2013高中数学奥数培训资料之容斥原理

高中数学容斥原理高中数学里的容斥原理，就像是一个神秘的魔法钥匙，能帮咱打开好多难题的大门！咱先来说说啥是容斥原理。

你就把它想象成一群小伙伴在玩游戏。

比如说，有喜欢跳绳的小伙伴，有喜欢打球的小伙伴，还有既喜欢跳绳又喜欢打球的小伙伴。

那要知道总共有多少种不同的喜好组合，这就得靠容斥原理啦！容斥原理的公式看起来可能有点复杂，但是别怕！咱把它拆开来理解。

就好比你组装一个玩具，一个零件一个零件地来，最后不就拼成完整的啦？比如说，要算两个集合 A 和 B 的并集元素个数，那就是 A的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集元素个数。

这是不是有点像你整理书包，先把语文书放进去，再放数学书，要是有重复放的，就得拿出来，不然书包就乱套啦！再举个例子，学校组织活动，参加唱歌比赛的有 20 人，参加跳舞比赛的有 30 人，其中既参加唱歌又参加跳舞的有 10 人。

那总共有多少人参加了比赛？这时候容斥原理就派上用场啦！20 + 30 - 10 = 40 人，是不是一下子就清楚啦？容斥原理在解决实际问题的时候可厉害啦！比如说统计班级里参加各种兴趣小组的人数，或者计算在商场里同时购买了几种商品的顾客数量。

而且哦，容斥原理还能和其他数学知识结合起来，就像不同的乐高积木搭在一起，能创造出更精彩的作品。

比如说和概率问题结合，算一算同时满足几个条件的概率是多少。

在做容斥原理相关的题目时，可一定要仔细，千万别漏数或者多数了。

就像你出门不能忘带钥匙一样，一个小细节都不能马虎。

怎么样，是不是觉得容斥原理也没那么难啦？其实数学里的好多知识都是这样，乍一看挺吓人，只要咱耐心琢磨，都能把它们拿下！所以啊，别害怕数学，大胆去探索，容斥原理就是咱们的好帮手，能让咱们在数学的世界里越走越顺！。

竞赛讲座20-容斥原理在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用CardA表示有限集合A的元素个数)。

原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。

原理二：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：第一步求|A|+|B|+|C|；第二步减去|A∩B|，|A∩C|，|B∩C|；第三步加上|A∩B∩C|。

例1求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。

问两科都在90分以上的有多少人？例3 某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。

参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。

同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。

问参加棋类比赛的共有多少人？例4边长分别为6，5，2的三个正方形，如图8—5所示放在桌面上。

问它们盖住的面积是多大？例5求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？练习题1. 某班共有48名学生，都参加了语文兴趣小组或数学兴趣小组，其中参加语文兴趣小组的有30人，参加数学兴趣小组的有28人，问同时参加语文、数学兴趣小组的人数是多少．2.纸片面积为7，一张边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌面上覆盖的面积为8，问两张纸片重合部分的面积是多少？3. 不超过110且与110互质的自然数有几个？4.求在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个。

容斥原理讲解嘿，朋友们！今天咱来唠唠容斥原理。

你说这容斥原理啊，就像是一场奇妙的拼图游戏。

咱就打个比方吧，比如说你有一堆各种各样的糖果，有巧克力糖、水果糖、奶糖。

然后呢，你想知道总共有多少颗糖，但是这里面有些糖果它既是巧克力味又是水果味的呀，还有些可能既是奶糖又是巧克力糖。

这时候容斥原理就派上用场啦！它能帮你理清这些重复的部分，准确算出糖果的总数。

你想想看，在生活中不也经常会遇到这样类似的情况嘛。

比如说你参加了好几个兴趣小组，篮球小组、绘画小组、音乐小组。

那在统计参与人数的时候，可不能简单地把各个小组的人数一加就完事儿了，因为有些人可能同时参加了好几个小组呀，这就需要用容斥原理来好好算一算啦！再比如说班级里评选优秀学生，有的同学学习好，有的同学品德好，还有的同学文体好。

但也有同学是好几方面都好呀，那在统计优秀学生人数的时候，不就得考虑到这些重叠的部分嘛，不然可就不准确啦。

容斥原理不就是这样嘛，它让我们能更清楚、更准确地去理解和处理那些有重叠、有交叉的情况。

就像我们在生活中处理各种关系一样，朋友之间可能有共同的爱好，工作中可能有交叉的任务，都需要我们用智慧去分辨和处理呀。

它不是那种死板的理论，而是非常实用的工具呢！它能让我们在面对复杂的情况时不慌乱，能有条理地去分析和解决问题。

你说这容斥原理是不是很神奇呢？它就像是一把钥匙，能打开我们理解复杂世界的大门。

让我们能更清晰地看到各种事物之间的关系，避免重复计算或者遗漏重要信息。

所以啊，大家可别小瞧了这容斥原理，它在很多地方都能派上大用场呢！无论是在数学领域，还是在我们的日常生活中，它都能给我们带来很多帮助和启示。

我们要好好去理解它、运用它，让它为我们的生活增添更多的精彩和便利呀！这容斥原理，真的是很有意思的东西呢，大家难道不这么觉得吗？。

容斥原理教学目标：1、理解容斥原理，会画图分析其中关系，正确的找出答案。

2、培养学生的逻辑思维和数学思考能力。

3、培养学生良好的书写习惯。

一、教学内容（一）知识介绍容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a 或性质b 的事物的个数=N a ＋N b －N ab 。

（二）例题精讲 例1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

例2、某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？例3、某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？Nab NbNa例4、1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？例5、光明小学举办学生书法展览。

学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？二、教学练习1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？3、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？4、在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？5、科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。

我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。

就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。

那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。

这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。

简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。

举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。

那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。

|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。

把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。

您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。

如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。

咱们还是拿例子来说事儿。

比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。

那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。

§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。

容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。

n阶集合的全部子集数目为。

例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。

化学数学都优秀8人。

这个班有5人任何一科都不优秀。

那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。

3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。

5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。

6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。

证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。

例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

容斥原理常识型公式摘要：1.容斥原理的概念和基本公式2.容斥原理的推导过程3.容斥原理的应用示例正文：一、容斥原理的概念和基本公式容斥原理，又称为加法原理与减法原理，是一种在集合论中常用的原理。

它的基本思想是：对于任意两个集合A 和B，有以下三种关系：A 包含B，A 与B 相交，A 与B 相离。

通过这三种关系，我们可以得到容斥原理的基本公式。

基本公式如下：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|其中，|A∪B|表示A 和B 的并集，|A|表示A 的元素个数，|B|表示B 的元素个数，|A∩B|表示A 和B 的交集。

二、容斥原理的推导过程为了更好地理解容斥原理，我们可以从集合的元素个数入手，推导出容斥原理的基本公式。

假设集合A 有a 个元素，集合B 有b 个元素。

那么，A 与B 的并集中的元素个数可以分为三类：1.属于A 且属于B 的元素，有c 个。

2.属于A 但不属于B 的元素，有a-c 个。

3.属于B 但不属于A 的元素，有b-c 个。

根据集合的定义，A 与B 的并集中的元素个数为a+b 个。

因此，我们可以得到以下等式：a +b =c + (a-c) + (b-c)化简得：a +b = a + b - c即：c = |A∩B|将c 的值代入基本公式，得到：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|这就是容斥原理的基本公式。

三、容斥原理的应用示例容斥原理在实际问题中有广泛的应用。

下面我们通过一个简单的例子来说明如何使用容斥原理求解问题。

例：某班有男生20 人，女生25 人。

现在需要组成一个学习小组，要求小组中男生和女生的人数相同。

请问最多可以组成几个这样的小组？解：根据容斥原理，我们可以得到男生和女生的总人数为20+25=45 人。

由于小组中男生和女生的人数相同，所以每个小组中男生和女生的人数都是45/2=22.5 人。

简单的容斥原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：容斥原理，又称为容斥原理（principle of inclusion-exclusion），是一种常用于组合数学和概率论中的计数方法。

它的基本思想是通过包含和排除不同集合元素的方法来计算某一事件的概率或组合的个数。

容斥原理的应用范围很广，可以解决各种复杂的计数问题，为数学领域提供了一种简单而有效的工具。

容斥原理最早由法国数学家法拉吉（Polignac）于1831年提出，并在之后由蒲加乌（Pólya）进一步发展和推广。

容斥原理的基本形式可以总结为以下公式：设A_1, A_2, ..., A_n为n个事件（集合），则这n个事件的并集的概率（或组合数）为：P(A_1∪A_2∪...∪A_n) = ΣP(A_i) - ΣP(A_i∩A_j) +ΣP(A_i∩A_j∩A_k) - ... +(-1)^{n+1}P(A_1∩A_2∩...∩A_n)其中Σ表示对所有可能的事件组合进行求和，P表示概率（或组合的个数），A_i表示第i个事件（集合），A_i∩A_j表示第i个和第j个事件的交集，以此类推。

假设有三个事件A、B、C，容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)容斥原理的基本原理就是通过对同一事件的不同性质进行分析，通过适当的相加和相减来避免重复计数，从而得到最终的结果。

这种方法在解决组合数学和概率问题时非常有用，可以高效地解决各种复杂的计数问题。

容斥原理的应用举例包括生日悖论、骰子的概率问题、皇后问题、洗牌问题等。

以下以一个简单的生日悖论为例来说明容斥原理的应用。

假设有n个人，每个人的生日在365天中随机分布。

现在要计算至少有两个人生日相同的概率。

根据容斥原理，可以将事件A_i定义为第i个人与其他人生日不同的事件。

则至少有两个人生日相同的概率为1-P(A_1∩A_2∩...∩A_n)。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，它常常被用来解决包含排列组合、集合运算等问题。

容斥原理的应用范围非常广泛，它可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，掌握容斥原理是非常重要的。

首先，容斥原理是什么呢？简单来说，容斥原理是一种通过排除重复计数来得到准确计数结果的方法。

在解决问题时，我们常常会遇到需要计算某个集合的元素个数的情况，而有时候直接计算会非常复杂甚至不可行。

这时，我们就可以利用容斥原理来简化计数过程，从而得到准确的结果。

容斥原理的核心思想是利用集合的互斥性质，通过排除重复计数来得到准确的计数结果。

具体来说，对于给定的若干个集合，我们可以利用容斥原理来计算它们的并集的元素个数。

容斥原理的表达式可以用一个简单的公式来表示：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。

其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集，A ∩B 表示集合 A 和集合 B 的交集。

通过这个公式，我们可以利用容斥原理来计算任意若干个集合的并集的元素个数，从而解决各种复杂的计数问题。

容斥原理的应用非常灵活，我们可以将其应用于各种不同类型的问题中。

例如，在排列组合问题中，容斥原理可以帮助我们计算满足某些条件的排列或组合的个数；在集合运算问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个集合的并集的元素个数；在概率统计问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个事件的概率之和等等。

总之，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数来得到准确的计数结果。

掌握容斥原理可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，深入理解和灵活运用容斥原理是非常重要的。

希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。

容斥原理三集合公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集关系。

在实际问题中，经常会遇到多个集合之间的关系，容斥原理能够帮助我们快速有效地求解问题，提高计算效率。

在容斥原理的应用中，三集合公式是其中的一种特殊情况，下面我们将详细介绍容斥原理三集合公式的相关内容。

首先，我们来看一下容斥原理的基本概念。

对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。

容斥原理的基本思想是通过对不同集合之间的交集和并集进行适当的排列组合，来求解它们的交集和并集的关系。

具体而言，容斥原理的公式可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。

其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。

这个公式表明，集合A和B的并集的元素个数等于集合A的元素个数加上集合B的元素个数，再减去集合A和B的交集的元素个数。

在容斥原理的应用中，我们经常会遇到三个集合之间的关系。

对于三个集合A、B和C，它们的交集和并集的关系可以用容斥原理三集合公式来表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

这个公式表示了三个集合A、B和C的并集的元素个数等于集合A、B和C的元素个数之和，再减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们的交集的交集的元素个数。

通过这个公式，我们可以快速有效地求解三个集合之间的关系，解决实际问题中的计算需求。

在实际问题中，容斥原理三集合公式的应用非常广泛。

例如，在概率统计、组合数学、离散数学等领域，容斥原理都有着重要的应用价值。

通过灵活运用容斥原理三集合公式，我们可以更好地理解集合之间的关系，提高问题求解的效率，为实际问题的解决提供有力的数学工具支持。

总之，容斥原理三集合公式是组合数学中的重要内容，它能够帮助我们快速有效地求解集合之间的交集和并集关系。

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。

三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

三容斥原理公式容斥原理在数学中可是个很有趣的家伙，能帮咱们解决好多看似复杂的问题呢！咱们先来说说啥是容斥原理。

简单来说，就是在计算几个集合的总数时，要考虑到重复计算的部分，把多算的减掉，少算的加上，这样才能得到准确的结果。

容斥原理有好几种公式，咱们今天重点来聊聊三个集合的容斥原理公式。

公式是这样的：设集合 A、B、C 是给定的三个集合，那它们的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去B 和C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。

用符号表示就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -|B∩C| + |A∩B∩C| 。

这公式看起来有点复杂，别担心，咱们通过一个例子来好好理解一下。

比如说，咱们学校组织了语文、数学、英语的竞赛。

参加语文竞赛的有 50 人，参加数学竞赛的有 60 人，参加英语竞赛的有 70 人。

同时参加语文和数学竞赛的有20 人，同时参加语文和英语竞赛的有15 人，同时参加数学和英语竞赛的有 25 人，而三门竞赛都参加的有 5 人。

那咱们来算算一共有多少同学参加了竞赛？咱们就用刚刚的公式来算。

先把参加每门竞赛的人数加起来：50 + 60 + 70 = 180 人。

然后减去两两交集的人数：180 - 20 - 15 - 25 = 120 人。

但是这里把三个都参加的多减了一次，所以要加回来：120 + 5 = 125 人。

所以呀，一共有 125 位同学参加了竞赛。

在咱们日常生活中，容斥原理也经常能用到呢。

比如说我上次去超市买水果，我想买苹果、香蕉和橙子。

超市里标着喜欢苹果的顾客有100 人，喜欢香蕉的有 80 人，喜欢橙子的有 90 人。

同时喜欢苹果和香蕉的有 30 人，同时喜欢苹果和橙子的有 25 人，同时喜欢香蕉和橙子的有 20 人，三种都喜欢的有 10 人。

奥数容斥问题奥数容斥问题是数学竞赛中一个经典的计数原理问题。

通过运用容斥原理，我们可以解决集合之间的重复计数问题。

本文将介绍奥数容斥问题的定义、原理和应用，并通过具体的例题进行说明。

首先，让我们来了解奥数容斥问题的定义。

在组合数学中，容斥原理用于计算多个集合的交集和并集的元素个数。

具体而言，在包含多个集合的问题中，容斥原理帮助我们消除了重复计数的问题。

接下来，我们将详细介绍奥数容斥问题的原理。

假设有n个集合A_1, A_2, ..., A_n，我们的目标是计算它们的并集以及交集中元素的个数。

利用容斥原理，我们可以先计算每个集合的元素个数，再根据交集的元素个数进行加减运算，以消除重复计数的影响。

具体而言，假设A表示所有集合的并集，A_1, A_2, ..., A_n 分别表示这些集合。

根据容斥原理，我们可以得出以下公式：|A_1 ∪ A_2 ∪ ... ∪ A_n| = |A_1| + |A_2| + ... + |A_n| - |A_1 ∩ A_2| - |A_1 ∩ A_3| - ... - |A_(n-1) ∩ A_n| + ... + (-1)^(n-1) |A_1 ∩ A_2 ∩ ... ∩A_n|其中，|X| 表示集合 X 的元素个数。

上述公式中，第一项表示每个集合的元素个数之和，第二项表示两个集合的交集元素个数之和，第三项表示三个集合的交集元素个数之和，以此类推。

交替的符号(-1)^(n-1) 用于保证加减运算的正确性。

了解了奥数容斥问题的定义和原理之后，下面我们将通过一个具体的例题来说明其应用。

例题：某班级共有60名学生，其中30人会打乒乓球，40人会弹钢琴，20人既会打乒乓球又会弹钢琴。

请问至少会其中一项技能的学生有多少人？解析：我们可以定义集合 A 表示会打乒乓球的学生，集合 B 表示会弹钢琴的学生。

根据题目给出的信息，我们有 |A| = 30，|B| = 40，|A ∩ B| = 20。

第四专题 容斥原理一、容斥原理的基本形式容斥原理：对任何有限集合C B A 、、，有B A B A B A ⋂-+=⋃；C B A C B C A B A C B A C B A ⋂⋂+⋂+⋂+⋂-++=⋃⋃)(对任何n 个有限集合n A A A ,,,21 ，容斥原理一般形式为： ∑∑∑≤<<≤≤<≤=⋂⋂+⋂-=⋃⋃⋃n k j i k j i n j i j i n i i n A A A A A A A A A 11121()n n A A A ⋂⋂⋂-++- 2111 逐步淘汰原理：C B A S C B A ⋃⋃-=⋂⋂n n A A A S A A A ⋃⋃⋃-=⋂⋂⋂ 2121逐步淘汰原理的另一种描述：设有n 个元素，其中)(1a n 个元素具有1a 特性，)(2a n 个元素具有2a 特性，…，)(21a a n 个元素既具有1a 和2a 特性，…，)(321a a a n 个元素既具有1a 、2a 和3a 特性，…，则完全不具有 ,,,321a a a 中任何一种特性的元素个数为+++----=)()()()()()'''(3121321321a a n a a n a n a n a n n a a a n ---)()(432321a a a n a a a n 。

为了便于记忆，逐步淘汰原理可采用符号形式：约定：)()()(b n a n b a n +≡+，)()(a n a n -≡-，)1(n n ≡，a a -=1'，则])1)(1)(1[()'''(321321 a a a n a a a n ---=二、例题选讲例1、在1~600中，能被6整除，但不能被8整除的数有多少个？ 例2、在一个代表团里，懂英语、法语的有10人，懂英语、法语、俄语的有5人，懂英语、法语、汉语的有3人，懂四种语言的有2人，问只懂英语、法语而不懂俄语、汉语的有几人？例3、7个人站一排，求甲不站最左边，乙不站中间，丙不站最右边的站法有多少种？例4、从自然数1、2、3、4、5、……中依次划去3和4的倍数但保留其中是5的倍数，划完后将剩下的数依次构成一个新的数列：7,5,2,14321====A A A A ，求2002A 。

容斥原理是一种常见的统计原理，它主要应用于多个集合的交集和并集的计算。

在高中数学中，容斥原理的应用非常广泛，尤其是在解决组合问题、排列问题、计数问题等方面。

下面我将从定义、应用和注意事项三个方面，详细介绍高中数学中的容斥原理。

一、容斥原理的定义容斥原理的基本思想是，当两个集合不重叠时，它们的并集的数量可以看作是两个集合数量的和，减去重叠数量的两倍。

具体来说，假设我们有两个集合A和B，它们的并集数量为N，重叠数量为K，那么A中元素属于B或B中元素属于A的数量为N-K。

同时，我们需要减去A和B完全重叠的元素数量，即K。

这个原理可以用公式表示为：(A∪B)个案数= A个案数+ B个案数- (A∩B)个案数。

二、容斥原理的应用1. 组合问题：在解决组合问题时，常常需要考虑多个事件同时发生的情况。

例如，从n个人中选出m个组成一个小组，需要考虑到每个人是否被选中。

这时，我们可以用容斥原理来计算选出小组的总人数和被选中的人数。

2. 排列问题：在解决排列问题时，也常常需要考虑多个事件同时发生的情况。

例如，将n 个元素按照一定的顺序排列，需要考虑元素之间的顺序关系。

这时，我们可以用容斥原理来计算所有可能的排列数和满足某种条件的排列数。

3. 计数问题：在解决计数问题时，需要考虑到一些条件对计数的影响。

例如，计算从n个元素中取出k个元素的方案数时，需要考虑k的取值范围和元素之间的相关性。

这时，我们可以用容斥原理来计算总的方案数和满足条件的方案数。

三、注意事项1. 容斥原理的前提条件是两个集合之间没有重叠。

如果两个集合之间有重叠，那么需要使用其他的方法来计算它们的并集数量和重叠数量。

2. 在使用容斥原理时，需要正确理解公式中的各个量所代表的含义，并且需要仔细考虑问题中的条件和限制。

3. 容斥原理的应用范围比较广泛，需要灵活运用公式和方法来解决不同类型的问题。

总之，容斥原理是高中数学中一个非常重要的统计原理，它可以帮助我们更好地理解和解决组合、排列、计数等问题。

§24容斥原理相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。

容斥原理：以表示集合A中元素的数目，我们有，其中为n个集合称为A的阶。

n阶集合的全部子集数目为。

例题讲解1．对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1，的交替和是2。

那么，对于n=7。

求所有子集的“交替和”的总和。

2．某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下：优秀的人数：数学21个，物理19个，化学20个，数学物理都优秀9人，物理化学都优秀7人。

化学数学都优秀8人。

这个班有5人任何一科都不优秀。

那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。

3．计算不超过120的合数的个数4．1992位科学家，每人至少与1329人合作过，那么，其中一定有四位数学家两两合作过。

5．把个元素的集合分为若干个两两不交的子集，按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集：从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数（前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的子集与原集合相重合。

6．给定1978个集合，每个集合都含有40个元素，已知其中任意两个集合都恰有一个公共元，证明：存在一个元素，它属于全部集合。

7．在个元素组成的集合中取个不同的三元子集。

证明：其中必有两个，它们恰有一个公共元。

例题答案：1．分析；n=7时，集合{7，6，5，4，3，2，1}的非空子集有个，虽然子集数目有限，但是逐一计算各自的“交替和”再相加，计算量仍然巨大，但是，根据“交替和”的定义，容易看到集合{1，2，3，4，5，6，7}与{1，2，3，4，5，6}的“交替和”是7；可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。

容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。

容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。

在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。

本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。

首先，我们来看容斥原理的基本概念。

容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。

假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。

其中，|A|表示集合A的元素个数。

这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。

接下来，我们来看容斥原理的公式推导。

首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。

假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。

根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。

这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。

我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。

那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。

通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。

在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。

例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。

在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。

什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要的计数方法，常常用于解决包含排列组合的问题。

容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来求解包含多个集合的问题。

在实际问题中，容斥原理有着广泛的应用，特别是在概率统计、组合数学、计算机算法等领域。

首先，我们来了解一下容斥原理的基本概念。

假设有n个集合A1、A2、……、An，我们希望求解这些集合的并集的元素个数。

容斥原理告诉我们，这个并集的元素个数可以通过如下的公式来计算：|A1 ∪ A2 ∪……∪ An| = Σ|Ai| Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| …… + (-1)^(n-1) |A1 ∩ A2 ∩……∩ An|。

其中，|A|表示集合A的元素个数，Σ表示求和运算。

公式右边的第一项是将所有集合的元素个数相加，第二项是将两两集合的交集的元素个数相减，第三项是将三个集合的交集的元素个数相加，以此类推。

最后一项是将所有集合的交集的元素个数相加，并且交替加减。

通过这个公式，我们可以清晰地看到容斥原理的核心思想，通过交替相加和相减集合的交集元素个数，来排除重复计数，最终得到并集的元素个数。

接下来，我们通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。

假设有一个集合包含了所有小于100的正整数中能被2、3或5整除的数，我们希望求解这个集合中元素的个数。

首先，我们分别求解能被2、3和5整除的数的个数，分别记为A2、A3和A5。

然后，我们求解能同时被2和3、2和5、3和5以及2、3和5整除的数的个数，分别记为A2∩3、A2∩5、A3∩5和A2∩3∩5。

最后，根据容斥原理的公式，我们可以得到集合中元素的个数：|A2 ∪ A3 ∪ A5| = |A2| + |A3| + |A5| |A2 ∩ A3| |A2 ∩ A5| |A3 ∩ A5| + |A2 ∩ A3 ∩ A5|。

通过具体的计算，我们可以得到最终的结果。

这个例子清晰地展现了容斥原理在实际问题中的应用，通过排除重复计数，我们可以准确地求解集合的并集元素个数。