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高二数学下册第一章解三角形单元综合测试题及答案
5 c （数学5必修）第一解三角形
[提高训练c组]
一、选择题
1 为△ABc的内角，则的取值范围是（）
A B c D
2 在△ABc中，若则三边的比等于（）
A B c D
3 在△ABc中，若，则其面积等于（）
A B c D
4 在△ABc中，，，则下列各式中正确的是（）
A B c D
5 在△ABc中，若，则（）
A B c D
6 在△ABc中，若，则△ABc的形状是（）
A 直角三角形
B 等腰或直角三角形 c 不能确定 D 等腰三角形
二、填空题
1 在△ABc中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
2 在△ABc中，若则△ABc的形状是______________
3 在△ABc中，∠c是钝角，设
则的大小关系是___________________________
4 在△ABc中，若，则 ______
5 在△ABc中，若则B的取值范围是_______________
6 在△ABc中，若，则的值是_________
三、解答题
1 在△ABc中，若，请判断三角形的形状
2 如果△ABc内接于半径为的圆，且求△ABc的面积的最大值
3 已知△ABc的三边且，求。
第一章 解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、 选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（ ）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、 填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小； （2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32， 所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ， 即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π， 则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。
第1章整合(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝4，c ＝13，则角C 为( ) A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°解析： 根据余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴C ＝60°. 答案： B2．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B. 5C ．25或 5D ．以上都不对 解析： 由于sin B ＝b sin A a ＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°时，c ＝30°.c ＝a 2＋b 2＝25；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝ 5. 答案： C3．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( )A.20B.21C.22D.61 解析： 设长为4,5的两边的夹角为θ， 由2x 2＋3x －2＝0得：x ＝12或x ＝－2(舍)．∴cos θ＝12，∴第三边长为42＋52－2×4×5×12＝21.答案： B4．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( ) A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3 B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30° C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°D ．b ＝c ＝1，B ＝45°解析： A ：a ＋b ＝3＝c ，不能构成三角形； B ：b sin A <a <b ，故有两解．C ：a <b ，故A 应为锐角，而已知A ＝100°，故不能构成三角形．D ：b ＝c ＝1，故△ABC 为等腰三角形， ∴C ＝B ＝45°，∴A ＝90°，故只有一解． 答案： D5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＝c 2＋ab ，则C ＝( ) A ．60° B ．120° C ．45°D ．30°解析： 由余弦定理得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12又∵C ∈(0°，180°) ∴C ＝60°. 答案： A6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2<0，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．都有可能 解析： 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0.所以C 为钝角．于是△ABC 为钝角三角形． 答案： C7．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 的值为( ) A.23B ．－23C ．－14D.14解析： 由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4知，a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，令a ＝3x ，则b ＝2x ，c ＝4x (x >0)，根据余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(3x )2＋(2x )2－(4x )22×3x ×2x ＝－14.答案： C8．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7D ．7解析： 由S ＝12AB ×AC ×sin A 得AC ＝1由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos A ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3 ∴BC ＝3，故选A. 答案： A9．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，如果B ＝2A ，则b a 的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，3)D ．(2，2) 解析： ∵b a ＝sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A <90°A ＋2A >90°，∴30°<A <45°，则ba ＝2cos A ∈(2，3)．答案： C10．某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2)kmB ．5(6－2)kmC ．10(6＋2)kmD ．10(6－2)km解析： 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， ∴AB sin 75°＝BC sin 30°，∴BC ＝10sin 75°＝10(6－2)km.答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，A ，B ，C 是三个内角，C ＝30°，则sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C 的值是________．解析： sin 2A ＋sin 2B －2sin A sin B cos C ＝14R 2(a 2＋b 2－2ab cos C )＝c 24R 2＝sin 2C ＝14. 答案： 1412．在△ABC 中，若S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝___________________________.解析： 根据三角形面积公式得， S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2) ∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab.又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.答案： π413．已知锐角三角形三边长分别为3,4，a ，则a 的取值范围为________． 解析： 由锐角三角形及余弦定理知：⎩⎨⎧32＋a 2－42>032＋42－a 2>0a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2>7a 2<25⇔7<a <5.a >0答案： 7<a <514．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，则甲船应沿________方向前进才能尽快追上乙船，追上时乙船已行驶了________海里．解析： 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ，由题意及正弦定理，得sin θ＝BC ·sin 120°AC ＝12，∴θ＝30°.从而BC ＝AB ·sin θsin ∠ACB ＝a ·sin 30°sin (180°－120°－30°)＝a .即甲船应沿北偏东30°方向前进才能尽快追上乙船，追上时，乙船已行驶了a 海里． 答案： 北偏东30° a三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知sin C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，试判断三角形的形状．解析： ∵sin C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B ，由正弦定理得c (cos A ＋cos B )＝a ＋b ， 再由余弦定理得，c ·c 2＋b 2－a 22bc ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋b ，∴a 3＋a 2b －ac 2－bc 2＋b 3＋ab 2＝0， ∴(a ＋b )(c 2－a 2－b 2)＝0，∴c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知c ＝3，b ＝1，B ＝30°. (1)求角A ；(2)求△ABC 的面积． 解析： (1)由b sin B ＝c sin C得sin C ＝c b sin B ＝3×sin 30°＝32.∵c >b ，∴C >B ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. (2)S △ABC ＝12bc sin A＝12×1×3sin 90°＝32. 或S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 30°＝34.即△ABC 的面积为32或34. 17．(本小题满分12分)在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解析： (1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理得， a c ＝2sin A 3＝sin A sin C . ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32. ∵△ABC 是锐角三角形，∴C ＝π3.(2)∵c ＝7，C ＝π3，由面积公式得12ab sin π3＝332，即ab ＝6.① 由余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7， ∴(a ＋b )2＝7＋3ab .②由①②得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5.18．(本小题满分14分)在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B 、C 、D ，B 、C 两市相距20 km ，C 、D 相距34 km ，C 城在B 、D 两城之间．如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8秒后B 市，20秒后D 市先后感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求：震中到B 、C 、D 三市的距离．解析： 在△ABC 中，由题意AB －AC ＝1.5×8＝12. 在△ACD 中，由题意AD －AC ＝1.5×20＝30. 设AC ＝x ，则AB ＝12＋x ，AD ＝30＋x . 在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x ＝256－24x 40x ＝32－3x5x .在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x＝256－60x 68x ＝64－15x17x. ∵B 、C 、D 在一条直线上，∴64－15x 17x ＝－32－3x 5x ，即64－15x 17＝3x －325.解之得x ＝487(km)．∴AB ＝1327，AD ＝2587.答：震中距B 、C 、D 三市分别为1327 km ，487 km ，2587 km.。
第一章 解三角形 单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( )A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π33．在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A ． 6B ．2C ． 3D ． 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A ．85 B ．58 C ．53 D ．356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5B ．5<x <13C ．1<x <2 5D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B ．223 C ．－63 D ．63 8．下列判断中正确的是( ) A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( ) A ．34 B ．32 C ．3或32 D ．32或34 10．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( ) A ． 3 B ．1 C ．33 D ．32 11．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30° 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B ＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB. 18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．21．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．第一章 解三角形 单元测试卷（B ） 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝＋(3)2－122×2×3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0.∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ＝ 3.∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝4×1×cos A ＝±2.]4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°.∴a ＝c ＝ 2.] 5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.] 6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ ＋42－x 2>0＋x 2－42>0 解得：23<x <2 5.] 7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B . ∴sin B ＝10·sin 60°15＝33. ∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63.] 8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解； D ：c >b >c sin B ，有两解．] 9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， ∴12＝(3)2＋BC 2－2×3×BC ×32. 整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2. 当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34. 当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.]12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝(a 2＋b 2－c 2)2(2ab )2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．45°解析 由正弦定理，sin A a ＝sin Bb .∴sin B b ＝cos Bb .∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析 设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， ∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)． ∴S △ABC ＝12×5×8×sin 60°＝10 3. 15．8 6 解析 如图所示， 在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝64×32＝326， ∴v ＝MN 4＝86(海里/小时)． 16.33 解析 由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33， 由余弦定理得cos A ＝33. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解 在△ACD 中，∠DAC ＝α－β， 由正弦定理，得AC sin β＝DC sin (α－β)， ∴AC ＝a sin βsin (α－β)∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αsin (α－β)＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7.∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2sin (β2－β1)； 第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ×AN cos (α1－β1). 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4. 又因为△ABC 的面积等于3， 所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. ．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°. 在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ， ∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ. 又OC sin (60°－θ)＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为 S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝2sin θ·cos θ－23sin2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S(θ)取得最大值为33.。
2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第一章 解三角形训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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解三角形(一）注意事项:1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．在ABC△中，若90C=︒，6a=,30B=︒，则c b-等于（ ) A．1 B．1-C．D．-2．在ABC△中，3AB=，2AC=，BC则BA·AC等于（）A．32-B．23-C．23D．323．在△ABC中,已知a，b=A＝30°，则c等于（）A．BC．D．以上都不对4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°,有一解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为( )2 / 1323 / 133A．2B．4C．8D．6．在△ABC 中，2cos 22A b cc+⋅=(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边),则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若a c ==且A ＝75°，则b 等于（ ） A ．2 BC．4-D．4+8．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，a ，7cos 8A =，则△ABC 的面积S 为（ )ABCD．9．在△ABC 中,AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4,则BC 等于( ） ABCD10．若sin cos cos A B Ca b c==，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．有一内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一内角是30°的等腰三角形11．在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若()222tan ac b B +-=，则角B 的值为（ )A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 12．△ABC 中，3A π=，BC ＝3，则△ABC 的周长为( ）A．33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭B．36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭4 / 134C ．6sin 33B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭D ．6sin 36B π⎛⎫++ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，2sin sin sin a b cA B C--=________． 14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2223a c b ac +-=，则角B 的值为________．15．已知a ，b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ，C 所对的边．若a ＝1,3b =，A ＋C ＝2B ，则sinC ＝________．16．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（10分）如图所示,我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间．5 / 13518．(12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，且4cos 5A =．（1）求2sin cos22B CA ++的值； (2）若b ＝2，△ABC 的面积S ＝3，求a ．19．(12分）如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°,BD 交AC 于E ，AB ＝2． （1）求cos ∠CBE 的值; （2）求AE ．6 /13620．（12分）已知△ABC 的内角A ,B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，且a ＝2，3cos 5B ．（1）若b ＝4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ，c 的值．21．（12分）在△ABC中，a，b,c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝（2b＋c）sin B＋(2c＋b）sin C．（1）求A的大小；（2）若sin B＋sin C＝1,试判断△ABC的形状．7 / 1378 / 13822．(12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(),a b m =，()sin ,sin B A =n ，()2,2b a --p =．（1）若m ∥n ,求证:△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p ,边长c ＝2，角3C π=，求△ABC 的面积．2018-2019学年必修五第一章训练卷解三角形(一)答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．【答案】C【解析】tan 30ba=︒,tan30b a =︒=，2c b ==c b -= 故选C ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得22294101cos 2124AB AC BC A AB AC +-+-===⋅．∴13cos 3242AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⨯⨯=．∴32BA AC AB AC ⋅=-⋅=-．故选A ．3．【答案】C【解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ,∴2515c c =+-． 化简得：2100c -+=，即(0c c -=，∴c =c =故选C ． 4．【答案】D 【解析】A 中，因sin sin a b A B =，所以16sin30sin 18B ⨯︒==，∴90B=︒，即只有一解； B 中,20sin 60sin 18C ︒==，且c b >，∴C B >，故有两解； C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ==即有解,故A 、B 、C 都不正确．故选D ． 5．【答案】C【解析】设另一条边为x ，则2221232233x =+-⨯⨯⨯，∴29x =，∴3x =．设1cos 3θ=，则sin θ=∴32sinR θ===,R =故选C ． 6．【答案】A【解析】由2cos cos 22A b c bA c c+⋅=⇒⋅=，又222cos 2b c a A bc +-⋅=, ∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2⇒a 2＋b 2＝c 2，故选A ．7．【答案】A【解析】()sin sin 75sin 3045A =︒=︒+︒，由a ＝c 知，C ＝75°，B ＝30°．1sin 2B =．由正弦定理：4sin sin b aB A===．∴b ＝4sin B ＝2．故选A ．8．【答案】A【解析】由b 2－bc －2c 2＝0可得(b ＋c ）(b －2c )＝0． ∴b ＝2c ,在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即22276448c c c =+-⋅．∴c ＝2，从而b ＝4．∴11sin 4222ABCS bc A ==⨯⨯△A ． 9．【答案】B【解析】设BC ＝a ，则2aBM MC ==．在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos∠AMB ， 即22217424cos 42a a AMB =+-⨯⨯⋅∠ ① 在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos∠AMC 即22216424cos 42a a AMB =++⨯⨯⋅∠ ② ①＋②得：22222176442a +=++,∴a B ． 10．【答案】C 【解析】∵sin cos A Ba b =,∴a cos B ＝b sin A , ∴2R sin A cos B ＝2R sin B sin A ，2R sin A ≠0．∴cos B ＝sin B ,∴B ＝45°．同理C ＝45°，故A ＝90°．故C选项正确． 11．【答案】D【解析】∵()222tan a c b B +-，∴222tan 2a c b B ac +-⋅=,即cos tan sin B B B ⋅=0<B <π，∴角B 的值为3π或23π．故选D ．12．【答案】D【解析】3A π=，BC ＝3，设周长为x ，由正弦定理知2sin sin sin BC AC ABR A B C===， 由合分比定理知sin sin sin sin BC AB BC ACA AB C++=++，=，∴()sin sin B A B x ⎤+++=⎥⎦，即3sin sin 3sin sin cos cos sin 333x B B B B B π⎤ππ⎛⎫⎫=+++=+++ ⎪⎪⎥⎝⎭⎭⎦133sin sin 3sin 22B B B B B ⎫⎫=++=++⎪⎪⎪⎪⎭⎭136cos 36sin 26B B B ⎫π⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13．【答案】014．【答案】6π【解析】∵222a cb +-=,∴222cos 2a c b B ac +-==6B π=． 15．【答案】1【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A ＋C ＝2B ．∴3B π=． 由正弦定理知,sin 1sin 2a B Ab ==．又a 〈b ．∴6A π=,2C π=．∴sin 1C =．16．【答案】332a ≤<【解析】由()()()()()()22222212120121212a a a a a a a a a a a ⎧⎪++>+⎪⎪++-+<⎨⎪++-+⎪≥-⎪+⎩,解得332a ≤<．三、解答题（本大题共6个大题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．【答案】2小时．【解析】设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知：（14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴2t =．答：我艇追上走私船所需的时间为2小时． 18．【答案】(1）5950；(2）a = 【解析】(1）()221cos 1cos 59sin cos2cos22cos 122250B C B C A A A A -++++=+=+-=． （2）∵4cos 5A =,∴3sin 5A =．由1sin 2ABC S bc A =△，得133225c =⨯⨯，解得c ＝5．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得24425225135a =+-⨯⨯⨯=,∴a = 19．【答案】(1;（2）AE=【解析】（1）∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴()cos cos 4530CBE ∠=︒-︒=（2）在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理得sin sin AE ABABE AEB=∠∠, 即()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin 30cos15AE ⨯︒===︒ 20．【答案】（1）2sin 5A =；（2）b =5c =．【解析】（1）∵3cos 05B =>，且0<B 〈π，∴4sin 5B =．由正弦定理得sin sin a bA B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯===． （2）∵1sin 42ABC S ac B ==△,∴142425c ⨯⨯⨯=，∴5c =． 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,∴b =21．【答案】（1）120A =︒；（2）△ABC 为等腰钝角三角形． 【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a 2＝（2b ＋c )b ＋(2c ＋b ）c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ．由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故1cos 2A =-，120A =︒．（2）方法一 由（1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又A ＝120°，∴223sin sin sin sin 4B C B C ++=， ∵sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ． ∴()()223sin 1sin sin 1sin 4B B B B +-+-=，即21sin sin 04B B -+=．解得1sin 2B =．故1sin 2C =．∴B ＝C ＝30°． 所以，△ABC 是等腰的钝角三角形．方法二 由（1)A ＝120°，∴B ＋C ＝60°,则C ＝60°－B ， ∴sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ）11sin sin sin 22B B B B B =+-=＝sin （B ＋60°)＝1， ∴B ＝30°，C ＝30°．∴△ABC 是等腰的钝角三角形． 22．【答案】（1）见解析；（2）ABC S =△ 【解析】(1）证明 ∵m ∥n ,∴a sin A ＝b sin B ，即22a ba b R R⋅=⋅， 其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ．∴△ABC 为等腰三角形． （2）解 由题意知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b （a －2）＝0．∴a ＋b ＝ab ．由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab ，即(ab ）2－3ab －4＝0．∴ab ＝4(舍去ab ＝－1）,∴11sin 4sin 223ABC S ab C π==⨯⨯=△．。
2021年高中数学 第一章 解三角形章末过关检测卷 新人教A 版必修5一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三角形的边长分别为32、6、310，则它的最大内角的度数是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 解析：由大边对大角得：cos θ＝（32）2＋62－（310）22×32×6＝－22⇒θ＝3π4.答案：C2．(xx·广州综合测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝2B ，则c b为( )A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C解析：由于C ＝2B ，故sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ， 所以sin C sin B ＝2cos B ，由正弦定理可得c b ＝sin Csin B＝2cos B ，故选B . 答案：B3．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝( ) A ．30°或150° B．60°或120° C．60° D．30° 解析：由正弦定理asin A ＝b sin B 得，sin A ＝a b sin B ＝22sin 45°＝12，又因为b>a ，故A ＝30°.答案：D4．(xx·昆明一模)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32 B.34 C.36 D.38解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sinπ3＝3，又B∈(0，π)，所以B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.答案：B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边长，若a 2＋b 2－c 22ab<0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或钝角三角形解析：由已知及余弦定理得cos C<0，C 是钝角，故选C . 答案：C6．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为45°和60°，则塔高为( )A.200（3－3）3 mB.40033 mC.200（3＋3）3 m D.40023mA7．已知锐角三角形ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°解析：由S △ABC ＝12BC ·CA ·sin ∠ACB ＝33，得sin ∠ACB ＝32，而△ABC 为锐角三角形，所以∠ACB＝π3.答案：B8.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 南偏东30°处，则两灯塔A 、B 间的距离为( )A ．400 mB ．500 mC ．700 mD ．800 m C9．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C )，A ＝60°，则a ＝( )A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定解析：由已知及正弦定理得asin A ＝2，a ＝2sin A ＝2sin 60°＝3，故选A .答案：A10．(xx·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1．解析：由面积公式得：12×2sin B ＝12，解得sin B ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°，当B ＝45°时，由余弦定理得：AC 2＝1＋2－22cos 45°＝1，所以AC ＝1，又因为AB ＝1，BC ＝2，所以此时△ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以B ＝135°，由余弦定理得：AC 2＝1＋2－22cos 135°＝5，所以AC ＝5，故选B .答案：B11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝π6，B ＝π12，a ＝3，则c的值为( )A ．3 2 B.32C ．3 3D ．6A12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，其面积S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 B.13或37 C.37 D.13 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________． 解析：设BC ＝x ，则(5)2＝x 2＋52－2×5x cos C ＝x 2－9x ＋25，即x 2－9x ＋20＝0.∴x ＝4或x ＝5.经检验x ＝4或x ＝5符合题意．∴BC＝4或5. 答案：4或514.已知a 、b 、c 是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则c 的长度为________．21或6115．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝________．解析：由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋（3）2－（7）22×1×3＝－323＝－32，所以B ＝5π6.答案：5π616．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由a ＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，故(a ＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，又根据正弦定理，得(a ＋b)(a －b)＝(c －b)c ，化简得，b 2＋c 2－a 2＝bc ，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，又a 2＝4＝b 2＋c 2－bc≥2bc－bc ＝bc ，即bc≤4，故S △BAC ＝12bc sin A ≤ 3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝45，若b ＝2，△ABC 的面积为3，求tan C . 解析：由cos A ＝45＞0，知sin A ＝35，△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝3，得c ＝5，由正弦定理得：c sin C ＝2sin B， sin B ＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以5⎝ ⎛⎭⎪⎫35cos C ＋45sin C ＝2sin C ，得 2sin C ＝－3cos C ，所以tan C ＝－32.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知2a ＝b ＋c ，sin 2A ＝sinB ·sinC ，试判断△ABC 的形状．．解析：由正弦定理得，a 2＝b·c，又2a ＝b ＋c ，∴4a 2＝(b ＋c)2，∴4bc ＝(b ＋c)2，即(b －c)2＝0，∴b ＝c ， 又2a ＝b ＋c 得2a ＝2b ，∴a ＝b ，即a ＝b ＝c. ∴△ABC 为等边三角形． 19.(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为10 3 cm 2，a ＋b ＝13，C 为60°，求这个三角形的各边长．解析：S ＝12ab ·sin C ，∴103＝12ab sin 60°，即ab ＝40，∵a ＋b ＝13，∴a ＝5，b ＝8或a ＝8，b ＝5， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝49，∴c ＝7.故三角形三边长为a ＝5 cm ，b ＝8 cm ，c ＝7 cm 或a ＝8 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm . 20．(本小题满分12分)如图，甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：如图，设经过x 小时后，甲船和乙船分别到达C 、D 两点．则AC ＝8x ，AD ＝AB －BD ＝20－10x∴CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC·AD·cos 60° ＝(8x)2＋(20－10x)2－16x·(20－10x)·12＝244x 2－560x ＋400＝244⎝ ⎛⎭⎪⎫x －70612＋4 80061. ∵当CD 2取得最小值时，CD 取得最小值． ∴当x ＝7061时，CD 取得最小值． 因此经过7061小时甲、乙两船相距最近．21.(本小题满分12分)(xx·北京卷)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．分析：(1)由条件，根据sin 2α＋cos 2α＝1，求sin ∠ADC ，再由两个角的差的正弦公式求sin ∠BAD ；(2)根据正弦定理求出BD ，再由余弦定理求AC.解析：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC－∠B)＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3414437＝3，在△ABC 中由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.22．(本小题满分10分)(xx·湖南卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)cos ∠CAD 的值； (2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．分析：(1)题目已知三角形ACD 的三条边，利用∠CAD 的余弦定理即可得到该角的余弦值．(2)利用(1)问得到的∠CAD 的余弦结合正余弦之间的关系即可求得该角的正弦值，再利用正余弦之间的关系即可得到∠BAD，而∠CAD 与∠BAD 之差即为∠BAC，则利用正弦的和差角公式即可得到角∠BAC 的正弦值，再利用三角形ABC 的正弦定理即可求的BC 边长．解析：(1)由△DAC 关于∠CAD 的余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－DC 22AD ·AC ＝1＋7－42×1×7＝277，所以cos ∠CAD ＝277.(2)因为∠BAD 为四边形内角，所以sin ∠BAD ＞0且sin ∠CAD ＞0，则由正余弦的关系可得sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114， sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217， 再由正弦的和差角公式可得 sin ∠BAC＝sin (∠BAD－∠CAD)＝sin ∠BAD cos ∠CAD －sin ∠CAD cos ∠BAD＝32114×277－217×⎝⎛⎭⎪⎫－714＝337＋314＝32，再由△ABC的正弦定理可得AC sin∠CBA ＝BCsin∠BAC⇒BC＝7⎝⎛⎭⎪⎫216×32＝3."21929 55A9 喩) <26756 6884 梄27565 6BAD 殭39089 98B1 颱_ ~^25417 6349 捉zG。
解三角形一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A B C 等边三角形 D 等腰三角形2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（ ）A B ． C D ．23. 不解三角形，下列判断中正确的是（ ）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（ ） A ．41- B ．41 C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33B ．3392C ．338D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-5 7.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.0＜m ＜3B.1＜m ＜3C.3＜m ＜4D.4＜m ＜69. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题4分，满分16分）13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c A B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 。
第一章解三角形 综合检测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b =ac ,则角B 的值为（ ）A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π解析：A2. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 解析：B3. 在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 解析：B4在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为BC 的长度为（ ）A ．25B ．51C ．D ．49解析：D ．1sin 602ABC SAB AC ︒=⋅⋅==,得55AB =，再由余弦定理， 有222165521655cos602401BC ︒=+-⨯⨯⨯=，得49BC =．5. 给出四个命题 (1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1B 2C 3D 4解析其中(3）(4）正确 答案 B6．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 答案：C7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则m 的取值是（ ）A 、-1B 、1C 、-2D 、2解析：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC =++，1m =，选B 。
2021年高中数学第一章解三角形过关测试卷新人教A版必修5一、选择题(每题6分，共36分）1.在△ABC中， A=60°，且最大边长和最小边长是方程的两个根，则第三边的长为( )A.2B.3C.4D.52.在△ABC中, A=60°，AB=2,且△ABC的面积为, 则BC的长为（）A. B.3 C. D.73.已知在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且,则tan C等于（）A. B. C. D.4.△ABC的周长等于20，面积是， A=60°，则角A的对边长为( )A.5B.6C.7D.85.在△ABC中，a，b，c分别为A， B， C的对边，如果， B=30°，△ABC的面积为，那么b 等于( )A. B. C. D.6.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图1，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1 m，且AC比BA长0.5 m，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，AC最短为（）A. mB. mC.(2+)mD.2 m图1 图2二、填空题（每题5分，共20分）7.如图2，用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是和，已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，则气球的高度为．8.在Rt△ABC中， C =90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足，则实数x的取值范围是．9.若在△ABC中，AB=2，AC=BC，则S△ABC的最大值是．10.在正三角形ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，则．三、解答题（13题16分，其余每题14分，共44分）11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b sin A=3c sin B, a=3,．(1)求b的值；(2)求的值．12.在△ABC 中，tan A =，tan B =．(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 最大边的长为，求最小的边长．13.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p ．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p , c =2,，求△ABC 的面积S ．参考答案及点拨一、1.C 点拨：由A =60°，不妨设△ABC 中最大边长和最小边长分别为b ，c ，故b +c =7，bc =11. 由余弦定理得 1611373)(60cos 222222=⨯-=-+=︒-+=bc c b bc c b a ，∴a =4.2.A 点拨：S △ABC 232322160sin 21=⨯⨯⨯=︒⋅⋅=AC AC AB ,所以AC =1,所以360cos 2222=︒⋅⋅-+=AC AB AC AB BC ,所以.3.C 点拨：由得,即,所以， 又12sin 22sin 2cos 222-=-=-+=C ab ab C ab ab c b a C ,所以,即 ,所以,即.4.C 点拨：∵a +b +c =20，∴，即，∴.①又,∴.②又S △ABC ,∴bc =40.③由①②③可知a =7.5.B 点拨：由2b =a +c ，得.又S △ABC 且，∴S △ABC ，得ac =6，∴.由余弦定理得，又b >0，解得b =1+.6.C 点拨：设BC =a m(a ＞1)，AB =c m ，AC =b m ，则,在△ABC 中，.将代入上式得，化简得，.∵a＞1,∴.∴,令，则()24343241122++=++=-+=tt t t t t t b ，设,由函数知识可得，当x ∈[）时，f (x )为增函数，当时，f (x )为减函数，∴当，即,时，b 有最小值为.因此AC 最短为m. 二、7. 点拨：在△ACE 中，AC =BD =a ，,根据正弦定理，得.在Rt△AEG 中，.所以.8. 点拨:)4(sin 2cos sin sin sin sin π+=+=+=+=A A A C B A c b a x .又，∴，∴，即. 9. 点拨：设BC =x ，则AC =，根据面积公式得S △ABC ，①根据余弦定理得xx x x x BC AB AC BC AB B 4442(42cos 222222-=-+=⋅-+=），将其代入①式得 S △ABC ，由三角形三边关系有解得，故当时，S △ABC 取得最大值.10. 点拨：如答图1，设折叠后A 点落在边BC 上的点P 处，连接AP ，显然A ，P 两点关于直线DE 对称，设∠BAP =θ，∴∠DPA =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x .在△ABP 中，θ-︒=∠-∠-︒=∠120180BAP ABP APB ,由正弦定理得,∴.在△PBD 中，， ∴，从而， ∴3)260(sin 23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=θθθθa a x . ∵0°＜θ＜60°，∴60°＜60°+2θ＜180°.∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值，即AD 最小，此时.答图1三、11.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得，即b sin A =a sin B ,又由b sin A =3c sin B ,可得,a =3c ,又a =3,故c =1,由,且,可得.（2）由,得,进而得到,. 所以183542391219543sin 2cos 3cos 2sin 32sin +=⨯-⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππB B B . 点拨：(1)根据正弦定理及b sin A =3c sin B ,a =3求出a ,c 的值,再由余弦定理求出b 的值.（2）根据同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求出cos2B,sin2B,再由两角差的正弦公式求值.12.解：(1)∵C-（A+B），∴.又∵0＜C＜π，∴.(2)∵，∴AB边最大，即.又∵tan A＜tan B，A，B∈，∴角A最小，BC边为最小边.由且，得.由得，.∴最小边BC=2.13.(1)证明：∵m∥n,∴a sin A=b sin B,即,其中R是三角形ABC外接圆半径，∴a=b.∴△ABC 为等腰三角形.（2）解：由题意可知=0，即.∴a+b=ab,由余弦定理可知，,即.∴ab=4或 (舍去).∴.K40687 9EEF 黯{32650 7F8A 羊*25675 644B 摋 I22019 5603 嘃37115 90FB 郻,29078 7196 熖[22103 5657 噗:。
第一章测评A(基础过关卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,a=4,b=4,A=30°,则角B等于()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°解析:根据正弦定理得,sin B=.∵b>a,∴B>A=30°,∴B=60°或120°.答案:D2.在△ABC中,已知b=,c=1,B=45°,则a等于()A. B.C.+1D.3-解析:由b2=a2+c2-2ac cos B,得2=a2+1-2a cos 45°,解得a=或a=(舍去).答案:B3.如图,在200米高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高为()A.米B.米C.米D.米解析:由题意,可知∠BAC=30°,∠OAC=∠ACB=30°,AC=.又B=120°,在△ABC中,由正弦定理,得BC=(米).答案:A4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cos C=()A. B.- C.± D.解析:由正弦定理得,将8b=5c及C=2B代入得,化简得, 则cos B=.所以cos C=cos2B=2cos2B-1=2×-1=,故选A.答案:A5.在△ABC中,b=a sin C,c=a cos B,则△ABC一定是()A.等腰三角形,但不是直角三角形B.等边三角形C.直角三角形,但不是等腰三角形D.等腰直角三角形解析:由c=a cos B得,c=a·,∴a2=b2+c2,∴△ABC为直角三角形,∴b=a sin C=a·=c,∴△ABC是等腰直角三角形.答案:D6.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,a+c=3,cos B=,则等于()A.B.-C.3D.-3解析:由余弦定理得cos B=,解得b2=2,∴ac=b2=2.∴=ac·cos(π-B)=-2cos B=-.答案:B7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A等于()A.30°B.60°C.120°D.150°解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化为c=2b,所以cos A==,所以A=30°.答案:A8.已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则△ABC的外接圆的直径为()A.4B.5C.5D.6解析:∵S△ABC=ac sin B,∴c=4.由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B=25,∴b=5.由正弦定理2R==5(R为△ABC外接圆的半径).答案:C9.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.1<x<B.<x<C.1<x<2D.2<x<2解析:由题意,x应满足条件解得2<x<2.答案:D10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度决定解析:设两直角边分别为a,b,斜边为c,增加的长度为d(d>0),则a2+b2=c2,新三角形的三边分别为a+d,b+d,c+d,设它们所对的角分别为A,B,C.则cos C=.∵(a+d)2+(b+d)2-(c+d)2=d2+2(a+b-c)·d>0.∴cos C>0,∴C为锐角.又C是最大角,所以新的三角形是锐角三角形.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-,则b=.解析:∵b+c=7,∴c=7-b.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B,即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×,解得b=4.答案:412.在△ABC中,BC=1,B=,当△ABC的面积等于时,sin C=. 解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则△ABC的面积S=ac sin B=,解得c=4,所以b=.所以cos C==-.所以sin C=.答案:13.在△ABC中,BC=3,AB=2,且+1),则A=.解析:由a=3,c=2,且,知b=-1.∴cos A==-.∴A=120°.答案:120°14.在△ABC中,a=14,A=60°,b∶c=8∶5,则该三角形的面积为. 解析:设另两边长分别为8x和5x,则cos60°=,解得x=2,所以b=16,c=10.∴S△ABC=bc sin A=×16×10sin60°=40.答案:4015.一艘船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向,行驶4h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为km. 解析:如图,由已知条件,得AC=60km,∠BAC=30°,∠ACB=105°,∠ABC=45°.由正弦定理得,即BC=·sin∠BAC=·sin30°=30(km).答案:30三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C.解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin A sin C.由已知得sin A sin C=.①由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.②由①②得sin2C=,于是sin C=-(舍去)或sin C=.又a=2c,所以C=.17.(6分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin A=a cos B.(1)求角B的大小;(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.解:(1)由b sin A=a cos B及正弦定理,得sin B=cos B,所以tan B=,所以B=.(2)由sin C=2sin A及,得c=2a.由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B,得9=a2+c2-ac.所以a=,c=2.18.(6分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=2c sin A.(1)确定角C的大小;(2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值.解:(1)由a=2c sin A及正弦定理,得.∵sin A≠0,∴sin C=.∵△ABC是锐角三角形,∴C=.(2)∵c=,C=,由面积公式得ab sin,即ab=6.①由余弦定理得a2+b2-2ab cos=7,即a2+b2-ab=7.②由②变形得(a+b)2=3ab+7.③将①代入③得(a+b)2=25,故a+b=5.19.(7分)在海港A正东39n mile处有一小岛B,现甲船从A港出发以15n mile/h的速度驶向B岛,同时乙船以6n mile/h的速度向北偏西30°的方向驶离B岛,不久之后,丙船则向正东方向从B岛驶出,当甲、乙两船相距最近时,在乙船观测发现丙船在乙船南偏东60°方向,问此时甲、丙两船相距多远?解:设在行驶t h后,甲船到达C处,乙船到达D处,丙船到达E处,此时甲、乙两船相距最近,依题意得:CD2=CB2+BD2-2CB·BD·cos60°=(39-15t)2+36t2-6t(39-15t)=351t2-1404t+1 521=351(t-2)2+117,所以,当t=2时,CD2最小,即CD取得最小值,也即此时甲、乙两船相距最近,作DF⊥AB,则∠BDF=30°,∠DBE=120°,所以∠BDE=30°,∠DEB=180°-120°-30°=30°,故△BDE为等腰三角形.所以,BE=BD=6t=6×2=12(n mile),CE=BC+BE=39-15t+12=51-15×2=21(n mile).答:甲、乙两船相距最近时,甲、丙两船相距21海里.。
