2019年七年级数学下册第五章生活中的轴对称知识点归纳新版北师大版

七年级数学(下)复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.㊀重难疑点,一网打尽.１．把一个图形沿一条直线翻折过去,如果㊀㊀㊀㊀㊀㊀,那么这两个图形关于这条直线成轴对称．２．如果一个图形沿一条直线对折,直线㊀㊀㊀㊀的部分能够㊀㊀㊀㊀,那么这个图形叫做轴对称图形．３．线段是㊀㊀㊀㊀图形,它有㊀㊀㊀㊀条对称轴,线段的垂直平分线是它的一条㊀㊀㊀㊀,线段的垂直平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．４．角是㊀㊀㊀㊀图形,对称轴是㊀㊀㊀㊀,角平分线上的点到㊀㊀㊀㊀的距离相等．５．等腰三角形是㊀㊀㊀㊀图形,有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀,其主要性质有(１)㊀㊀㊀㊀;(２)㊀㊀㊀㊀;(３)㊀㊀㊀㊀．６．等边三角形有㊀㊀㊀㊀条对称轴,是㊀㊀㊀㊀．其主要性质有㊀㊀㊀㊀．７．如图,把一个长方形纸片沿E F 折叠后,点D ㊁C 分别落在D ᶄ㊁C ᶄ的位置．若øE F B ＝６５ʎ,则øA E D ᶄ等于(㊀㊀)．A．７０ʎB ．６５ʎC ．５０ʎD．２５ʎ(第７题)㊀㊀㊀㊀(第８题)圆是轴对称图形．㊀㊀８．如图,三角形纸片A B C ,A B ＝１０c m ,B C ＝７c m ,A C ＝６c m ,沿过点B 的直线折叠三角形,使顶点C 落在边A B 上的点E 处,折痕为B D ,则әA E D 的周长为㊀㊀㊀㊀cm ．９．如图,等边әA B C 的边长为１c m ,D ㊁E 分别是A B ㊁A C 上的点,将әA D E 沿直线D E 折叠,点A 落在点A ᶄ处,且点A ᶄ在әA B C 外部,则阴影部分的周长为㊀㊀㊀㊀c m ．(第９题)㊀㊀㊀㊀(第１０题)１０．如图,将矩形A B C D 沿B E 折叠,若øC B A ᶄ＝３０ʎ,则øB E A ᶄ＝㊀㊀㊀㊀．１１．如图,әA B C 是等腰三角形,øB A C ＝９０ʎ,B E 是øA B C 的平分线,D E ʅB C ,垂足为D ．(１)请写出图中所有的等腰三角形;(２)请你判断A D 与B E 是否垂直,并说明理由;(３)如果B C ＝１０,求A B ＋A E 的长．(第１１题)１２．已知P ㊁Q 是әA B C 的边A B ㊁A C 上的点,你能在B C 上确定一点R ,使әP Q R 的周长最短吗?(第１２题)１３．如图,C D E F 是一个矩形的台球面,有黑白两球分别位于点A ㊁B 两点,试问怎样撞击黑球A ,使A 先碰到台边F C 反弹后再击中白球B ?(第１３题)七年级数学(下)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.１４．如图,一个算式在镜中所成的像构成的算式是正确的,但是在实际中是正确的吗?实际中这个算式是什么?(写出即可)(第１４题)１５．如图,在等边三角形A B C中,øB㊁øC的平分线相交于点O,作B O㊁C O的垂直平分线分别交B C于点E㊁F．小明说: E㊁F是边B C的三等分点． 你同意他的说法吗?请说明理由．(第１５题)１６．如图,A D为әA B C的高,øB＝２øC,用轴对称图形说明:C D＝A B＋B D．(第１６题)复㊀习㊀课１．和另一个图形完全重合２．两旁㊀互相重合３．轴对称㊀２㊀对称轴㊀线段两端点４．轴对称㊀角平分线所在的直线㊀角两边５．轴对称㊀１㊀顶角平分线所在的直线(或底边上的高线所在的直线,或底边上的中线所在的直线)(１)三线合一㊀(２)两个底角相等(３)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等．３㊀三边的垂直平分线㊀三个角都相等且等于６０ʎ．C㊀８．９㊀９．３㊀１０．６０ʎ１．(１)әA B C,әA B D,әA D E,әE D C．(２)A D与B E垂直．理由:因为B E是øA B C的平分线, E AʅB A,D EʅB C,所以E A＝E D,所以әA B E和әD B E关于B E对称,从而B A＝B D,即әB A D为等腰三角形,所以B EʅA D．(３)因为A E＝D E＝D C,A B＝B D,所以A B＋A E＝B D＋C D＝B C＝１０．２．作点Q关于B C的对称点D,连接P D交B C于R,连接P Q㊁P R㊁Q R,则点R就是B C上的一点使得әP Q R的周长最短．(第１２题)３．作点B关于F C的对称点G,连接A G交F C于P,则击打A球至点P就能击中B球．(第１３题)４．正确,１５１＋２５＋１２＝１８８．５．同意．理由如下:连接O E㊁O F．由题意可知B E＝O E,C F＝O F,øO B C＝øO C B＝３０ʎ,ʑ㊀øB O E＝øO B C,øC O F＝øO C B,øB O C＝１２０ʎ．ʑ㊀øE O F＝６０ʎ,øO E F＝６０ʎ,øO F E＝６０ʎ．是等边三角形ʑ㊀O E＝O F＝E F＝B E＝C F．ʑ㊀E㊁F是B C的三等分点．６．在C D上取一点E使D E＝B D,连接A E．则A D是әA B E的对称轴,ʑ㊀B D＝D E,A B＝A E．ȵ㊀øB＝２øC,ʑ㊀øB＝øA E D＝øC＋øE A C＝２øC．ʑ㊀øE A C＝øC．(第１６题)ʑ㊀A E＝E C．ʑ㊀C D＝D E＋E C＝A B＋B D．。

第五章：生活中的轴对称第1讲:轴对称一．轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．二．轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．三．垂直平分线：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.四．轴对称图形、图形成轴对称的性质1．成轴对称的两个图形全等．轴对称图形沿对称轴分成的两个图形全等．2．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．3．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．题模一：轴对称基本概念和性质例1.1.1小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（）A ．B ．C ．D ．例1.1.2如图是一辆汽车车牌在水中的倒影，则该车的牌照号码是（）A．W17639B．W17936C．M17639D．M17936例1.1.3下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A B C D即时训练1：下列图形中，对称轴最少的图形的是（）A B C D即时训练2：下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D即时训练3：如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为.题模二：等腰三角形例1.2.1如图，已知1AB A B =，112A C A A =，223A D A A =，334A E A A =，20B ∠=︒，则4A ∠=．例1.2.2如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠BA′C=度．例1.2.3如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC ，则∠C =度．例1.2.4已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是．即时训练1：如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交AC 于点D，连接BD，则∠ABD=°．即时训练2：等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为．即时训练3：如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=°．即时训练4：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB，AC 于点E，F，若BE+CF=20，则EF=．即时训练5：如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠MEF=．即时训练6：已知，如图，AB=AD=5，∠B=15°，CD⊥AB于C，则CD=．题模三：角平分线例1.3.1已知：AOB∠的平分线；如图所示，填写作法：∠，求作AOB①．②．③．例1.3.2如图，AB CD∠和DCB∠，AD过点P，且与AB垂直．若∥，BP和CP分别平分ABCAD=，则点P到BC的距离是.8例1.3.3如图，已知ABC⊥于D，且∠，OD BC∠和ACB∆的周长是21，OB，OC分别平分ABC∆的面积．3OD=，求ABC随练1.1一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形是（）随练1.2将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=cm．随练1.3已知：如图，AF 平分BAC ∠，BC AF ⊥，垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，AF 相交于P ，M ．（1）求证：AB CD =.（2）若2BAC MPC ∠=∠，请你判断F ∠与MCD ∠的数量关系，并说明理由．随练1.4如图，在Rt ABC ∆中，90B =︒∠，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知10BAE =︒∠，则C ∠的度数为（）随练1.5如图，已知1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =…，若70A ∠=︒，则n A ∠的度数为（）A ．702nB ．1702n +C ．1702n -D ．2702n +随练1.6在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线AF 交CD 于E ，交BC 于F ，CM AF ⊥于M ，求证：EM FM =．作业1如图，是小亮在某时从镜子里看到镜子对面电子钟的像，则这个时刻是___________.作业2下列说法错误的是（）A ．圆有无数条对称轴B ．任何直角三角形都没有对称轴C ．线段有两条对称轴D ．等边三角形有3条对称轴作业3在ABC △中，AB AC =，BD BC =，40A ∠=︒，BDC ∠=_______.作业4等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的顶角为（）A ．30°或150°B ．75°或15°C ．75°D．30°ADC B作业5如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是___.作业6等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则顶角的度数为（）A．30°B．30°或150°C．60°或150°D．60°或120°作业7等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是35°，则顶角的度数是（）A．55°B．125°C．125°或55°D．35°或145°作业8如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°作业9如图，ABC△中，90ACB∠=︒，E是边AB上一点，AE CE=，过E作DE AB⊥交BC于D，连结AD交CE于F，若20B∠=︒，则DFE∠的大小是AB CDEF。

题型解读3 等腰三角形题型【知识梳理】1.概念:有两条边相等的三角形是等腰三角形;这两条相等的边叫腰,另一边叫底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角角平分线所在的直线; ②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）；③等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）3.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）4.等腰三角形的分类讨论①若题目未明确角是等腰三角形的哪种角，则需分角是顶角或底角两种情形分别进行讨论论证；②若题目未明确边是等腰三角形的哪种边，则需分边是腰或底边两种情形分别进行讨论论证；【典型例题】例1.如图所示，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于D ，△ABC 的周长为36，AD=12,则△ADC 的周长为________【解析】考查等腰三角形的性质“两腰相等”及“三线合一”.△ADC 的周长=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+（AB+BC+AC ）/2= =12+18=30.例2.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，BE 与CD 交于点O ，且BO ＝CO ， 求证：（1）∠ABE ＝∠ACD ；（2）DO ＝EO 。

1.如果AB=AC ，那么∠1=∠2；（等边对等角）2.如果∠1=∠2，那么AB=AC ；（等角对等边）21C B AD C B A【解析】（1）利用等边对等边的性质即可得出结论；∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，∴∠ABE=∠ACD；（2）利用三角形全等即可得出结论；在△DOB与△EOC中，∵∠ABE=∠ACD，OB=OC，∠DOB=∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD=OE；例3．一个等腰三角形两个内角的和为100º，则它的顶角度数是_______________【解析】由于题目未明确两个内角是两个底角之和还是一个顶点和一个底角之和，所以要分两种情况讨论；①“底角+顶角=100º”:根据三角形内角和,可算出另一底角为80º,所以顶角为20º；②“底角+底角=100º”:根据三角形内角和,可算出顶角为80º.故它的顶角度数是20º或80º例4.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是_________【解析】由于题目未明确这个角是顶角还是底角，所以要分两种情况讨论；①“顶角=80º”:答案即为80º；②“底角=80º”:根据三角形内角和,可算出顶角为20º.故它的顶角度数是80º或20º例5.一个等腰三角形的两边长分别为5，8，则它的周长为_____【解析】由于题目未明确两边是两个腰还是一个腰和一个底边，所以要分两种情况讨论；①当一腰长为5，一底边长为8时，则等腰三角形的周长为5+5+8=18；②当一腰长为8，一底边长为5时，则等腰三角形的周长为8+8+5=23.故等腰三角形周长为18或23.例6.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为_____【解析】由于题目未明确两边是两个腰还是一个腰和一个底边，所以要分两种情况讨论；①当一腰长为4，一底边长为8时，∵4+4=8，∴不符合三角形三边关系，故不存在；②当一腰长为8，一底边长为4时，则等腰三角形的周长为8+8+4=20.故它的顶角度数是20º或80º例7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40º，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40º，DE交线段AC于点E．在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【解析】由于题目未明确等腰△ADE的腰与底，故需要分类讨论，再利用等腰三角形性质及三角形内角和公式、外角定理即可求解。

北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总北师大版七年级数学下册《生活中的轴对称》知识点汇总一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后，能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。

3、性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

二、等腰三角形1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定：（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

作法：作已知线段的垂直平分线。

已知：线段AB求作：AB的垂直平分线。

作法：（１）分别以A、B为圆心，大于AB/2的长为半径作弧两弧相交于点和D；（２）作直线D．则直线D就是线段AB的垂直平分线。

四、角平分线的性质：1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3、作已知角的角平分线。

已知：如图，∠AB，求作：射线P,使∠AP＝∠BP（即P平分∠AB）。

作法：（1）在A和B分别截取，N使=N（2）分别以、Ｎ为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交∠AB内于Ｐ；（3）作射线P。

射线P就是∠AB的角平分线。

第五章生活中的轴对称第五章轴对称复习一、学习目标：掌握轴对称的有关概念，掌握线段、角、等腰三角形的性质，并能灵活应用上述知识解题。

二、学习重点：复习轴对称的基本性质，简单的轴对称图形，并会运用轴对称的性质解决相关问题。

三、学习难点：轴对称与轴对称图形的关系和区别，灵活运用轴对称的性质解决相关问题。

本章知识回顾（一）基础知识轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，则称这个图形是轴对称图形。

成轴对称：如果两个图形沿一条直线对折后，它们能完全重合，则称这两个图形成轴对称。

对称轴：这一条直线叫对称轴常见图形的对称轴角：1条。

（角平分线所在的直线）线段：2条。

（线段的垂直平分线和它本身）等腰三角形：1条。

（底边上的中线或高或顶角平分线）等边三角形：3条。

（三边上的“三线合一”）长方形（矩形）：2条。

（对边中点所在直线）正方形：4条（两对边中点和两对角线所在直线）正n边形：n条圆：无数条（二）轴对称的性质1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分2、对应线段相等，对应角相等（三）常见轴对称图形的性质1、线段垂直平分线性质（1）线段的垂直平分线是线段的一条对称轴（2）线段垂直平分线上的点到这条线段的两端距离相等知识运用：1．如图，已知AD是BC的中垂线，所能得到的结论是：你能根据现有条件，推得∠ABD=∠ACD。

2．如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果BC=10cm ，那么△BCD 的周长是_______cm.2、角平分线性质（1）角平分线所在直线是角的对称轴（2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等3、等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形（2）它的对称轴是底边上的中线、底边上的高、顶角的角平分线所在的直线。

并且三线合一。

（3）等边对等角、等角对等边。

（4）等边三角形是特殊的等腰三角形。

4、等边三角形（1）三边都相等的三角形是等边三角形（也叫正三角形）（2）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2015•阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观． 举一反三：【变式】如图，△ABC 的内部有一点P ，且D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点．若△ABC 的内角∠A ＝70°，∠B ＝60°，∠C ＝50°，则∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝（ ）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值. 举一反三：【变式】（2014秋•西城区期末）如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P 1（3，0）．（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径； （2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．【答案】 解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2014÷6=335…4，∴当点P 第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， ∴点P 的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC 中，∠BAC=120°，DE 是AC 的垂直平分线，线段DE=1cm ，求BD 的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵D E是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF +12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+P F=CH ，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．6、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°. ∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60° ∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°，ACD123B 5 E∴,BDC BCD BD BC ∠=∠= ∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形. ∴.BE CE = 又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB ∠很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求． 举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】 解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE ∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10° ∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形 ∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10° ∴AD ＝BD ＝DE ＝EC ∴∠AEC ＝160°， ∴∠DEC ＝140° ∴∠DCE ＝20° ∴∠ACD ＝30° 类型五、等边三角形的综合应用7、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE上？(2)如图(2)所示，当点M在BC上时，其他条件不变，(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN＝MF，点F在直线NE上．证明：连接DF，DE，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDN＋∠NDF＝∠MDF，∠NDF＋∠FDE＝∠NDE，∵△DMN为等边三角形，DM＝DN，∠MDN＝60°∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE，∠DMF＝∠DNE.∵∠DMF＋60°＝∠DNE＋∠MFN∴∠MFN＝60°∴FN∥AB，又∵EF∥AB，∴E、F、N在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE，DF，EF，∵△ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC．又∵ D，E，F是△ABC三边的中点，∴ DE，DF，EF为三角形的中位线．∴ DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°．又∠MDF＋∠FDN＝60°，∠NDE＋∠FDN＝60°，∴∠MDF＝∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.。

第五章生活中的轴对称知识点总结：一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

3、判定定理：到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

3、判定定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

第01讲_变量之间的关系知识图谱轴对称知识精讲轴对称将一个图形沿着一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称（1）△ABC 与△A ´B ´C ´关于直线l 成轴对称，l 为对称轴，A 与A ´，B 与B ´，C 与C ´是对应点（2）将△ABC 、△A ´B ´C ´与直线l 看做一个整体，则它是一个轴对称图形轴对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形垂直平分线经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线l 为线段AB 的垂直平分线轴对称图形、图形成轴对称的性质（1）△ABC △A ´B ´C ´（2）l 为线段AA ´、BB ´、CC ´的垂直平分线（3）对称轴l 是任何一对对应点连线的垂直平分线易错点：1．对称轴是一条直线，而不是线段或者射线 2．注意轴对称和轴对称图形的区别三点剖析一．考点：1．轴对称基本概念和性质；2．轴对称图形．二．重难点：轴对称的两个图形是全等的，对应点的连线被对称轴垂直平分．三．易错点：1．对称轴是一条直线，而不是线段或者射线．2．把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称．轴对称基本概念和性质例题1、 下列说法中错误的是（ ）A.两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等B.两个图形关于某直线对称，对应点的连线段被对称轴垂直平分C.若直线l 同时垂直平分'AA 、'BB ，则线段''AB A BD.两个图形关于某直线对称，则对应线段相等且平行 【答案】 D【解析】 若两个图形按照某条直线折叠后重合，则称这两个图形关于这条直线对称，这两个图形全等，对应点的连线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，因此A 、B 、C 选项正确，D 选项两个图形关于某直线对称，对应线段相等，不一定平行，故选D ． 考点：图形轴对称的性质．例题2、 试找出如图所示的每个正多边形的对称轴的条数．请就正n 边形对称轴的条数作一猜想．正n 边形有________条对称轴． 【答案】 n【解析】 ∵正三角形有3条对称轴， 正方形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴， 正六边形有6条对称轴， ∴正n 边形有n 条对称轴．例题3、 如图，是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF 是对称轴，∠A ＝90°，∠AED ＝120°，∠C ＝50°，则∠BFC 的度数为________．【答案】160°【解析】如图：，轴对称图形，EF是对称轴，∠A＝90°，∠AED＝120°，∠C＝50°，得∠D＝∠A＝90°，∠ABF＝∠DCF＝50°，AE＝DE，BF═CF．由三角形的内角和，得∠EAD＋EDA＝180°－∠AED＝60°．由四边形的内角和定理，得∠ABC＋∠DCB＝360°－（∠BAD＋∠CDA）＝360°－（90＋90°＋60°）＝120°．∠FBC＋∠FCB＝∠ABC＋∠DCB－（∠ABF＋DCF）＝120°－（50°＋50°）＝20°．由三角形的内角和，得∠BFC＝180°－（∠FBC＋∠FCB）＝180°－20°＝160°．例题4、如图所示，五边形ABCDE关于过点A的直线l轴对称，若∠DAE＝40°，∠ADE＝60°，则∠B的度数为（）A.60°B.40°C.80°D.100°【答案】C【解析】∵∠DAE＝40°，∠ADE＝60°，∴∠E＝180°－∠DAE－∠ADE＝180°－40°－60°＝80°，∵五边形ABCDE关于过点A的直线l轴对称，∴∠B＝∠E＝80°．例题5、如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，D是AC上一点，线段BE与BA关于直线BD对称，射线CE交射线BD于点F，连接AE，AF．则下列关系正确的是（）A.∠AFE＋∠ABE＝180°B.12AEF ABC ∠=∠C.∠AEC＋∠ABC＝180°D.∠AEB＝∠ACB 【答案】B【解析】由轴对称的性质可得，四边形ABEF中，AB＝EB，AF＝EF，∴∠BAF＝∠BEF，∵等腰△BCE中，∠BEC＜90°，∴∠BEF＞90°，∴∠BAF＞90°，∴四边形ABEF中，∠AFE＋∠ABE＜180°，故A错误；∵△ABE中，1802ABE AEB-∠∠=，△BCE 中，1802CBEBEC -∠∠=，∴∠AEF ＝180°－∠AEB －∠BEC180********ABE CBE-∠-∠=--＝12（∠ABE ＋∠CBE ） ＝12∠ABC ，故B 正确； ∵AB ＝CB ＝EB ，∴∠AEB ＝∠EAB ，∠BEC ＝∠BCE ，∴∠AEC ＝∠EAB ＋∠ECB ＞∠CAB ＋∠ACB ，∴∠AEC ＋∠ABC ＞∠CAB ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，故C 错误； ∵∠AEB ＝∠EAB ，∠BAC ＝∠BCA ，∠BAE ＞BAC ， ∴∠AEB ＞ACB ，故D 错误；随练1、 在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是_______．【答案】 21：05【解析】 由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．随练2、 如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是（ ）A.AM=BMB.AP=BNC.∠MAP=∠MBPD.∠ANM=∠BNM 【答案】 B【解析】 直线MN 是四边形AMBN 的对称轴， ∠点A 与点B 对应，∠AM=BM ，AN=BN ，∠ANM=∠BNM ， ∠点P 时直线MN 上的点， ∠∠MAP=∠MBP ，∠A ，C ，D 正确，B 错误，随练3、 将一张矩形纸片叠成如图所示的图形，若AB=6cm ，则AC=_____cm ．【答案】 6【解析】如图，延长原矩形的边，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=6cm，∴AC=6cm．随练4、如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上，连结BD，将△ABC沿BD翻折后，若点C 恰好落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为__________．【答案】7【解析】∵由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB=6．∴AD+DE=AD+DC=AC=5，AE=AB﹣BE=AB﹣CB=8﹣6=2．∴△ADE的周长=5+2=7．随练5、如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝a，则△MGQ周长是（）A.8＋2aB.8＋aC.6＋aD.6＋2a【答案】D【解析】暂无解析轴对称图形例题1、下列图案中，是轴对称图形的有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】A不是轴对称图形，故本选项错误；B是轴对称图形，故本选项正确；C不是轴对称图形，故本选项错误；D不是轴对称图形，故本选项错误．例题2、在镜子中看到时钟显示的是，则实际时间是．【答案】16：25：08．．【解析】实际时间是16：25：08．例题3、你们见过这种形状的风筝吗？如图，在四边形ABCD中，如果有AB＝AD，BC＝DC，则我们称这个四边形ABCD为筝形．连接AC和BD交于点F，下列结论中成立的有（）①筝形ABCD为轴对称图形；②AC平分∠BAD和∠BCD；③BD平分∠ABC和∠ADC；④AC⊥BD于点F；⑤∠BAD＝∠BCD；⑥AC平分BD；⑦BD平分AC；⑧∠ABC＝∠ADC．A.4个B.5个C.6个D.7个【答案】B【解析】暂无解析例题4、如图，在4×4的正方形方格式中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案．（1）若将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，涂法共有________种．（2）请在下面的备用图中至少画出具有不同对称轴的三个方案，并画出对称轴．【答案】（1）5（2）【解析】暂无解析随练1、图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B、C 在小正方形的顶点上，请图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：（1）在图1中，以AB、BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组角互补且是非对称图形；（2）在图2中以以AB、BC为边画四边形ABCD，点D在小正方形的顶点上，且此四边形有两组角互补且是轴对称图形．【答案】暂无答案【解析】（1）如图1所示：（2）如图2所示：随练2、在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）要求：（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点式为相连）（2）将选中的小正方行方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过反折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）【答案】【解析】利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．随练3、如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．【答案】5 13【解析】如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：5 13．故答案为：5 13．拓展1、如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A.1号袋B.2号袋C.3号袋D.4号袋【答案】B【解析】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：2、如图，六边形ABCFED是轴对称图形，CD所在的直线是它的对称轴，若130ADC BCD∠+∠=︒，则E F∠+∠的大小是（）A.130°B.220°C.260°D.230°【答案】D【解析】∵六边形ABCFED是轴对称图形，CD所在的直线是它的对称轴，∴130FCD EDC ADC BCD∠+∠=∠+∠=︒，∴230E F∠+∠=︒3、图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A.l1B.l2C.l3D.l4【答案】C【解析】该图形的对称轴是直线l3．4、如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B＝30°，则∠E的大小为（）A.30°B.35°C.40°D.45°【答案】A【解析】∵∠B与∠E是对应角，∠B＝30°，AF为对称轴，∴∠E＝∠B＝30°．5、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，在边BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM＝________．【答案】120°【解析】如图，取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，则AM＝PM，AN＝QN，所以，∠P＝∠PAM，∠Q＝∠QAN，所以，△AMN周长＝AM＋MN＋AN＝PM＋MN＋QN＝PQ，由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，∵∠BAE＝120°，∴∠P＋∠Q＝180°－120°＝60°，∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠P＋∠Q）＝2×60°＝120°．6、如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交BC于E，EC的垂直平分线交DE延长线于M，若∠FMD＝40°，则∠BAC等于（）A.120°B.110°C.100°D.90°【答案】C【解析】∵EC的垂直平分线交DE延长线于M，若∠FMD＝40°，∴∠MEF＝90°－40°＝50°，∴∠BED＝∠MEF＝50°，∵AB的垂直平分线交BC于E，∴∠B＝90°－∠BED＝90°－50°＝40°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－40°＝100°．7、如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（）A.2种B.4种C.5种D.7种【答案】D【解析】如图所示：一共有7种，故选：D．8、如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内填涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．【答案】如图所示，答案不唯一．【解析】暂无解析9、如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）【答案】【解析】如图所示：10、如图，在正方形网格上有一个△DEF．（1）画△DEF关于直线HG的轴对称图形；（2）画△DEF的EF边上的高；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【解析】（1）如图，△D′E′F′即为所求；（2）如图，DH即为所求；（3）S△DEF=12×3×2=3．。

《生活中的轴对称》考点一、知识点扫描1.把一个图形沿一条直线翻折过去，如果______，那么这两图形关于这条直线成轴对称.2.如果一个图形沿一条直线对折，直线________的部分能够________.那么这个图形叫做轴对称图形.3.轴对称图形和轴对称的的区别是：（1）______；（2）_____.联系是：（1）______；（2）________.4.轴对称的重要性质有（1）成轴对称的两个图形_________；（2）两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是_________；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在_________；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线_________.5.线段是________图形，它有________条对称轴，线段的垂直平分线是它的一条_________，线段的垂直平分线上的点到_________的距离相等.6.角是________图形，对称轴是_________，角平分线上的点到_________的距离相等.7.等腰三角形是_________图形，有_________条对称轴，是_________，其主要性质有（1）_________；（2）_________；（3）_________.8.等边三角形有_________条对称轴，是_________.其主要性质有__________.二、经典考题剖析：1、（2004、惶中，3分）图1－7－1是四幅美丽的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、（2004、北碚，3分）图1－7－2中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）解：C 点拨：在解此题时，要认真理解轴对称图形和中心对称图形的概念．3、（2004、上海，3分）正六边形是轴对称图形，它有条对称轴．解：6 点拨：可以画出例图进行分析，明确正n边形有n条对称轴．考点：轴对称及轴对称图形的应用4、（2004、郸县，3分）某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路同时向新落成的A、B两个居民小区送电，分支点为M，已知居民小区A、B到主干线l的距离分别为AA1 =2千米，BB1 =1千米，且A1B1=4千米．（1）居民小区A、B在主干线L的两旁如图1―7―7⑴所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图1―7―7⑵所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1距离多少千米？解：5、（2004、宁波，3分）仔细观察下列图案（图1－7－10），并按规律在横线上画出合适的图形．二.考点内容考点一：轴对称图形与轴对称图形有关的考题主要涉及以下两个方面：（1）识别轴对称图形；（2）确定对称轴的条数.解决有关问题不仅需要把握轴对称图形的特征，而且还需要具有想象能力和对比能力.例1下列图形是一些商品的标志，其中不是轴对称的是（）.(A) (B)(C) (D)考点二：角平分线与线段垂直平分线性质应用（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等（2）线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等例2 如图，已知AB=AC,∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点M．有下面2个结论：①射线BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；(1)判断其中正确的结论是哪几个?(2)从你认为是正确的结论中选一个加以说理．考点三：等腰三角形本考点主要涉及等腰三角形的性质及识别方法的有关应用，在解决有关问题，除熟练把握等腰三角形有关知识外，还有注意分类思想的应用.例3 如图2,在△ABC中,已知AB=AC,BD、CE是两条角平分线，BD、CE相交于点O ，△OBC 是等腰三角形吗？为什么？ 考点四 ： 利用轴对称设计图案考点五 ： 实际问题中轴对称本考点主要涉及镜面中的轴对称问题，倒影问题以及折纸问题.解决有关的问题，需要从实际问题中建立轴对称模型，结合轴对称的概念和性质解决.例5 小明新买的球服号码是个两位数，这个两位的十位数字与个位数字之和为10，而他在镜子里看到的球服上的号码也是一个两位数，但这两位数的十位数字与个位数字的和却为13，那么小明的球服上的号码是多少？《轴对称图形》水平测试一、精心选一选（每题3分，共30分）1．下列由数字组成的图形中，是轴对称图形的是（ ）。

知识点总结要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.复习要点一、轴对称1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习轴对称【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称以及轴对称图形的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．2．探索轴对称的基本性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．【要点梳理】要点一、轴对称图形轴对称图形的定义一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.要点二、轴对称1.轴对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称、轴对称图形的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.要点诠释：（1）若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、（2016•邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.【答案】D；【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.举一反三：【变式1】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.【变式2】在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是，它有条对称轴；最少的是，它有条对称轴【答案】直线、无数、角、1．2、观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是（）A . B. C . D.【思路点拨】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．【答案】D；【总结升华】本题考查学生根据图形，归纳、发现并运用规律的能力．注意结合图形解题的思想．举一反三：【变式】将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到（）A． B．C．D．【答案】C.类型二、轴对称或轴对称图形的应用3、如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，那么∠AEF 的度数为（ ）A ．60°B ．67.5°C ．72°D ．75° 【答案】B ；【解析】∠AEF ＝（180°－45°）÷2＝67.5°.【总结升华】折叠所形成的图形是轴对称图形，对应角相等.举一反三： 【变式1】如图，△ABC 中，AB ＝BC ，△ABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，若点D 为AB 边的中点，∠A ＝70°，求∠BD A '的度数．【答案】100°；∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝70°，∠B ＝40°又∵ΔABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，点D 为AB 边的中点， ∴BD ＝D A '，∠B ＝∠D A 'B ＝40°，∴∠BD A '＝180°－40°－40°＝100°.【变式2】将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形. 若'CED ∠＝56°,则∠AED 的大小是_______.【答案】62°；4、如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长．【答案与解析】解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，∴ME=PE，NF=PF，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∵△PEF的周长等于20cm，∴MN=20cm．【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．。

第五章生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。