新人教B 版高中数学选修1-2全册课时同步分层练习独立性检验(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A ．独立性检验依赖小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定正确 C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D ．独立性检验不是判定两事物是否相关的唯一方法[解析] 受样本选取的影响，独立性检验得到的结论不一定正确，选B. [答案] B2．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )A ．平均数与方差B ．回归分析C ．独立性检验D ．概率[解析] 判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. [答案] C3．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( ) A ．χ2>3.841 B ．χ2>6.635 C ．χ2<3.841D ．χ2<6.635[解析] 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A 与B 有关时，统计量χ2>3.841，故选A.[答案] A4．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A.14B.13C.12D.34[解析] 设A 为第一次测试通过，B 为第二次测试通过，则所求概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )·P (B )＝12×12＋12×12＝12.[答案] C5．在事件A 和B 的2×2列联表中，n 11＝10，n 12＝21，n 2＋＝35，若有95%的把握认为A 与B 有关系，则n 21可能等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 由题意可知χ2＝66×[10×(35－n 21)－21×n 21]231×35×(10＋n 21)×(56－n 21)>3.841，把A ，B ，C ，D 中的数据分别代入验证可知选A.[答案] A 二、填空题6．甲、乙两人射击时命中目标的概率分别为12，13，现两人同时射击，则两人都命中目标的概率为________．[解析] 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，则A 与B 相互独立． 于是P (AB )＝P (A )P (B )＝12×13＝16.[答案] 167．独立性检验中，两个分类变量“X 和Y 有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________．[解析] 当χ2>3.841时，有95%的把握判断X 与Y 有关系， 当χ2>6.635时，有99%的把握判断X 与Y 有关系， ∴3.841<χ2≤6.635. [答案] (3.841,6.635]8．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天的结果如下表所示：的致死作用________________________．(填“相同”或“不相同”)[解析] 统计假设是“小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关”．由列联表可以算出χ2≈5.33>3.841，故有95%的把握认为小白鼠的死亡与使用的电离辐射剂量有关，所以两种电离辐射剂量对小白鼠的致死作用不相同．[答案] 小白鼠的死亡与使用电离辐射剂量无关 5.33 不相同 三、解答题9．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：[解] 从题目的2×2列联表中可知：n 11＝43，n 12＝162，n 21＝13，n 22＝121，n 1＋＝205，n 2＋＝134，n ＋1＝56，n ＋2＝283，n ＝339， χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关系．10．下面是某班英语及数学成绩的分布表，已知该班有50名学生，成绩分1～5共5个档次．如：表中所示英语成绩为第4档，数学成绩为第2档的学生有5人，现设该班任意一名学生的英语成绩为第m 档，数学成绩为第n 档．(2)若m ＝2与n ＝4是相互独立的，求a ，b 的值．[解] (1)由表知英语成绩为第4档、数学成绩为第3档的学生有7人，而总学生数为50人，∴P ＝750.(2)由题意知，a＋b＝3. ①又m＝2与n＝4相互独立，所以P(m＝2)P(n＝4)＝P(m＝2，n＝4)，即1＋b＋6＋a50·3＋1＋b50＝b50. ②由①②，解得a＝2，b＝1.[能力提升练]1．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2>3.841)≈0.05，则下列表述中正确的是( )A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%[解析]因χ2≈3.918>3.841，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．[答案] A2．假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其2×2列联表为：A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4[解析]对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明X与Y之间的关系越强．[答案] D3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．[解析] 查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，χ2≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．[答案] 不能4．为了研究色盲与性别的关系，调查了1 000人，调查结果如表所示：[解] 由已知条件可得下表：χ2＝1 000×(956×44×480×520≈27.139.因为27.139>6.635，所以有99%的把握认为色盲与性别是有关的.回归分析(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A ．预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D ．可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上[解析] 结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.[答案] B2．在回归分析中，相关指数r 的绝对值越接近1，说明线性相关程度( ) A ．越强 B ．越弱 C ．可能强也可能弱D ．以上均错[解析] ∵r ＝∑x i y i －n x y(∑x 2i －n x －2)(∑y 2i －n y －2)∴|r |越接近于1时，线性相关程度越强，故选A. [答案] A3．已知x 和y 之间的一组数据则y 与x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点( )A ．(2,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C ．(1,2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 [解析] ∵x ＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y ^＝bx ＋a 必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.[答案] D4．已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )A ．一定是20.3%B ．在20.3%附近的可能性比较大C ．无任何参考数据D ．以上解释都无道理[解析] 将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.[答案] B5．某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示，根据表中数据可得回归方程y ^＝bx ＋a 中的b ^＝10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为( )A C ．111.9万元D ．113.9万元[解析] 由题表中数据得x ＝3.5，y ＝43.由于回归直线y ^＝bx ＋a 过点(x ，y )，且b ^＝10.6，解得a ^＝5.9，所以线性回归方程为y ^＝10.6x ＋5.9，于是x ＝10时，y ^＝111.9. [答案] C 二、填空题6．已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ^＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________．[解析] x ＝4＝2，y ＝4＝4，把(x －，y －)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.[答案] 6.77．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．[解析] 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. [答案] 18．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[解析] 以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．[答案] 0.254 三、解答题9．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：如由资料可知(1)线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？附：a ^＝y －b ^x －，b ^＝∑x i y i －n x －y －∑x 2i －n x2[解] (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，b ^＝∑x i y i －5x －y －∑x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23. 于是a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为：y ^＝bx ＋a ＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y 与[解] 作出变量y 与x 之间的散点图如图所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系．设y ＝k x，令t ＝1x ，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：作出y 与t由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t －＝1.55，y －＝7.2，∑5i ＝1t i y i ＝94.25，∑5i ＝1t 2i ＝21.312 5， b ^＝∑t i y i －5t －y －∑t 2i －5t －2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴y ^＝4.134 4t ＋0.8.即y 与x 之间的回归方程为y ^＝4.134 4x＋0.8.[能力提升练]1．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为( )A ．8 C ．8.4D ．8.5[解析] 依题意得x ＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y ＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8，选A.[答案] A2．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12xD ．y ＝176[解析] 因为x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A ，B ，又身高的整体变化趋势随x 的增大而增大，排除D ，所以选C.[答案] C3．以模型y ＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝________.[解析] 由题意得：ln(c e kx)＝0.3x ＋4， ∴ln c ＋kx ＝0.3x ＋4， ∴ln c ＝4，∴c ＝e 4. [答案] e 44．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ]＝8∑ i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1 (u i －u )2，α^＝v －β^u . [解] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y)∑i ＝18(w i －w)2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.合情推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论无法判定正误[解析] 合情推理得出的结论不一定正确，故A 错；合情推理必须有前提有结论，故B 正确；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C 错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D 错．[答案] B2．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n” [解析] 由实数运算的知识易得C 项正确． [答案] C3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2[解析] 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.[答案] C4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心[解析] 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心． [答案] D5．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A ．(2,10)B ．(10,2)C ．(3,5)D ．(5,3)[解析] 由题意，发现所给数对有如下规律： (1,1)的和为2，共1个； (1,2)，(2,1)的和为3，共2个； (1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个； (1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个； (1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n 时，有n －1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．[答案] A 二、填空题6．把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2 017，则n ＝__________.[解析] 题图乙中第k 行有k 个数，第k 行最后的一个数为k 2，前k 行共有k (k ＋1)2个数，由44×44＝1 936,45×45＝2 025知a n ＝2 017出现在第45行，第45行第一个数为1 937，第2 017－1 9372＋1＝41个数为2 017，所以n ＝44(44＋1)2＋41＝1 031.[答案] 1 0317．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .已知四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.[解析] 因为V ＝8πr 3，所以W ＝2πr 4，满足W ′＝V . [答案] 2πr 48．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为________．[解析] 结合等差数列的特点，类比等比数列中b 1b 2b 3…b 9＝29可得，在{a n }中，若a 5＝2，则有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.[答案] a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9 三、解答题9．已知数列8×112×32，8×232×52，…，8×n(2n －1)2(2n ＋1)2，…，S n 为其前n 项和，计算S 1，S 2，S 3，S 4，观察计算结果，并归纳出S n 的公式．[解] S 1＝8×112×32＝89＝32－132＝(2×1＋1)2－1(2×1＋1)2，S 2＝89＋8×232×52＝2425＝52－152＝(2×2＋1)2－1(2×2＋1)2，S 3＝2425＋8×352×72＝4849＝72－172＝(2×3＋1)2－1(2×3＋1)2，S 4＝4849＋8×472×92＝8081＝92－192＝(2×4＋1)2－1(2×4＋1)2，由此归纳猜想S n ＝(2n ＋1)2－1(2n ＋1)2.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．[解] 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a . 证明：设M 是正四面体P ABC 内任一点，M 到平面ABC ，平面PAB ，平面PAC ，平面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P ABC ＝V M ABC ＋V M PAB ＋V M PAC ＋V M PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，而S △ABC ＝34a 2，V P ABC ＝212a 3，故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)． [能力提升练]1．根据给出的数塔，猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11； 12×9＋3＝111； 123×9＋4＝1 111； 1 234×9＋5＝11 111； 12 345×9＋6＝111 111； A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113[解析] 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123 456×9＋7＝1 111 111，故选B.[答案] B2．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3∶1. [答案] C3.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于__________．[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， 所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )． 又因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，所以e 2－e －1＝0， 所以e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)．[答案]1＋524．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解] (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.演绎推理(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的为( ) A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n (n ＋1)(n ∈N ＋)C ．半径为r 的圆的面积S ＝πr 2，则单位圆的面积S ＝πD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2[解析] A ，B 为归纳推理，D 为类比推理，C 为演绎推理． [答案] C2．已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a ＜b .证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A ＜∠B ，∴a ＜b ，画线部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论[解析] 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．[答案] B3．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，而y ＝log 13x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)．”上面推理错误的是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错[解析] 大前提y ＝log a x 是增函数错误，当0<a <1时，函数y ＝log a x 是减函数． [答案] A4．在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为( ) A ．三角形的中位线平行于第三边 B ．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥CB[解析]三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.[答案] A5．定义运算“⊗”为：a⊗b＝ab＋a2＋b2，若1⊗m<3，则m的取值范围是( )A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－2，－1) D．(1,2)[解析]依题意，1⊗m<3，即m＋1＋m2<3，整理得m2＋m－2<0，解得－2<m<1，所以m的取值范围是(－2,1)．[答案] A二、填空题6．以下推理过程省略的大前提为________．因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.[解析]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.[答案]若a≥b，则a＋c≥b＋c7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：设a，b与平面α分别相交于A，B，连接AB，∵a⊥α，b⊥α，AB⊂α，①∴a⊥AB，b⊥AB，②∴a∥b. ③这里的证明有两个推理，即①⇒②和②⇒③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．[解析]②⇒③时，大前提错误，导致结论错误．[答案]②⇒③8．“如图，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD. ③则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．[解析] 由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．[答案] ③ 三、解答题9．用三段论证明通项公式为a n ＝cq n(c ，q 为常数，且cq ≠0)的数列{a n }是等比数列． [证明] 设a n ，a n ＋1是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后一项与前一项的比是同一个常数的数列叫等比数列，(大前提)因为a n ＋1a n ＝cq n ＋1cqn ＝q (常数)，(小前提)所以{a n }是等比数列．(结论)10．已知a >0且函数f (x )＝2xa ＋a2x 是R 上的偶函数，求a 的值．[解] 由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，即2－xa ＋a 2－x ＝2xa ＋a2x ，所以1a ·2x ＋a ·2x＝2xa ＋a 2x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (2x －2－x )＝0，必有a －1a ＝0.又因为a >0，所以a ＝1. [能力提升练]1．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )>0恒成立．因为f (x )＝x 3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f ′(x )＝3x 2>0恒成立．以上推理中( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．结论正确D ．推理形式错误[解析] f (x )在(a ，b )内可导且单调递增，则在(a ，b )内，f ′(x )≥0恒成立，故大前提错误，选A.[答案] A 2．设是R 内的一个运算，A 是R 的非空子集．若对于任意a ，b ∈A ，有ab ∈A ，则称A 对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )A ．自然数集B ．整数集C ．有理数集D ．无理数集[解析] A 错，因为自然数集对减法不封闭；B 错，因为整数集对除法不封闭；C 对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错，因为无理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都不封闭．[答案] C3．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 020)f (2 019)＝________. [解析] ∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)(大前提)． 令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2(小前提)． ∴f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2 020)f (2 019)＝2(结论)， ∴原式＝2＋2＋…＋21 010个＝2 020. [答案] 2 0204．设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． [解] (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18.(2)∵a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，∴a 5＝12a 4＝14a ＋316.∴b 1＝a 1－14＝a －14≠0，b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝⎛⎭⎪⎫a －14.猜想{b n }是公比为12的等比数列．证明如下： ∵b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1＋14－14＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)， ∴b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝12，n ∈N *∴{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列.综合法及其应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0 C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，则a ，b 异号，故选C. [答案] C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形D ．平行四边形[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →， ∴OA →－OB →＝OD →－OC →， ∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形． [答案] D3．若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[解析] ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ， ∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1， ∴a <12，∴a 2＋b 2最大，故选B.[答案] B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 若A >B ，则a >b ， 又a sin A ＝bsin B，∴sin A >sin B ； 若sin A >sin B ，则由正弦定理得a >b ， ∴A >B . [答案] C5．若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )A ．若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB ．若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥βC ．若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βD ．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ[解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．[答案] C 二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，若A ，B ，C 三点共线，则k ＝________.[解析] 若A ，B ，C 三点共线，则AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6.[答案] 67．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ， 又∵c b＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b . [答案] a >c >b8．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．[解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，若ab >0，bc >ad ，则bc －adab>0，故①③⇒②.若ab >0，bc －ad ab >0，则bc >ad ，故①②⇒③.若bc >ad ，bc －adab>0，则ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．[答案] 3 三、解答题9．如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形， ∴ABCD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴CFAE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ，又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入上式得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ，整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ， 而B ＝π3，则A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] ∵a x ＝b y＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.故选C.[答案] C2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定[解析] 因为tan A ·tan B >1， 所以角A ，角B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B <0.所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角． [答案] A3．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． [解析] 由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大． [答案] a ＋b4．如图所示，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)， ∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ， ∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2.∴k EF ＝y E －y Fx E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k2＝－12y 0(定值)．∴直线EF 的斜率为定值．分析法以及应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．若a ，b ∈R ，则1a 3>1b3成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．b >aC ．a <b <0D ．ab (a －b )<0[解析] 由a <b <0⇒a 3<b 3<0⇒1a 3>1b 3，但1a 3>1b3不能推出a <b<0.∴a <b <0是1a 3>1b3的一个充分不必要条件．[答案] C2．求证：7－1>11－ 5. 证明：要证7－1>11－5， 只需证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11， ∵35>11， ∴原不等式成立． 以上证明应用了( ) A ．分析法 B ．综合法C ．分析法与综合法配合使用D ．间接证法[解析] 该证明方法符合分析法的定义，故选A. [答案] A3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0[解析] 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明(a 2－1)＋b 2(1－a 2)≤0，只要证明(a 2－1)(1－b 2)≤0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.[答案] D4．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2[解析] 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，∴b 2＋c 2－a 2<0， 即b 2＋c 2<a 2.[答案] C5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”，索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0[解析] 由题意知b 2－ac <3a ⇐b 2－ac <3a 2⇐b 2＋a (a ＋b )<3a 2⇐b 2＋a 2＋ab <3a 2⇐b 2＋ab <2a 2⇐2a 2－ab －b 2>0⇐a 2－ab ＋a 2－b 2>0⇐a (a －b )＋(a ＋b )(a －b )>0 ⇐a (a －b )－c (a －b )>0⇐(a －b )(a －c )>0，故选C. [答案] C 二、填空题6．设A ＝12a ＋12b ，B ＝2a ＋b(a >0，b >0)，则A ，B 的大小关系为________．[解析] ∵A －B ＝a ＋b 2ab －2a ＋b ＝(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝(a －b )22ab (a ＋b )≥0，又∵a >0，b >0，∴2ab >0，a ＋b >0，∴(a －b )2≥0 ∴A ≥B . [答案] A ≥B7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是________．[解析] 要使a a >b b 成立，只需(a a )2>(b b )2，只需a 3>b 3>0，即a ，b 应满足a >b >0. [答案] a >b >08．如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．[解析] 要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ，即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .[答案] AC ⊥BD (或底面为菱形) 三、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.[证明] 法一：分析法 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立， 又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立， 只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立， 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立， 由此命题得证． 法二：综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b >0，a ＋b >0，由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . [证明] 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥23ab sin C ， 即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)， 因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ， 只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升练]1．已知a ，b ，c ，d 为正实数，且a b <c d，则( ) A.a b <a ＋c b ＋d <cd B.a ＋cb ＋d <a b <cd C.a b <c d <a ＋cb ＋dD ．以上均可能[解析] 先取特殊值检验，∵a b <c d， 可取a ＝1，b ＝3，c ＝1，d ＝2，则a ＋cb ＋d ＝25，满足a b <a ＋c b ＋d <cd. ∴B，C 不正确． 要证a b <a ＋cb ＋d，∵a ，b ，c ，d 为正实数， ∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c )，即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <c d成立， ∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <cd.故A 正确，D 不正确． [答案] A2．下列不等式不成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca B.a ＋b >a ＋b (a >0，b >0) C.a －a －1<a －2－a －3(a ≥3) D.2＋10>2 6[解析] 对于A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； 对于B ，∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴a ＋b >a ＋b ；对于C ，要证a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)成立，只需证明a ＋a －3<a －2＋a －1，两边平方得2a －3＋2a (a －3)<2a －3＋2(a －2)(a －1)，即a (a －3)<(a －2)(a －1)，两边平方得a 2－3a <a 2－3a ＋2，即0<2.因为0<2显然成立，所以原不等式成立；对于D ，(2＋10)2－(26)2＝12＋45－24＝4(5－3)<0，∴2＋10<26，故D 错误．[答案] D3．使不等式3＋22>1＋p 成立的正整数p 的最大值是________． [解析] 由3＋22>1＋p ，得p <3＋22－1， 即p <(3＋22－1)2， 所以p <12＋46－42－23，由于12＋46－42－23≈12.7，因此使不等式成立的正整数p 的最大值是12. [答案] 124．已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1，求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .[证明] 要证明log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，。
