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金属板材塑性成形的极限分析一、金属板材塑性成形的基本概念与重要性金属板材塑性成形是一种利用金属材料的塑性变形能力，通过外力作用使其发生形状变化的加工技术。
这种技术广泛应用于汽车、航空航天、家电制造等多个领域，对于提高材料利用率、降低成本、提升产品性能具有重要意义。
1.1 金属板材塑性成形的基本定义塑性成形是指在一定的温度和压力条件下，金属板材在塑性状态下发生形变，最终形成所需形状和尺寸的过程。
这一过程涉及到材料的力学行为、变形机理以及加工工艺等多个方面。
1.2 金属板材塑性成形的重要性金属板材塑性成形技术是现代制造业的基石之一。
它不仅能够提高材料的成形精度和生产效率，还能有效降低生产成本，满足现代工业对高性能、轻量化产品的需求。
二、金属板材塑性成形的关键技术与工艺金属板材塑性成形包含多种关键技术与工艺，这些技术与工艺直接影响成形质量、生产效率和成本。
2.1 金属板材的塑性变形机理金属板材的塑性变形机理是塑性成形的基础。
它涉及到材料内部的微观结构变化，如位错运动、晶粒变形等。
了解这些机理有助于优化成形工艺，提高成形质量。
2.2 塑性成形的主要工艺方法塑性成形的主要工艺方法包括轧制、拉伸、冲压、弯曲等。
每种方法都有其特定的应用场景和优势，选择合适的工艺方法对于保证成形效果至关重要。
2.3 塑性成形过程中的缺陷控制在塑性成形过程中，可能会出现裂纹、起皱、回弹等缺陷。
有效的缺陷控制技术可以显著提高成形件的质量和可靠性。
2.4 塑性成形工艺的数值模拟随着计算机技术的发展，数值模拟已成为塑性成形工艺设计的重要工具。
通过模拟可以预测成形过程中的应力、应变分布，优化工艺参数。
三、金属板材塑性成形的极限分析与应用极限分析是研究金属板材在塑性成形过程中达到极限状态的条件和行为，对于提高成形工艺的安全性和可靠性具有重要意义。
3.1 极限分析的理论基础极限分析的理论基础包括材料力学、塑性力学和断裂力学等。
这些理论为分析金属板材在成形过程中的应力、应变状态提供了科学依据。
结构塑性极限分析上限法数值计算方法研究在土木工程中,结构物的极限承载力和破坏模式的确定是一项重要的研究题和工程问题。
分析此类问题的方法大致分为两类:一类是弹塑性的增量分;另一类则是塑性极限分析方法。
极限分析的上限和下限方法以塑性极限定为理论基础,是工程结构的设计和分析中直接而又严格的极限状态分析方法。
工程的实际应用中通常采用极限分析的数值方法。
其中,在工程结构的极限析中较为常用。
另外,极限分析方法最终需要求解一个数学规划问题,根据体的情况大致可分为线性和非线性规划问题。
随着问题维数的增加,数学规问题将可能成为大规模优化问题,其求解成为了一个难题。
因此本文从经典性极限分析理论出发,进一步改进运动许可速度场的构造方法,并将数值优领域中提出的新算法应用于数值极限分析上限的数学规划问题的求解中,取的主要成果如下。
在刚体有限元上限分析中,如果将安全系数定义为目标函数,则数学规划题就成为了带有约束的非线性规划问题。
本文首次采用一种新型的优化算法P-free方法求解此非线性规划问题。
求解非线性规划的常用算法为序列二次规(SQP)方法。
然而,在初始点任意的情况下,传统的SQP在求解刚体有限上限分析法的非线性规划模型时出现了子问题不相容的问题而导致得不到最解,且在每个迭代步中都要花费大量计算来求解一个二次规划(QP)问题。
对这一非线性规划问题,文中采用了一种新型非线性优化算法——QP-free 法来求解刚体有限元上限分析法的非线性规划问题。
该方法的转轴操作可以免子问题不相容的问题,并且在每个迭代步中将求解QP问题转化为求解三具有相同系数矩阵的线性方程组。
而根据虚功率方程将安全系数表示为运动可速度场的函数,目的就是使得非线性规划问题的目标函数避免了其导数成常数向量,便于采用QP-free算法进行求解。
通过两类算法对经典边坡稳定题的对比分析,QP-free算法比传统的SQP 算法则更为有效。
在上述的刚体有限元上限分析法中,数学规划模型的非线性是由于采用安系数作为评价指标而引起的。
塑性极限分析1.设122r r =，试求此圆截面杆外表面处开始屈服时的扭矩与整个横截面屈服时的极限扭矩之比。
解：由p2ss max I r T ==ττ，得屈服扭矩)(2π4142s 2sr r r T -⋅⋅=τ。
而极限扭矩⎰-=⋅=213)(π2d π23132s s p r r r r T τρρτρ，则24.1sp =T T 。
2. 图示理想弹塑性矩形截面梁，极限弯矩与弹性最大弯矩之比有四种答案：(A) 3； (B) 2； (C) 1.5； (D) 1。
答：C3. 图示T 形截面梁，在对称面内纯弯曲。
材料为低碳钢，可视作理想弹塑性。
当截面内最大正应力进入材料的屈服极限后，继续加载，其中性轴位置有四种答案： (A)永过截面形心C ；(B)从截面形心向上移； (C)从截面形心向下移； (D)永过截面1-1线。
答：B4. T 形横截面梁，在对称面内弯曲，设a <<δ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ。
试求梁的极限弯矩与刚出现塑性变形时的弯矩之比。
解：4a y C ≈，3245a I z δ≈。
屈服应力24/54/33s s a a M δσ⨯=，可得屈服弯矩s 2s 185σδa M =。
极限状态，中性轴在翼腹交界处，s 2p 21σδa M ≈，则8.1sp =M M 。
15. 图示T 形横截面梁，材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 240s =σ。
试求梁的极限弯矩，及塑性弯曲截面系数与弹性弯曲截面系数的比值。
解：极限弯矩时，中性轴为z '，c t A A =。
36c t p m 1048-⨯=+=S S W ，m kN 52.11p s p ⋅==W M σ。
弹性状态，中性轴为z ，36maxm 102.27-⨯==y I W z， 则 76.1p =WW 。
6. 梁的横截面如图所示，在对称面内纯弯曲。
当截面完全进入塑性状态时，试求： (1)截面中性轴z的位置； (2)塑性弯曲截面系数p W 。
解：z 轴以下面积5)5/(5221aa y a A C -+=，z 轴以上面积 5)5/2(522aa y a a A C --+=。
由21A A =，得2ay C =，321p 618.0a S S W =+=。
7. 工字形截面简支梁如图所示，m 4=l 。
材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 240s =σ，安全因数6.1=n 。
试按极限弯矩确定许用载荷。
解：4max FlM =。
由21A A =，得mm 5=C y ，3621m m 1093.1⨯=+S S ， 极限弯矩)(21s p S S M +=σ，则由max p M nM =，得许用载荷kN 290][=F 。
8. 矩形截面梁由两种理想弹塑性材料牢固粘合而成，如图所示。
屈服应力1s 2s 2σσ=。
试求极限弯矩。
解：由0N =F ，)43(41s 1s 2s C C y h b b y bh -=+σσσ，得8y C =。
则 6421161)128112825(1s 22s 21s 2p σσσbh bh bh M =++=。
9. 对于理想弹塑性的实心圆杆，其屈服扭矩与极限扭矩之比有四种答案： (A) 1:2； (B) 3:4； (C) 2:3； (D) 4:5。
答：B10. 关于塑性铰，有四种描述：(A)塑性铰所在截面两侧两段梁的转动方向与极限弯矩的方向一致； (B)塑性铰能够抵抗弯矩；(C)(D)答：D11.答：A12. 静定梁的塑性极限载荷应满足下列三个条件：(1)在静力学上，满足⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；(2)梁各横截面的弯矩值均小于或等于⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；(3)结构将成为具有⎽⎽⎽⎽⎽⎽个自由度的破坏机构。
答：静力平衡条件；塑性极限弯矩；113. 梁在平面弯曲时，若处于线弹性阶段，则横截面的中性轴必定通过⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽，若截面达到完全塑性，且材料为理想弹塑性，则此时横截面的中性轴必定⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：该截面的形心；平分截面面积/4(A)(B)(C)(D)214. 由理想弹塑性材料制成的实心和空心圆轴分别如图所示，材料为理想弹塑性，屈服应力为s τ，则实心圆轴的塑性极限扭矩为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；空心圆轴的塑性极限扭矩为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：s 33π2τR ；s 333)(π2τr R - 15. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为A ，设b a <。
材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ，则杆初始屈服时的载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽；杆完全屈服时的载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：A b b a s σ+；A s 2σ16. 简单桁架如图所示，两杆的横截面面积均为A ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ，则桁架的极限载荷为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：ασsin s A17. 塑性铰与真实铰的主要区别是:⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽ ⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
答：(1)塑性铰是由于截面达到完全塑性产生的，可以抵抗弯矩，该弯矩值即为该截面的极限弯矩；而真实铰不能抵抗弯矩；(2)当截面上的弯矩小于极限弯矩时，塑性铰的效应也就随之消失；而真实铰的效应则不会随外载荷的变化而发生改变。
18. 超静定杆系受力如图所示，各杆的横截面面积均为A ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s σ。
试求杆系的屈服载荷s F和塑性极限载荷p F 。
解：一次超静定结构，α31cos 21+=F F ， F F F αα3232cos 21cos +==。
杆1先屈服，屈服载荷 A F s 3s )cos 21(σα+=。
杆2和3屈服时，塑性极限载荷 A F s p )cos 21(σα+=。
19. 简支梁受力如图，圆截面直径mm 20=d ，塑性弯曲截面系数6/3p d W =，材料为理想弹塑性，屈服应力为MPa 240s =σ。
试求梁的塑性极限载荷p F 。
解：梁的极限状态为力F 作用处出现塑性铰 p s p W M σ= 又 1/4.06.0p p ⨯⨯=F M 则 kN 33.1p =F 。
20. 超静定杆受力如图所示，横截面面积为A ，设b a <，材料为理想弹塑性，弹性模量为E ，屈服应力为s σ。
试作截面C 的轴向位移δ和载荷F 间的关系曲线。
解：一次超静定结构，F F F B A =+，B A F baF =解得 F b a b F A +=，F ba aF B +=因b a <，则杆AC 段先屈服。
当杆AC 段屈服时 A bba F s s σ+=，a E s sσδ= 当杆AC 段和BC 段均屈服时 A F s p 2σ=，b Esp σδ=21. 图示结构的水平杆为刚性杆，杆1、2由同一理想弹塑性材料制成，屈服应力为s σ，横截面面积均为A 。
试求初始屈服时的屈服载荷s F 和完全屈服时的塑性极限载荷p F 。
解：一次超静定结构杆2先屈服，屈服载荷 A F s s 65σ=杆1与2均屈服时，塑性极限载荷 A F s p σ= 22. 图示超静定结构的水平杆AB 为刚性杆，杆1、2和3由同一理想弹塑性材料制成，屈服应力为s σ，横截面面积分别为1A 、2A 和3A ，且A A A ==31，A A 22=。
试求塑性极限载荷p F 。
解：杆1、2和3(1)杆3拉屈服，杆1压屈服，杆2未屈服时，A F s p 3σ=，A A F s s 223σσ>=，此时杆2的应力也达到屈服极限，故不可能。
(2)杆1、2拉屈服，杆3未屈服时，A F s p 7σ=，A A F s s 34σσ>=，此时杆3的应力也达到屈服极限，故也不可能。
(3)杆2、3拉屈服，杆1未屈服时，A F s p 5.2σ=，A F s 15.0σ=，此时杆3的应力未达到屈服极限，则A F s p 5.2σ=。
s p23. 图示两端固定的圆截面杆，受力偶矩e M 作用，杆的直径mm 40=d ,材料为理想弹塑性，屈服应力MPa 100s =τ。
试求极限力偶矩。
解：极限力偶矩m kN 35.32π121s 3p ⋅=⨯=τd M 。
24. 矩形截面梁的高为h 、宽为b ，材料拉伸与压缩的应力-应变关系为n C εσ=，C 和n 为常数，且10≤≤n 。
试导出梁以弯矩M 纯弯曲时的正应力表达式。
解：弯曲变形的线应变ρεy=，应力nnny CC ρεσ==，nn h n nn h Cb y b y yC M ρρ)2()2/(2d 222/0+==+⎰ 则 ()22/2)2(++=n n h b My n σ。
25. 圆轴的直径为D ，材料为理想弹塑性，屈服应力为s τ。
在扭转达到极限状态后，卸载。
试求轴的残余应力。
解：极限状态的切应力均为s τ，扭矩为p T 。
弹性卸载tp W T =τ。
可得残余应力如图所示。
26. 图示梁在截面C 和D 上，分别承受集中力F 和F β，10<<β。
材料为理想 弹塑性，梁的塑性极限弯矩为p M 。
试求极限载荷p F ，β为何值时梁上总载荷的极限值最大。
解：支座B 的反力16285FF F B β+=截面A 、B 、C 处的弯矩1634Fa Fa M A -=β，2Fa M B β-=，3245FaFa M C β-=当B M 和C M 同时达到p M 时,梁上的总载荷最大, 32452Fa Fa Fa ββ-=于是41=β 当41≥β时，截面B 首先形成塑性铰，p p 2M a F =β，得a M F βp p 2=。
当41<β时，截面A 和C 首先形成塑性铰，由∑=0C M ，得a M F F B p p 22+=β。
再由∑=0A M ，得aM F )1(6p p β-=。
s /327. 图示梁左端固定，右端铰支，承受两个相等的集中力F 。
材料为理想弹塑性，梁的塑性极限弯矩为p M 。
试求极限载荷p F 。
解：截面A 、C 或D 的任两处出现塑性铰，梁即丧失承载能力。
(1)A 和D 处形成塑性铰，l M F p p 4=。
(2)A 和C 处形成塑性铰，l M F p p 5=。
(3)C 和D 处形成塑性铰，lM F p p 9=，则lM F p p 4=。
