医学统计学直线相关和回归共113页

r X X Y Y
l XY
X X 2 Y Y 2
l XX lYY
X 的离均差平方和:
2
lXX X X
Y 的离均差平方和:
2
lYY Y Y
X与Y 间的离均差积和: lXY X X Y Y
离均差平方和、离均差积和的展开：
lXX
2
XX
X2
相关系数的抽样分布( = 0)
300 200 100
0 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
相关系数的抽样分布( =0.8)
300 200 100
0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
R.A. Fisher(1921) 的 z 变换
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
相关系数的z 值的抽样分布( = 0.8)
200
150
100
50
0
0
1
2
3
4
相关系数的可信区间估计
➢ (1) 将 r 变换为 z ； ➢ (2) 根据 z 服从正态分布，估计 z 的可信区间；
1 z u sz z u n 3
➢ (3) 再将 z 变换回 r 。
1 1
0.7221
lup
e2z 1 e2z +1
e22.6650 e22.6650
1该可0信.99区0间4 有1 什么含义？
7.3 直线回归
直线回归是把两个变量之间的关系用适当的方 程式表达出来，可以从一个自变量推算另一个 应变量。
直线回归的定义
➢ Y 因变量，响应变量 (dependent variable, response variable)

离均差积和
a Y b X ( Y ) / n b ( X ) / n
( X )( Y ) l ( X X )( Y Y ) XY XY n
( X ) l ( X X ) X XX n
2 2
2
( Y ) l ( Y Y ) Y YY n
2
Y （6） 7398400 8065600 11902500 9985600 8008900 15840400 6100900 3027600 6150400 11022400 87502700
2
Dec,8,2009
胎儿体重（g）
4500 4000 3500 3000 2500 2000 1500 5.5
回归系数b（coefficient of regression）:
ˆ 改变b 为回归直线的斜率，X改变一个单位， Y 个单位。

二、直线回归方程的求法
最小二乘估计法：要求各实测点到回 归直线的纵向距离的平方和最小。
X X Y Y l X Y b 2 l X X XX
第十章 直线回归与相关
前言
单变量统计(univariate statistics)：描 述某一变量的统计特征或比较该变量的 组间差别，如t、u、F检验 双变量统计(bivariate statistics)：研 究两个变量之间的关系如何。 糖尿病人的血糖与胰岛素水平 年龄与高血压 抗菌药的浓度与琼脂糖抑菌斑的直径
2 2
2
表10－1 10名胎儿的股骨径长度和出生体重的数据
编号 （ 1） 股骨径长度X （cm）（2） 出生体重Y（g） （ 3） XY （ 4） X2 （ 5） Y2 （ 6）

Page 6
2.相关的概念
➢当两个数值变量之间出现如下情况：当一个 变量增大，另一个也随之增大(或减少)，我 们称这种现象为共变，也就是有相关关系。
➢若两个变量同时增加或减少，变化趋势是同 向的，则两变量之间的关系为正相关 (positive correlation)；若一个变量增加时，另 一个变量减少，变化趋势是反向的，则称为 负相关(negative correlation)。
Page 17
➢H0：ρ＝0，两变量间无直线相关的关系；
➢H1：ρ≠0，两变量间有直线相关的关系；
➢a =0.05
t 0.9456 7.1196 1 0.94562
82
➢ν=8-2=6
➢以自由度为6查附表2的t界值表，得P<0.01， 按α=0.05的水准拒绝H0，接受H1，认为2岁 时的身高和成年身高之间存在正相关。
)
XY X Y / X 2 X 2 / n
n
lXY lXX
a Y bX
Page 41
最小二乘法求解(了解)
Q (Y Yˆ )2 (Y a bX )2 最小
根据微积分学中的求极值的方法，令 Q对a、
b的一阶偏导数等于0，即：
Q
a
n
2
i 1
Yi
a
bX i
0
Q b
n
2
i 1
Yi
Page 7
直线相关的概念
➢直线相关（linear correlation），又称简单相 关，用以描述两个呈正态分布的变量之间的 线性共变关系，常简称为相关。
Page 8
➢用以说明具有直线关系的两个变量间相关关 系的密切程度和相关方向的指标，称为相关 系数（correlation coefficient），又称为积差 相关系数（coefficient of product-moment correlation），Pearson相关系数 。

34
图 13-2（b）12 名糖尿病患者血糖与胰岛素的回归关系
35
图 13-2（c） 12 名糖尿病患者血糖与胰岛素散点图
36
三、样本回归系数的假设检验
1．检验假设
H0: =0 H1: 0 =0.05
2．计算统计量 t b 0 sb
37
Sb
SY . X lxx
SY.X
(Y Yˆ)2 n2
1
10.3
13.32
2
11.2
10.82
3
14.0
12.04
4
15.2
12.21
…
…
…
12
25.0
7.71
合计
213.1
123.70
28
1. 绘制散点图，观察X与Y的关系
分 析 步 骤
图 13-2（a） 12 名糖尿病患者血糖与胰岛素散点图
29
直线回归分析的前提条件（补充）
Linearity（线性关系） Independence（抽样的独立性） Normality of Distributions（正态性） Equality of Variances（方差齐性）
a 0 表示直线与纵轴的交点在原点的上方； a 0，则交点在原点的下方； a 0 ，则回归
线通过原点。
24
Yˆ a bX
b为样本回归系数(regression coefficient)，即 回归直线的斜率，表示当X变动一个单位时， Y平均变化多少个单位。
b > 0，表示Y随X增大而增大； b < 0，表示Y随X增大而减少； b = 0，表示直线与X轴平行，即X与Y无直
按=0.05的水准，拒绝H0 ,接受H1 ，与t检验结

• （3）求回归系数b
和截距a
b lXY 226 0.2348 l XX 962 .5
a Y bX 45.4 0.2348172.5 4.897
（4）列出回归方程
将求出的 a 和 b
代入公式（9.7）得
Yˆ 4.897 0.2348 X
• 三、回归直线的绘制
• 在自变量X的实测值范围，任意指定相距较
• 回归系数b为样本回归系数，假设在总体回 归系数β=0的总体中抽样，得出样本的b不
一定为0，因此需作总体回归系数β是否为
0的假设检验，常用t检验或方差分析。因
方差分析计算较为繁琐不在此讲述。
tb
|b0| Sb
|b| Sb
• Sb为回归系数的标准误，Syx为各观察值 Y 距回归直线的标准差，即剩余标准差；为
n2
10 2
• （3）确定P值，作出推断结论
按υ
＝n-2=8查t界值表，得 0.002<P<0.005，
按α ＝0.05水准，拒绝Ho，接受H1，故可
认为20岁男青年身高与前臂长呈正直线相
关关系。
• 2.查表法 查附表14, r界值表列出了相关 系数r与0差别显著性的判断界值，按自由 度 ＝ n-2 查 r 界 值 表 ， 当 r≥rα,n-2 时 ， 则 P≤α ；反之，r＜ rα,n-2 时，则P＞α 。 本例r＝0.8227，大于r0.05(8)＝0.738 ，故 P<0.05。r值有意义。检验结果与t检验相
• 计算步骤：
• （1）列回归系数计算表同表9-1，求出ΣX ，ΣY ，ΣXY ， X2 ， ΣY2 。
• 本例ΣX=1725 ，ΣY=454 ，ΣXY=78541 X，ΣXX2=219782552517，2.Σ5 Y2=2Y0690Y。 前45面4 已45经.4

系数等指标的含义和解释。
04
02 直线相关
直线相关的概念
直线相关是指两个变量之间存在一种线性关系，即当一个变量发生变化时，另一个变量也会按照一定 的方向和强度发生变化。
直线相关可以用相关系数r来表示，r的取值范围为-1到1，r值为正表示正相关，r值为负表示负相关，r值 为0表示无相关。
直线相关的类型
研究非线性关系，即因变量和自变量之间的 关系不是直线关系。
多元线性回归
研究于研究分类因变量的概率预测，常用于二 元分类问题。
回归分析的应用场景
预测模型
通过回归分析建立预测模型，根据已知的自 变量预测未来的因变量值。
病因研究
在医学和流行病学中，回归分析用于研究疾 病发生的危险因素和病因。
响。
学习曲线回归分析，掌握非线 性关系的建模方法。
结合实际案例，实践应用回归 分析解决实际问题。
关注回归分析的最新研究进展 ，提高自己的统计素养。
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01
02
03
正相关
当一个变量增加时，另一 个变量也相应增加，呈正 向变化趋势。
负相关
当一个变量增加时，另一 个变量减少，呈反向变化 趋势。
无相关
两个变量之间不存在线性 关系。
直线相关的应用场景
流行病学研究
通过分析疾病发病率与环境因素之间的直 线相关关系，了解疾病发生的原因和机制。
生物统计学
在生物统计学中，直线相关分析被广泛应 用于基因与表型、环境因素与健康状况等
05 案例研究
案例一：心血管疾病与年龄、血压的关系
总结词
心血管疾病与年龄、血压存在显著相关性，年龄越大、血压越高，心血管疾病风险越高。

• X-自变量（independent variable）；
• Y-应变量（dependent variable）；
•

Y
-
给定cept）或常数项（constant term）；
• b - 回归系数（regression coefficient）。
回归方程参数的计算
表11-2 方差分析表
变异来源 SS

MS
F
总变异 14563.13
8
回归
12538.06
1
12538.06 43.34
残差
2025.07
7
289.30
P
<0.01
Hypothesis test
（二） t 检验
b0 t
Sb
Sb

SY X l XX
n2
SY X
SS残差
残差
lYY
(Y Y )2
Y 2 ( Y )2 n
• 例11-2 从男青年总体中随机抽取11名男青年组成 样本，分别测量每个男青年的身高和前臂长，测
量结果如表11-3所示，试计算身高与前臂长之间
的相关系数。
52
50
48
前臂长(cm)
46
44
42
40
150
160
170
180
190
则回归方程为：
Yˆ 13.049 9.94X
simple regression
（3）作回归直线
• 按上述回归方程，在 X 实测值的范围内，任取两个 相距较远的点 A( X1 ,Yˆ1 ) 和 B( X2 ,Yˆ2 )，连接A、B两点 即得到回归直线。

病例号
血糖
胰岛素
i
YI
Xi
1
12.21
15.2
2
14.54
16.7
3
12.27
11.9
4
12.04
14.0
5
7.88
19.8
6
11.10
16.2
7
10.43
17.0
8
13.32
10.3
9
19.59
5.9
10
9.05
18.7
i
Yi
Xi
11
6.44
25.1
12
9.49
16.4
13
10.16
22.0
14
8.38
年龄-身高； 肺活量-体重； 药物剂量-动物死亡率
双变量资料
统计资料
单变量资料：X 双变量资料：X，Y 多变量资料：X1，X2，…，XK，Y
3
相关与回归是研究两个或多个变量之间相互关系的
一种分析方法。
数据结构
编号
Y
1
2
n
X1
……
XK
4
概念：
回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种 方法。
相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和 方向的方法。
23.1
5
7.88
19.8
15
8.49
23.2
6
11.10
16.2
16
7.71
25.0
7
10.43
17.0
17
11.38
16.8
8
13.32
10.3
18
10.82

SY|X为Y的剩余标准差——扣除X的影响后Y的变异程度。
SY|X
Y Yˆ 2
n2
残差 2
＝ n2
SS剩 ＝ n2
MS剩＝ˆY|X
Y的剩余标准差——扣除X的影 响后Y （即回归所能解释的部 分）本身的变异程度
SY|X 度量了实际散点远离回归直线的离散程度， 反映了模型的可靠性。越小模型越好。
直线回归系数的t检验
H0：总体回归系数＝0； H1：总体回归系数≠0； =0.05
=15-2=13
按=13查t界值表，t0.05/2,13=2.160， t0.01/2,13=3.012， t>t0.01/2,13，得P<0.01。按 =0.05水准拒绝H0，接受H1。
认为胰岛素和血糖存在直线回归关系。
直线相关与回归
Linear Correlation and regression Analysis
▪ 人的体重往往随着身高的增加而增加。二 者之间是否存在某种关联？如果存在，可 否用身高来推测体重的多少？
▪ 人的肺活量往往随着胸围的增加而增加。 是否可以建立胸围和肺活量的数量关系？
▪ 还有：年龄与血压、药物剂量与动物死亡 率、胰岛素与血糖水平的关系等
可以用回归来解释的部分
Y即的与X有总关变的部异分
份额的大小可以 用相关系数的平
方来衡量 （决定系数）
不能用X来解释的部分 即与X无关的部分（随机误差）
Page 72
估计值 的意义
▪ 给定X时，Y的均数的估计值。 ▪ X=10, = 12.7015
即胰岛素为10mU/L，平均血糖值为 12.7015mmol/L
15例糖尿病患者胰岛素患者胰岛素水平和血糖水平的散点图

其样本回归系数b 也不一定为零，因此，需作β是否为零 的假设检验，方法有以下三种：
(一)方差分析法——F 检验法： 1．基本思想：将因变量Y 的总变异SS总分解为两部分SS回归
和SS剩余，然后利用F 检验来判断回归方程是否成立。
2．总的离均差平方和：SS总即 (Y Y )，2 为Y 的总离均差平
（三）直线回归分析的一般步骤 1．将n个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中绘制散点
图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归方程。 2．求回归方程的回归系数和截矩。 3．写出回归方程， Yˆ a bX ，画出回归直线（由回归方程绘
制的直线，又称标准直线 regression line）。 4．对回归方程进行假设检验。
1．两变量之间的关系： 函数关系——确定性关系：因果关系，为一对一的关系。
eg: S r 2、 C 2 r 。
相关关系——非确定性关系：包括因果关系和伴随关系，
为一对多的关系， Yˆ a bX 。
eg: 年龄与血压的关系。
2．线性回归与相关是研究两个变量间呈直线关系的最简单、 最基本的分析方法。 回归分析：定量研究一个变量依赖另一个变量的关系。 子高 父高
Q(, ) y y2
最小，即最小二乘法(least square method)原理；
a 和b称为α、β的最小二乘估计( least squares estimate)。
计算公式： 1． b：
b
(X X )(Y Y ) (X X )2
lXY lXX
r SY SX
式中，lxy 为X、Y 的离均差积和，lxx 为X 的离均差平方
2．分析内容：描述两变量间是否有直线关系以及直线关系的方 向和密切程度，两变量间的直线相关关系用相关系数描述 （定量描述） 。

24
2、计算相应统计量及相关系数：
直线相关（linear correlation）
x 893 y 3991.56
x x / n 893/15 59.5333
y y / n 3991.56 /15 266.1040
x2 55719 y2 1082440.58
xy 243931.91
9
9.8
正相关
9.8
负相关
8.8
8.8
7.8
7.8
6.8
6.8
5.8
5.8
4.8
4.8
3.8
3.8
2.8
2.8
1.8
1.8
0<r <1 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
-1<r <0
直线相关（linear correlation）
散点呈椭圆形分布:
X、Y 同时增减---正相关 （positive correlation)； X、Y 此增彼减---负相关 (negative correlation) 。
r 0
r 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5
图1－2 相关关系示意图
直线相关（linear correlation）
非线性相关 不存在直线相关关系----零相关 (zero correlation)
11
直线相关（linear correlation）
二、相关系数的意义及计算 两变量间直线相关的性质和密切程度，用直线相关系数 linear correlation coefficient来描述。直线相关系数亦称积差 相关系数product-moment correlation coefficient或简相关系数 simple correlation coefficient。

3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度（即统计意义的程度）和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高，概率越小，在判断变 量间具有相关关系时，犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低，是相 关系数具有统计意义的前提下，根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X－χ)2及离均差积和 ∑(X－χ)(Y－у)
∑(X－χ)2= ∑X2－(∑X)2/n=224.31－ (47.28)2/10=0.77
∑(X－χ)(Y－у)= ∑XY－∑X∑Y/n =6594.26－47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
（一）直线回归的概念 直线回归又称简单回归，是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系，但又非函数关系，称作回归关系。 如前所述，20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系，只知道两者存在正相关关系，但不能说， 红细胞数是多时，血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量，需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程，以确定一条最接近于各 实测点的直线，来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下：
（1）作散点图：见下图。由散点图可见，10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130

➢S S 回 为 回 归 平 方 和 ， 它 反 映 在 Y 的 总 变 异 中 由 于 X 与 Y的直线关系而使Y变异减小的部分，也就是在总平
方和中可以用X解释的部分。SS回越大，说明回归效 果越好,即SS总中可用X与Y线性关系解释的变异越多。
➢S S 剩 为 剩 余 平 方 和 ， 它 反 映 X 对 Y 的 线 性 影 响 之 外 的 一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和SS总 中无法用X解释的部分。在散点图中，各实测点离回
1.两变量的变化趋势呈直线趋势(linear)； 2.因变量y属于正态随机变量(normal distribution)；
x y 3.对于I型回归要求对于每个选定的 ， 都有一个正态分布的总体，并且这些总 x y 体的方差都相等(equal variance)；对于II型回归，要求 、 均服从正态
分布。
3.两变量间存在直线相关关系，并不一定是因果 关系，可能是伴随关系；
4.直线回归方程的适用范围一般以自变量的取值
范围为限，在此范围内求出的估计值称内插；
超此范围所得Ŷ称外延。若无充分理由应避免
外延。
第25页/共29页
直线相关与回归的区别与联系
（一）区别
1. 资料要求不同：相关要求两个变量是双变量正 态分布；回归要求应变量Y服从正态分布，而自 变量X是能精确测量和严格控制的变量。
3.利用回归方程进行统计控制：规定Y值的变化，通过控制X的范围来实现统计 控制的目标,所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。
第24页/共29页
应用直线相关和回归应注意的问题
1.作直线相关和回归分析要有实际意义；
2.在进行分析之前，应先绘制散点图，当其分布 有直线趋势时，才适宜作直线相关回归分析。 散点图还能提示资料有无异常点。

03
医学统计学在直线回归分析中具有重要作用，提供了多种统计方法和指标，如简单相关系数、标准误、置信区间等，用于评估回归关系的强度、预测精度和可靠性。
优点
直线回归模型简单易懂，易于解释和实施。同时，该模型能够准确地描述两个变量之间的线性关系，并可以用于预测因变量的趋势。此外，直线回归分析还具有较高的灵敏度和特异性。
模型检验
模型假设与检验
选择合适的估计方法
直线回归模型的参数估计方法有多种，例如最小二乘法、加权最小二乘法等。选择合适的估计方法需要考虑数据的性质和研究目的。例如，如果数据的误差项具有异方差性，则应该使用加权最小二乘法等方法进行估计。
软件实现
可以使用多种统计软件来实现直线回归模型的参数估计，例如SPSS、R、Stata等。通过软件操作可以方便快捷地得到模型的估计结果。
散点图
直线回归模型有一些假设条件，例如误差项的独立性、同方差性和无序列相关性等。这些假设条件必须满足，否则模型的估计结果会受到影响。
模型假设
在进行直线回归分析之前，需要对数据进行检验，以确保数据满足模型假设条件。例如，可以通过相关性检验、残差分析等方法来检验数据是否满足同方差性和无序列相关性等假设条件。
样本量和数据质量
03
样本量的大小会影响结果的稳定性和可靠性。样本量越大，结果越可靠。同时，数据质量也很重要，例如数据的完整性、准确性和真实性等。
绘制散点图
将研究因素和结果的数据点在二维平面上表示出来，形成散点图。通过散点图可以大致观察到因素和结果之间的关系趋势。
判断线性关系
在散点图中，如果因素和结果之间的关系大致呈线性趋势，则可以考虑使用直线回归模型来描述它们之间的关系。如果关系呈非线性趋势，则需要选择其他的回归模型。

输出结果的相关矩阵中，var变量排列在行上， with变量则排列在列上。
例.一年级12名女大学生的肺活量Y(L) 和体重X(㎏)的数据，如下：
某地一年级12名女大学生的肺活量(L)和体重(㎏)
（1）建立直线回归方程,绘制回归直线。
（2）计算相关系数并对其进行假设检验。
建立回归方程，可以回答：随着体重的变化，女大学生 的肺活量如何变化？ 步骤：1.作散点图，确定有无线性趋势 ※2.考察数据的分布，即分析y变量的正态性及方差
齐等问题。
3.建立回归方程并对方程及其参数进行估计与假设 检验。
data aa; proc reg; input x y@@; model y=x/clm cli; cards; 绘制散点图及回归直线 42 2.55 plot y*x; 42 2.20 symbol v=star i=rl; … run; 绘图符号*号 ，并添 ； 加回归直线 proc gplot; plot y*x; 绘制散点图，纵坐 run; 标为y，横坐标为x
用来对指定的变量绘制散点图
CORR过程

可进行相关分析，计算Spearman相关系 数、Pearson相关系数等。 同时也可以给出一些变量描述统计结果。

CORR过程的主要程序步
proc corr [选项]; var [变量名列]； with [变量名列]； … run;
常用选项

pearson 计算直线相关系数，该选项为 缺省值


spearman 计算spearman等级相关系数
nomiss 将含有缺失值的观测排出计算过 程之外
var语句

用来指定待分析的变量（必须是数值型变 量）； 如果忽略var语句，则输入数据集中未在 其它语句使用的全部数值型变量将被作为 分析变量来使用。