高中数学人教B版必修二课件：第二单元 2.3.2 圆的一般方程.pptx

数
学 必 修 ②
＋12)2＝52，即 x2＋y2－3x＋y＝0.
人 教 B
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第二章 平面解析几何初步
3．圆 x2＋y2－2y－1＝0 关于直线 y＝x 对称的圆的方程是 导学号 92434785
(A) A．(x－1)2＋y2＝2 C．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝2 D．(x＋1)2＋y2＝4
第二章 平面解析几何初步
命题方向1 ⇨二元二次方程表示圆的条件
典例 1 m 是什么实数时，关于 x、y 的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2 ＋m＋2＝0 表示一个圆？ 导学号 92434788
[解析] 由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，
数
即m2＋2m－3＝0，
学
必 修
解得m＝－3或m＝1.
[解析] ∵方程 x2＋y2－2x＋4y＋m＝0 表示圆，
∴(－2)2＋42－4m>0，
∴m<5.
数
又∵圆与 x 轴相切，∴ －22＋2 42－4m＝2，
学
必 修
∴m＝1.
②
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第二章 平面解析几何初步
5．(2016·浙江文，10)已知 a∈R，方程 a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0 表示 圆，则圆心坐标是__(－__2_，__－__4_)____，半径是____5___. 导学号 92434787
②
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第二章 平面解析几何初步
当 m＝1 时，原方程化为 2x2＋2y2＋3＝0.
不合题意舍去；
当 m＝－3 时，原方程化为 14x2＋14y2－1＝0，

此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )

中学高中数学圆的一般方程 课件新人教版必修2
•
•学习目标:
•(1)圆的一般方程是什么？ •(2)怎样确定圆的一般方程？ •(3)圆的一般方程与标准方程如何 互化？
•
•复习回顾:
•圆的标准方程的形式是怎样的？
•其中圆心的坐标和半径各是什么？
•
•想一想:若把圆的标准方程
•展开后，会得出怎样的形式？
•(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程①没有实 •数解，因而它不表示任何图形．
•
• 一、圆的一般方程:
•特点•：(1) 和 的系数相同，都不为0． •(2)没有形如 的二次项．
•思 •考•什么时候可以表示圆?
•
•练习：
•1••. 下列各图各表示什么图•形？ •（••1）•x•2+•y•2 =•0 •（•2•）•x•2+•y•2-•2•x+•4•y-•6=•0
•
•这样就得到：凡是圆的方程都可以化成：
•这个方程有何特征？ •x2、y2的系数皆为 1 的二元二次方程 ,且不含xy 项 •反过来，此方程都表示圆吗？
•
•①
•②
•zxxkw
•(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程①表示以 •为圆心， •为半径的圆.
•
•① •②
•(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点
•
•举 若• 例已例知1 求三过点点求圆的方程的,圆我的们方程常，并采求 用圆的 出一这般个圆方的半程径和用圆心待坐定标. 系数法求解.
•解 设所求圆的方程为
• 若已知条件涉及圆心和半径, • •其我中•由们题意一得待般定.采用圆的标•解准得 方程较简单.
•于是所求圆的方程为 •将这个方程配方，得 •所以所求圆的圆心坐标是

2.3.2 圆的一般方程
【课标要求】 1．正确理解圆的一般方程及其特点． 2．会由圆的一般方程求其圆心、半径． 3．初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用． 【核心扫描】 1．依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单 应用．(重点) 2．会用配方法对圆的标准方程和一般方程进行互化．(难点) 3．准确理解方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 及其表示的图形．(易 混点)
解 设其外接圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 把 A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)代入上述方程，整理得
5DE－＋2FE＋＋2F5＋＝50＝，0， 3D＋4E－F－25＝0.
D＝6， 解得E＝－2，
F＝－15 则所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0. 配方，得(x＋3)2＋(y－1)2＝25. 所以其外接圆的圆心是(－3,1)，即外心坐标为(－3,1)．
规律方法 研究 A1x2＋A1y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 表示什么曲 线，通常是等号两边先同除以 A1，转化为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的形式，然后可以朝着圆的标准方程方向直接配方求解，也可以 利用公式法研究 D2＋E2－4F 的符号来判断方程表示圆、点或不表 示任何图形．
【变式 1】 方程 x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0 表示圆，试求实数 a 的范围．
自学导引
1．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
配方得：x＋D2 2＋y＋E22＝D2＋E42－4F.
(1)当 D2＋E2－4F＝0 为 －D2 ，－E2 ；
时，方程表示一个点，该点的坐标
(2)当 D2＋E2－4F<0 时，方程不表示任何图形；
(3)当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示的曲线为圆，它的圆心

解：设所求圆的标准方程为：
(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
a)2
(1
b)2
r2
解得 b 3
(4 a)2 (2 b)2 r2
r 5
所求圆的方程为：(x 4)2 ( y 3)2 25
自主探究 2.方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示的图形是什么？
将x2 y2 Dx Ey F 0左边配方，得
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(1)当D2＋E2－4F>0时 此方程表示以( D , E )
22
为，圆心，以1 D2 E 2 4F 为半径的圆。
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方 一般方程 展开 标准方程(圆心,半径)
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
人教B版高中数学必修2第二章2.3.2 圆的一般方程课件【精品】
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导学案作业部分
人教B版高中数学必修2第二章2.3.2 圆的一般方程课件【精品】
圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点点MM的的轨坐迹标方是程（是x：,y）点,M点的A的坐坐标标（为x,y（）x满0,y足0）的关系式。
y
由于B点坐标为（4，3），M为AB的中点，所以
x x0 4 , y y0 3
整理得 x0 2 2x 4, y20 2 y 3. （ 又因为点A在圆上运动，所以A点坐标满足 方程，又有 x0+1）2+y02=4

(2)x2 y2 2x 4 y 6 0 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
x2 y2 Dx Ey F 0
不一定是圆
方程x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1) 在什么条件下表示圆？
配方可得： (x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
的标准方程.
y
y=x
2
(x-2)2+(y-2)2=4
C(2,2)
-2 02
x
C(-2,-2)
-2
或 (x+2)2+(y+2)2=4
小结:利用圆的标准方程解题需要确定圆的圆心和半径.
2.3.2 圆的一般方程
圆的标准方程: x a2 y b2 r 2
其中,圆心的坐标是 a, b
半径大小是rຫໍສະໝຸດ 将标准方程展开会得到怎样的式子呢？
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（
）为圆心，
以(
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2
y=-E/2，表示一个点（
）
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程无实数解，所以不表示 任何图形。
1.圆的一般方程: x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
2.3.2 圆的一般方程
复习：
1.以C（a,b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为: (x－a)²+(y－b)²=r²
2.以原点O（0,0）为圆心，r为半径的圆的标准方 程为:
x²+y²=r²，
【课前练习】
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的标准方程为：

• 解析：首先将两圆的方程化为标准形式，分别为$(x+3)^2+(y-4)^2=25$和 $(x-2)^2+(y+1)^2=5$。然后求出两圆的圆心坐标和半径，分别为$O_1(3,4), r_1=5$和$O_2(2,-1), r_2=\sqrt{5}$。由于$r_1-r_2<d<r_1+r_2$，所 以两圆相交。将两圆的方程相减，得到公共弦所在直线的方程为$10x-6y5=0$。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端都在圆上 的线段，是半径的两倍， 用字母d表示。
弦、弧与圆周角
弦
连接圆上任意两点的线段。
弧
圆上任意两点间的部分。
圆周角
顶点在圆上，两边与圆相交的角。
圆的对称性与旋转不变性
• 解析：首先求出圆心$C(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$到直线$l$的距离$d = \frac{|A(-\frac{D}{2}) + B(-\frac{E}{2}) + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$。然后比 较$d$与半径$r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}}$的大小关系。若$d < r$ ，则直线与圆相交；若$d = r$，则直线与圆相切；若$d > r$，则直线与圆 相离。
04
圆与圆的位置关系
圆与圆相交的条件
01
两圆圆心距小于两圆半径之和且 大于两圆半径之差。
02
通过比较两圆方程，消去其中一 个未知数，得到一个关于另一个 未知数的二次方程，若该方程有 两个不同的实根，则两圆相交。

(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外； (2)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上； (3)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．
2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
学习目标
1. 理解圆的定义及圆的标准方程的形式，会求 圆的标准方程． 2．理解点与圆的位置关系，并会判断点与圆的 位置关系． 3．掌握求曲线方程的一般步骤．
2.3.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．圆的定义：平面内到一定点的距离等于 __定__长___的点的轨迹． 2．确定一个圆的条件：(1)圆心；(2)半径．
(2)分别计算点到圆心的距离 |CP1|＝ 4－22＋5－82＝ 13> 10， |CP2|＝ 4－32＋5－22＝ 10， |CP3|＝ 4－62＋5－72＝ 8< 10. 因此，点 P2 在圆上，点 P1 在圆外，点 P3 在圆 内．
有关圆的应用 利用圆的方程解决实际问题．
例3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在l位 置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面 下降1米后，水面宽多少米？
又 ∵ 圆 的 半 径 r＝ |OC| ＝
－412＋742 ＝
285，
∴所求的圆的方程为(x＋14)2＋(y－74)2＝285.
【点评】 求圆的标准方程的方法一般有两种： (1)待定系数法(代数法)，待定系数法体现了方程 的思想，利用代数的运算来求解a、b、r.具体步 骤为：首先设出圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝ r2，再根据题设条件列出关于a、b、r的方程(组)， 然后解方程(组)求得a、b、r的值，即可确定圆的 标准方程． (2)几何法，即利用圆的几何性质(弦的性质，切 线的性质)来直接求得圆心坐标及半径．几何法体 现了数形结合的思想，思路简洁明了，具有一定

•直径的圆的方已程知，两并点判P断1(M4(,69,)9和)、P2(Q6(,53,)3，)是求在以圆P1上P2？为
圆外？圆内？
• [分析] (1)根据所给已知条件可得圆心坐标和半 径．
• (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已 知点[到解析圆]心由的已距知离条与件半可径得圆的心大坐小标关为系M来(5,判6)，断半．径为 r＝12
• 3．以点A(－5,4)为圆心，且与y轴相切的圆的方程
是( )
• A．(x－5)2＋(y＋4)2＝25 B．(x＋5)2＋(y－4)2＝
25
• C．(x－5)2＋(y＋4)2＝16 D．(x＋5)2＋(y－4)2＝
16
• [答案] B
• [解析] ∵与y轴相切，∴r＝5，方程为(x＋5)2＋(y
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
此求圆的方程必须具备三个独立条件．
• 3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为： (x_圆－_心_a_)2在_＋_(原_y_－点_b_)、_2＝_半_r_2 径__为__r_的，圆称方作程圆为的x标2＋准y方2＝程r．2. 特别地，
• 4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关
r2＝5
故△ABC 的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。

=m,
(������-3)2+������2
即(m2-1)x2+(m2-1)y2-6m2x+9m2=0. 当 m=1 时,x=32,其轨迹为两点的中垂线;
当 m≠1 时,方程可化为
������-
3������2 ������2-1
2
+y2=
3������ ������2-1
2
,其轨迹是以
3������2 ������2-1
,0
为圆
心,以
3������ ������2-1
为半径的圆.
探究一
探究二
探究三
探究四
点评求轨迹方程与轨迹是不同的,求轨迹方程时只需要求出方
程,求轨迹时,不仅要求出轨迹方程,还要指出方程表示的图形,如果方程中 含有参数要分类讨论,如有不符合条件的点要舍去.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 4】已知点 P 在圆 C:x2+y2-8x-6y+21=0 上运动,求线段 OP
则|MA|=12|CP|,即|MA|=1.
又当 O,C,P 三点共线时,|MA|=1. 所以点 M 的轨迹是以 A 为圆心,1 为半径的圆.
所以点 M 的轨迹方程为(x-2)2+
������-
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 若关于 x,y 的方程 x2+mxy+y2+2x-y+n=0 表示的曲线 是圆,则 m+n 的取值范围是( )
A.
-∞,
5 4
B.
-∞,
5 4
C.
5 4
,
+