中考精选2021年中考数学一轮单元复习13 轴对称与等腰三角形 学生版

轴对称与等腰三角形一、选择题1.下列图形是轴对称图形且有两条对称轴的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④2.将一张正方形纸片按如图1，图2所示的方向对折，然后沿图3中的虚线剪裁得到图4，将图4的纸片展开铺平，再得到的图案是( ）3.下列说法正确的是（）A.如果图形甲和图形乙关于直线MN对称，则图形甲是轴对称图形B.任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴C.平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某条直线对称D.如果△ABC和△EFG成轴对称，那么它们的面积一定相等4.在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个5.在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A.（﹣4，﹣2）B.（2，2）C.（﹣2，2）D.（2，﹣2）6.下列说法正确的是（）A.如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形B.如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形C.等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D.一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形7.如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则的位置应选在（）点处．A.PB.QC.RD.S8.如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD.正确的有（）A.①②B.①③C.②③D.③④9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD10.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题11.．如图，四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB=CD；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论是．（把你认为正确的结论的序号都填上）12.点P（5，﹣3）关于x轴对称的点P′的坐标为.13.如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有个．14.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）.16.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E是△ABC内的两点，AE 是平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5 cm，DE=3 cm，则BC的长是 cm．三、作图题17.在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，（1）B点关于y轴的对称点坐标为；（2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为；（4）求△ABC的面积．四、解答题18.如图所示，已知在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．19.如图,在△ABC中,点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于F．（1）求证：EO=FO；（2）若CE=4,CF=3,你还能得到那些结论？20.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M.（1）若∠B=70°，则∠MNA的度数是.（2）连接NB，若AB=8cm，△NBC的周长是14cm.①求BC的长；②在直线MN上是否存在P，使由P、B、C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由.21.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过点A的直线作垂线，垂足分别为点E、F．（1）如图（1），过A的直线与斜边BC不相交时，求证：①△ABE≌△CAF；②EF=BE+CF （2）如图（2），过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，试求EF 的长．22.如图，在等边三角形ABC中，点M是BC边上的任意一点（不与端点重合），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN．（1）求∠ACN的度数．（2）若点M在△ABC的边BC的延长线上，其他条件不变，则∠ACN的度数是否发生变化？（直接写出结论即可）参考答案1.答案为：A.2.答案为：B.3.D4.C5.D.6.B7.B8.答案为：B9.C10.答案为：B.11.答案为：①、②、④．12.答案为：（5，3）.13.答案为：4．解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．14.答案为：2．15.答案为：①②③④.16.答案为：817.解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为：（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（4）△ABC的面积为：2×3﹣×2×2﹣×1×1﹣×1×3=2．18.解：在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，在三角形ABD中，∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°，又∵AD=DC，在三角形ADC中，∴∠C==77°×=38.5°．19.解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵MN∥BC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OE=OC，同理可得OF=OC，∴OE=OF；（2）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2，∵CF是∠OCD的平分线，∴∠4=∠5，∴∠ECF=90°，在Rt△ECF中，由勾股定理得EF=．∴OE=OF=OC=0.5EF=2.5．20. (1) 50(2) ①∵MN垂直平分AB.∴NB=NA，又∵△NBC的周长是14cm，∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm.②当点P与点N重合时，由点P、B、C构成的△PBC的周长值最小，最小值是14cm.21.（1）证明：①∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠EAB+∠FAC=90°，∴∠EBA=∠FAC，在△AEB与△CFA中∴△ABE≌△CAF（AAS），②∵△ABE≌△CAF，∴EA=FC，EB=FA，∴EF=AF+AE=BE+CF；（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF∴∠AEB=∠CFA=90°∴∠EAB+∠EBA=90°∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠FAC=90°∴∠EBA=∠FAC，在△AEB与△CFA中∴△ABE≌△CAF（AAS），∴EA=FC，EB=FA，∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7．22.。

【初中数学】2021中考数学知识点归纳：等腰三角形
为了能更好更全面的做好复习和迎考准备，确保将所涉及的2021中考考点全面复习到位，让孩子们充满信心的步入考场，现特准备了2021
中考
数学知识点归纳：等腰三角形。

◆备考后法
1.运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论.
2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.
3.能熟练运用等腰三角形、方程(组)、函数等知识综合解决实际问题.
◆识记巩固
1.等腰三角形的性质定理及推论：____________________________.
2.等腰三角形的判定定理及推论：____________________________.
识记巩固参考答案:
1.等腰三角形的两个底角相等(等边对等角);等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于底边(三线合一);等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60°.
2.如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边).三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
以上即是数学网为大家整理的2021中考数学知识点归纳：等腰三角形，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!
感谢您的阅读，祝您生活愉快。

等腰三角形的对称性及双等腰三角形类型 1 等腰三角形的对称性使用条件：出现等腰三角形一腰上有三角形，将其沿着等腰三角形的对称轴翻折经典模型图常用结论条件：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边 BC 上，连接AD辅助线：在CB上截取CE=BD ，连接AE△ACE≌△AB. 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点 D 在边AC 上，连接 BD辅助线：在AB 上截取BE=CD ，连接CE ；或在AB 上截取 AE=AD ，连接CE△BCE≌△CBl △ACE≌△AB. 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边CA 的延长线上，连接BD辅助线：在BA 的延长线上截取AE= AD ，连接 CE ；或在BA 的延长线上截取BE=CD ，连接CE△ACE≌△ABl △BCE≌△CBL 条件：如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边AC 的延长线上，连接BD辅助线：在AB 的延长线上截取AE=AD ，连接CE ；或在AB 的延长线上截取BE=CD ，连接CE△ACE≌△ABD △BCE≌△CBD 例1、如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，，点 D ，E 均在边 AB 上，且AD =BE ，DG ⊥CE ，垂足为G ，DG 的延长线与BC 相交于点 F ，在图中找出与线段CE 相等的线段，并证明.例2、【提出问题】如图1，在△ABC 中，点D ，F 均在边AB 上，点E 在边 BC 上，BD=BE ，∠ADC=α，∠BEF=180°-2α，延长CA ，EF 交于点G ，GA=GF.求证：AD=EF.【分析问题】等腰三角形是一种常见的轴对称图形，几何试题中我们常将一腰所在的三角形沿着等腰三角形的对称轴进行翻折，从而构造轴对称图形.①小明的想法是：将 BE 放到△BEF 中，沿等腰△BDE 的对称轴进行翻折，即作∠BDH=∠BEF 交BC 于点 H(如图2).②小白的想法是：将 BD 放到△BDC 中，沿等腰△BDE 的对称轴进行翻折，即作∠BEH ：∠BDC 交BD 的延长线于点H(如图3).【解决问题】请你从上述两种方法中选择一种解决问题.类型2 底边在同一条直线上的双等腰三角形 使用条件：两个等腰三角形的底边在同一条直线上经典模型图常用结论条件：如图，AB=AC ，点E 在直线AC 上，点 D 在直线BC 上，且满足EB=ED 辅助线：过点 E 作EF ∥AB 交直线BC 于点F∠ABE=∠CED △EBF≌△EDC∠ABE=∠CED △EBF≌△EDC△GBD∽△ECB∠ABE+∠CED=180°△EBF≌△EDC例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D，E 分别在AB，AC 的延长线上，点 F 在DE 上，AF 与BC 相交于点G，FA=FD，连接BE，∠AFD=2∠ABE.(1)在图中找出与∠CAG 相等的角，并证明；(2)求证：FE=FG.练习题【问题提出】如图1，在△ABC 中，AB=AC，D是AC 的中点，延长BC 至点E，使DE=DB，延长ED 交AB 于点F ，探究AFAB的值.【问题探究】(1)先将问题特殊化：如图2，在图1的条件下，当∠BAC=60°时，直接写出AFAB 的值；(2)再探究一般情形：如图1，(1)中的结论是否仍然成立? 并说明理由.类型3公共腰的双等腰三角形使用条件：两个等腰三角形有一条公共腰经典模型图常用结论条件：如图，在△ABC 中，AB=AC，过点 B 作BE⊥AC 于点E，延长BE 至点D 使BD=AB，连接AD辅助线：延长AD，BC 交于点 F∠ABD=2∠EAD∠AFB=45°例、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是线段BC 上一动点(不与点B，C 重合)，连接AD，延长BC 至点E，使CE=CD，过点E作EF⊥AD于点F，再延长E F交AB于点M .求证：BM=√2CD.。

考点12等腰三角形【命题趋势】等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。

在浙江中考中，等腰三角形可以以选择题、填空题出现，来考察其性质；也可以以解答题出题，来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。

所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。

【中考考查重点】一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定考向一：等腰三角形的性质和判定一．等腰三角形的性质和判定二．等边三角形的性质和判定定义三边长都相等的三角形是等边三角形性质轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴等边三角形三个角都相等，分别都等于60°三线合一（等边三角形三边上均存在三线合一）。

判定定义法有两个角相等的等腰三角形是等边三角形有两个角等于60°的三角形是等边三角形【方法提炼】【同步练习】1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°2．等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（）A．10B．21C．27D．21或273．在直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），在y轴负半轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，1）D．（0，﹣）4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN ＝9，则线段MN的长（）A．大于9B．等于9C．小于9D．不能确定6．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝m，则△MGQ周长是（）A．8+2m B．8+m C．6+2m D．6+m7．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN ＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，则顶角的度数为．9．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．11．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．☆其中：1.平行线的引入方法常见的有：①直接给出的平行；②平行四边形及特殊平行四边形；③梯形的上下底边；④辅助线作出的平行；⑤其他条件证明得到的平行；2.当等腰△是结论时，常接着用等腰△的性质；1.“知2得1”在圆中应用时，常用“角平分线＋等腰→∥”，进而得某角=Rt∠，证直线与圆相切。