三角函数的最值及应用

三角函数最值问题在物理学科中的应用三角函数最值问题在物理学科中有着广泛的应用，以下是几个例子：1. 炮弹轨迹问题在炮弹轨迹问题中，可以利用三角函数的最值来求解最大射程和最大高度。

假设炮弹的初速度为v，发射角度为θ，则炮弹的水平速度为v*cosθ，竖直速度为v*sin θ。

炮弹的水平位移为x=v*t*cosθ，竖直位移为y=v*t*sinθ-0.5*g*t^2，其中g为重力加速度，t为时间。

为了求解最大射程和最大高度，需要分别求解x和y的最大值。

由于cosθ和sinθ的最大值均为1，因此可以得到炮弹的最大射程为v^2/g*sin2θ，最大高度为v^2/2g*sin^2θ。

2. 摆锤问题在摆锤问题中，可以利用三角函数的最值来求解摆锤的最大速度和最大角度。

假设摆锤的长度为l，摆锤的初始角度为θ，摆锤的重量为m，则摆锤的运动方程为θ''+g/l*sinθ=0，其中g为重力加速度，θ''表示θ对时间的二阶导数。

为了求解最大速度和最大角度，需要分别求解θ'和θ的最大值。

由于sinθ的最大值为1，因此可以得到摆锤的最大速度为l*sqrt(2g*(1-cosθ))，最大角度为π/2。

3. 交流电路问题在交流电路问题中，可以利用三角函数的最值来求解电流和电压的最大值。

假设电路中的电阻为R，电感为L，电容为C，交流电源的电压为V，交流频率为ω，则电路的运动方程为L*i''+R*i'+1/C*i=V*sin(ωt)，其中i''表示i对时间的二阶导数，i'表示i对时间的一阶导数。

为了求解电流和电压的最大值，需要分别求解i和V的最大值。

由于sin(ωt)的最大值为1，因此可以得到电流的最大值为V/sqrt(R^2+(ωL-1/ωC)^2)，电压的最大值为V。

三角函数的最值三角函数是在几何学、微积分、物理学和数学中经常使用的古老函数，它伴随着人们对宇宙规律、地球运行等自然现象的深入研究而发展壮大。

三角函数的最值也被广泛应用于各个领域，为人们理解和掌握复杂问题提供了重要依据。

三角函数的最值是指函数在取值范围内的最小值和最大值。

在数学中，三角函数的最值可以用有理函数的积分、极限和微分等方法求出。

其中，有理函数的极限是三角函数最值的最主要的方法，利用极限，可以根据函数图像找出最值的具体的值，从而得到函数的最值。

求三角函数最值的方法一般有两个步骤。

首先，确定函数在取值范围内的最大值和最小值，然后通过有理函数极限和微分求解得出精确的最值。

有理函数极限求解三角函数最值的方法是：先求出三角函数的有理函数曲线，然后从曲线的图像上观察函数最大值和最小值的点，从而确定函数的最值。

有理函数微分也可以用来求解三角函数最值。

它是利用函数的导数，找出函数变化最快和最慢的点，由此确定函数的最值。

三角函数最值的最重要的一点是，它也有自己的变化规律，按照这一规律，可以根据函数的类型和取值范围来确定函数的最值。

例如，常见的正弦函数f(x)在取值范围内的最值是：f(x)的最大值等于1，最小值等于-1。

而余弦函数的最值仍为1和-1，但是最大值和最小值的取值范围有所不同，因此在求解最值时，要根据函数的变化规律来确定最大值和最小值的边界点，从而求得函数的最值。

同样，双曲函数的最值也是按照变化规律来求解的。

总的来说，通过研究函数变化规律，可以根据函数的类型，找出函数在取值范围内的最大值和最小值，得出函数的最值。

不仅仅是三角函数，其他函数的最值也可以通过有理函数极限和微分求解。

另外，还有一些有趣的结论，如根据函数的特性，研究和分析函数的变化规律，对于求函数的最值也有一定的指导作用。

总而言之，从上面的内容可以看出，三角函数的最值具有重要的意义，它可以为人们分析复杂问题提供借鉴，也可以在各个领域得到广泛应用。

三角函数的极值和最值问题三角函数是数学中常见的一类函数，其在解决各种实际问题中起着重要的作用。

本文将探讨三角函数的极值和最值问题，帮助我们更好地理解和应用这一概念。

一、极值问题的引入在开始我们的讨论之前，我们首先来了解下什么是极值。

在数学中，对于一个函数而言，当其在某个区间内取得最大值或最小值时，称该值为函数的极值。

对于三角函数而言，我们主要关注的是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）在一定区间内的极值问题。

二、正弦函数的极值问题正弦函数的图像是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，正弦函数的极大值为1，极小值为-1。

当我们需要求解正弦函数的极值时，首先要找到其周期。

正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]内，正弦函数呈现出一个完整的周期性。

因此，在该区间内，我们可以找到无穷多个极大值和极小值，均为1和-1。

三、余弦函数的极值问题余弦函数的图像也是一条连续的曲线，在区间[0, 2π]内，余弦函数的极大值为1，极小值为-1。

与正弦函数类似，我们需要先找到余弦函数的周期。

余弦函数的周期同样为2π，在这个区间内，余弦函数的极大值和极小值也为1和-1。

因此，在[0, 2π]内，余弦函数也有无穷多个极大值和极小值。

四、正切函数的极值问题正切函数的图像呈现出周期性，其周期为π，即在[0, π]、[π, 2π]、[2π, 3π]等区间内，正切函数的极值问题也呈现出周期性。

在每个π的区间内，正切函数的极值均为无穷大，其中极小值是负无穷，极大值是正无穷。

所以，在正切函数的图像上，我们将无法找到具体的极值点。

五、总结与应用通过以上的分析，我们可以得出以下结论：1. 正弦函数和余弦函数在其周期内有无穷多个极值点，分别为1和-1。

2. 正切函数在其周期内没有具体的极值点。

在实际问题中，我们可以利用三角函数的极值和最值来解决一些优化问题。

例如，在物理中，我们可以通过极值问题来求解质点的最大位移、速度或加速度等。

三角函数的极值三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

这些函数在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

其中一个重要的概念是极值，即函数的最大值和最小值。

在本文中，将探讨三角函数的极值特性以及如何求解。

一、正弦函数的极值正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量。

正弦函数的定义域是所有实数，值域在[-1, 1]之间。

正弦函数的图像是一条连续的波形，具有无限多个极大值和极小值。

我们可以观察正弦函数的图像，发现它在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π的倍数时，取得极小值-1。

由此可知，正弦函数的最大值为1，最小值为-1。

除此之外，正弦函数在其他点上的取值介于-1和1之间。

二、余弦函数的极值余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

余弦函数的定义域也是所有实数，值域同样在[-1, 1]之间。

余弦函数的图像形状与正弦函数相似，但相位不同。

与正弦函数类似，余弦函数也有无限多个极大值和极小值。

观察余弦函数的图像，可以发现它在自变量增大到2π的倍数时，取得极大值1；在自变量增大到π/2和3π/2的倍数时，取得极小值-1。

其他点上余弦函数的取值也落在-1和1之间。

三、正切函数的极值正切函数是三角函数中的另一个重要函数，表示为tan(x)。

正切函数的定义域是所有实数，但在某些点上存在无穷大或无穷小的间断点。

正切函数的值域包含所有实数。

正切函数的图像呈周期性分布，并且在自变量增大到π/2的倍数时，取得无穷大的极大值；在自变量增大到π的倍数时，取得无穷小的极小值。

其他点上正切函数的取值没有特殊限制。

四、求解要求解三角函数的极值，我们可以首先观察它们的图像，确定函数的周期性和取值范围。

然后，通过求导数的方法，找到函数在定义域内的临界点。

最后，将临界点带入函数，求得对应的函数值，进一步确定最大值和最小值。

需要注意的是，某些三角函数在定义域的某些点上没有极值，而是趋于无穷大或无穷小。

（word完整版）⾼中三⾓函数最值问题难题⾼中三⾓函数最值问题难题⼀、直接应⽤三⾓函数的定义及三⾓函数值的符号规律解题例1：求函数y ＝xx x x x x x x cot |cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值分析：解决本题时要注意三⾓函数值的符号规律，分四个象限讨论。

解：（1）当x 在第⼀象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=（2）当x 在第⼆象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=----（3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x xy x x x x =+++=--（4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x xy x x x x=+++=----综上可得此函数的最⼤值为4，最⼩值为-2. ⼆、直接应⽤三⾓函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题例1：（2003北京春季⾼考试题）设M 和m 分别表⽰函数cos 13x -1y=的最⼤值和最⼩值，则M m +等于（）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2解析：由于cos y x =的最⼤值与最⼩值分别为1,-1,所以,函数cos 13x -1y=的最⼤值与最⼩值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（34-）=-2,选D.例2：求3sin 1sin 2x y x +=+的最值（值域）分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式⼦变形使出现12sin 3yx y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。

解：3sin 1sin 2x y x +=+，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=-12(3)sin 12sin 3yy x y x y --=-?=-。

题目 第四章三角函数三角函数的最值及综合应用高考要求1掌握求三角函数最值的常用方法：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 知识点归纳1y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为y =22a b +sin （x +ϕ）2y =a sin 2x +b sin x +c 型常通过换元法转化为y =at 2+bt +c 型： 3y =dx c b x a ++cos sin 型（1）当x R ∈时，将分母与y 乘转化变形为sin （x +ϕ）＝()f y 型 （2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R 时，必须这样作） 4．同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现s i n c o s ,s i n c o s ,s i n c o sx x x x x x +-∙，求它们的范围，一般是令sincos x x t+=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决5．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知tan 2x =，求22sin 2sin cos cos 4x x x x +⋅++的不包括常数项的式子的分母1用22sin cos x x +代换，然后分子分母同时除以2cos x 化为关于tan x 的表达式6．几个重要的三角变换：sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；1±sin α 可化为⎪⎭⎫⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式； 或21sin sin cos 22ααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭()ϕααα++=+sincos sin 22b ab a （其中 ab =ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握．7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y = cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的．8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图． 9三角函数的奇偶性① 函数y = sin (x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k ．② 函数y = sin (x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ． ③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2ππϕ．④ 函数y = cos (x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ． 10正切函数的单调性正切函数f (x ) = tan x ，2ππ+≠k x ()Z ∈k ，在每一个区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，()Z ∈k 上都是增函数，但不能说f (x) = tan x在其定义域上是增函数．注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2tan θ的代数式，把三角式转化为代数式．但往往代数运算比较繁．题型讲解例1 函数y =a cos x +b （a 、b 为常数），若－7≤y ≤1，求b sin x +a cos x 的最大值分析：函数y =a cos x +b 的最值与a 的符号有关，故需对a 分类讨论解：当a ＞0时，⇒⎩⎨⎧=+-=+71b a b a a =4，b =－3；这时 b sin x +a cos x =－3sin x +4cos x =5sin （x +ϕ）≤5（tan ϕ=－34）；当a =0时，不合题意； 当a ＜0时，⇒⎩⎨⎧-=+=+-71b a b a a =－4，b =－3这时b sin x +a cos x =－3sin x －4cos x =5sin （x +ϕ）≤5（tan ϕ=34）综上述，当a =4，b =－3或a =－4，b =－3时，b sin x +a cos x 的最大值为5例2 求函数y =cot2x sin x +cot x sin2x 的最值分析：先将切函数化成弦函数，再通过配方转化成求二次函数的最值问题解：y =xx sin cos 1+·sin x +xx sin cos ·2sin x cos x =2（cos x +41）2+87∵sin x ≠0，∴cos x ≠±1∴当cos x =－41时，y 有最小值87，无最大值点评：这是个基本题型，解题时要注意式中的隐含条件例3 求函数y =xx cos 2sin 2--的最大值和最小值分析：此题的解法较多，一是利用三角函数的有界性；二是数形结合法，将y 看成是两点连线的斜率；三是利用万能公式换算，转化成一元函数的最值问题（由于万能公式不要求掌握，所以此方法只作了解即可）解法一：去分母，原式化为 sin x －y cos x =2－2y ， 即sin （x －ϕ）=2122yy+-故21|22|yy +-≤1，解得374-≤y ≤374+∴y max =374+，y min =374-解法二：令x 1=cos x ，y 1=sin x ，有x 12+y 12=1它表示单位圆，则所给函数y 就是经过定点P （2，2）以及该圆上的动点M （cos x ，sin x ）的直线PM 的斜率k ，故只需求此直线的斜率k 的最值即可由21|22|kk +-=1，得k =374±∴y max =374+，y min =374-评述：数形结合法是高考中必考的数学思维方法，对此要有足够的重视例4 已知函数12)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值（１）函数.2cos 2sin )(b x b x a x f ++=解：(0)8,()12,6f f π==（1）由可得33(0)28,()12,6224,4 3.(2)()43sin 24cos 248sin(2)4,6f b f a b b a f x x x x ππ===+====++=++所以22,,626x k x k k Z πππππ+=+=+∈故当即时，函数f (x )的最大值为12点评 结论()22sin cos sin a b a b θθθϕ+=++是历年高考命题的热点之一．1-1M(cosx,sinx)P(2,2)o y x例5 已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为 [ －5，1 ]，求常数,a b 的值．解：∵ ()b a x a x a x f ++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ， ∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得 ⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ． ∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ， 解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ， 故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或 ⎩⎨⎧=-=12b a点评：三角函数作为函数，其定义域和值域也是它的要素，要待定表达式中的常数值，需注意常数变化对值域的影响．例6设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）若,αβ是方程()0f x =的两根，,αβ的终边不共线，求tan()αβ+的值解：(1) )x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴，又 )x (f 的最大值()412f π=，22b a 4+=∴ ① ， 且 122cosb 122sina 4π+π= ②，由 ①、②解出 2,23a b ==(2)∵ )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， ()()0f f αβ==，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或 )32(k 232π+β-π+π=π+α，即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性例7 已知函数)(1cos sin 23cos 212R x x x x y ∈++=(1)求函数y 的最大值，并求此时x 的值(2)该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：(1)45)62sin(211cos sin 23cos212++=++=πx x x x y ，47max ,,6=∈+=∴y Z k k x 时当ππ；（2）将函数x y sin =的图象依次进行如下变换：① 把函数x y sin =的图象向左平移6π，得到函数)6sin(π+=x y 的图象；② 把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数)62sin(π+=x y 的图象；③ 把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数)62sin(21π+=x y 的图象；④把得到的图象向上平移45个单位长度，得到函数)62sin(21π+=x y +45的图象；综上得函数1cos sin 23cos212++=x x x y 的图象说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成y=22b a +sin (ωx+ϕ)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx ≠0时，y=xx xx x 222cossincos sin 23cos21+++1=xx2tan1tan 2321+++1化简得 2(y －1)tan 2x －3tanx+2y －3=0∵tanx ∈R ，∴△=3－8(y －1)(2y －3) ≥0,解之得：43≤y ≤47∴y max =47，此时对应自变量x 的值集为{x|x=k π+6π,k ∈Z}例8 已知：定义在]4,(-∞上的减函数)(x f ，使得(sin )f m x -27(12cos )4f m x ≤+-+对一切实数x 均成立，求实数m 的范围解：由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≥-4sin cos 4721sin 2x m xm x m ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧+≤-+-≥+-x m x x m m sin 443sin sin212恒成立对R x ∈，又 23111sin 2sin (sin )4222x x x -+-=---≤-， 3sin 4≥+x ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-32121m m m ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+32121m mm ，∴21-=m ， 或323≤<m点评：利用三角函数的值域来求解变量的取值范围，是较为常见的解题思路，在利用单调性列出不等式时，不能忘记函数的定义域 小结：1求三角函数最值的常用方法有：①配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；③数形结合法（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；⑤基本不等式法等2三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响 3注意题中的隐含条件学生练习1若0＜α＜β＜4π，sin α+cos α=a ，sin β+cos β=b ，则A a ＜b ＜1B a ＞b ＞1C ab ＜1D ab ＞1解析：a =2sin （α+4π），b =2sin （β+4π），0＜α+4π＜β+4π＜2π，∴1＜a ＜b ，ab ＞1答案：D2函数f （x ）=cos 2x +sin x 在区间［－4π，4π］上的最小值是A212- B －221+ C －1D221-解析：f （x ）=1－sin 2x +sin x =－（sin x －21）2+45∴当x =－4π时，y min =221-答案：D3函数y =x －sin x 在［2π，π］上的最大值是 A2π－1 B2π3+1 C2π3－22 D π解析：y =x －sin x 在［2π，π］上是增函数，∴x =π时，y max =π答案：D 4y =xx sin 2sin +的最大值是_________，最小值是_________解析一：y =xx sin 22sin 2+-+=1－xsin 22+当sin x =－1时，得y min =－1， 当sin x =1时，得y max =31解析二：原式⇒sin x =yy -12（∵y ≠1）⇒|yy -12|≤1⇒－1≤y ≤31∴y max =31，y min =－1答案：31， －15y =xx sin cos 2-（0＜x ＜π）的最小值是________解析：y 可视为点A （－sin x ，cos x ），B （0，2）连线的斜率k AB ，而点A 的轨迹⎩⎨⎧='-='，，x y x x cos sin x ∈（0，π）是单位圆在第二、三象限的部分（如右图），易知当A （－23，21）时，y min =k AB =3答案：36函数y =log 2（1+sin x ）+log 2（1－sin x ），当x ∈［－6π，4π］时的值域为A ［－1，0］B （－1，0］C ［0，1）D ［0，1］解析：y =log 2（1－sin 2x ）=log 2cos 2x当x =0时，y max =log 21=0；当x =4π时，y min =－1∴值域为［－1，0］答案：A7当y =2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是A23B －23 C 13D 4解析：y =13sin （ϕ－x ）（其中tan ϕ=32）y 有最大值时，应sin （ϕ－x ）=1⇒ϕ－x =2k π+2π⇒－x =2k π+2π－ϕ∴tan x =－tan （－x ）=－tan （2k π+2π－ϕ）=－cot ϕ=－ϕtan 1=－23答案：B 8函数y =2sin 1sin 3+-x x 的最大值是_______，最小值是_______解析：∵y =2sin 1sin 3+-x x =2sin 72sin 3+-+x x ）（=3－2sin 7+x ，∴当sin x =1时，y max =3－37=32；当sin x =－1时，y min =－4答案：32 －49在△ABC 中，a =sin （A +B ），b =sin A +sin B ，则a 与b 的大小关系为____ 解析：a =sin A cos B +cos A sin B ＜sin A +sin B =b答案：a ＜b1-1M(-sinx,cosx)B(0,2)oyx10已知向量a =（cos θ，sin θ），向量b =（3，－1），则|2a－b |的最大值是_____解析：∵2a－b =（2cos θ－3，2sin θ+1）， ∴|2a－b |=22sin 23cos 2）（）（1++-θθ=）（3πsin88-+θ≤4∴|2a－b |的最大值为4答案：410求y =1+sin x +cos x +sin x cos x 的值域解：设t =sin x +cos x ，则t ∈［－2，2］由（sin x +cos x ）2=t 2⇒sin x cos x =212-t∴y =1+t +212-t=21（t +1）2∴y max =21（2+1）2=2223+，y min =0 ∴值域为［0，2223+］11已知对任意x ，恒有y ≥sin 2x +4sin 2x cos 2x ，求y 的最小值 解：令u =sin 2x +4sin 2x cos 2x ，则u =sin 2x +sin 22x =21（1－cos2x ）+（1－cos 22x ）=－cos 22x －21cos2x +23=－（cos2x +41）2+1625，得u max =1625由y ≥u 知y min =162512．已知3sin 2α+2sin 2β=2sin α, 求cos 2α+cos 2β 的最大值和最小值答案：（注意三角函数值域的限制）0≤sin α≤2/3, ∴ 最大值为2,最小值为14/9 13．求半径为1的球的外切圆锥的全面积的最小值解：利用轴截面，设球心与底角的连线与底边的夹角为α, 则 S=πctg 2θ +π ctg 2αsec2θ =2π/[tg 2θ (1–tg 2θ)]≥8π课前后备注。