高等数学公式篇
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
一些初等函数： 两个重要极限：
倍角公式：
·半角公式：
·正弦定理：·余弦定理：
反三角函数性质：
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用：
方向导数与梯度：
多元函数的极值及其求法：
重积分及其应用：
柱面坐标和球面坐标：曲线积分：
曲面积分：
高斯公式：
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：级数审敛法：
绝对收敛与条件收敛：
幂级数：
函数展开成幂级数：
一些函数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念：
一阶线性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)式的通解两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程。
倍角和半角公式田云江[基本要求]掌握倍、半角公式，并能熟练地正用、逆用和变用。
[知识要点]1、二倍角公式在Sα+β，Cα+β，Tα+β中含α=β得到：S2α： sin2α=2sinαcosαC2α： cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αT2α: tg2α=说明：①在运用二倍角公式时，要注意不仅限于2α是α的二倍的形式，还有如4α是2α的二倍，3α是的二倍，α+β是的二倍等。
②由二倍角公式可以推出如下变形公式：(1)降幂公式：sinαcosα=,sin2α=,cos2α=,如需讨论函数性质如求函数的值域、最值、单调区间，周期、画图等，一般利用降幂公式化函数为y=Asin(ωx+φ）+B或Acos(ωx+φ)+B形式，(2)升幂化积公式：1+cosα=2cos2,1-cosα=2sin2如遇开方，用此公式较方便，(3)cosα=,如求cos cos的值，求cos20°cos40°cos60°的值等用此公式就非常简便。
2、三倍角公式： sin3α=3sinα-3sin3α, cos3α=4cos3α-3cosα3、半角公式：: sin=±: cos=±: tg=± ,:tg==对于半角公式，必须明确，“半角”是相对而言，不能认为才是半角如2α是4α的半角，α是3α的半角，反之，5α分别是，的倍角，因此二倍角公式与半角公式是互逆的。
对于半角公式中根号前的双重符号，它取决于所在的象限，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负号；若α属于某一给定区间，则先求出的所在范围，然后根据所在范围选用符号。
因无“土”号和根式∴在化简证明中更常用4、万能公式sinα= cosα= tgα=说明：①从左到右，α范围变小②右端周期均为2π5、合一变形①asinx+bcosx=(sinx+cosx）=(sinxcos φ+cosxsin φ)=sin(x+φ)及点②asinx+bcosx=(sinx+cosx)=(sinxsin φ+cosxcos φ)=cos(x-φ)[例题选讲]1、已知α是第三象限的角，sin 4α+cos 4α=,求sni2α,cos2α,tg2α的值 解：∵(2k+1)π＜α＜2k π+ (k∈z)∴4k π+2π＜2α＜4k π+3π (k∈z)又∵sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α∴1-sin22α=∴sin22α=∴sin2α=∴cos2α=∴tg2α=2、求sin10°sin50°sin70°的值解：sin10°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°=cos40°cos80°= cos80°==3、求函数y=cos4x-sin4x的最小正周期解：y=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x∴周期T=π4、求值①已知sin-cos=-,450°＜θ＜540° 求tg的值②已知7cos2α+5sin2α=5 求tgα的值③已知=求cosθ的值④已知=-5 求3cos2θ+4sin2θ的值解①：∵sin-cos=-两边平方∴1-2sin cos=∴sinθ=∵450°＜θ＜540°∴cosθ=- =-∴tg==又112.5°＜＜135°∴tg==又tg＜0∴tg=②由万能公式及已知有7×+5×=5即7-7tg2α+10tgα=5+5tg2α即6tg2α-5tgα-1=0∴tgα=-或1③ctg===== (等比定理) ∴tg=2∴cosθ==-④解由万能公式：3cos2θ+4sin2θ=+又==-5∴tgθ=2∴3cos2θ+sin2θ==5、若tg2α=2tg2β+1 求证 cos2α+sin2β=0证明：∵tg2α=2tg2β+1∴1+tg2α=2(1+tg2β)∴sec2α=2sec2β∴=∴cos2β=2cos2α∴1-cos2β=1-2cos2α∴sin2β=-cos2α∴cos2α+sin2β=0[自我检测]1、如果函数y=sinωxcosωx的最小正周期是4π,那么正实数ω的值等于（）A、4B、2C、D、2、的值是（）A、sin2B、-cos2C、cos2D、-cos23、已知sin= cos=-则角α在第（）象限A、一B、二C、三D、四4、若＜α＜2π则等于（）A、cosB、-sinC、-cosD、sin5、化简得（）A、tg2αB、ctg2αC、tgαD、ctgα6、如果|cosθ|=,＜θ＜3π，则sin的值（）A、-B、C、-D、7、X∈[，π]且sinxcosx=-，则tg等于（）A、1+B、-1C、1±D、-18、化简得（）A、ctgB、ctg(-)C、tgD、tg(-)9、已知2sinθ=1+cosθ则ctg的值为（）A、2B、C、或0D、2或010、已知sin(θ-)=则等于（）A、 B、± C、 D、±[参考答案]1、D2、D3、C4、C5、B6、C7、A8、B9、D 10、B来自: 中基网>>教学参考。
倍角公式和半角公式知识讲解一、倍角公式sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=- 3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-；323tan tan tan 313tan αααα-=- 二、半角公式1cos sin22αα-=±；1cos cos 22αα+=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ααααααα--=±==++ 三、万能公式22tan2sin 1tan 2ααα=+；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；22tan2tan 1tan 2ααα=-四、公式的推导sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-sin 2tan2cos2ααα===sin 2sinsin1cos 222tan2sin cos 2sin cos 222ααααααααα-=== sin 2cossinsin 222tan21cos cos2cos cos222ααααααααα===+ 【说明】这里没有考虑cossin22αα==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出来单独讨论一下．五、综合运用1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-== 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒︒=︒-︒=︒-︒=, ()()22αααββαββ=-+=+-=⋅()()()()ππ2()()44ααβαβαββααα=++-=+--=+--()()222βαβαβαααβα⎛⎫-=-+=-=-- ⎪⎝⎭ππππππ244362αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：2222ππππ1sin cos sec tan sintan 2sin 2464αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；21sin 2(sin cos )ααα±=±；5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b aϕ=，ϕ所在的象限由,a b 的符号确定．典型例题一．选择题（共8小题）1．（2017•南充模拟）函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z） B．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）【解答】解：y=sin2x+cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，则x∈[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），即函数y=sin（2x+）﹣sinxcosx的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．2．（2017春•韶关期末）设α是第二象限角，且，则tan2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=1﹣cos2α=．又∵α是第二象限角，得sinα＞0，∴sinα=，由此可得tanα=﹣，因此tan2α==．故选：D．3．（2016春•天台县月考）若f（cosx）=cos2x，则f（1）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x﹣1，令cosx=1，得到f（1）=2﹣1=1；故选：A．4．（2016•诸暨市模拟）已知θ为钝角，且sinθ+cosθ=，则tan2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：法一：∵sinθ+cosθ=①，θ为钝角，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：2sinθcosθ=﹣，∵由θ∈（，π），得到sinθ﹣cosθ＞0，可得：sinθ﹣cosθ===，②∴由①+②可得：sinθ=，由①﹣②可得：cosθ=﹣，∴tanθ==﹣，∴tan2θ==．法二：∵θ为钝角，可得：sinθ＞0，cosθ＜0，又sinθ+cosθ=＞0，可得：θ∈（，），可得：2θ∈（π，），可得：tan2θ＞0，再由sinθ+cosθ=，∴两边平方可得：1+2sinθcosθ=，可得：sin2θ=﹣，∴tan2θ=．故选：B．5．（2015秋•潮州期末）已知，则=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵，∴=．故选：C．6．（2016•湖北模拟）若α∈（0，π），且sinα+2cosα=2，则tan等于（）A．3 B．2 C．D．【解答】解：∵α∈（0，π），∴∈（0，），设tan=x，x＞0，∵sinα==，cosα==，∴sinα+2cosα=+2•==2，即x+1﹣x2=1+x2，即x（2x﹣1）=0，解得x=故选：C．7．（2013秋•吉安期末）已知θ为第二象限角，25sin2θ+sinθ﹣24=0，则sin的值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，则2kπ＜θ＜2kπ+π，k∈Z，则kπ＜＜kπ+，k∈Z，当k是偶数，设k=2n，则2nπ＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第一象限，当k是奇数，设k=2n+1，则2nπ+π＜＜2nπ+，n∈Z，此时为第三象限，则为第一或第三象限，∵25sin2θ+sinθ﹣24=0，∴sinθ=﹣1（舍去）或，∴cos，∴sin==±=，故选：D．8．（2012春•锦州期末）已知sinα=，＜α＜π，则tan的值为（）A． B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵已知sinα=，＜α＜π，∴＜＜，且cosα=﹣．再由二倍角公式可得2﹣1=﹣，求得cos=，∴sin=，则tan==2，故选：C．二．填空题（共8小题）9．（2018春•杨浦区校级月考）已知cos（α+）=，≤α≤，则cos（2α+）=﹣．【解答】解：∵≤α≤，cos（α+）=＞0，∴＜α+≤，∴sin（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）﹣cos（α+）=﹣，cosα=﹣=﹣，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，sin2α=2sinαcosα=，则cos（2α+）=cos2α﹣sin2α=﹣．故答案为：﹣10．（2018春•小店区校级期中）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，，则f（x）的单调递增区间为（或）．【解答】解：f（x）=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，∵，可得：2x+∈（，），∴当2x+∈（，]或∈（，）时，即x∈或时，f（x）单调递增．∴f（x）的单调递增区间为（或）．故答案为：（或）．11．（2018春•福田区校级期中）已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．故答案为：﹣．12．（2018春•海州区校级月考）求cos cos cos cos cos=．【解答】解：cos cos cos cos cos=﹣cos cos cos cos cos== ===，故答案为：．13．（2016春•云南校级月考）已知sinα=，且α为锐角，则cos=．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴，∴1＞，∴=，=1，解得cos=．故答案为：．14．（2016春•陕县校级月考）已知cosα=﹣，α∈（π，），则sin=．【解答】解：∵α∈（π，），∴∈（，），∴sin＞0．∵cosα=1﹣2sin2=﹣，∴sin=．故答案是：．15．（2016春•浦东新区校级期中）已知，α在第二象限，则=3．【解答】解：∵已知，α在第二象限，∴cosα=﹣=﹣，∴===3，故答案为：3．16．（2014•新余二模）若tanα+=，α∈（，），则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵tanα+=，∴=，∴，∴sin2α=，∵α∈（，），∴cos2α=﹣，∴sin（2α+）=sin2αcos+cos2αsin=．故答案为：．三．解答题（共8小题）17．（2018春•沙市区校级期中）已知tanα，tanβ是方程x2+p（x+1）+1=0的两根，α+β∈（0，π）（1）求α+β；（2）若，求sinθ．【解答】解：（1）由题可得，tanα+tanβ=﹣p，tanα•tanβ=p+1，∴．因为α+β∈（0，π），所以．（2）由题意可得，，得，∴sinθ=sin[（）+]=sin（）cos+cos（θ﹣）sin=•+•=．18．（2018•临川区校级模拟）已知函数f（x）=cos2（x+），g（x）=1+sin2x．（1）设x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（2x0）的值；（2）求函数h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，]的值域．【解答】解：（1）f（x）=cos2（x+）=，∵x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，∴2x0+=kπ（k∈Z），∴2x0=kπ﹣（k∈Z），∴g（2x0）=1+sin4x0=1+sin（﹣）=．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=+1+sin2x=+（cos2x+sin2x）=+sin（2x+），∴x∈[0，]⇒2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[]，∴h（x）=+sin（2x+）∈[，2]．19．（2017秋•湛江月考）已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x，∴f（）=sin+cos=1+0=1．（Ⅱ）∵f（）=sinα+cosα=，∴1+sin2α=，sin2α=﹣，∴cos2α=±．∵α∈（0，π），sin2α=﹣，∴2α∈（π，π），∴cos2α＜0，故cos2α=﹣．20．（2017春•如东县校级期中）由倍角公式cos2x=2cos2x﹣1，可知cos2x可以表示为仅含cosx的二次多项式．（1）类比cos2x公式的推导方法，试用仅含有cosx的多项式表示cos3x；（2）已知3×18°=90°﹣2×18°，试结合第（1）问的结论，求出sin18°的值．【解答】解：（1）cos2x═cos（2x+x）=cos2xcosx﹣sin2xsinx=（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx=2cos3x﹣cosx﹣2（1﹣cos2x）cosx=4cos3x﹣3cosx，（2）因为cos（3×18°）=cos（90°﹣2×18°），所以4cos318°﹣3cos18°=2sin18°cos18°，所以4cos218°﹣3=2sin18°，所以4sin218°+2sin18°﹣1=0，解得sin18°=（舍去）．21．（2015•安徽模拟）已知向量=（sinx，sinx），=（cosx，﹣sinx），且f （x）=2•+2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求•的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2•+2=2sinxcosx，﹣2sinx•sinx+2=sin2x+2•=2sin（2x+）+1，故当2x+=2kπ+，k∈z时，即x=kπ+（k∈z）时，f（x）取得最大值为3．（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．由2x+=2kπ+，得x=kπ+（k∈z），此时f（x）=﹣1，则Q（，﹣1）．而由2x+=2kπ﹣，得x=kπ﹣（k∈z），故R（，0），从而=（﹣，3），=（，1），因此=﹣+3×1=3﹣．22．（2014•湖北校级二模）已知函数f（x）=2sinx•cos2+cosx•sinθ﹣sinx（0＜θ＜π）在x=π处取最小值．（1）求θ的值；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．【解答】解：（1）∵当x=π时，f（x）取得最小值∴sin（π+θ）=﹣1即sinθ=1又∵0＜θ＜π，∴（2）由（1）知f（x）=cosx∵，且A为△ABC的内角∴由正弦定理得知或当时，，当时，综上所述，或23．（2010春•闸北区期末）已知，请用m分别表示tanθ、tan2θ、．．【解答】解：由题意，…（3分）…（3分）…（3分）用万能公式求对同样给分．24．（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，，所以cosA=，则=（2），则bc=3．将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9=0解得b=。
