长春市2020届高三质量监测(一)理科数学试题(含答案)

一、单选题二、多选题1. 已知数列满足：，，其中为的前项和．若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. 设函数f (x )＝则＝（ ）A ．－1B ．1C．－D．3. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种佩戴眼镜的方式可供选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展程度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展）．A 市从当地小学生中随机抽取容量为100的样本，因近视佩戴眼镜的有24人，其中佩戴角膜塑形镜的有8人．若从样本中随机选取一名小学生，已知这名小学生佩戴眼镜，那么，他佩戴的是角膜塑形镜的概率是（ ）A．B．C．D．4.过点的直线经过圆的圆心，则直线的倾斜角大小为A ．150°B ．60°C ．30°D ．120°5. 已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数a =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-26. 某运动队由足球运动员18人，篮球运动员12人，乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，都不用删除个体，那么样本容量 的最小值为A ．6B ．12C ．18D ．247.已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8.设且，则（ ）A．B．C ．12D．9. 下列说法：①对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好；②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和；③已知随机变量，若，则的值为；④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．其中正确的选项是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④10. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在体积为的球上，动点在正方形内运动（包含边界），若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）A．B．点运动轨迹的长度为C．三棱锥体积的取值范围为吉林省长春市2024届高三质量监测（一）数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题D．线段长度的最小值为11. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O ，，其高为2，为圆O的内接三角形，且，P 为圆上的动点，则（ ）A ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为B．若，则C．三棱锥体积的最大值为D ．点A 到平面距离的最大值为12.设函数________．13. 若椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，则此椭圆的离心率为__________．14. 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为________.15. 已知抛物线，弦过抛物线的焦点，过两点分别作准线的垂线，垂足分别为、，设的中点为，线段的垂直平分线交轴于，则______；若的中点为，则______．16. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 化简或求值：（1）；（2）.19. 已知函数，．(1)在给出的坐标系中画出函数的图像；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．八、解答题九、解答题十、解答题20. 如图，已知平面平面，平面平面，，，，.（1）求证：；（2）若是线段上的动点，求直线与平面所成角正弦值的取值范围.21.年月日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务，标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成．并将进入建造阶段某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．(1)根据频率分布直方图，估计这人的第百分位数（中位数第百分位数）；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“党章党史”的宣传使者．①若有甲（年龄），乙（年龄）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的平均数和方差．22. 为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为.（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为，求的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第个等级的概率为，证明：为等比数列.。

2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。

“顶尖计划”2023届高中毕业班第一次考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}223,N ,18400A x x n nB x x x ==+∈=--<∣∣，则A B 中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400x x --<得：220x -<<，即{|220}B x x =-<<，而{}23,N A x x n n ==+∈∣，由22320n -<+<解得：51722n -<<，又N n ∈，显然满足51722n -<<的自然数有9个，所以A B 中的元素个数为9.故选：B 2.已知复数33i2i z =+，则z =（）A.1B.35C.355D.3【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】因为()()()33i 2i 3i 3i 36i 2i 2i 2i 2i 55z +====-++--+，因此，5z ==.故选：C.3.已知非零向量a 、b满足a b =r r ，且()2a b b +⊥ ，则,a b <>= （）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】由已知可得出()20a b b +⋅= ，利用平面向量数量积的运算性质求出cos ,a b <> 的值，结合平面向量夹角的取值范围可求得结果.【详解】因为()2a b b +⊥ ，则()222cos ,0a b b a b a b b +⋅=⋅<>+= ，a b = ，可得1cos ,2a b <>=- ，因为0,πa b ≤<>≤ ，因此，2π,3a b <>= .故选：C.4.某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A.2732B.916C.2764D.932【答案】A 【解析】【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率加法公式即可求解.【详解】解：因为每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，所以连续射击3次，至少命中两次的概率322333327C 144432P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A.5.已知函数()2sin 3cos f x x x =+在x ϕ=处取得最大值，则cos ϕ=（）A.13 B.13C.13-D.31313-【答案】A 【解析】【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可.【详解】()()2sin 3cos f x x x x θ=+=+，其中θ为锐角，sin 13θ=.因为当x ϕ=处取得最大值，所以22πϕθπ+=+k ，k Z ∈，即22πϕθπ=-+k ，k Z ∈，所以313cos cos 2sin 213πϕθπθ⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭k .故选：A6.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，且当[2,2)x ∈-时，2()4f x x =-，则(2021)f =（）A.3-B.1- C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，探讨出函数()f x 的周期，再结合已知函数式求解作答.【详解】因R 上的偶函数()f x 满足()(4)0f x f x +-=，即有()()()4f x f x f x -=-=--，则(8)(4)()f x f x f x -=--=-，因此，函数()f x 是周期为8的周期函数，2(2021)(25285)(5)(1)[(1)4]3f f f f =⨯+==--=---=.故选：D7.我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述:“今有圆堡壔（dăo ），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺.则该圆柱的外接球的表面积约为（）（注:1丈=10尺，π取3）A.1185平方尺B.1131平方尺C.674平方尺D.337平方尺【答案】B 【解析】【分析】根据题意作图，再由底面周长求得底面半径，连接上下底面圆心，取中点为外接圆的圆心，根据勾股定理，可得外接圆半径，可得答案.【详解】由1丈=10尺，则4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下图：则11,2·48BC AB π==，即8AB =，假设点D 为圆柱外接圆的圆心，即AD 为外接圆的半径，且112BD DC ==，在Rt ABD △中，222AB BD AD +=，解得294.25AD =，则外接球的表面积241131S AD π=⋅=，故选：B.8.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,A B C 三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A.28种B.32种C.36种D.42种【答案】C 【解析】【分析】先将甲、乙看成一个元素，然后先分组后排列可得.【详解】将甲、乙看成一个元素A ，然后将A 、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有21142122C C C 6A =种，再将3组分到3个不同小区有33A =6种，所以满足条件的安排方法共有66=36⨯种.故选：C9.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(,4)m -，其中0m <，若7cos 225α=-，则πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.2B.12-C.43-D.34-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求出tan α，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.【详解】依题意，4tan 0mα=->，又22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++，解得4tan 3α=，从而得3m =-，所以3πsin()π3πcos 132tan(tan()3π22sin tan 4cos(2m ααααααα-+=-===-=---.故选：D10.过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且斜率为1-的直线交C 于A 、B （其中A 在x轴上方）两点，交C 的准线于点M ，且16AB =，O 为坐标原点，则OM =（）A.2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式求出p 的值，可求得点M 的坐标，再利用平面间两点间的距离公式可求得OM 的值.【详解】抛物线C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，直线AB 的方程为2⎛⎫=--⎪⎝⎭p y x ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立222p y x y px⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得22304p x px -+=，2290p p ∆=->，由韦达定理可得123x x p +=，则12416x x p A p B =++==，可得4p =，联立22p x p y x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩可得2p x y p ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点()2,4M -，因此，OM ==.故选：D.11.已知32()2(2)3f x x a x x =+--是奇函数，则过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是（）A.1B.2C.3D.不确定【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出a ，再求出函数()f x 的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解作答.【详解】因函数()f x 是奇函数，则由()()0f x f x -+=得()2220a x -=恒成立，则2a =，即有3()23f x x x =-，2()63'=-f x x ，设过点(1,2)P -向曲线()y f x =所作切线与曲线()y f x =相切的切点为3000(,23)Q x x x -，而点(1,2)P -不在曲线()y f x =上，则320000232631x x x x ---=+，整理得32004610x x +-=，即2000(21)(221)0x x x ++-=，解得012x =-或0132x -±=，即符合条件的切点有3个，所以过点(1,2)P -向曲线()y f x =可作的切线条数是3.故选：C12.设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为点12(,0),(,0)F c F c -，过点(2,0)P c -且斜率为12的直线与双曲线的左、右两支分别交于,M N 两点，若||3||PN PM =，且直线2F N 的斜率为3，则Γ的离心率为（）A.132B.2C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】通过题意可以得到直线PN 和直线2NF 的方程，两条方程联立可以得到N 的坐标，代入双曲线即可求出答案【详解】解：由题意可得直线PN 的方程为()122y x c =+，直线2NF 的方程为()3y x c =-，所以()()1223y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得8595c x cy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将89,55c c N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入双曲线可得2222648112525c c a b-=即()22222648112525c c a c a -=-，所以2264811125251e e -=⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为1,e >所以e =故选：B二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()log (1)f x x a =-+在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为_____.【答案】(1,0)-【解析】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得()f x 为单调递增函数，且函数()f x 在(2,3)上有且仅有一个零点，所以()()230f f ⋅<，即(1)0a a ⋅+<，解得10a -<<，所以实数a 的取值范围是(1,0)-，故答案为：(1,0)-14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数:()f x =_____.①()()()1212f x x f x f x =+;②当,()0x ∈+∞时，()f x 单调递减;③()f x 为偶函数.【答案】12log x （不唯一）【解析】【分析】根据对数函数性质即可做出判断.【详解】性质①显然是和对数有关，性质②只需令对数的底01a <<即可，性质③只需将自变量x 加绝对值即变成偶函数.故答案为：12log x （不唯一）15.已知平面上的动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，则点P 到x 轴的距离最大值为_____.【答案】【解析】【分析】设(,)P x y ，然后根据题意列方程化简可得点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，为半径的圆，从而可求得答案.【详解】设(,)P x y ，因为动点P 到点(0,0)O 和(2,0)A 的距离之比为32，2=，22223(2)4x y x y +=-+，2222443(44)3x y x x y +=-++，221212x y x ++=22(6)48x y ++=，所以点P 的轨迹是以(6,0)-为圆心，所以点P 到x 轴的距离最大值为故答案为：16.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P 处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在,A B 处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C 为无人机在水平地面上的正投影.已知甲乙两人相距100m ，甲观察无人机的仰角为45︒，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC ，则这两个角可以是_____.（写出所有符合要求的编号）①BAC ∠和ABC ∠；②BAC ∠和PAB ∠;③PAB ∠和PBA ∠；④PAB ∠和ABC ∠.【答案】①③④【解析】【分析】①：根据已知先解ABC 得AC ，然后可得；②：根据已知直接判断可知；③：先解PAB △得PA ，然后可得；④：先由最小角定理的BAC ∠，解ABC 可得AC ，然后可得.【详解】①：当已知BAC ∠和ABC ∠时，在ABC 利用内角和定理和正弦定理可得AC ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故①正确；②：当已知BAC ∠和PAB ∠时，在ABC 已知一角一边，在PAB △中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知PAB ∠和PBA ∠时，在PAB △中已知两角一边，可解出PA ，然后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故③正确；④：当已知PAB ∠和ABC ∠时，可先由最小角定理求得BAC ∠，然后解ABC 可得AC ，最后在Rt PAC △中，由三角函数定义可得PC ，故④正确.故答案为：①③④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知251,15a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若23log 2n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）23n a n =-（2）1(25)210n n T n +=-⨯+【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组直接求解可得；（2）由错位相减法可得.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由题设可得111,51015a d a d +=⎧⎨+=⎩解得112,a d =-⎧⎨=⎩所以1(1)223n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由（1）知2log 23n b n n =-，所以223nn bn =-可得(23)2nn b n =-⨯，所以231121232(25)2(23)2n n n T n n -=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②②减①可得:341112222(23)2n n n T n ++=⨯----+-⨯ 118(12)(23)2212n n n -+⨯-=-⨯+--1(25)210n n +=-⨯+18.某工厂共有甲、乙两个车间，为了比较两个车间的生产水平，分别从两个车间生产的同一种零件中各随机抽取了100件，它们的质量指标值m 统计如下:质量指标值m [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲车间（件）152025319乙车间（件）510153931（1）估计该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表（表中数据单位:件），并判断是否有99%的把握认为甲、乙两个车间的生产水平有差异.60m <60m ≥合计甲车间乙车间合计附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P K k≥0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）58；（2）列联表见解析，有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.【解析】【分析】（1）根据给定的数表，求出各组数据的频率，再列式计算作答.（2）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值，再与临界值比对作答.【小问1详解】由所给数据，各组的频率分别为0.1，0.15，0.2，0.35，0.2，所以该工厂生产这种零件的质量指标值m 的平均数的估计值为：100.1300.15500.2700.35900.258⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】22⨯列联表如下：60m <60m ≥合计甲车间6040100乙车间3070100合计90110200所以22200(60704030)18.18210010090110K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为18.182大于6.635，所以有99%把握认为甲乙两个车间的生产水平有差异.19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,24,ACB AA AC BC M ︒∠====为棱1AA 上靠近1A 的三等分点，N 为棱AC 的中点，点P 在棱BC 上，且直线PN ∥平面1BMC .（1）求PC 的长;（2）求二面角1P BM C --的余弦值.【答案】（1）23PC =（2）22110【解析】【分析】(1)在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，根据面面平行判定定理证明平面PQN平面1BMC ，再根据面面平行性质定理确定CQ 的长即可，(2)建立空间直角坐标系，求出平面PBM ，平面1BC M 的法向量，根据二面角向量公式求二面角1P BM C --的余弦值.【小问1详解】在1CC 上取一点Q ，使得CP CQ =，连接,PQ NQ .由已知得11CC AA CB ==，所以1CQ CPCC CB=所以1PQ BC ∥.因为PQ ⊄平面1BMC ，1BC ⊂平面1BMC ，所以PQ ∥平面1BMC .又因为PN ∥平面1,BMC PN PQ P ⋂=，,PN NQ ⊂平面PQN ，所以平面PQN 平面1BMC .平面11ACC A 平面PQN QN =，平面11ACC A 平面11BC M MC =，根据面面平行的性质可知1//MC QN .在矩形11ACC A 中，可得11CQN A MC ∽，所以11123A M CQ CN A C ==，所以2233PC CQ CN ===.【小问2详解】以C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则182(0,0,0),(0,0,4),(0,4,0),2,0,,0,,033C C B M P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.114(0,4,4),2,0,3C B C M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，8102,4,,0,,033BM BP ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，设平面1C MB 的法向量为()111,,m x y z =r，则110,0,C B m C M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111440,420,3y z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取13z =得()2,3,3.m = 设平面PMB 的法向量为()222,,n x y z =r ，则0,0,BM n BP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 所以22228240,3100,3x y z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取23z =-，得()4,0,3.n =- 所以22cos ,110m n m n m n ⨯++⨯-⋅===-⋅结合图可知二面角1PBM C --的余弦值为110.20.过椭圆22:143x y C +=上任意一点P 作直线:l y kx p=+（1）证明:2234p k + ;（2）若0,p O ≠为坐标原点，线段OP 的中点为M ，过M 作l 的平行线,l l ''与C 交于,A B 两点，求ABP △面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）32.【解析】【分析】（1）联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，由题意，该方程有解，则判别式大于等于零，可得答案.（2）设出题目中的两点，根据平行，设出另一条直线，根据中点，找出两直线的截距之间的关系，联立椭圆方程与直线方程，消元整理一元二次方程，写出韦达定理，根据三角形的等积变换，利用分割法，整理函数，根据（1），可得答案.【小问1详解】联立221,43,x y y kx p ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kpx p +++-=，因为点P 在C 上，所以()()2222644412340,k p p k ∆=--+ 化简得2234p k + .【小问2详解】设:l y kx m '=+，点()00,P x y ，则00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭.由已知得00y kx p =+，所以00222y x p k =⋅+，即点00,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭满足方程2p y kx =+，所以2p m =.由221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2223484120k x kmx m +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++.所以122.34x x k-==+∣所以121||2ABPABOSS m x x ==-==令2234m t k =+，因为2223444p k m += ，所以10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.所以32ABPS ==所以ABP △面积的最大值为32.21.设函数()()e xf x mx m m =--∈R .（1）讨论()f x 的单调性;（2）若()f x 有两个零点1x 和2x ，设1202x x x +=，证明：()00f x '>（()f x '为()f x 的导函数）.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分0m ≤、0m >两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的增区间和减区间；（2）由函数零点的定义可得出1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，可得出1212e e x x m x x -=-，将所证不等式等价变形为12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，构造函数()e e 2t t g t t -=--，其中0t >，利用导数分析函数()g t 的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】解：因为()e x f x mx m =--，则()e xf x m '=-，若0m ≤，对任意的x ∈R ，则()0f x '<，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；若0m >，令()e 0xf x m '=-=，得ln x m =，当ln x m <时，()0f x '>，当ln x m >时，()0f x '<.所以()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.综上所述，当0m ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当0m >时，函数()f x 的增区间为(),ln m -∞，减区间为()ln ,m +∞.【小问2详解】证明：不妨令12x x >，由题设可得1212e 0e 0x x mx m mx m ⎧--=⎨--=⎩，两式相减整理可得1212e e x x m x x -=-.所以()1212121222012e e ee 2x x x x x x x xf x f m x x ++''+-⎛⎫==-=- ⎪-⎝⎭，要证()00f x '>，即证1212212e e e 0x x x x x x +-->-，即证12212212eex x x x x x --->-，令1202x x t -=>，即证e e 2t t t -->，其中0t >，构造函数()e e 2ttg t t -=--，其中0t >，则()e e 220t t g t -'=+->=，所以，函数()g t 在()0,∞+上单调递增，所以，当0t >时，()()00g t g >=，即e e 2t t t -->，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2(cos sin )(,0),(cos sin )x m m y m ϕϕϕϕϕ=-⎧≠⎨=+⎩为参数以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 504πθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）写出l 的直角坐标方程;（2）若l 与C 只有一个公共点，求m 的值.【答案】（1）50x y +-=（2）102=±m 【解析】【分析】(1)利用和差化积的正弦公式把直线l 的极坐标方程展开，再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求解.(2)先得出曲线C 的普通方程，再联立方程，利用判别式等于0即可求解.【小问1详解】由l 的极坐标方程可得sin cos 50ρθρθ+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可知，直角坐标方程为：50x y +-=.【小问2详解】由C 的参数方程可得2222x y m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 的普通方程为222480x y m +-=.联立方程22250480x y x y m +-=⎧⎨+-=⎩得：2254010080x x m -+-=，因为直线l 与曲线C 只有一个公共点，所以()222404510081604000m m∆=-⨯⨯-=-=，解得：2=±m .[选修4-5:不等式选讲]23.已知,,a b c 均为正实数，且1abc =.（1）求124a b c++的最小值;（2）证明:222++≥+++++bc ac ab b c a c a b.【答案】（1）6（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元基本不等式求解即可.（2）利用基本不等式证明即可得到答案.【小问1详解】由基本不等式可知1246++≥==a b c ，当且仅当124a b c ==，即1,1,22a b c ===时等号成立，所以124a b c++的最小值为6.【小问2详解】因为1abc =，所以111bc ac ab a b c++=++.11242+≥=≥=++a b a b a b .同理可得114b c b c+≥+，114a c a c+≥+所以4111442⎛⎫++≥++⎪+++⎝⎭a b c b c a c a b，当且仅当a b c==时等号成立.所以111222++≥+++++a b c b c a c a b，即222. ++≥+++++ bc ac abb c a c a b。

2020届全国100所名校高三模拟金典卷（一）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，则A B =U （ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|24}x x -≤≤ C ．{|22}x x -≤≤ D ．{|24}x x -<≤【答案】B【解析】直接利用并集的定义计算即可. 【详解】由已知，集合{|24},{|22}A x x B x x =-<≤=-≤<，所以{|24}A B x x ⋃=-≤≤. 故选：B 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2．已知a 是实数，()11a a i -++是纯虚数，则复数z a i =+的模等于（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】()11a a i -++是纯虚数可得1a =，则1z i =+，再根据模的计算的公式计算即可. 【详解】()11a a i -++是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，即1a =，所以1z i =+，||z =故选：C 【点睛】本题考查复数模的计算，涉及到复数的相关概念，是一道容易题.3．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+，则宣传费用为3万元时销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【解析】由题表先计算出x ，将其代入线性回归方程即可. 【详解】 由已知，1(4235) 3.54x =+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =. 故选：D 【点睛】本题考查线性回归方程的简单应用，回归方程一定过样本点的中心(,)x y ，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．已知在等差数列{}n a 中，34576, 11a a a a ++==，则1a =（ ） A ．3 B ．7C ．7-D ．3-【答案】C【解析】由3456a a a ++=，可得42,a =结合7 11a =，可得公差d ，再由413a a d =+可得1a . 【详解】由等差数列的性质，得345436a a a a ++==， 所以42,a =公差7493743a a d -===-， 又4132a a d =+=，所以17a =-. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列的性质及等差数列基本量的计算，考查学生的运算能力，是一道容易题.5．已知抛物线24y x =的准线与圆2260x y x m +--=相切，则实数m 的值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【答案】B【解析】由题可得准线方程为1x =-，再利用圆心到直线的距离等于半径计算即可得到答案. 【详解】由已知，抛物线的准线方程为1x =-，圆2260x y x m +--=的标准方程为22(3)9x y m -+=+，由1x =-与圆相切，所以圆心到直线的距离()314d =--==， 解得7m =. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.6．已知平面向量a r ，b r满足a =r ，||3b =r ，(2)a a b ⊥-r r r ，则23a b -r r （ ）A ．BC ．4D ．5【答案】A【解析】由(2)0a a b ⋅-=r r r，可得2a b ⋅=r r，将其代入|23|a b -==r r .【详解】由题意可得||2a ==r ，且(2)0a a b ⋅-=r r r，即220a a b -⋅=r r r，所以420a b -⋅=r r， 所以2a b ⋅=r r.由平面向量模的计算公式可得|23|a b -==r r==故选：A 【点睛】本题考查利用数量积计算向量的模，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 7．已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意的R x ∈，总有()()123f x f x -++=成立，则函数()y f x =的图象（ ） A ．关于点()1,2对称 B ．关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于点()3,3对称 D ．关于点()1,3对称【答案】B【解析】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，再结合()()123f x f x -++=简单推导即可得到. 【详解】设(,)A x y 是()y f x =图象上任意一点，A 关于(,)a b 对称的点为()'2,2A a x b y --也在()y f x =的图象上，则(2)(1(21))3(221)f a x f x a f x a -=--+=-+-+3(32)2()f a x b f x =--+=-，所以有23,320b a =-=，解得33,22a b ==.所以函数()y x =的图象关于点33,22⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的逻辑推理能力，当然也可以作一个示意图得到，是一道中档题.8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【答案】C【解析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.9．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数的奇偶性可排除B ；由(1),(3)f f 可排除选项A 、D. 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．3π C ．29π D ．169π【答案】D【解析】由三视图可知该几何体为底面是圆心角为23π的扇形，高是4的圆锥体，再利用圆锥体积公式计算即可. 【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为23απ=的扇形，高是4的圆锥体， 容易算得底面面积2112442233S r παπ==⨯⨯=，所以其体积111644339V ππ=⨯⨯⨯=. 故选：D 【点睛】本题考查三视图还原几何体以及几何体体积的计算，考查学生的空间想象能力、数学运算能力，是一道中档题.11．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=+>的图象上存在()()12,0,,0A x B x 两点，||AB 的最小值为2π，再将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，所得图象对应的函数为()g x ，则()g x =（ ） A ．2sin 2x - B ．2sin2xC ．2cos 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由min ||2AB π=可得T π=，2ω=，再由平移变换及诱导公式可得()g x 的解析式.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为||AB 的最小值为12222T ππω=⨯=，解得2ω=. 因为函数()y f x =的图象向左平移3π个单位长度， 所得图象对应的函数为()g x ， 所以()2sin 22sin(2)2sin 233g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故选：A 【点睛】本题考查三角函数图象的变换，涉及到辅助角公式、诱导公式的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.12．如图所示，在棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为2，22PD PA PC ===，.在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（ ）A ．2B 21C ．2D 21【答案】D【解析】由题意，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD ，SA SB SC SP 、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R ，求出四棱锥的表面积S 以及四棱锥的体积P ABCD V -，利用公式13P ABCD V S -=⨯R ⨯，计算即可. 【详解】由已知，22PD AD PA ===，，所以222PD AD PA +=，所以PD AD ⊥，同理PD CD ⊥，又CD AD D =I ，所以PD ⊥平面ABCD ，PD AB ⊥，又AB AD ⊥，PD AD D ⋂=，所以AB ⊥平面PAD ，所以PA AB ⊥，设此球半径为R ，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连接SD，SA SB SC SP、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R.四棱锥的体积211222 3323P ABCD ABCDVS PD-⨯=⨯⨯=⨯=W，四棱锥的表面积S22112222222242222PAD PAB ABCDS S S=++=⨯⨯+⨯⨯⨯+=+ V V W，因为13P ABCDV S-=⨯R⨯，所以3222142221P ABCDVRS-====-++.故选：D【点睛】本题考查几何体内切球的问题，考查学生空间想象能力、转化与化归的能力，是一道有一定难度的压轴选择题.二、填空题13．设实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则34z x y=-的最大值是__________.【答案】4【解析】作出可行域，344zy x=-，易知截距越小，z越大，【详解】根据实数x，y满足约束条件101010yx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图，平移直线34y x=即可得到目标函数的最大值.344z y x =-，易知截距越小，z 越大，平移直线34y x =，可知当目标函数经过点A 时取得最大值，由11y y x =-⎧⎨=--⎩，解得()0,1A -，所以max 304(1) 4.z =⨯-⨯-=故答案为：4 【点睛】本题考查简单的线性规划及应用，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.14．曲线()e 43xf x x =+-在点()(0,)0f 处的切线方程为__________.【答案】52y x =-【解析】直接利用导数的几何意义计算即可. 【详解】因为()02f =-，'()4xf x e =+，所以'0(0)45f e =+=，所以切线方程为()25y --=()0x -，即5 2.y x =- 故答案为：52y x =- 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a +=+，则数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】122n n +--【解析】利用累加法可得数列{}n a 的通项公式，再利用分组求和法求和即可. 【详解】由已知，12nn n a a +-=，当2n ≥时，()()()211213211212222112n n n n n n a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+==--，又11a =满足上式，所以21nn a =-，()212122222212n n n n S n n n +-=++⋅⋅⋅+-=-=---.故答案为：122n n +-- 【点睛】本题考查累加法求数列的通项以及分组求和法求数列的和，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.16．已知双曲线22221x y a b-=（0b a >>）的左、右焦点分别是1F 、2F ，P 为双曲线左支上任意一点，当1222PF PF 最大值为14a时，该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】112222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，1PF c a ≥-，分2c a a -≤，2a c a ≥-两种情况讨论，要注意题目中隐含的条件b a >.【详解】由已知，11222111224|24|2PF PF a PF PF aPF a PF ==+++，因为1PF c a ≥-，当2c a a -≤时，21121444a a PF a PF ≤=++，当且仅当12PF a =时，1222PF PF 取最大值14a， 由2a c a ≥-，所以3e ≤；当2c a a ->时，1222PF PF 的最大值小于14a，所以不合题意.因为b a >，所以22211b e a=->，所以2e >，所以2 3.e <≤故答案为：(2,3] 【点睛】本题考查双曲线的离心率的取值范围问题，涉及到双曲线的概念与性质及基本不等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题17．某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.成绩分组 频数[)75,80 2 [)80,85 6[)85,90 16[)90,9514[)95,1002高二（1）若成绩不低于80分为“达标”，估计高一年级知识竞赛的达标率；（2）在抽取的学生中，从成绩为[]95,100的学生中随机选取2名学生，代表学校外出参加比赛，求这2名学生来自于同一年级的概率. 【答案】（1）0.85；（2）715【解析】（1）利用1减去[)75,80的概率即可得到答案；（2）高一年级成绩为[]95,100的有4人，记为1234, , , A A A A ，高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B ，然后利用列举法即可.【详解】（1）高一年级知识竞赛的达标率为10.0350.85-⨯=.（2）高一年级成绩为[]95,100的有0.025404⨯⨯=（名），记为1234, , , A A A A ， 高二年级成绩为[]95,100的有2名，记为12,B B .选取2名学生的所有可能为121314111223242122343132414212, , , , , , , , , , , , , , A A A A A A A B A B A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共15种；其中2名学生来自于同一年级的有12131423243412,,,,,,A A A A A A A A A A A A B B ，共7种. 所以这2名学生来自于同一年级的概率为715. 【点睛】本题考查统计与古典概率的计算，涉及到频率分布直方图和频数分布表，考查学生简单的数学运算，是一道容易题.18．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别是a b c 、、，且2B A C =+，b =. （1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值【答案】（1）4；（2）【解析】（1）由已知，易得3B π=，由正弦定理可得34c a =，再由角B 的余弦定理即可得到答案；（2）正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，所以,a A c C ==，sin )a c A C +=+，再利用两角和的正弦公式以辅助角公式可得6a c A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，即可得到最大值.【详解】（1）因为2B A C =+， 又A B C π++=，得3B π=.又3sin 4sin C A =，由正弦定理得34c a =，即34a c =， 由余弦定理2222cosb ac ac B =+-，得22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =或4c =-（舍）.（2）由正弦定理得sin sin sin a c b A C B ===，,a A c C ∴==，sin )a c A C ∴+=+sin()]A A B =++1sin sin sin sin cos322A A A A A π⎡⎤⎤⎛⎫=++=++⎢⎥ ⎪⎥⎝⎭⎦⎣⎦6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由203A π<<，得5666A πππ<+=，当62A ππ+=，即3A π=时，max ()a c +=.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角和的正弦公式及辅助角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题. 19．在菱形ABCD 中，,3ADC AB a π∠==，O 为线段CD 的中点（如图1）．将AOD △沿AO 折起到'AOD △的位置，使得平面'AOD ⊥平面ABCO ，M 为线段'BD 的中点（如图2）．（Ⅰ）求证：'OD BC ⊥； （Ⅱ）求证：CM ∥平面'AOD ； （Ⅲ）当四棱锥'D ABCO -的体积为32时，求a 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）见解析. （Ⅲ） 2a =.【解析】（Ⅰ）证明OD '⊥AO ． 推出OD '⊥平面ABCO ． 然后证明OD '⊥BC ．（Ⅱ）取P 为线段AD '的中点，连接OP ，PM ；证明四边形OCMP 为平行四边形，然后证明CM ∥平面AOD '；（Ⅲ）说明OD '是四棱锥D '﹣ABCO 的高．通过体积公式求解即可． 【详解】（Ⅰ）证明：因为在菱形ABCD 中，3ADC π∠=，O 为线段CD 的中点，所以'OD AO ⊥． 因为平面'AOD ⊥平面ABCO 平面'AOD I 平面ABCO AO =，'OD ⊂平面'AOD ，所以'OD ⊥平面ABCO ． 因为BC ⊂平面ABCO ，所以'OD BC ⊥． （Ⅱ）证明：如图，取P 为线段'AD 的中点，连接OP,PM ； 因为在'ABD ∆中，P ，M 分别是线段'AD ，'BD 的中点， 所以//PM AB ，12PM AB =． 因为O 是线段CD 的中点，菱形ABCD 中，AB DC a ==，//AB DC ， 所以122a OC CD ==． 所以OC //AB ，12OC AB =． 所以//PM OC ，PM OC =．所以四边形OCMP 为平行四边形， 所以//CM OP ，因为CM ⊄平面'AOD ，OP ⊂平面'AOD ，所以//CM 平面'AOD ；（Ⅲ）由（Ⅰ）知'OD ⊥平面ABCO ．所以'OD 是四棱锥'D ABCO -的高，又S=23332228a a a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭= ,'2a OD = 因为3133'3162a V S OD =⨯⨯==， 所以2a =． 【点睛】本题考查线面平行与垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力,是基础题20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过点F 的直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+u u u r u u u r u u u r，可得四边形AOBE为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△将根与系数的关系代入化简即可解决. 【详解】 (1)由已知得12c a =， Q 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+Q，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）Q 过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB =+u u u r u u u r u u u rQ ，∴四边形AOBE 为平行四边形，122122||234AOBS OF y y t S =∴⨯-===+△1m =≥， 得2621313m S m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 32S =. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.21．设函数()2a 2xf x x alnx (a 0)x -=-+>． (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)记函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()g a 1<．【答案】（I ）()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（II ）详见解析. 【解析】（I ）对函数()f x 求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到()g a ，要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a--<，即证明2111ln a a a--<， 构造函数()211ln 1h a a a a=++-，用导数的方法求函数()h a 的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）显然()f x 的定义域为()0,+∞．()()()()222242332222221x x a x x a x a x x f x a x x x x x+----++=-⋅='-+=． ∵220x +>，0x >，∴若()0,x a ∈，0x a -<，此时()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减； 若(),x a ∈+∞，0x a ->，此时()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增； 综上所述：()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()min 1ln f x f a a a a a==--， 即：()1ln g a a a a a=--． 要证()1g a <，即证明1ln 1a a a a --<，即证明2111ln a a a--<， 令()211ln 1h a a a a =++-，则只需证明()211ln 10h a a a a=++->，∵()()()22333211122a a a a h a a a a a a'-+--=--==，且0a >， ∴当()0,2a ∈，20a -<，此时()0h a '<，()h a 在()0,2上单调递减； 当()2,a ∈+∞，20a ->，此时()0h a '>，()h a 在()2,+∞上单调递增， ∴()()min 1112ln21ln20244h a h ==++-=->．∴()211ln 10h a a a a=++->．∴()1g a <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，直线的参数方程为21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩，（t 为参数）.直线l 与曲线C 交于M N ，两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程.（2）设()2,1P --，若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求a 和的||MN 值.【答案】（1）22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，10x y -+=；（2）10.【解析】（1）利用直角坐标、极坐标、参数方程互化公式即可解决；（2）将直线参数方程标准化，联立抛物线方程得到根与系数的关系，再利用直线参数方程的几何意义即可解决. 【详解】（1）曲线2:cos 4sin (0)C a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ，可得22cos 4sin (0)a a ρθρθ=>，化简得24(0)x ay a =>；直线l 的参数方程为21x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得1x y -=-，即10x y -+=.（2）直线l 的参数方程21x ty t=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）化为标准式为21x y ⎧=-⎪⎪⎨='+'⎪-⎪⎩（'t 为参数），代入24(0)x ay a =>并整理得'2'1)8(1)0t a t a -+++=， 设M N ，两点对应的参数为''12, t t ，由韦达定理可得''121)t t a +=+，''128(1)0t t a ⋅=+>， 由题意得2||||||MN PM PN =⋅，即2''''1212t t t t -=⋅， 可得()2''''''1212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即232(1)40(1)a a +=+，0a >，解得1,4a =所以2''121||81104MN t t ⎛⎫=⋅=+= ⎪⎝⎭，||MN =【点睛】本题考查极坐标与参数方程的应用，涉及到极坐标方程、普通方程、参数方程的互化，以及直线参数方程的几何意义求距离的问题，是一道容易题. 23．已知函数()|||2|f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|21}x x-＃；（2）[7,3]-【解析】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，分2x -≤，21x -<<，1x ≥三种情况讨论即可；（2）()00,50x f x ∃∈-≥R ，则()min 5f x ≥，只需找到()f x 的最小值解不等式即可. 【详解】（1）当1a =时，()|1||2|f x x x =-++，①当2x -≤时，()21f x x =-- ，令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x ≥-，所以2x =-， ②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，21x ∴-<<，③当1x ≥时，()21f x x =+，令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤，所以1x =. 综上所述，不等式的解集为{|21}x x-＃.（2）0()|||2||()(2)||2|,f x x a x x a x a x =-++--+=+∃∈R Q …，有()050f x -…成立，∴要使()05f x ≥有解，只需|2|5a +≤，解得73a ≤≤-， ∴实数a 的取值范围为[7,3]-.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.。

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一 基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <Q题型二 利用基本不等式求最值类型一 直接法或配凑法利用基本不等式求最值1．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．2．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二 常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三 通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三 基本不等式的综合问题类型一 基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二 基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三 基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四 基本不等式与解析几何的交汇问题1． 已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

长春市2024届高三质量监测（一）地理木试卷共6页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项：1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

s.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

珠三角经济固（图1)包括“广佛坐”“深莞惠”和“珠中江”三大经济囡，共9个广东省内城市，城市间经济互动往来程度高。

近年来，珠三角经济阳积极融入港澳经济，共同打造粤港澳世界级城市群。

据此完成1~2题。

图1l．推测珠三角三大经济圈的划分标准(）A.行政区划B.地理位置 c.产业结构 D.地域文化2.目前，珠三角经济励城市间的经济互动晟可能表现为（A.各城市均衡发展，产业互补性较强B.各城市以服务业为主导，分工明确C.以广深为核心，周边城市协同发展D.周边城市辐射带动核心城市的发展家庭牧场是以家庭关系为主，辅之以亲朋、邻里关系，实行自主经营、自负盈亏、从事畜牧业商品性生产的、具有一定规桵的、相对独立的经济实体。

图2示意我国某地区家庭牧场羊养殖一般性生产活动农事安排。

据此完成3-4题。

II n n n w加1W II 6”“”“'l l 9川IO I I I IJ-I 12dII圈n 纹饮产ff 防11小干仆饵c二丛蹋门6什t.]“n出门re tlJ阳干、社mgr宁I I仁二｝r 11生产活动井仕财长rrr 生产沾动及王I.t 隅．占．图23.与大型国营牧场相比，家庭牧场（A.抵御风险能力强8.经营管理更规范 C.生产技术水平商D.生产方式更灵活4.该地区家庭牧场净收入最多的时间在（A. L~4月B. 4~7月c.7~1.0月D.IO～次年］，月秦代形成的任嚣城，乃广州筑城之始，其时的球江，水面宽阔，朝沙而退。

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

长郡十八校联盟2023届高三第一次联考（全国卷）理科数学试题一、单选题 1．已知集合{}21,0,430A y y x xB xx x x ⎧⎫==+>=-+<⎨⎬⎩⎭，则AB =（ ）A ．(1,)+∞B ．[2,3)C ．(1,2]D ．[2,)+∞2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数(2i)i z a =+（其中a ∈R ）为“等部复数”，则复数iz a +在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若x ，y 满足约束条件201030? x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23zx y=-的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．124．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是A ．210x -> B ．12x x+<- C ．sinx x -> D ．co s 0x x +>5．希尔伯特在1990年提出了孪生素数猜想,其内容是：在自然数集中,孪生素数对有无穷多个.其中孪生素数就是指相差2的素数对,即若p 和2p+均是素数,素数对(),2p p +称为孪生素数.从16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率为（ ） A ．13B ．15C ．17D ．3286．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列{}n a 的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记(1)nn nb a =-⋅，n *∈N ，则数列{}n b 的前20项和是（ ） A ．110B ．100C ．90D ．807．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．64B ．128C ．256D ．3848．八一广场是南昌市的心脏地带，江西省最大的城市中心广场，八一南昌起义纪念塔为八一广场标志性建筑，塔座正面携刻“八一南昌起义简介”碑文，东､南､西三面各有一幅反映武装起义的人物浮雕.塔身正面为“八一南昌起义纪念塔”铜胎鎏金大字，塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成.八一南昌起义纪念塔的建成，表达了亿万人民永远缅怀老一辈无产阶级革命家创建和培育解放军的丰功伟绩，鼓励国人进行新的长征.现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A 为纪念塔最顶端，B 为纪念塔的基座（即B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ､D 两点，测得C D 的长为m .兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有.A C B∠､A C D∠､B C D ∠､A D C∠､B D C ∠，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出纪念塔高度A B 的是（ ）A ．m A CB BCD B D C ∠∠∠、、、 B ．m A C B B C D A C D ∠∠∠、、、 C ．m A C B A C D A D C ∠∠∠、、、 D ．m A C B B C D A D C ∠∠∠、、、9．将函数()c o s 2f x x=的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122fx g x -=的12,xx ，总有12x x -的最小值等于π6，则ϕ=（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π1210．已知R λ∈，函数21,0,()()412lg ,0,x x f x g x x x x x λ⎧+<==-++⎨>⎩，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭11．双曲线22:13xCy-=的左焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若过A ，B和点0)M 的圆的圆心在y 轴上，则直线l 的斜率为（ ）A．2±B．C ．1± D ．32±12．《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P A B C D -（如图），P A ⊥平面,1,2,3A B C D P A A B A D ===，点E ，F 分别在,A B B C 上，当空间四边形P E F D 的周长最小时，三棱锥P A D F-外接球的表面积为（ ）A ．9πB ．11πC ．12πD ．16π二、填空题13．已知7280128(1)(21)x x a a x a x a x-+=++++，则2a 等于___________.14．已知向量()2,1a =r ，()1,0b=，()1,2c=，若()ca mb ⊥+，则m=___________.15．已知ππ,s in 2c o s 2s in c o s 122βαβααβ-<-<+=-=，则πc o s 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭___________. 16．设函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 的两个极值点分别为12,xx .若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．在数列{}n a 中，616a =，点()()1,n n a a n *+∈N在直线30x y -+=上.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若2nnnb a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .18．基础学科招生改革试点，也称强基计划，强基计划是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域.某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x ）和物理成绩（y ），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A ，B .经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试.为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：5015800i i x ==∑，5013900i i y ==∑，501462770i i i x y ==∑，()502128540ii x x=-=∑，()502118930ii y y=-=∑，其中,i i x y 分别表示这50名考生的数学成绩､物理成绩，1i =，2，…，50，y 与x 的相关系数0.45r≈.(1)若不剔除A ，B 两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r .试判断0r 与r 的大小关系（不必说明理由）；(2)求y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B 考生加了这次物理考试（已知B 考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到0.1）附：线性回归方程ˆˆˆyab x =+中：()()()121ˆˆˆ,niii nii xxy yb ay b x xx==--==--∑∑.19．如图，在四棱锥P A B C D-中，E 为棱A D 上一点，,P E A D P A P C⊥⊥，四边形B C D E为矩形，且13,,//4B CP E B E P F P C P A ====平面B E F .(1)求证：P A⊥平面P C D ；(2)求二面角FA B D--的大小.20．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知直线5y =与椭圆2222:1(0)x y Ca b ab+=>>交于,P Q 两点（P 在x 轴上方），且65P Q a=，设点P 在x 轴上的射影为点N ，P Q N V 的5抛物线2:2(0)Eyp x p =>的焦点与椭圆C的焦点重合，斜率为k 的直线l 过抛物线E 的焦点与椭圆C 交于,A B 两，点，与抛物线E 交于,C D 两点.(1)求椭圆C 及抛物线E 的标准方程；(2)是否存在常数λ||||A B C D λ为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.21．设函数311()s in c o s 0,()()s in 222f x x x x x g x f x x a x π⎛⎫=-<<=+- ⎪⎝⎭.(1)证明：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有唯一零点；(2)若任意[0,)x ∈+∞，不等式()0g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系x O y中，直线l 的参数方程为,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222c o s 2s in 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点. (1)求||||F A F B +的值； (2)若点P 是椭圆上任意一点，求P A B的面积最大值.23．已知函数()|21||3|f x x x =---.(1)求()f x 的最小值m ；(2)若a ，b 为正实数，且20a b m ++=，证明不等式225abba+≥.参考答案：1．B【分析】根据基本不等式求得集合A ，解一元二次不等式得集合B ，即可得集合的交集.【详解】∵10,2x y x x >=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，∴[2,)A =+∞，又∵{}{}()2430|131,3Bxx x x x =-+<=<<=，∴[2,3)AB =.故选：B. 2．D【分析】根据“等部复数”得a 的值，即可得22iz =+，从而得iza +，从而可确定其复平面内对应的点所对应的象限. 【详解】∵(2i)i 2iz a a =+=-+，又∵“等部复数”的实部和虚部相等，复数z 为“等部复数”，∴2a -=，解得2a =-， ∴22i z=+，∴22iz=-，即24iza i +=-，∴复数iza +在复平面内对应的点是(2,4)-，位于第四象限.故选：D. 3．D【分析】如图所示，画出可行域，233z y x =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z最大，根据图像得到答案. 【详解】画出可行域，如图所示：23z x y=-，则233z yx =-，3z-表示直线与y 轴的截距，截距最小时，z 最大，当直线过交点，310x x y =⎧⎨+-=⎩，即()3,2-时，6612z=+=.故选：D4．D【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-Q，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x xxx+++++==<，又sin x、[]c o s 1,1x ∈-，sinx x ∴->，co s 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D.【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题. 5．B【分析】先分析20以内的素数,再分析其中孪生素数的对数,再分别求解所以可能的情况种数以及孪生素数的对数求概率即可.【详解】20以内的素数有2,3,5,7,11,13共6个,从中任取两个共有15种可能,其中构成孪生素数的有3和5,5和7,11和13共3对,∴16以内的素数中任取两个,其中能构成孪生素数的概率31155P ==.故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的问题,需要根据题意分析总的情况数以及满足条件的基本事件数.属于基础题. 6．A【分析】根据所给数列的项归纳出通项公式，利用分组求和法求和即可. 【详解】观察此数列可知，当n为偶数时，22nna =，当n为奇数时，212nn a -=，因为221,2(1)2nn n n n b a nn ⎧--⎪⎪=-⋅=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，所以数列{}n b 的前20项和为：(02)++2219120(48)(1218)()22--++-+++-+10(220)246201102⨯+=++++==，故选：A 7．B【分析】根据三视图得到该几何体是一个四棱锥求解. 【详解】解：如图所示：由三视图知：该几何体是一个四棱锥， 其底面积为8864S=⨯=，高为6h=，所以其体积为11283V S h ==，故选：B 8．B【分析】依据解三角形的条件，逐项判断可解三角形求出塔高度A B 的选项即可． 【详解】对于A ：由m ，B C D ∠､B D C ∠可以解B C D △，又tan A B B C A C B=⋅∠，可求塔高度A B ；对于B ：在B C D △中，由,C D m B C D=∠无法解三角形，在A C D中，由,C Dm A C D=∠无法解三角形，在B C A V 中，已知两角A C B A B C ∠∠、无法解三角形，所以无法解出任意三角形，故不能求塔高度A B ； 对于C ：由C Dm=，∠∠A C D A D C 、可以解A C D，可求A C ，又sin A BA C A C B=⋅∠，即可求塔高度A B ；对于D ：如图，过点B 作B EC D⊥于点E ，连接A E ，由c o s ,c o s B C E C A C B B C D A CB C∠=∠=，c o s E C A C E A C∠=，知co s c o s c o s A C E A C B B C D∠=∠⋅∠，故可知A C D∠的大小，由A C D∠､A D C∠､m 可解A C D，可求A C ，又s i n AB A CA C B=⋅∠，可求塔高度A B . 故选：B. 9．C【分析】根据函数图象平移规律可得函数()g x 的图象，由()()122fx g x -=、12m inπ6x x -=设1x=，则2π6=±x ，分别利用πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭、πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求出ϕ可得答案. 【详解】函数()c o s 2f x x=的周期为π，将函数的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，可得()c o s(22)g x x ϕ=-，由()()122fx g x -=可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且12m inπ6x x -=，不妨设1x=，则2π6=±x ，即()g x 在2π6=±x 时取得最小值，由于πc o s 2216ϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时ππ,3ϕ=--∈k k Z ，不合题意；πc o s 2216ϕ⎡⎤⎛⎫⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，此时2ππ,3ϕ=--∈k k Z，当1k=-时，π3ϕ=满足题意.故选：C. 10．B【分析】数形结合法，令()g x t =，可得方程()f t λ=的解有3个，对应的一元二次方程各有2个不相等的实数根，利用判别式求解λ的范围. 【详解】令()g x t =，则方程()f t λ=的解有3个，由图象可得，01λ<<，且三个解分别为1231,1,10t t t λλλ=--=-+=，则24121x x λλ-++=--，24121x x λλ-++=-+，241210x x λλ-++=，均有两个不相等的实根， 则1∆>，且2∆>，且3∆>，即164(23)0λ-+>且164(2)0λ-+>，解得203λ<<，当203λ<<时，()316412104(3210)λλλλ∆=-+-=-+，因为203λ<<，所以4203λ-<-<，所以53233λ<-<，且100λ>，所以32100λλ-+>，即3∆>恒成立，故λ的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:B. 11．A【分析】利用韦达定理结合P GA B⊥可得283m tm=-，再根据弦长公式表示得A B,结合2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可求直线l 的斜率.【详解】由题意可知：(2,0)F -，设()11,A x y ，()22,B x y ，A B 的中点为P ， 过点A ，B ，M 的圆的圆心坐标为(0,)G t，则||G Mr==，由题意知：直线A B 的斜率存在且不为0，设直线A B 的方程为：2xm y =-，联立方程组222,1,3x m y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩化简整理可得，()223410m y m y --+=，则230m -≠，()222164312120mmm∆=--=+>，12122241,33m y y y y mm+==--，故A B 的中点P 的纵坐标122223p y y m y m+==-，横坐标2623pp x m y m=-=-，则2262,33mP mm⎛⎫⎪--⎝⎭，由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，所以222363P Gmtm k m m--==---，化简整理可得：283m tm=-①，则圆心(0,)G t 到直线A B的距离d=)221||3m A B m+===-，2221||2rdA B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()()222222231(2)713mm t tmm+-+=++-，将①代入可得：()()()2222222222282313647133m mm mmmm⎛⎫- ⎪+-⎝⎭+=++--，即()()()()2222222222316436367333mmm mmm+++=+---，整理可得：42560m m -+=，则()()22230m m--=，因为230m -≠，所以220m-=，解得m=∴12km ==±.故选:A. 12．B【分析】把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F =.∴点E 为A B 的中点.设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，则2s in 45︒=A F r，利用勾股定理进而得出结论. 【详解】如图所示，把,A P P B 剪开，使得P A B与矩形A B C D 在同一个平面内.延长D C 到M ，使得C MD C=，则四点P ，E ，F ，M 在同一条直线上时，P EE F F D++取得最小值，即空间四边形P E F D 的周长取得最小值.可得122C F PD ==，∴1B F=.∴点E 为A B的中点.如图所示，设A F D △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，易得45F D A ∠=，则2s in 45==︒A F r设三棱锥PA D F-外接球的半径为R ，球心为O ，连接1O O ，则11122O O P A ==，则222111224R⎛⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎝⎭.∴三棱锥PA D F-外接球的表面积24π11π==R.故选：B. 13．70-【分析】要求2a ，即求展开式中2x 项的系数，进而根据二项式定理求解即可； 【详解】解:因为777(1)(21)(21)(21)x x x x x -+=+-+，对于7(21)x +，其展开式通项为()777177C 22C kkkkkk T x x---+==.所以，7(1)(21)x x -+中含2x 的项为6252772C 2C x x x⋅-，所以展开式中含2x 的项系数为625772C 2C 70⨯-=-.故答案为：70-. 14．4-【分析】用向量的坐标运算即可. 【详解】依题意：()()211211200ca mb ca m cb m +=+=⨯+⨯+⨯+⨯= ，解得m =-4， 故答案为：-4.15．3-【分析】根据已知等式平方后相加可得()1sin 2βα-=-，即()1sin 2αβ-=，根据已知角度范围即可得6παβ-=，从而可得s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭得所求.【详解】等式sin 2c o s 2sin c o s 1βααβ+=-=，两边同时平方得22s in 4c o s 4s in c o s 2βαβα++=，24s in c o s 4s in c o s 1αβαβ+-=，两式相加，得414sin c o s 4sin c o s 3βααβ++-=，，整理得()1sin 2βα-=-，即1s i n()2αβ-=，因为ππ22βα-<-<，所以6παβ-=，得π6αβ=+，代入2sin c o s 1αβ-=，得2sin c o s 16πββ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即s in3β=πs in 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭则ππππc o s c o s s in 36263ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【分析】由函数()f x 有两个极值点分别为12,xx ，可知()f x 不单调，利用导数求得a 的范围，运用韦达定理可得122212ax x x x =+=+>，作差()()12f x fx -，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，通过求导，判断单调性可得22ex ≥，即可得到a 的范围.【详解】∵函数1()ln ()f x x a x a x=-+∈R 有两个极值点分别为12,x x ，()f x 的定义域为221(0,),()x a x f x x-'++∞=-，令2()1g x x a x =-+，其判别式2Δ4a =-，当22a -≤≤时，Δ0,()0,()f x f x '≤≤在(0,)+∞上单调递减，不合题意.当2a <-时，Δ0,()0g x >=的两根都小于零，在(0,)+∞上，()0f x '<，则()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意. 当2a>时，Δ0>，设()0g x =的两个根12,xx 都大于零，令1212122x x x x =<==，当10x x <<时，()0f x '<，当12xx x <<时，()0f x '>，当2xx >时，()0f x '<，故()f x 分别在区间()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在区间()12,x x 上单调递增，则122212a x x x x =+=+>，∴a 的取值范围是(2,)+∞.∵()()1211221211ln ln ⎛⎫-=-+--+=⎪⎝⎭f x fx x a x x a x x x ()()21211212ln ln x x x x a x x x x -+-+-，∴()()121212121212121ln ln ln ln 12fx fx x x x x aax x x x x x x x ---=--+=-+---，若()()2124124e2e 1fx fx a x x -≤---恒成立，则212412ln ln 4e22e 1x x aa x x --+≤---，∴212412ln ln 4ee 1x x x x -≤--，由12x x <，则()412122e 1lnln 4ex x x x --≤-.又121x x =，∴()422221e 12ln4ex x x --≤-，∴()4222221e 1ln 012ex x x x --+≤>①恒成立，记421e 1()ln (1)2eF x x x x x-=-+>，4221e 1()12e F x xx-=--+'，记()0F x '=的两根为4121e 122e x ⎡-⎢=-⎢'⎣，4221e 122e x ⎡-⎢=+⎢'⎣，()F x 在区间()21,x '上单调递增，在区间()2,x '+∞上单调递减，且易知2121e x x <<<<''.又()2(1)0,e0F F ==，∴当()2ex ∈1,时，()0F x >；当)2,e x ⎡∈+∞⎣时，()0F x ≤.故由①式可得，22ex ≥，代入方程()222210g x x a x =-+=，得222211e ea x x =+≥+.又2a>， ∴a 的取值范围是221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：221e,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题. 17．(1)32n a n =-；(2)1(35)210n n T n +=-⋅+.【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列定义判断求解作答. （2）利用（1）的结论，利用错位相减法求和作答. 【详解】（1）依题意，130n n a a +-+=，即13n na a +-=，因此数列{}n a 是公差为3的等差数列，则63(6)32na a n n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2nn b n =-⋅，则1321242(342)22nnT n =⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅-⨯++，于是23121242(35)2(32)2nn nT n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得1231122()23(222(32)2(3212)22)123n n n n nT n n +-+-=+++⋅⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+-1(53)210n n +⋅=--，所以1(35)210n nT n +=-⋅+.18．(1)0r r<(2)0.36 6.4ˆ32yx =+，估计B 考生的物理成绩约为81.2分【分析】（1）根据已知条件，结合散点图，即可求解．（2）根据已知条件，结合最小二乘法，以及线性回归方程的公式，求出线性回归方程，再将125x =代入，即可求解．【详解】（1）0r r<理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度，②52个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小， ③50个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大， ④50个数据点更贴近其回归直线l ， ⑤52个数据点与其回归直线更离散． （2）由题中数据可得：50501111116,785050i i i i xx y y ======∑∑，所以()()5050115010370iii i i i x xy yx y x y ==--=-=∑∑，所以()()()501502110370ˆ0.3628540iii ii xxy ybxx==--==≈-∑∑，780.36ˆˆ11636.24a y b x =-=-⨯=，所以0.36 6.4ˆ32y x =+，将125x =代入，得0.3612536.2481.2481.2y =⨯+=≈，所以估计B 考生的物理成绩约为81.2分. 19．(1)证明见解析 (2)π4【分析】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，利用线面平行的性质得//P A F G ，利用平行线分线段成比例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；（2）利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面A B F 与平面A B D 的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.【详解】（1）连接A C 交B E 于点G ，连接F G ，因为//P A 平面B E F ，平面P A C 平面B E FF G=，P A⊂平面P A C ，所以//P A F G ，又//B E C D，所以13A F A F A G P F D EB CG CF C====，又3D E=，所以1,4A EA D ==.因为P E A D⊥，所以2P A==，P D==所以222P A P D A D+=，所以P A P D⊥，又,,,P AP C P D P C P P D P C ⊥⋂=⊂平面P C D ，所以P A ⊥平面P C D . （2）因为P A ⊥平面P C D ，C D⊂平面P C D ，所以P AC D⊥，又,A D C D P A A D A ⊥⋂=，,P A A D⊂平面P A D ，所以C D⊥平面P A D ，又P E⊂平面P A D ，所以P EC D⊥，又P E A D⊥，A DC D D =,A D C D ⊂平面A B C D所以P E ⊥平面A B C D .如图建系，则3(1,0,0),(0,0),(3,0,0),,444A B D F ⎛-- ⎝⎭，7333,,,(1,3,0)444A F A B ⎛⎫=-- ⎝⎭，设平面A B F 的一个法向量为(,,)mx y z=，则720044400z y A F m x y z x A B m x ⎧⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎪⎩-+=⎩，取1y =，得2)m =，又平面A B D的一个法向量为(0,0,1)n=，所以2c o s ,2||||22m n m n m n ⋅〈〉===FA B D--为锐角，故二面角F A B D--的大小为π4.20．(1)2215xy+=，28yx=(2)存在，16λ=-【分析】（1）设()00005P xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由2P Q N P O NS S =△△解得1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭P ，利用13525O P P Q a====可得a=，再求得b 的值，即可得椭圆C 方程，由抛物线2:2(0)E yp x p =>的焦点与椭圆C 的焦点重合，即可得抛物线E 的标准方程；（2）设直线l 的方程为(2)yk x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x yB x yC x yD x y ，分别让直线l 与椭圆、抛物线联立，得交点坐标关系，从而得弦长，即可求得λ的值. 【详解】（1）由题意可设()00005P x x⎛⎫> ⎪⎝⎭，可得2P Q N P O N S S =△△，所以001255P O NS x x =⋅⋅=△，所以01x =，1,5⎛ ⎝⎭P ，所以13525O PP Q a====，所以a=，点P 坐标代入椭圆方程得1b =，所以椭圆C 方程为2215xy+=，所以2c=，即4p=，所以抛物线E 方程为28y x=.（2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y .直线l 的方程为(2)yk x =-，与椭圆C 的方程联立()22152x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222215202050k xk x k+-+-=，则()()()4222Δ4002051412010kkkk=-+-=+>恒成立，所以2212122220205,1515kk x x x x kk-+==++则)221||15kA Bk+==+.直线l 的方程为(2)y k x =-，与抛物线E 的方程联立28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得()22224840k x k x k -++=.()223434228148,||4kkx x C D x x kk+++==++=.()()()22222215(20)4||||218181k kk A B C D kkkλλλ+++=+=+++.||||A B C D λ+为常数，则204λ+=，得16λ=-.故存在16λ=-||||A B C D λ为常数.21．(1)证明见解析 (2)13a ≥【分析】（1）求导，根据导函数判断函数()f x 的单调性，再根据零点存在法则求解； （2）求导，根据导函数的结构，对a 分类讨论. 【详解】（1）π110,,()s in c o s ,()s in c o s 222x f x x x x f x x x x ⎛⎫∈=-=-' ⎪⎝⎭ ，令'()()h x f x = ，则'3()sin co s 02h x x x x =+> ，则π0,,()2x f x '⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，且''1ππ(0),222f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴'π0,,()02t f t ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭ ，'(0,),()0,()x t f x f x ∈<单调递减，'π,,()0,()2x t f x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭单调递增，且π1(0)0,022f f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，则()0<f t ，∴存在唯一零点0π,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，即()f x 有唯一零点；（2）3()s in c o s g x x x x a x=--，则'()(s in 3)g x x x a x =- ，又令'()s in 3,()c o s 3h x x a x h x x a=-=- ，①当31a≤-，即13a ≤-时，()0h x '≥ 恒成立，∴()h x 在区间[0,)+∞上单调递增，∴()(0)0h x h ≥=，∴'()0g x ≥ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g ≥=（不合题意）；②当31a≥即13a ≥时，'()0,()h x h x ≤在区间[0,)+∞上单调递减，∴()(0)0h x h ≤=，∴'()0g x ≤ ，∴()g x 在区间[0,)+∞上单调递减， ∴()(0)0g x g ≤=（符合题意）；③当131a -<<，即1133a -<<时，由''(0)130,(π)130h a h a =->=--< ，∴0(0,π)x ∃∈ ，使()'00h x = ，且()00,x x ∈时，''()0,()(0)0,()0h x h x h g x >>=> ，∴()g x 在()00,x x ∈上单调递增，∴()(0)0g x g >=（不符合题意）；综上，a 的取值范围是13a≥；【点睛】本题的函数类型是三角函数与非三角函数组合成的，对于这一类函数往往是在一个周期()2π 内讨论或半个周期()π内讨论 ；如果一次求导不能判断清楚导函数的符号，则需要多次求导，而且每次求导后都要研究导函数的解析式能否判断清楚导函数的符号，直至能判断清楚导函数的符号为止.22．(1)83(2)41)3【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆C 的标准方程，又直线l 经过点椭圆焦点F ，将直线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得||||F A F B +的值；（2）设点P 坐标为(2c o s in )θθ，直线l 的直角坐标方程为0x y --=，由点到直线的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得P A B的面积最大值.【详解】（1）由2222c o s 2s in 4ρθρθ+=得椭圆C 的方程为22142xy+=，其焦点F坐标为答案第16页，共16页0)，由题意得直线l 经过点F，其参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程整理得23210t t +-=，所以121221,33t t t t +=-=-，所以121282223F A F B t t t t +==+=-===（2）由椭圆方程22142xy+=，可设点P 坐标为(2c o s ,in )θθ，又直线l 的直角坐标方程为0x y --=，∴点P 到直线l的距离d ==ta n 2φ=，所以m a x 1d =+，因为18||,||||||23P A BS A B d A B F A F B =⋅=+=△，所以P A B323．(1)52m=-(2)证明见解析【分析】（1）讨论去绝对值可得()f x 的解析式及最小值；（2）由（1）可得5a b +=，利用基本不等式可得答案.【详解】（1）当12x <时，5()21322=-++-=--≥-f x x x x ，当132x ≤≤时，5()21334,52⎡⎤=-+-=-∈-⎢⎥⎣⎦f x x x x ，当3x >时，()21325=--+=+>f x x x x ，综上，12,21()34,322,3x x f x x x x x ⎧--<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，可知当12x=时，()f x 有最小值52-，所以52m=-；（2）由（1）可得5a b +=，因为a ，b 为正实数，所以222,2abb a a bba+≥+≥，所以225aba b b a+≥+=.。

长春市普通高中2020届高三质量检测(一)英语本试卷共150分，共10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字迹工整，笔记清楚。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第一部分听力(1—20小题)在笔试结束后进行。

第二部分阅读理解(共两节, 满分40分)第一节(共15小题；每小题2分，满分30分)阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项。

ABackcountry for beginners: the best destinations in Canada When carried out safely, your first backcountry trip will leave you lifelong memories, opening a getaway into nature. But the leap from car camping to backcountry requires preparation and learning. Here are some recommended trips for backcountry beginners:Grundy Lake Provincial ParkThe park’s 9 backcountry sit es are a 30-minute paddle (划船) away. Grundy Lake is motor-boat free. Your sites are quiet enough for a true backcountry trip. Each site comes equipped with a fire pit (坑) and a picnic table.Bon Echo Provincial ParkMany visitors don’t know about the 25 ca noe-in campsites located on Joeperry and Pearson Lakes. A short canoe trip of 30-minute will get you to your campsite. At each campsite, you will find a picnic table, tent space and a toilet nearby.Charleston Lake Provincial ParkExperience the best of the Canadian Shield, and hike or paddle your way to 10 backcountrycampsites. Travel time can range from 10 minutes to 2 hours. All sites come equipped with elevated tent platforms, a picnic table, a fire grill, and a toilet.Murphys Point Provincial ParkPaddle through Big Rideau Lake (part of the historic Rideau waterway) to access 14 backcountry campsites. Most are located 5-45 minutes away from the boat launch. You’ll find a picnic table, tent space, and a pit toilet nearby each site. Paddle back to visit Murphys’ piece of living history: the Mica Mine!Remember: backcountry travel requires careful consideration of packing, route planning, meal planning, safety, and your skill level.1. You can do the followings at Grundy Lake Provincial Park EXCEPT _______.A. Paddling.B. Having a picnic.C. Cooking.D. Taking a motor-boat.2. Which park has the most campsites?A. Grundy Lake Provincial Park.B. Bon Echo Provincial Park.C. Charleston Lake Provincial Park.D. Murphys Point Provincial Park.3. In which section of a newspaper can you probably find this passage?A. Health.B. Travel.C. Education.D. Science.【答案】1. D 2. B 3. B【解析】本文是一篇应用文，介绍了加拿大的四个野外旅游地。

机密★启用前华大新高考联盟2020届高三4月教学质量测评理科数学本试题卷共4页.23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝#试顺利★注意事项：1 .答短前.先将fl己的姓名■准考iE弓域可在答距长上.并将准琴江号条形研财在答恩K上的指定位2.逸押IS的作答：侦小应燃目的答案愫勺涂黑・耳在试K上的区域均无效.3.填空*和解答题的作答：用签字笔宜接答在容愆卡上酉应的答题IK域内.写在试题尝,草SI纸和答W卡上的菲答题区域均无效.4.选考也的作答■先把所送趣口的醴号在答粗N上指定的位置用2B松宅涂SL答宝珂在答履卞上对应的谷（SH域内" 。

在武!»■・草棉舐和答的|?上的曹咨IS风域均无效.5 .考试培束后.崎将谷曜卡上交.-、选择题：本题共12小越，每小越5分，共60分，在每小题纶出的四个选项中，只有一项是符合题目萋求的。

1.已W?»r»l+4-.则r •iA.OB.1C.72D.22.设«^A-{xlx＞3}-B-Ullog＞（x-a»0|.Wa=3 是8UA 的A .充分不必要条件 B.2要不充分条件C充妾条件 D.既不充分又K必要条件3.i殳等是数列修」的前〃顼和为S..已知七5s,+., 30.岫S«A.85B.97C.100D.1754.槐晋时期的数学家弟薇首创常剧术.为计算圈周率建星『严密的戒论即完脊的算法.所时割倒术.就是以间内按正多边形的而枳.来无限逼近同血枳.对澈形容他的利同术说,•割之弥细.所失弥少.割之又割.以至丁木讨刮.则勺网合体.而尤所失矣...比；I企一1盘内■一内按正I二边形•将loottSTM机撤入间盘内.发现只右I粒豆子不在正十.边形内.据此实羚估计网周宇的近似值为A-T R 16r22C T n T5.已tU^=lg2.>»-ln3.c ~ log,3•则A.《rVz VyB.Vy<rC.x<y<t\lz<T<y6 .执行如图所示程序也图.设输出教据构成集合人•从集合人中任取一个兀素m,则事件“函敢fM）=/+”rr在［0・+c＞上是增雨数”的借率为理科教学忒题第1页（共4贞〉7 .设/(x).g(r)分别为定义在-5 I的奇函牧和偶函数.日/(”+g(«r) = 2e，cgr(e为自然对数的底j = /(x)-«(x)的图象大致为&某病。

长春市2020届高三质量监测（一）文科数学本试卷共4页．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.复数2z i +=-，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】试题分析：复数2z i =-+的共轭复数为2z i =--，在复平面内对应点的坐标为，所以位于第三象限．选C 考点：复数的概念及运算2.已知集合{2A x x =≥或}2x ≤-，{}230B x x x =->，则AB =（ ）A. ∅B. {3x x >或}2x ≤-C. {3x x >或}0x < D. {3x x >或}1x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{}230B x x x =->{|0B x x ∴=<或3}x >，{2A x x =≥或}2x ≤-，{|2AB x x ∴=-或3}x >．故选：B ．【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算,属于基础题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 515S =，45a = ，则9S =( ) A. 45 B. 63C. 54D. 81【答案】B 【解析】 【分析】根据给出条件求出3a ，利用3a ，4a ，5a 成等差数列计算5a ，再根据前n 项和性质计算9S 的值.【详解】由515S =得33a =，45a =,∴57a = ∴95963S a == 故选B.【点睛】等差数列性质：2(2)m n p q c a a a a a m n p q c +=+=+=+=； 等差数列前n 项和性质：12121()(21)(21)2n n n a a n S n a --+-==-.4.已知条件:1p x >，条件:2q x ≥，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用集合间的关系推出p q 、之间的关系.【详解】{|1}x x>{|2}x x ≥，则p 是q 的必要不充分条件,故选B.【点睛】p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为B ：p 是q 的充分不必要条件则有：A B ；p 是q 的必要不充分条件则有：BA .5.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线ˆ13.7433095.7yx =+，其相关指数2R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是( )①公共图书馆业机构数与年份正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据ˆb和2R 确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据ˆb 的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测2019年公共图书馆业机构数.【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确； 由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确. 故选D.【点睛】回归直线方程中的ˆb 的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数2R 决定了相关性的强弱，越接近1相关性越强.6.已知直线0x y +=与圆22(1)()2x y b -+-=相切，则b =( )A. 3-B. 1C. 3-或1D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径来求解.=∴|1|2b +=∴13b b ==-或 故选C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的相切，难度较易；注意相切时，圆心到直线的距离等于半径.7.已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】分析每个数的正负以及与中间值1的大小关系.【详解】因为311()()133a <<=，103331>=，1133log 3log 10<=，所以01,1,0a b c <<><，∴c a b <<，【点睛】指数、对数、幂的式子的大小比较，首先确定数的正负，其次确定数的大小（很多情况下都会和1作比较），在比较的过程中注意各函数单调性的使用. 8.已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是( ) ①,a b αα⊥⊥，则//a b ②,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③//,//a b αα，则//a b ④//,//αγβγ，则//αβ A. ①②③ B. ②③④C. ①③D. ①④【答案】D 【解析】 【分析】①可根据线面垂直的性质定理判断；②③④可借助正方体进行判断.【详解】①由线面垂直的性质定理可知垂直同一平面的两条直线互相平行，故正确；②选取正方体的上下底面为αβ、以及一个侧面为γ，则//αβ，故错误；③选取正方体的上底面的对角线为a b 、，下底面为α，则//a b 不成立，故错误；④选取上下底面为αβ、，任意作一个平面平行上底面为γ，则有 //αβ成立，故正确.所以说法正确的有：①④. 故选D.【点睛】对于用符号语言描述的问题，最好能通过一个具体模型或者是能够画出相应的示意图，这样在判断的时候能更加直观. 9.函数2sin()y x ωϕ=+(0,||)2πωϕ><的图象（部分图象如图所示） ，则其解析式为( )A. ()2sin(2)6f x x π=+ B. ()2sin()6f x x π=+C. ()2sin(4)6f x x π=+D. ()2sin()6f x x π=-【答案】A【分析】（1）通过(0,1)以及ϕ的范围先确定ϕ的取值，再根据()f x 过点11(,0)12π计算ω的取值. 【详解】由2sin(0)1,||2πωϕϕϕ⋅+=<π,∴=6， 由111111242sin()0,,,002121261211k k Z T πωπϕωππωπωω⋅+=⋅+=∈>>∴<<=∴即2sin(2)6y x π=+，即为()f x 解析式.【点睛】根据三角函数的图象求解函数解析式时需要注意：（1）根据周期求解ω的值；（2）根据图象所过的特殊点求解ϕ的值；（3）根据图象的最值，确定A 的值.10.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD.(52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角.【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=- 【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长.11.已知F 是抛物线24y x =的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为( )B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径的倾斜角和焦准距的表示形式将||||AF BF 表示出来，然后代入相应值计算即可.【详解】||1cos60p AF =-︒，||1cos60pBF =+︒∴||10.53||10.5AF BF +==-. 【点睛】焦点在x 轴上的抛物线，过抛物线的焦点倾斜角为θ的直线与抛物线交于,A B 两点，且||||AF BF >，则有||1cos p AF θ=-，||1cos p BF θ=+，22||sin pAB θ=. 12.已知函数1(0)()(0)xe xf x x -⎧-≤⎪=>，若存在0x R ∈ 使得00()(1)1f x m x --≤成立，则实数m 的取值范围为( ) A. (0,)+∞B. [1,0)(0,)-+∞ C. (,1][1,)-∞-+∞D.(,-∞-∞1](0,+)【答案】D 【解析】 【分析】数形结合去分析，先画出()f x 的图象，然后根据直线过(1,1)-将直线旋转，然后求解满足条件的m 取值范围.【详解】如图, 直线0(1)1y m x =--过定点(1,1)P -,m 为其斜率，0m >满足题意，当0m <时，考虑直线与函数1xy e -=-相切，此时000(1)11x x m x e m e --⎧--=-⎨=-⎩，解得010m x =-⎧⎨=⎩，此时直线与1x y e -=-的切点为(0,0)，∴1m ≤-也满足题意.选D【点睛】分段函数中的存在和恒成立问题，利用数形结合的思想去看问题会更加简便，尤其是直线与曲线的位置关系，这里需要注意：（1）直线过定点；（2）临界位置的切线问题. 二、填空题：本题共4小题． 13.已知1sincos225αα-=，则sin α=_____. 【答案】2425【解析】 【分析】将所给式子平方，找到sin α与sin cos22αα-的关系.【详解】1sincos225αα-=平方得242sin cos 2225αα= ∴24sin 25α=.【点睛】sin cos αα±与sin cos αα的关系：2(sin cos )12sin cos αααα±=±；14.设变量x ，y 满足约束条件03420x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．【答案】8- 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，3z x y =-得1133y x z =-，利用数形结合即可的得到结论． 【详解】解：画出可行域如图，3z x y =-变形为1133y x z =-，过点(2,2)A --，z 取得最大值4， 过点(2,2)C -取得最小值8-． 故答案为：8-．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥,10PA =2,2AB AC ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____. 【答案】16π 【解析】 【分析】根据题设位置关系，可知以,,AB AC PA 为长、宽、高的长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，根据这一特点进行计算.【详解】设外接球的半径为R ，则2222(2)16R PA AB AC =++= ∴16S π=【点睛】对于求解多条侧棱互相垂直的几何体的外接球，可考虑将该几何体放入正方体或者长方体内，这样更加方便计算出几何体外接球的半径. 16.已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(,)m b c a b =--,(sin ,sin sin )n C A B =+，且m n ⊥，则A =____;若△ABC 的面积为3ABC 的周长的最小值为_____.【答案】 (1). 3π(2). 6 【解析】【分析】先根据向量垂直得出边角关系，然后利用正、余弦定理求解A的值；根据面积以及在余弦定理，利用基本不等式，从而得到周长的最小值（注意取等号条件）.【详解】由m n ⊥得(,)(sin ,sin sin )()sin ()(sin sin )0m n b c a b C A B b c C a b A B ⋅=--⋅+=-+-+=()()()0b c c a b a b -+-+=得222a b c bc =+-,∴2221cos 22b c a A bc +-==∴3A π=；1sin 2S bc A ==4bc =又222224a b c bc b c =+-=+-所以6a b c b c ++=+（当且仅当2b c ==时等号成立） 【点睛】（1）1122(,),(,)a x y bx y ==，若a b ⊥垂直，则有：12120x x y y +=；（2）222(0,0)a b ab a b +≥>>取等号的条件是：a b =.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22-23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17.已知数列{}n a 中，12a =，1122n n n a a ++=+，设2nn na b =. （Ⅰ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列11{}n n b b +的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）111n S n =-+ 【解析】 【分析】（1）证明1n n b b c --=（c 为常数）即可；（2）将11n n b b +采用裂项的方式先拆开，然后利用裂项相消的求和方法求解n S .【详解】（Ⅰ）证明：当2n ≥时，111121222n n n n n n n n n a a a a b b ------=-== 11b =，所以{}n b 是以为1首项，为1公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，n b n =，所以+11111n n b b n n =-+，所以1111111122311n S n n n =-+-++-=-++. 【点睛】常见的裂项相消形式： （1）111(1)1n n n n =-++；（2=（3）1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+； （4）112311(31)(31)3131n n n n n ++=-----. 18.环保部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它的行车里程的等级，下表是对100辆新车模型在一个耗油单位内行车里程（单位：公里）的测试结果．（1）做出上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；（2）用分层抽样的方法从行车里程在区间[)38,40与[)40,42的新车模型中任取5辆，并从这5辆中随机抽取2辆，求其中恰有一个新车模型行车里程在[)40,42内的概率． 【答案】（1）图见解析；中位数在区间[)36,38 （2）35【解析】 【分析】(1)由频率分布表可画出频率分布直方图，由图可求出中位数所在区间．(2)由题意，设从[38，40)中选取的车辆为A ，B ，C ，从[40，42)中选取的车辆为a ，b ，利用列举法从这5辆车中抽取2辆，其中恰有一个新车模型行车里程在[40，42)内的概率． 【详解】（1）由题意可画出频率分布直方图如图所示：由图可知，中位数在区间[)36,38．（2）由题意，设从[)38,40中选取的车辆为A ，B ，C ， 从[)40,42中选取的车辆为a ，b ，则从这5辆车中抽取2辆的所有情况有10种，分别为AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，其中符合条件的有6种，Aa ，Ab ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，所以所求事件的概率为35. 【点睛】本题考查概率与统计的相关知识，考查频率分布直方图、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19.在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC 、平面1ACC A 、平面11BCC B 两两垂直.（Ⅰ）求证：1,,CA CB CC 两两垂直；（Ⅱ）若1CA CB CC a ===，求三棱锥11B A BC -的体积. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）316a 【解析】 【分析】（1）通过辅助线以及根据面面垂直的性质定理可证1,,CA CB CC 中任意一条直线垂直于另外两条直线构成的平面，即垂直于另外两条直线；（2）采用替换顶点的方式计算体积，计算出高和底面积即可计算体积. 【详解】（Ⅰ）证明：在ABC ∆内取一点P ，作,PD AC PE BC ⊥⊥，因为平面ABC ⊥平面11ACC A ，其交线为AC ，所以PD ⊥平面11ACC A ，1PD CC ⊥， 同理1PE CC ⊥，所以1CC ⊥平面ABC ，11,CC AC CC BC ⊥⊥， 同理AC BC ⊥，故1,,CC AC BC 两两垂直.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，三棱锥11A BCB -的高为11A C a =，1211122BCB S BC BB a ∆=⋅=，所以三棱锥11B A BC -的体积为316a . 【点睛】（1）面面垂直的性质定理：两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；（2）计算棱锥的体积时，有时候可考虑采用替换顶点的方式去简化计算.a 20.已知点(1,0),(1,0)M N -，若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）AOB ∆面积的最大值为，此时直线l 的方程为3x y =±. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用1||2AB d ⨯⨯（d 表示原点到直线AB 的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且24a =，1c =.因此椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l的方程为x ty =-与椭圆22143x y +=交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立直线与椭圆的方程消去x可得22(34)30t y +--=，即12234y y t +=+，122334y y t -=+. AOB ∆面积可表示为1211||||22AOB S OQ y y =⋅-=△2216223434t t ===++u =，则1u ≥，上式可化为26633u u u u=++≤当且仅当u=t = 因此AOB ∆l的方程为x y =-【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||2PM PN a +=且22a c >，则P 的轨迹是椭圆；（2）已知点(,0),(,0)M c N c -，若点(,)P x y 满足||||||2PM PN a -=且22a c <，则P 的轨迹是双曲线. 21.设函数1()ln x f x x x+=+. （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若(0,1)x ∈时，不等式1ln 2(1)xx a x +<--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()2f x =极小值，无极大值；（Ⅱ）01a <≤ 【解析】 【分析】（1）求导后，求解导函数零点，并用列表法分析极值；（2）对所给不等式进行变形，将ln x 分离出来便于求导，同时构造新函数2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，分析(0,1)x ∈时，()0>g x 恒成立时a 的范围.【详解】解：（Ⅰ）令21()0x f x x-'==，1x =()= (1)2f x f ∴=极小值，无极大值；（II ）由题意可知，0a >，则原不等式等价于2(1)ln 01a x x x -->+，令2(1)()ln (01)1a x g x x x x -=-<<+，22((24)1)()(1)x a x g x x x -+-+'=+，①当01a <≤时，2(24)10x a x +-+≥，()0g x '≤，()g x 在(0,1)上单调递减，()(1)0g x g >=，成立；②当1a >时，2000(0,1),(24)10x x a x ∃∈+-+=，使得当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(,1)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，故当0(,1)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不成立；综上所述，01a <≤.【点睛】根据不等式恒成立求解参数范围的问题常用的方法：（1）分类讨论法（所给不等式进行适当变形，利用参数的临界值进行分析）； （2）参变分离法（构造新的函数，将函数的取值与参数结合在一起）.（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ-=. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=，圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=.（Ⅱ）2 【解析】 【分析】（1）求直线l 的普通方程，消去参数t 即可；求圆的直角坐标方程利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩互化即可.（2）根据直线所过定点，利用直线参数方程中t 的几何意义求解||||PA PB ⋅的值. 【详解】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为22430x y x +--=. （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C的直角坐标方程可得22(1)(2)4(1)30++---=，化简可得220t +-=. 则12||||||2PA PB t t ⋅==.【点睛】（1）直角坐标和极坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩；（2）直线过定点P ，与圆锥曲线的交点为A B 、，利用直线参数方程中t 的几何意义求解：||||||AB PA PB 、，则有12||||AB t t =-，12||||||PA PB t t =.23.已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值. 【答案】（Ⅰ）(,5][1,3]-∞--；（Ⅱ）最小值为2 【解析】 【分析】（1）采用零点分段的方法解不等式；（2）计算出()f x 的最大值，再利用基本不等式求解+a b 的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-.当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤. 综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立， 可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2.【点睛】（1）解绝对值不等式，最常用的方法就是零点分段：考虑每个绝对值等于零时x 的值，再逐段分析；（2）注意利用||||||x a x b a b -+-≥-，||||||x a x b a b ---≤-求解最值.。

重庆市南开中学2020届高三数学上学期第一次教学质量检测考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A. ∅ B. (]1,3C. (]0,3D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题.2.已知复数z 满足()()12z i i i -+=，则z =（） A. 12i + B. 12i -C. 12i -+D. 12i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的共轭复数的概念求得. 【详解】由已知得21i z i i-=+，所以()()()211211i i z i i i i -=+=++-，所以12.z i =- 故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的共轭复数的概念，属于基础题.3.命题“若220x y +=，则0x =，0y =”的否命题为（）A. 若220x y +=，则0x ≠，0y ≠B. 若220x y +=，则0x ≠或0y ≠ C. 若x y +≠220，则0x =，0y =D. 若x y +≠220，则0x ≠或0y ≠【答案】D 【解析】 【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得. 【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.关于函数()y f x =与()ln y f x =，下列说法一定正确的是（） A. 定义域相同 B. 值域相同C. 单调区间相同D. 奇偶性相同 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域、值域、单调性和奇偶性的判断解得.【详解】对于A 答案：()y f x =的定义域是R ，而()ln y f x =的定义域是()0,∞+，故A 错误；对于C 答案：()ln y f x =是复合函数，其单调需遵循“在定义域上，同增异减”的原则，故C 错误；对于D 答案：()ln y f x =的定义域是()0,∞+的子集，故()ln y f x =不具有奇偶性,故D 错误；因为ln y x =的值域是R ，故B 正确.【点睛】本题考查函数的的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题.5.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A. 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 23y x -=C. 1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解.【详解】由函数的奇偶性的判定方法，知C 选项是奇函数，所以排除C 选项， 又因为在(),0-∞上单调递减，在,,A C D 选项中，只有D 选项符合， 故选D .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.6.已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.516B.54C.52D. 5【答案】A 【解析】 【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值.【详解】22221114log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，222244416log 0,log log 2log 5555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<∴=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，()22216log 516log 5log 116522161615log 0,log 2255216f⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫>∴====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ， 故选A.【点睛】本题考查分段函数和对数运算，属于基础题.7.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数()R x 定义在[]0,1上，且()()1,,,0,010,1q q x p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当为正整数为既约真分数当或或内的无理数，则以下说法：①()R x 的值域为[]0,1；②方程()R x x =有无穷多个解；③()R x 的图像关于直线12x =对称；其中正确的个数为（） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】由函数的定义判断选项，可以选取特殊的值验证求解. 【详解】由黎曼函数的定义可知()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭L L （其中p 是大于或等于2的自然数），故①错误；方程()R x x =的解有：11111,,,,,,234pL L ，（其中p 是大于或等于2的自然数），故②正确； 对于任何的自然数2p ≥，根据()()f f 1x x =-，所以()R x 的图像关于直线12x =对称，故③正确； 故选C.【点睛】本题考查新定义函数，思考时牢牢抓住函数的定义，属于中档题.8.设0.30.2a =，0.3log 0.2b =，0.20.4c =，则（） A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中介值“1 ”，和指数的同指或同底时的大小比较得解. 【详解】0.30.3log 0.2log 0.31b =>=Q , 0.30.20.20.20.20.41a =<<<,b c a ∴>>故选B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，属于中档题.9.若函数()()213log 28f x ax x =++的值域为[)2,-+∞，则()f x 的单调递增区间为（） A. (),2-∞- B. (]2,1- C. [)1,4D. ()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的值域得真数的最大值，从而求出参数的值，再根据复合函数的单调性的判断求解. 【详解】由已知得令228t ax x =++的最大值是9，所以解得1a =-，所以()()213log 28f x x x =-++， 又因为228t ax x =++在()2,4-上0,t >且在(],1-∞上单调递增，在[)1,∞上单调递减， 根据复合函数的单调性得C 选项正确. 故选C.【点睛】本题考查对数函数的值域和单调性，属于中档题.10.下图可能是下列哪个函数的图像（）A. ()221x x y x -=- B. ()2ln 1x x y x -=-C. 2ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =⋅+【答案】C 【解析】 【分析】可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =⋅+在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，故可排除D ；当13x =时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C.【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.11.已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f =，当0x ≠时，()()2'f x f x x>，则不等式()()10x f x -<的解集为（） A. ()(),20,2-∞-U B. ()()2,02,-+∞U C. ()(),21,2-∞-U D. ()()2,01,2-U【答案】D 【解析】 【分析】将已知的含导函数的不等式构造成某个函数的导函数，得这个函数的单调性，再根据奇偶性得这个函数的大致图像趋势，并且得出其函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负求解. 【详解】当0x >时，由()()2'f x f x x >得()()2'0f x f x x ->，即()()'20xf x f x x->，所以()()24'20x f x xf x x ->，即()'20f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 所以令()()2f x g x x=，则()g x 在()0,∞+上单调递增，且()20g =， 又因为()f x 上奇函数，所以()g x 也是奇函数，且在()()2,02,-+∞U 时()0g x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0g x <， 又因为20x >，所以在()()2,02,-+∞U 时()0f x >，在()()2,0,2-+∞⋃时()0f x < 解不等式()()10x f x -<中，当1x >时，()0f x <，所以其解集为()1,2； 当1x <时，()0f x >，所以其解集为()2,0-. 故得解.【点睛】本题的关键在于构造函数分析其单调性、奇偶性和函数值的正负，从而得出()f x 的函数值的正负的取值范围，属于难度题.12.已知函数()f x 对x R ∀∈满足：()()2f x f x +=-，()()()12f x f x f x +=⋅+，且()0f x >，若()14f =，则()()20192020f f +=（）A.34B. 2C.52D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由抽象函数关系式赋值得特殊点的函数值，找出其函数值的周期规律得解. 【详解】因为()()()12f x f x f x +=⋅+， ∴()()()213f x f x f x +=+⋅+，又()0f x > 故()()13f x f x +=，即()()6f x f x += 所以函数的周期为6， 由已知可得当0x =时，()()20f f =，()()()102f f f =⋅，又()0f x >，所以()()202f f ==，并且()()()()1113,4,5,62242f f f f ====， 所以()()()()1132019202034244f f f f +=+=+=，故选A.【点睛】本题考查抽象函数的求值，考查函数的周期性，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020届高三第一次统一考试理综化学试题一、选择题1.化学与人类生产、生活密切相关，下列叙述中正确的是A. 可折叠柔性屏中的灵魂材料——纳米银与硝酸不会发生化学反应.B. 2022年北京冬奧会吉祥物“冰墩墩”使用的聚乙烯属于高分子材料C. “珠海一号”运载火箭中用到的碳化硅也是制作光导纤维的重要材料D. 建设世界第一高混凝土桥塔用到的水泥和石灰均属于新型无机非金属材料【答案】B【解析】【详解】A.银可以与硝酸反应，浓硝酸：Ag+2HNO 3=AgNO 3+NO 2↑+H 2O ，稀硝酸：3Ag+4HNO 3=3AgNO 3+NO↑+2H 2O ，故A 错误；B. 聚乙烯塑料属于塑料，是一种合成有机高分子材料，故B 正确；C. 光导纤维的主要成分为二氧化硅，故C 错误；D. 建设世界第一高混凝土桥塔用到的水泥和石灰均属于传统无机非金属材料，故D 错误； 故选B 。

【点睛】硝酸属于氧化性酸，浓度越大氧化性越强，所以稀硝酸和浓硝酸在反应时产物不同。

2.化合物丙是一种医药中间体,可以通过如图反应制得。

下列有关说法不正确的是A. 丙的分子式为C 10H 14O 2B. 乙分子中所有原子不可能处于同一平面C. 甲、.乙、丙均能使酸性高锰酸钾溶液褪色D. 甲的一氯代物只有2种(不考虑立体异构)【答案】D【解析】【详解】A.由丙的结构简式可知，丙的分子式为C 10H 14O 2，故A 正确；B.乙分子中含有饱和碳原子，所以乙分子中所有原子不可能处于同一平面，故B 正确；C.甲、乙、丙三种有机物分子中均含有碳碳双键，所以均能使酸性高锰酸钾溶液褪色，故C 正确；D.甲的分子中有3种不同化学环境的氢原子，则其一氯代物有3种(不考虑立体异构)，故D 错误； 故选D 。

【点睛】共面问题可以运用类比迁移的方法分析，熟记简单小分子的空间构型：①甲烷分子为正四面体构型，其分子中有且只有三个原子共面；②乙烯分子中所有原子共面；③乙炔分子中所有原子共线；④苯分子中所有原子共面；⑤HCHO 分子中所有原子共面。

2020届高中毕业生五月质量检测理科数学 2020.5.25 本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足，i i i z +=++12，则复数z= A ．2+i B ．1 +2i C ．3 +i D ．3-2i2．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=031x x x A ，{}2<=x x B ，则A∩B= A ．{}12<<-x x B ．{}23<<-x x C ．{}12≤<-x x D ．{}12≤≤-x x3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，02432=++a a a ，则5S =A ．2B ．0C ． -2D ． -44．若某几何体的三视图如下，则该几何体的体积为A ．2B ．4C ．24D ．D ．34 5．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ，若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在),0(+∞内取值的概率为A ．0.9B ．0.1C ．0.5D ．0.46．已知函数)22)(3cos()(πϕπϕ<<-+=x x f 图象关于直线185π=x 对称，则函数f （x ）在区间[0，π]上零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．已知向量，是互相垂直的单位向量，向量满足1=⋅，1=⋅=A ．2B ．5C ．3D ．78．已知等差数列{}n a 满足：82521=+a a ，则21a a +的最大值为 A ．2 C ．4 B ．3 D ．59．已知直线21-=x y PQ ：与y 轴交于P 点，与曲线)0(:2≥=y x y C 交于M Q ，成为线段PQ 上一点，过M 作直线t x =交C 于点N ，则△MNP 面积取到最大值时，t 的值为A ．161B ．41C ．1D ．45 10．已知函数)(1)(1R a eax e x f x ∈--=-的图象与x 轴有唯一的公共点，则实数a 的取值范围为 A ．{}0≤a a B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤e a a a 10，或 C ．{}e a a a =≤，或0 D ．{}10=≤a a a ，或 11．已知A ，B 分别为双曲线1322=-Γy x ：实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，B ） ，则直线AP ，BQ 的斜率之比BQ AP k k :=A ．31-B ．3-C ．32-D ．23- 12．在四棱锥ABCD P -中，2=PA ，7===PD PC PB ，7==AD AB ，2==CD BC ，则四棱锥ABCD P -的体积为A ．32B ．3C ．5D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数ln 1x y x =+在点P （1，0）处的切线方程为 ． 14．一种药在病人血液中的量保持1500 mg 以上才有疗效；而低于500 mg 病人就有危险。

第 1 页 共 8 页 2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合}02|{2<--=x x x A ，}log |{2m x x B >=，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．]21,(-∞ B ．]4,0( C ．]1,21( D ．]21,0( 2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1+2iB ．1﹣2iC ．﹣1+2iD ．﹣1﹣2i 3．在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S =( ) A. 8 B. 16 C. 22 D. 444． 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为A ．9214π+B ．8214π+C ．9224π+D ．8224π+5．若)()1(*3N n xx x n ∈+ 的展开式中存在常数项，则下列选项中n 可为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 6．某地区高考改革，实行“3+1+2”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有( )A. 8种B. 12种C. 16种D. 20种7. 已知抛物线C: 28=x y ，定点A （0，2），B （0，2-），点P 是抛物线C 上不同于顶点的动点，则∠PBA 的取值范围为 （ ） A. 0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 42，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 32，ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8． 若0>ω，函数)3cos(πω+=x y 的图象向右平移3π个单位长度后与函数x y ωsin =图象重合，则ω的最小值为A.211B.25C.21D. 23 9．抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在9次试验中成功次数的均值为（ ）。