高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义课后集训.doc

2. 2. 1向量加法运算及其几何意义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.如图2-2-1所示，在圆0中,)图2-2-1A.有相同起点的向量B.单位向量C.模相等的向量D.相等的向量解析：指定大小和方向后就可以确定一个向量，不能说某些向量是有相同起点的，A错；本题中没有给定向量的长度是1，所以不能说它们是单位向量，B错；这三个向量的方向是不同的，所以不是相等的向量，D错；这三个向量的模都是圆的半径，所以它们的模相等.答案：C2.(1)把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P,则这些向量的终点构成的几何图形为 ___________________ .(2)把平行于直线1的所有单位向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ .(3)把平行于直线1的所有向量的起点平行移动到直线1上的点P,这些向量的终点构成的儿何图形为 _________________ •解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.(2)因为平行于直线1的所有单位向量只有两个方向，故这样的单位向量只有两个，起点为P, 则终点应为：直线1上与P的距离相等的两个点.(3)因为平行于直线1的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线1上的任意一点.答案：(1)一个圆.⑵直线1上与点P的距离相等的两个点.⑶直线1上的任意一点.3.如图2-2-2,试作出向量a与b的和a+b・(1)⑵⑶图2-2-2解析：如图，首先作04 =a,再作AB=b,则OB =a+b.0 ABO BA(1) ⑵4•若a二“向北走8 km", b=“向东走8 km",贝!j|a+b|= 解析：如图所示.答案：8V2 东北方向10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1 •如图2-2-3,正方形ABCD的边长为1,贝】JMB+BC+DC + AD|等于（）解析：| AB + BC + DC + AD |=| 2AC |=2| AC |= 2^/2 .答案：D2•如图224,四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（C.AC^BA = ADD. AC + AD = DC解析：由三角形法则和平行四边形法，可知AB+BC = AC,A错；BA^AC = BC, B错;CA + AD = DC, D错•只有C是正确的.答案：c3.已知向Sa/7b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向（）.A.与向量a方向相同B.与向量a方向相反C.与向量b方向相同D.与向量b方向相反解析：己知a平行于b,如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.A. AB + BC = CA；a+b的方向是AJ B.V2 C.3 D. 2>/2图2-2-3答案：A4•如图225所示，已知向量a, b, c, d,求向量a+b+c+d.图 2-2-5解：在空间中任取一点 0,作 0A 二a, AB =b» BC =c, C£)=d* 则 0D =a+b+c+d.5.如图2-2-6所示,已知向量a 、b 、c,求作向量a+b+c.解：如图，首先作0A=b,再作AB =a, BC =c 则0C 二a+b+c.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.已知平行四边形ABCD, S （AB + CD ）+（ BC4-5A ）=a,而b 是一非零向量，则下列结论 正确的有（）① a 〃b ② a+b 二 a ③ a+b 二 b ④ |a+b|<|a|+|b|A.①③B.②③C.②④ 解析：在平行四边形ABCD 中，AB + CD=O, BC + DAM ）,所以a 为零向量，零向量和 任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确. 答案：A 2.向量a 、b 都是非零向量，下列说法不正确的是（）A.向量a 与b 同向, B. 向量a 与b 同向， C. 向量a 与b 反向， D. 向量a 与b 反向，贝1」向量a+b 与a 的方向相同则向量a+b 与b 的方向相同且|a|<|b|,则向量a+b 与a 的方向相同 且|a|>|b|,则向量a+b 与a 的方向相同解析：向量a 与b 反向，且|a|<|b|,则向量a+b 的方向应该和模较大的向量相同，即和b 的方向相同，所以C 错.答案：C3.a 、b 为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是（）A.a 〃b ，且a 与b 方向相同B.a 、b 是共线向量D.①②图 2-2-6C.a=-bD.a^ b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a>b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同（与a方向相反），且|a+b|=|b|-|a|.答案:A4.在平行四边形ABCD中，下列式子：®AD=J B +~BD；@J D =AC+CD； @ + = ；®~AB + ~BC = ~AC；⑤ AD = AB+BC + CD； ®AD=DC + CA.其屮不正确的个数是（）A」 B.2 C.4 D.6解析：DC + CA = DA,所以⑥错，其他各项都是正确的.答案：A5.下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a、b之一的方向相同;②Z\ABC 中，必有AB + BC + G4=0；③若4B + BC + CA=0,则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|—定相等.英中真命题的个数为（）A.O B」 C.2 D.3解析：①假命题•当a+b=O时，命题不成立;②真命题;③假命题.当A、B、C三点共线时也可以有AB + BC + CA=O;④假命题.只有当a与b同向时，相等，其他情况均为|a+b| >|a|+|b|.答案：BA. AB = CD , BC = AD6.如图2-2-7所示，在平行四边形ABCD中，0是対角线的交点.下列结论正确的是（）C.AO + OD = AC + CDD.AB+ BC-^-CD = DA解析：因为AO + OD = AD, AC + CD = AD,所以AO + OD = AC + CD. 答案：C 7.已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.解：⑴当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|；(3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|；(4)当a、b为非零向量且a、b异向共线时,有|a+b|<|a|+|b|.&已知四边形ABCD,対角线AC与BD交于点0,且A0=0C, D0=0B.求证：四边形ABCD 是平行四边形.证明：由已知得AO = OC,BO = OD.nV AD = A0 + 0D = BO + OC = BC,且A、D* B、C 不在同一直线上・故四边形ABCD是平行四边形.9.轮船从A港沿东偏北30。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义互动课堂疏导引导1.向量求和的三角形法则已知向量a、b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和向量，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.这种求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则.（如图2-2-1所示）图2-2-1疑难疏引①由向量求和的三角形法则可知，两个向量的和仍为向量.②向量求和的三角形法则的本质是两个加数向量的首尾相接，和向量是从一个向量的起点指向另一个向量的终点.③当两个向量共线（平行）时，向量加法的三角形法则同样适用.2.向量加法的运算性质（1）对于零向量与任一向量a的和有a+0=0+a=a.(2)向量加法的交换律：a+b=b+a.简证如下：①若a、b不共线，作AB=a,BC=b,则A、B、C三点不共线，AC=a+b.作AD=b，连结DC，（如图2-2-2），由于AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形.∴DC AB.∴|DC|=|AB|=|a|,又DC与AB同向，∴AB=DC，此时有b+a=AD+DC=AC,即有a+b=b+a.②当a与b共线且同向时，a+b及b+a都与a同向，且|a+b|=|a|+|b|；|b+a|=|b|+|a|.a+b与b +a 同向，故有a +b =b +a .③当a 与b 共线且反向时，不妨设|a |＞|b |,a +b 与a 同向，且|a +b |=|a |-|b |,b +a 与a 同向，且|b +a |=|a |-|b |.故a +b 与b +a 同向，因此a +b =b +a .综合①②③知a +b =b +a .图2-2-2 图2-2-3(3)向量加法的结合律：（a +b ）+c =a +(b +c ). 验证如下：如图2-2-3.（a +b ）+c =OB +BC =OC ,a +(b +c )= OC AC OA =+. ∴(a +b )+c =a +(b +c ).疑难疏引向量加法的运算律同实数加法的运算律一致,都满足交换律与结合律.由于向量的加法具有这两个运算律,因此，对于多个向量加法的运算就可以按照任意的次序与组合来进行了.3.向量求和的平行四边形法则已知两个不共线的向量a ，b ，作AB =a ，AD =b ，则A 、B 、D 三点不共线，以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC =a +b .这个法则叫做向量求和的平行四边形法则.疑难疏引 两个向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的，当两向量为共线向量时，三角形法则同样适用，而平行四边形法则就不适用了.因此在选用两个法则进行向量求和时应熟练、灵活.4.向量加法的实际应用向量的加法在日常生产、生活中应用广泛，主要体现在求两个或多个向量的和向量，可选用灵活的法则解决.案例1一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，该船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.【探究】 本题是用向量解决物理问题，可先用向量表示速度，再用向量的加法合成速度即可.图2-2-4【解】 如图2-2-4.OA 表示水流速度，OB 表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC 表示船实际航行的速度，∠AOC=30°,|OB |=5 km/h. ∵四边形OACB 为矩形， ∴|OA |=︒==︒30sin ||||,3530tan ||OB OC AC =10. ∴水流速度大小为35km/h,船实际速度为10 km/h ，与水流速度的夹角为30°.【规律总结】 用向量解决实际问题的步骤为：①用向量表示实际量；②进行向量运算；③回扣实际问题，作出回答.活学巧用1.已知a ∥b ，试用向量加法的三角形法则作出向量a +b .图2-2-5解析：a ∥b 时，也可用向量加法的三角形法则求出其和向量.（1）作AB =a ，BC =b .则a +b =AB +BC =AC .如图2-2-6所示.图2-2-6 图2-2-7(2)作11B A =a ，11C B =b ，则a +b =11B A +11C B =11C A ，如图2-2-7所示.2.已知非零向量a ，b ，试说明|a +b |与|a |+|b |的大小.解析：解答本题可用向量加法的三角形法则作出图形辅助解决，并且要注意分类讨论.（1）当a，b不共线时，根据向量求和的三角形法则显然有|a+b|＜|a|+|b|.(2)当a，b方向相同时，有|a+b|=|a|+|b|.（3）当a，b方向相反时，有|a+b|＜|a|+|b|.综上有|a+b|≤|a|+|b|.3.在矩形ABCD中，AC等于（）A.BC+BAB.AB+ADC.AD+CDD.DC+AD解析：画出图形，帮助分析.若对向量求和的本质理解深刻了，也可直接按照向量加法的交换律运算.显然D选项中，DC+AD=AD+DC=AC.而其他的选项运算的结果不是AC. 答案：D4.化简下列各式.（1）CD+BC+AB；（2）AB+BC+CA；（3）AB+BC+CD+DE+EF.分析：根据向量加法的运算律，对于多个向量求加法时，可以按照需要将向量组合，使之构成首尾相接，进行运算.第（1）个可以使用结合律转化为求AB+BC+CD的和；第（2）个则可以直接运算；第（3）个各向量首尾相接，恰好构成一个向量链，因此可直接计算. 解：（1）CD+BC+AB=AB+BC+CD=AD.(2)AB+BC+CA=0.(3) AB+BC+CD+DE+EF=AF.5.如图2-2-8,在ABCD中，已知有以下4个等式：①AB+AD=AC;②AC+DO+CD =AD;③AB+AD+CD=CB;④AC+BA+DA=0,其中正确的式子有___________个.（）A.1B.2C.3D.4解析：本题要结合图形及向量加法的运算律对选项中的等式一一验证.图2-2-8①AB+AD=AB+BC=AC，故①正确；②AC+DO+CD=AC+CD+DO=AO≠AD，故②不正确；③AB+AD+CD=AC+CD=AD≠CB，故③不正确；④AC+BA+DA=BA+AC+DA=BC +DA=AD+DA=0，故④正确.答案：B6.在正六边形中，若OA=a，OE=b，试用向量a、b将OB、OC、OF表示出来.分析：如图2-2-9所示，在正六边形中，有很多菱形、三角形，这就为使用向量求和的三角形法则或平行四边形法则创造了条件.图2-2-9解：设正六边形的中心为P，则OB=OP+OA=（OA+OE）+OA=2a+b，OC=OP+PC =OP+OP=2a+2b，OF=OE+OP=2b+a.7.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船与A港的相对位置.图2-2-10解：如图2-2-10所示，设AB、BC分别是轮船两次位移，则AC表示两次位移的和位移，20km.在Rt△ACD中, 即AC=AB+BC.在Rt△ABD中，|DB|=20 km,|AD|=3|AC 340=km,∠CAD=60°,即此时轮船位于A 港东偏北60°，且距离A 港340km 处.。

向量加法运算及其几何意义知识梳理1、向量加法的定义求两个向量和的运算叫做向量的加法.2、求向量和的方法(1)三角形法则:已知非零向量a、b,在平面上任取一点A,作AB = a, £ = b，则向量AC叫做a与b的和或和向量，记作a+ b,即a+ b= AB +B C = A C .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.点的对角线OC就是a与b的和，如图.这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.对于零向量与任一向量a,规定：a+ 0= 0+ a= a.3 .向量加法的交换律和结合律(1)向量加法的交换律：a+ b= b + a；(2)向量加法的结合律：(a+ b) + c = a+ ( b+ c).常考题型题型一、求作向量的和例1、如图，已知a, b,求作向量a + b.变式训练如图，已知a、b、c,求作向量a+ b+ c.(2)平行四边形法则:已知两个不共线向量a, b,作OA = a, OB = b,以a, b为邻边作？OACB则以0为起题型三、向量加法的应用例3、轮船从A 港沿东偏北30°方向行驶了 40 km 到达B 处，再由B 处沿正北方向行驶 40 km 到达C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置.题型二、向量加法运算例2、化简或计算:CD +BC +7B ； 7B + DF +CD +BC + TA变式训练如图，在△ ABC 中，0为重心, ⑴ BC +cE+E A ； D E 、F 分别是BC AC AB 的中点，化简下列三式:OE + AB + EA ；(3)AB + F E + DC .变式训练雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s ，现在有风,风使雨滴以433 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向.课堂小测1、下列等式错误的是()5、如图所示，P, Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BA QC 求证: 7B+7C Z AP +7Q .A . a + 0 = 0+ a = aT TAB + BA = 0T TC. 2、 在矩形ABCDK | A . 2 53、 如图，在平行四边形 T T(1) AB + AD = T T T (3) AB + AD + CD =AB | = 4, | BC | = 2, B . 4 5ABCDKB . AB + "BC + AC = 0 D. CA + AC =M N + N + P MT T T贝恫量AB + AD + AC 的长度等于(.124、 如果 | AB | = 8, | AC | = 5,那么 | ；(4) AC + BABC |的取值范围为利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤fiQ C同步练习 1、如图所示，在平行四边形 A. BD B. ABCD 中, DB C. BC DC BA 等于( BC D.CB2、在厶ABC =a , BC =b 则a b 等于（ A .C A•BC • AC 3、在四边形 ABCD 中，若AC = AB AD ，则四边形 ABCD r 曰 定是 A.正方形 .菱形 C .矩形 •平行四边形 4、若四边形 ABCD A . AB BC 二 AC 为菱形，则下列等式中成立的是（ .7B AC D. AC A ^^DC 5、已知向量a 表示"向东航行 1 km ”，向量b 表示 "向南航行1 km ”，则a b 表示（A.向东南航行.2 km B .向东南航行2 km C .向东北航行.2 km D.向东北航行2 km 6、已知 b 为非零向量，且 a +b = b ，则（） F-A. a b ，且a 与b 方向相同 .a , b 是共线向量且方向相反 .a , b 无论什么关系均可7、如图所示的方格纸中有定点 O , E , F , G , H ，则 CP 二( A. O H B . O GFO .EO8、如图所示，四边形 ABCD 是梯形， B. OC9、在平行四边形 ABCD 中，若BC = BC AB ，则四边形ABCD 是AD _ BC ，贝U OA+BC AB =(A. CD C. DA D. CO10、已知 a = 3, b =5，则向量a b 模长的最大值是r- L —jJ-LL-jj-I ----------- 片 ---------- L-S--4OI I F I I <i i r M i ■Lw 」二二三』11、已知 AB =3, =5，贝U AC 的取值范围是12、设a 表示“向东走19 km ”，b 表示“向西走5 km示“向南走5 km ”，试说明下列向量的意义.(1) a ■ a ; (2) 1 b ; ( 3)13、在水流速度为10 km/h 的河中，如果要使船以10 3 km/h 的速度与河岸成直角地横渡, 求船行驶速度的大小与方向.14、求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形.c 表示“向北走10 km ”，d 表(5)b.c b ；(6)dad。

2.2.1 向量加法运算及其几何意义
课前导引
问题导入
一人从A点出发向东走了400 m到达B点；接着向东偏北45°走2
200m到达C点；然后再向北走400 m到达D点,选择适当比列尺,用向量表示这个人的位移.
思路分析：如下图,一个单位表示100 m,则这个人的位移是
.
由物理知识我们知道这个人的位移是由几个分位移、、的合位移，在物理上记作=++.将这个问题抽象成数学知识即：向量等于向量、向量、向量的和，记作=++，这就是我们这节课要研究的向量的加法.
知识预览
1．求两个向量和的运算叫做向量的加法
2．向量加法的运算法则有三角形法则和平行四边形法则.
3．对任一向量a和零向量规定0+a=a+0=a.
4．向量加法的交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
1。