．3．平抛运动中，任何两时刻（或两位置）的速度变化量Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下．如图4—1—4所示．【典型例题精讲】［例1］一艘小船从河岸的A处出发渡河，小船保持与河岸垂直方向行驶，经过10 min到达正对岸下游120 m的C处，如图4—1—5所示．如果小船保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角方向行驶，则经过12.5 min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度．图4—1—5【解析】解决这类问题的关键是画好速度合成的示意图，画图时首先要明确哪是合运动哪是分运动．对本题来讲，AC和AB是两个不同运动过程中船相对于岸的实际运动方向，那么AB和AC就是速度合成平行四边形的对角线．一旦画好平行四边形，剩下的工作就是根据运动的等时性以及三角形的边角关系列方程求解了．设河宽为d，河水流速为v水，船速为v船，船两次运动速度合成如图4—1—6和4—1—7所示第一次渡河与第二次渡河在垂直岸的方向上位移相等，则v船t1＝v船sinαt2①第一次渡河沿水流方向上位移为BC，则BC＝v水t1②由图4—1—7可得船的合速度：v＝v水tanα，所以河的宽度为：d＝v t2＝v水tanα·t2③由①式得sinα＝0.8 故tanα＝34由②式得v水＝12 m/min代入③式可得河宽d＝１2×34×１2.5 m＝200 m【思考】（1）若渡河过程中水流的速度突然变大了，是否影响渡河时间?是否影响到达对岸的地点?（2）如果v船＜v水，小船还能不能到达对岸的B点?这时的最小位移该如何求?【思考提示】（1）水流的速度增大，不影响过河的时间，但影响到达对岸的地点．（2）当v船＜v水时，小船不能到达对岸B点．当v船跟船的合速度垂直时，船过河的位移最小．【设计意图】通过本例说明运动合成与分解的方法，并进一步说明分析小船过河问题的方法．［例2］在高空匀速水平飞行的飞机，每隔1 s投放一物体，则A．这些物体落地前排列在一条竖直线上B．这些物体都落在地面上的同一点C．这些物体落地时速度大小和方向都相同D．相邻物体在空中距离保持不变【解析】这些物体离开飞机后均做平抛运动．在水平方向上，物体与飞机的速度相同，所以所有物体在落地前均处在飞机的正下方．故A选项正确．物体下落的总时间相同，水平方向最大位移也相同，由于不同物体的抛出点不同，所以落地点也不同．故Ｂ选项错．物体落地时的水平分速度v0均相同，竖直分速度v y＝gh2也相同，所以这些物体落地速度的大小和方向都相同．故C选项正确．任两个相邻物体在空中的距离Δh＝h1－h2＝21gt2－21g（t－1）2＝21g（2t－1），即随着t的增大，Δh也逐渐增大．Ｄ选项错．故正确选项为AC【思考】（1）飞机上的人看物体做什么运动?地面上的人又认为物体做什么运动?（2）若某时刻一物体刚离开飞机，试画出此前四个物体的运动轨迹示意图．（3）若物体在落地前的最后10 s内，其速度方向由跟竖直方向成60°变为45°．那么，飞机的高度和速度多大?相邻物体落地点间的距离多大?【思考提示】（1）飞机上的人看物体做自由落体运动，地面上的人看物体做平抛运动．（2）如图a所示．（3）如图b所示．v y1＝v0tan30°v y2＝v0tan45°v y2－v y1＝gΔt求得v0＝236.6 m/s v y2＝v0＝236.6 m/s 飞机的飞行高度为h＝1026.2362222⨯=gvym＝2799 m相邻物体落地点间的距离为236.6 m．【设计意图】复习平抛运动的规律及研究方法．［例3］如图4—1—8所示，排球场总长为18 m，设网的高度为2 m，运动员站在离网3 m远的线上正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出．（g＝10 m/s2）图4—1—8（1）设击球点的高度为2.5 m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界?（2）若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度?【解析】水平击出的排球其运动情况虽然受空气阻力的影响，但是当这类题目出现在中学物理中时仍然可以简化为只受重力做用，因此在这里可以认为其运动为平抛运动．第（1）问中击球点位置确定之后，恰不触网是速度的一个临界值，恰不出界则是击球速度的另一个临界值．第（2）问中确定的则是临界轨迹，当击球点、网的上边缘和边界点三者位于临界轨迹上时，如果击球速度变小则一定触网，否则速度变大则一定出界．（1）如图4—1—9所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ．排球恰不出界时其轨迹为Ⅱ．根据平抛物体的运动规律：x＝v0t和h＝21gt2可得，当排球恰不触网时有：图4—1—9x 1＝3 m x 1＝v 1t 1 ①h 1＝2.5 m －2 m ＝0.5 m ，h 1＝21gt 12② 由①②可得：v 1＝9.5 m/s 当排球恰不出界时有：x 2＝3 m ＋9 m ＝12 m ，x 2＝v 2t 2 ③h 2＝2.5 m ，h 2＝21gt 22④ 由③④可得：v 2＝17 m/s所以既不触网也不出界的速度范围是：9.5 m/s ＜v ≤17 m/s（2） 图4—1—10所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹．设击球点的高度为h ，根据平抛运动的规律则有：图4—1—10x 1＝3 m ，x 1＝v t 1′ ⑤h 1′＝h －2 m ，h 1′＝21gt 1′2⑥ x 2＝3 m ＋9 m ＝12m ，x 2＝v t 2′ ⑦ h 2′＝h ＝21gt 2′2⑧ 解⑤～⑧式可得所求高度h ＝2.13 m ．【说明】 本题涉及的物理过程并不复杂，但每当遇到类似的题目时常常又感到无从下手，因此能养成一个良好的分析问题解决问题的思路特别重要．结合本题的解题过程不难看出，解决本题的关键有三点：其一是确定运动性质——平抛运动；其二是确定临界状态——恰不触网或恰不出界；其三是确定临界轨迹——轨迹示意图．【设计意图】 （1）通过本例说明平抛运动中临界问题的分析方法；（2）练习应用平抛运动规律分析实际问题的方法．【达标训练】【基础练习】1．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是A ．大小相等，方向相同B ．大小不等，方向不同C ．大小相等，方向不同D ．大小不等，方向相同【解析】 平抛运动是匀变速运动，加速度为重力加速度，速度的改变量为Δv ＝gt故平抛运动的物体每1 s 速度的增量大小为9.8 m/s ，方向竖直向下，A 选项正确．【答案】 A2．对平抛运动的物体，若g 已知，再给出下列哪组条件，可确定其初速度大小A ．水平位移B ．下落高度C ．落地时速度的大小和方向D ．落地时位移的大小和方向【解析】 平抛运动的物体水平方向为匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动．已知落地时速度大小和方向，则初速度为落地速度的水平分速度．【答案】 C3．物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切tan α随时间t 变化的图象是如图4—1—11中的图4—1—11【解析】 由下图中可看出平抛物体速度与水平方向夹角α正切即为：tan α＝000,v g t v g v v y为定值，则tan α与t 成正比．【答案】 B4．有关运动的合成，以下说法正确的是A ．两个直线运动的合运动一定是直线运动B ．两个不在一直线上的匀速直线运动的合运动一定是直线运动C ．两个匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动D ．匀加速直线运动和匀速直线运动的合运动一定是直线运动【解析】 判断合运动是直线运动还是曲线运动，依据是物体所受的合外力或物体的合加速度与合速度方向是否在一条直线上．【答案】 B5．甲乙两人在一幢楼的三层窗口比赛掷垒球，他们都尽力沿水平方向掷出同样的垒球，不计空气阻力．甲掷的水平距离正好是乙的两倍．若乙要想水平掷出相当于甲在三层窗口掷出的距离，则乙应A ．在5层窗口水平掷出B ．在6层窗口水平掷出C ．在9层窗口水平掷出D ．在12层窗口水平掷出【解析】 由于h 甲＝h 乙，x 甲＝2x 乙，所以v 甲＝2v 乙；由x ＝v 0t 得为使x 甲′＝x 乙′，须使 t 甲′＝21t 乙′；由h ＝21gt 2得h 甲′＝41h 乙′，故为使甲、乙掷出球的水平距离相等，乙应在12层窗口水平抛出．【答案】 D6．从倾角为θ的足够长的斜面上的A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向左抛出．第一次初速度为v 1，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α1，第二次初速度为v 2，球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面夹角为α2，若v 1＞v 2，则A ．α1＞α2B ．α1＝α2C ．α1＜α2D ．无法确定【解析】 如下图所示，由平抛运动的规律知l sin θ＝21gt 2l cos θ＝v 0t 解得:t ＝g vtan 20由图知tan （α＋θ）＝00v gt v v y =＝2tan θ所以α与抛出速度 v 0无关，故α1＝α2，选项B 正确．【答案】 B7．炮台高出海面45 m ，炮弹的水平出口速度为600 m/s ，如果要使炮弹击中一艘正以36 km/h 的速度沿直线远离炮台逃跑的敌舰，那么应在敌舰离炮台____ m 处开炮．（g ＝10 m/s 2）【解析】 击中敌舰用时间：21gt 2＝h ，t ＝3 s ，则有v 敌舰t ＋x ＝v 炮弹·t ，则x ＝v 炮弹·t －v 敌舰·t ＝1770 m【答案】 17708．世界上第一颗原子弹爆炸时，恩里科·费米把事先准备好的碎纸片从头顶上方撒下，碎纸片落到他身后约2 m 处．由此，费米推算出那枚原子弹的威力相当于1万吨TNT 炸药．假设纸片是从1.8 m 高处撒下．请你估算当时的风速是___m/s ，并简述估算的方法__________．【答案】 310或3.3 把纸片的运动看做是平抛运动，由h ＝21gt 2，v ＝ts 求出风速v【能力突破】 9．玻璃生产线上，宽9 m 的成型玻璃板以2 m/s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为10 m/s ，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制?切割一次的时间多长?【解析】 本题是研究分运动和合运动的问题．由题图可知：cos θ＝m/s 10m/s2＝0.2则θ＝arccos0.2v ⊥＝m/s 96m/s 21022=-t ＝969s≈0.92 s【答案】 （1）轨道方向与玻璃板运动方向成arccos0.2．（2）0.92 s10．有一小船正在渡河，如图4—1—12所示，在离对岸30 m 时，其下游40 m 处有一危险水域．假若水流速度为5 m/s ，为了使小船在危险水域之前到达对岸，那么，从现在起，小船相对于静水的最小速度应是多大？图4—2—12【解析】 如下图所示，当小船到达危险水域前，恰好到达对岸，其合速度方向沿AC 方向，sin α＝53．为使船速最小，应使v 1⊥v ，则v 1＝v 2sin α＝53v 2＝3 m/s ．【答案】 3 m/s11．五个直径均为d ＝5 cm 的圆环连接在一起，用细线悬于O 点．枪管水平时枪口中心与第五个环心在同一水平面上，如图4—1—13，它们相距100 m ，且连线与球面垂直．现烧断细线，经过0.1 s 后开枪射出子弹，若子弹恰好穿过第2个环的环心，求子弹离开枪口时的速度（不计空气阻力，g 取10 m/s 2）．图4—1—13【解析】 设从子弹射出到穿过环心所用时间为t ，则根据平抛运动在竖直方向上做自由落体运动的特点，得竖直方向的位移关系：s 弹＋0.05×（5－2） m ＝s 环即21gt 2＋0.05×3 m ＝21g （t ＋0.1 s ）2，解得t ＝0.1 s ．又据子弹水平方向做匀速直线运动：则v 0＝1.0100=t s m/s ＝1000 m/s【答案】 1000 m/s12．如图4—1—14，AB 为斜面，倾角为30°，小球从A 点以初速度v 0水平抛出，恰好落到B 点．求：图4—1—14 （1）AB 间的距离； （2）物体在空中飞行的时间；（3）从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大?【解析】 （1）、（2）由题意，得：21gt 2＝l AB sin30°①v 0t ＝l AB cos30°②解得：t ＝g v 02tan30°＝g 332v 0l AB ＝4v 02/3g（3）将v 0和重力加速度g 沿平行于斜面和垂直于斜面方向正交分解如下图所示．则当物体在垂直于斜面方向速度为零时与斜面距离最大，即：v ⊥0－g ⊥t ′＝0v 0sin30°－g cos30°t ′＝0所以t ′＝g v 3/30或：当平抛运动的速度与斜面平行时，物体离斜面最远，如下图所示，则v y ＝v 0tan30°＝gt ′t ′＝g v g v 3330tan 00=︒【答案】（1）gv342；（2）gv332；（3）gv33※13．光滑斜面倾角为θ，长为L，上端一小球沿斜面水平方向以速度v0抛出，如图4—1—15所示．求小球滑到底端时，水平方向位移多大?图4—1—15【解析】小球的运动可分解为两个分运动：①水平方向匀速直线运动；②沿斜面向下做初速度为零的匀加速直线运动，a＝g sinθ．水平方向：s＝v0t沿斜面向下：L＝21at2解得S＝v0θsin2gL．【答案】v0θsin 2gL※14．飞机以恒定的速度v沿水平方向飞行，飞行高度为2000 m，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s 后飞行员听见炸弹落地的爆炸声．假设此爆炸声向空间各个方向传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g＝10 m/s2．则炸弹经_______s时间落地，该飞机的飞行速度v＝_______m/s．（答案保留2位有效数字）【解析】炸弹飞行时间由平抛运动规律可求．竖直方向为自由落体运动，则由h＝21gt2，可求得t1＝20 s．则：声音传播时间t2＝30 s－20 s＝10 s飞机10 s内飞行距离为：222000 3200-由此可求飞行速度．炸弹落地时，飞机在其正上方，在声音传播到飞机的10 s内飞机的位移为x＝v0t2如图所示，则h2＋x2＝v2t22即h2＋v02t22＝v2t22解得v0＝22 2th v-＝222102000320-m/s＝250 m/s【答案】20 2.5×102。

权掇市安稳阳光实验学校2014高考物理（人教）一轮复习讲义第1讲运动的合成与分解平抛运动第1讲运动的合成与分解平抛运动一、曲线运动1．运动特点(1)速度方向：质点在某点的速度，沿曲线在该点的切线方向．(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动．2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上．(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上．(3)轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲．二、运动的合成与分解1．基本概念(1)运动的合成：已知分运动求合运动．(2)运动的分解：已知合运动求分运动．2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．三、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动．2．性质：加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．4．规律四、斜抛运动及其研究方法1．定义：将物体以速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．基本规律：(以斜向上抛为例说明如图所示)(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的抛体运动的合运动．1．(2013·二校联考)下面说法中正确的是( )A．物体做曲线运动时一定有加速度B．平抛运动是匀变速运动，其在任意相等时间间隔内速度的变化量都相同C．匀速圆周运动虽然不是匀变速运动，但任意相等时间间隔内速度的变化量仍相同D．当物体受到的合外力为零时，物体仍然可以做曲线运动解析：曲线运动是变速运动，一定有加速度，A项正确；平抛运动的加速度恒为g，Δv＝gΔt，B项正确；匀速圆周运动的向心加速度是变化的，C项错误；当物体受到的合外力为零时，物体的速度不变，做匀速直线运动，D项错误．答案：AB2.如图所示，沿y方向的一运动的初速度v1是沿x方向的另一运动的初速度v2的2倍，而沿y方向的加速度a1是沿x方向的加速度a2的一半．对于这两个分运动的合运动，下列说法中正确的是( ) A．一定是曲线运动B．一定是直线运动C．可能是曲线运动，也可能是直线运动D．无法判定解析：根据运动的合成知，两个分运动的合运动的速度方向与加速度方向不在同一直线上，故该物体一定做曲线运动．答案：A3．关于平抛运动，下列说法正确的是( )A．平抛运动是匀变速运动B．做平抛运动的物体机械能守恒C做平抛运动的物体处于完全失重状态D．做平抛运动的物体，落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关解析：做平抛运动的物体，只受重力作用，选项A、B、C都正确；落地时间只与抛出点的高度有关，但落地时的速度还与抛出时的初速度有关，D项错误．答案：ABC4．一质点做曲线运动，它的轨迹由上到下(如图示曲线)，关于质点通过轨迹中某点时的速度v 的方向和加速度a 的方向可能正确的图是哪一个( )解析：因为做曲线运动的物体在运动过程中所受合外力的方向一定指向轨迹凹的一侧，而加速度与物体所受合外力方向相同，故只有选项B 正确．答案：B5．平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v －t 图线，如图所示．若平抛运动的时间大于2t 1，下列说法中正确的是( )A ．图线b 表示竖直分运动的v －t 图线B ．t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为30°C ．t 1时间内的位移方向与初速度方向夹角的正切为12D ．2t 1时间内的位移方向与初速度方向夹角为60°解析：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是初速度为零的匀加速直线运动，A 正确；t 1时刻的水平分速度与竖直分速度的大小相等，所以t 1时刻的速度方向与初速度方向夹角为45°，B 错误；设t 1时刻的竖直分速度与水平分速度大小均为v ，t 1时间内的位移方向与初速度方向夹角的正切为tan α＝vt 12vt 1＝12，C 正确；设2t 1时间内的位移方向与初速度方向夹角为θ，则：tan θ＝12 gt2vt＝1，位移方向与初速度方向夹角为45°，D 错误．答案：AC6．做平抛运动的物体初速度大小为v 0，末速度大小为v t ，则物体飞行的时间为( )A.v t －v 0gB.v 2t －v 20gC.v 2t －v 202gD.v 2t －v 20g答案： B对曲线运动的理解1．加速度(或合外力)方向与速度方向的关系 (1)加速度(或合外力)⎩⎪⎨⎪⎧变化：非匀变速运动不变：匀变速运动(2)加速度或合外力与速度方向⎩⎪⎨⎪⎧共线：直线运动不共线：曲线运动2．合力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．3．速率变化情况判断(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大； (2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小； (3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变．(2011·四川卷)某研究性学习小组进行如下实验：如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R .将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y 轴重合，在R 从坐标原点以速度v 0＝3 cm/s 匀速上浮的同时，玻璃管沿x 轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．同学们测出某时刻R 的坐标为(4,6)，此时R 的速度大小为________cm/s.R 在上升过程中运动轨迹的示意图是________．(R 视为质点)解析：红蜡块有水平方向的加速度，所受合外力指向曲线的内侧，所以其运动轨迹应如D 图所示，因为竖直方向匀速，由y ＝6 cm ＝v 0t 知t ＝2 s ，水平方向x ＝v x2·t ＝4 cm ，所以v x ＝4 cm/s ，因此此时R 的速度大小v ＝v 2x ＋v 20 ＝5 cm/s.答案： 5 D1－1：某学生在体育场上抛出铅球，其运动轨迹如图所示．已知在B 点时的速度与加速度相互垂直，则下列说法中正确的是( )A ．D 点的速率比C 点的速率大B ．D 点的加速度比C 点的加速度大 C ．从B 到D 加速度与速度始终垂直D ．从B 到D 加速度与速度的夹角先增大后减小解析：铅球做斜抛运动，根据曲线运动的条件和题设中在B 点的速度与加速度相互垂直，即竖直方向上的分速度为零，可判断B 点是轨迹的最高点，根据动能定理可知A 项正确；D 点和C 点的加速度一样大，都等于重力加速度，B 错；过了B 点后，在D 点加速度与速度不可能再垂直，C 错；根据曲线运动的特点，可判断从B 点到D 点加速度与速度的夹角一直减小，D 错．答案：A运动的合成与分解方法的应用合运动与分运动的关系等时性各分运动经历的时间与合运动经历的时间相同性一个物体同时参与几个分运动，各分运动进行，互不干扰等效性各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有相同的效果，即分运动与合运动是一种等效替代的关系一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？解析：(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.t＝dv2＝1805s＝36 sv＝v21＋v22＝525 m/sx＝vt＝90 5 m.(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α，如图乙所示，有v2sin α＝v1，得α＝30°所以当船头向上游偏30°时航程最短．x′＝d＝180 m.t′＝dv2cos 30°＝180523s＝24 3 s.答案：(1)垂直河岸方向36 s 90 5 m(2)向上游偏30°24 3 s 180 m1.求解运动的合成与分解的三个技巧(1)求解运动的合成与分解问题，应抓住合运动和分运动具有等时性、性、等效性的关系．(2)在小船渡河问题中可将小船的运动分解为沿船头指向的方向和沿水流方向的两个运动．(3)合运动与分运动的时间相等，为t ＝合运动位移合速度＝各分运动位移各分运动对应速度.2．渡河的最短时间和最小位移设河宽为d ，水流速度为v 水，小船在静水中的速度为v 船，则(1)渡河的最短时间：t min ＝dv 船(2)渡河的最小位移：若v 船>v 水，则x min ＝d ；若v 船<v 水，则x ＝v 水v 船d .2－1：如图所示，小船以大小为v 1、方向与上游河岸成θ的速度从A 处过河经过t时间，正好到达正对岸的B 处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸B 处，在水流速度不变的情况下，可采取下列方法中的哪一种？( )A ．只要增大v 1大小，不必改变θ角B ．只要增大θ角，不必改变v 1大小C ．在增大v 1的同时，也必须适当增大θ角D ．在增大v 1的同时，也必须适当减小θ角解析：只需保证v 1在水流方向的分量与水流速度相同，船就能到达B 点，要想过河时间更短，v 1垂直于河流方向的分速度要增大，结论是C .答案：C平抛运动规律的应用物体做平抛运动，在落地前的1 s 内它的速度与水平方向夹角由30°变成60°，g ＝10 m/s 2.求：(1)平抛运动的初速度v 0大小； (2)平抛运动的时间； (3)平抛时的高度．解析：(1)设轨迹上A 、B 两点是落地前1 s 内的始、终点，轨迹如图所示．对A 点：tan 30°＝gtv 0①对B 点：tan 60°＝gt ′v 0②又t ′＝t ＋1 s③由①②③式解得t ＝0.5 s ，v 0＝5 3 m/s. (2)运动总时间t ′＝t ＋1 s ＝1.5 s. (3)高度h ＝12gt ′2＝11.25 m.答案： (1)5 3 m/s (2)1.5 s(3)11.25 m1．平抛运动的求解方略——运动分解思路→运动的合成与分解→水平方向：匀速运动竖直方向：自由落体→在两个方向上列方程求解.2．速度的变化规律(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.(2)任意相等时间间隔Δt内的速度变化量均竖直向下，且Δv＝Δv y＝gΔt.3．飞行时间：t＝2hg，取决于物体下落的高度h，与初速度v0无关．3－1：如图所示，P是水平地面上的一点，A、B、C、D在同一条竖直线上，且AB＝BC＝CD.从A、B、C三点分别水平抛出一个物体，这三个物体都落在水平地面上的P点．则三个物体抛出时的速度大小之比v A∶v B∶v C为( )A.2∶3∶ 6 B．1∶2∶3C．1∶2∶3 D．1∶1∶1解析：由平抛运动的规律可知竖直方向上：h＝12gt2，水平方向上：x＝v0t，两式联立解得v0＝xg2h，由于h A＝3h，h B＝2h，h C＝h，代入上式可知选项A 正确．答案：A平抛运动与斜面结合问题模型特点(1)物体从斜面平抛后又落到斜面上，如图甲所示．则其位移大小为抛出点与落点之间的距离，位移的偏角为斜面的倾角α，且tan α＝yx.(2)物体做平抛运动时以某一角度(θ)落到斜面上，如图乙所示．则其速度的偏角为(θ－α)，且tan(θ－α)＝v yv0.如图所示，足够长的斜面上A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4解析：因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝12gt 21v 0t 1＝12gt 222v 0t 2，所以t 1t 2＝12.答案：B4－1：(2013·广州模拟)如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1 kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现让小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以初速度v 0水平抛出，经过0.4 s ，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中．已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，求：(1)小球水平抛出的速度v 0； (2)小滑块的初速度v .解析：(1)设小球落入凹槽时的竖直分速度为v y ，则v y ＝gt ＝10×0.4 m/s＝4 m/s ， v 0＝v y tan 37°＝3 m/s.(2)小球落入凹槽时的水平分位移x ＝v 0t ＝3×0.4 m＝1.2 m则小滑块的位移x ′＝xcos 37°＝1.5 m小滑块的加速度大小a ＝g sin 37°＋μg cos 37°＝8 m/s 2根据公式x ′＝vt ＝－12at 2解得v ＝5.35 m/s.答案： (1)3 m/s (2)5.35 m/s涉及平抛运动的其他综合问题涉及平抛运动的综合问题主要是以下几种类型及其处理方法1．平抛运动与其他运动形式的综合题目：(如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动、圆周运动等)，在这类问题的分析中要注意平抛运动与其他运动物体在时间上、位移上、速度上的相关分析．2．多体平抛问题(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只决定于两物体水平分运动；(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体水平分运动和竖直高度差决定；(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距决定于两物体水平分运动和竖直分运动．3．平抛运动与竖直上抛运动中的相遇问题：同一般追及相遇问题一样，关键分析两种运动的位移关系、速度关系、时间关系等，但不同的是，由于平抛运动是二维的运动，故在分析竖直方向运动的同时，一定要注意分析水平方向的运动．(2012·课标全国卷)如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )A ．a 的飞行时间比b 的长B ．b 和c 的飞行时间相同C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大解析：根据平抛运动的规律h ＝12gt 2，得t ＝2hg，因此平抛运动的时间只由高度决定，因为h b ＝h c >h a ，所以b 与c 的飞行时间相同，大于a 的飞行时间，因此选项A 错误，选项B 正确；又因为x a >x b ，而t a <t b ，所以a 的水平初速度比b 的大，选项C 错误；做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，b的水平位移大于c ，而t b ＝t c ，所以v b >v c ，即b 的水平初速度比c 的大，选项D 正确．答案： BD如图所示，在距地面2l 的高空A 处以水平初速度v 0＝gl 投掷飞镖，在与A 点水平距离为l 的水平地面上的B 点有一个气球，选择适当时机让气球以速度v 0＝gl 匀速上升，在升空过程中被飞镖击中．飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点，已知重力加速度为g .试求：(1)飞镖是以多大的速度击中气球的？(2)掷飞镖和释放气球两个动作之间的时间间隔Δt 应为多少？解析： (1)飞镖被投掷后做平抛运动，从掷出飞掷到击中气球，经过时间t 1＝lv 0＝l g此时飞镖在竖直方向上的分速度v y ＝gt 1＝gl 故此时飞镖的速度大小v ＝v 20＋v 2y ＝2gl .(2)飞镖从掷出到击中气球过程中，下降的高度h 1＝12gt 21＝l2气体从被释放到被击中过程中上升的高度h 2＝2l －h 1＝3l2气球的上升时间t 2＝h 2v 0＝3l 2v 0＝32l g可见，t 2>t 1，所以应先释放气球．释放气球与掷飞镖之间的时间间隔Δt ＝t 2－t 1＝12l g. 答案： (1)2gl (2)12l g1.关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )A ．物体的两个分运动是直线运动，则他们的合运动一定是直线运动B ．若不在一条直线上的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动C ．合运动与分运动具有等时性D ．速度、加速度和位移的合成都遵从平行四边形定则解析：物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动．若合初速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动．答案： BCD2．(2012·黄冈联考)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线．则其中可能正确的是( )解析：船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线，即合速度的方向．小船合运动的速度的方向就是其真实运动的方向．根据题意画出小船同时参与的两个分运动的矢量图，由图可知，实际航线可能正确的是A 、B.答案： AB3.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v 匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )A ．橡皮的速度大小为2vB ．橡皮的速度大小为3vC ．橡皮的速度与水平方向成60°角D ．橡皮的速度与水平方向成45°角解析：钉子沿斜面匀速运动，橡皮具有向上的分速度v ，同时具有沿斜面方向的分速度v ，根据运动的合成可知，橡皮的速度大小为3v ，速度与水平方向成60°角，选项B 、C 正确．答案： BC4.(2012·上海单科)如图，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速变为v，其落点位于c，则( )A．v0＜v＜2v0B．v＝2v0C．2v0＜v＜3v0 D．v＞3v0解析：如图所示，M点和b点在同一水平线上，M点在c点的正上方．根据平抛运动的规律，若v＝2v0，则小球落到M点．可见以初速2v0平抛小球不能落在c点，只能落在c点右边的斜面上，故只有选项A正确．答案： A5．(2012·江苏卷)如图所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l、h 均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则( )A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰C．A、B不可能运动到最高处相碰D．A、B一定能相碰解析：由题意知A做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；B为自由落体运动，A、B竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间t1相同，且t1＝2hg①，若第一次落地前相碰，只要满足A运动时间t＝lv<t1，即v>lt1，所以选项A正确；因为A、B在竖直方向的运动同步，始终处于同一高度，且A与地面相碰后水平速度不变，所以A一定会经过B所在的竖直线与B相碰．碰撞位置由A球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确．答案： AD。

课 题运动的合成与分解、竖直方向上的抛体运动教学目标 1、理解合运动与分运动 2、理解竖直方向上的抛体运动的分解 重 点 运动的合成与分解 难 点 竖直方向上的抛体运动 作 业 附 后基础知识梳理一、运动的合成与分解1、合运动与分运动合运动就是物体的实际运动，一个运动可以看作物体同时参与了几个分运动，这几个分运动就是物体实际运动的分运动。

2、运动的合成与分解（1）定义：物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。

（2）合运动与分运动的关系：①等时性：合运动和分运动经历的时间相等.即同时开始，同时进行，同时停止 ②独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响 ③等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果 （3）运动的合成与分解的运算原则运动的合成与分解是指描述运动的物理量，包括位移、速度、加速度的合成和分解。

它们与力的合成和分解一样都遵守平行四边形定则，基本方法如下：A ．两个分运动在同一直线上时，矢量运算转化为代数运算。

先选定一正方向，凡与正方向相同的取正，相反取负，合运动为各分运动的代数和。

B ．不在同一直线上，按照平行四边形法则合成，如下图所示：C ．两分运动垂直或正交分解后的合成：22y x a a a +=合，22y x s s s +=合D ．两个分运动必须是同一质点在同一时间内相对于同一参考系的运动。

3、合运动轨迹的几种可能情况：两直线运动的合运动的性质和轨迹由各分运动的性质即合初速度与合加速度的方向关系决定：①两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动.②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动。

二者共线时为匀变速直线运动，如竖直上抛运动或竖直下抛运动；二者不共线时匀变速曲线运动，如平抛运动。

③两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动，当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动；当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动.4、运动分解的基本方法根据运动的实际效果将描述合运动规律的各物理量(位移、速度、加速度)按平行四边形定则分别分解，或进行正交分解。

一、运动的独立性
1．实验探究
如图 3-1-1 所示，同时由静止释放两个
小铁球 P 和 Q，轨道 M、N 是等高的，末端
水平且在同一竖直线上。只改变轨道 M 整体
的高度，P、Q 两球总在水平面上相碰。
图 3-1-1
结论：P 球虽然在竖直方向有下落的运动，但 P、Q 两球 在水平方向的运动是相同的。
2．合运动与分运动 如果一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运 动就叫作那几个运动的合运动 ，参与的那几个运动就叫作这个 实际运动的分运动。 3．运动的独立性 一个物体同时参与几个运动，各方向上的运动 互不影响 ， 各自独立，都遵守各自相应的规律。
m/s。
(2)若玻璃管的长度为 1.0 m，则当红蜡块从玻璃管底端上浮到
顶端的过程中，玻璃管水平运动的距离约为
m。
解析：(1)由矢量关系得 tan 30°＝vv12， 所以 v2＝tanv310°≈0.17 m/s。 (2)竖直方向有 y＝1.0 m＝v1t1，又 t1＝t2，水平方向有 x＝v2t2，所以 x＝vv21 y＝1.7 m。 答案：(1)0.17 (2)1.7
[即时应用]
1．对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是
()
A．合运动的速度大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于某一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小 解析：根据平行四边形定则，合速度的大小和方向可由平行四边
形的对角线表示，而两邻边表示两个分速度，由几何关系知，两
此时小船不能垂直河岸渡河。以水流速度矢量
的末端 A 为圆心，以小船在静水中速度的大小 图 3-1-5 为半径作圆，过 O 点作该圆的切线，交圆于 B 点，此时船速与