西南大学19秋0346]《初等数论》

问题一：数学教育专业分为专业基础课：高等代数，数学分析，空间解析几何以及专业课：实变函数论，点集拓扑，复变函数论，微分几何，概率与数理统计，数学建模，初等数论，数学教学论。

数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数与数之间的关系、测量土地及预测天文事件。

这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的领域相关连著。

除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。

一、李永乐：李永乐老师毕业于北京大学数学系，后来在清华大学数学系任教，他还是前二李全书的代数执笔者，李永乐全书和660题的主编，可以说是考研数学界的权威代表。

他的研究方向是线性代数。

二、汤家凤：汤老师是南京大学数学系博士，南京工业大学副教授。

他的研究方向为高等代数。

三、李林：李林老师毕业于北师大数学系，大连理工大学数学科学学院数学研究所教师，职称为讲师，研究方向为常微分方程。

四、武忠祥：西安交通大学数学系教授，从事高等数学教学和考研辅导23年，国家高等数学试题库骨干专家。

五、王式安：王式安本人毕业于复旦大学数学系，后来任教于北京理工大学。

王式安老师是前考研命题组的老师，主要是讲概率。

六、方复全：首都师范大学特聘教授，教育部长江学者特聘教授。

主要研究方向为微分几何、微分拓扑学。

七、曹一鸣：北京师范大学数学学科学院教授，博士生导师，贵州师范大学特聘教授。

主要从事数学课程与教学、数学史与数学教育研究。

八、戎小春：首都师范大学数学系硕士毕业，后留校任教。

现为美国Rutgers大学教授。

他的研究方向主要为微分几何理论。

九、王贵君：天津师范大学数学学院教授。

研究方向：模糊测度与积分,模糊神经网络,模糊系统逼近。

十、汪晓勤：中国科学院科学技术史博士专业，获哲学博士学位。

现任华东师范大学数学系教授，学科教育（数学）专业博士生导师。

1、理性思维的含义包括的四个方面是.独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

.独立思考，不迷信权威；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；合情推理，不需要逻辑推理。

.博采众长，不独断猜想；尊重群众，不采纳少数意见；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

.合作交流，不独自思考；尊重事实，不感情用事；思辨分析，不混淆是非；严谨推理，不违背逻辑。

2、数学史教育应该遵循的四个原则是. B. 科学性、实用性、趣味性、广泛性.普及性、实用性、趣味性、广泛性.科学性、实用性、趣味性、民族性.科学性、教育性、趣味性、广泛性3、《周易》对中国古代数学发展的影响主要表现在以下三个方面.第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。

.第一，提出了勾股定理；第二，阐述了“割圆术”；第三，提出了“杨辉三角”.第一，易数在各领域的广泛应用和发展；第二，阐述了“割圆术”；第三，算命.第一，提出了勾股定理；第二，《周易》对中国古代数学家知识结构的影响；第三，《周易》对中国古代数学思维方式的影响。

4、中学数学教学中最重要的三种基本思想方法是. F. 函数思想、方程思想和数形结合思想.化归思想、方程思想和概率统计思想.函数思想、算法思想和概率统计思想.函数思想、方程思想和概率统计思想5、古希腊文明的数学标志性著作是.《高观点下的初等数学》.《几何原本》. 《九章算术》.《怎样解题》6、波利亚认为中学数学教育的根本任务是.教会学生解题. 教会学生思考. 教会学生应用.教会学生猜想7、 .在数学教学成为一门科学学科的历史发展过程中，有两门学科对其有过根本性的影响，它们是. C. 数学和心理学. 数学与物理学. 教育学与数学.教育学与心理学8、决定数学教学目标的主要依据是. 学生的年龄特征. 学生的情感因素. 教师的教学能力.教材的难度9、波利亚在“怎样解题表”中，将解题过程分为. E. 了解问题、拟定计划、实现计划三大步骤. 了解问题、拟定计划、实现计划和回顾四大步骤. 读题、解题、反思三大步骤.读题、解题过程、作答三大步骤10、 中国古代数学的标志性著作是.《九章算术》.《几何原本》.《周髀算经》.《易经》11、《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念给义务教育数学课程的定位是. A. 基础性、普及性与灵活性. D. 基础性、普及性与发展性.选择性、基础性与操作性.基础性、选择性与发展性12、中国古代数学教育的主要目的是.选拔人才.经世致用.普及算法.思维训练多项选择题13、数学命题的教学设计的重点是.结论的发现过程.推导的思考过程.熟记命题的方法.弄清命题的条件与结论14、中国数学双基教学的特征是.重复练习依赖变式获得提升.记忆通向理解直至形成直觉.运算速度赢得思维效率.重视逻辑演绎保持严谨准确15、“提高课堂效益的初中数学教改实验”的指导思想、原则和方法是.积极前进，循环上升.开门见山，适当集中.淡化形式，注重实质.先做后说，师生共作16、美籍匈牙利数学教育家波利亚关于解数学解题理论的代表作是.《数学的发现》.《中小学生数学能力心理学》.《数学与猜想》.《怎样解题》17、构建数学课堂文化最重要的因素是.创造.安静.合作.民主18、弗赖登塔尔关于现实数学教育中的数学化的两种形式是.将数学问题转化为实际应用问题.将数学概念还原成为现实生活实例.实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理。

（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业2：第二次作业3：第三次作业4：第四次作业5：第五次作业1：[论述题]数论第一次作业参考答案：数论第一次作业答案2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。

A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。

作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。

（1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。

通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。

（2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。

（3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。

（4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。

3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。

A：10B：20C：30D：40参考答案：D数论第一次作业答案4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。

A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C数论第一次作业答案5：[单选题]-4除-39的余数是（）。

A：3B：2C：1D：0参考答案：C数论第一次作业答案6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。

A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A数论第一次作业答案7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。

A：1B：2C：3D：4参考答案：D数论第一次作业答案8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。

A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D数论第一次作业答案1：[论述题]数论第二次作业参考答案：数论第二次作业答案2：[单选题]288与158的最大公约数是（）。

A：2B：4C：6D：8参考答案：A数论第二次作业答案3：[单选题]-337被4除余数是（）。

西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷学期：2020年秋季
课程名称【编号】：初等数论【0346】 A卷
考试类别:大作业满分：100分
1.解：整除的定义：
设a, b是任意两个整数,其中b不为零,若存在一个整数q使得a=bq,我们就说b 整除a,记为bla.这时b叫a的因数, a叫b的倍数.若这样的q不存在，则说b 不整除a.
6整除24.
8不整除42.
3.解：欧拉函数()a
ϕ是定义在正整数上的函数，它在正整数a上的值等于序列0,1,2，…，a-1中与a互质的数的个数。

(5)
ϕ=4
(6)
ϕ=2.
4.解：220=2²×5×11。

6.解如下图
8.解：素数除了1和自己就没有其他约数了.4m-1或4m+1,其中4m-1看成4m+3,即一切奇素数都可以表示成4m+3或4m+1的形式.因为,一切奇素数不可以写成4m的形式（约数4）,但也不能写成4m+2(约数2）.所以一切奇素数都可以表示成4m-1或4m+1的形式，即41
m±.
- 1 -。

第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。

在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。

但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。

特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。

为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。

而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。

典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。

（0346）《初等数论》复习思考题1． 一个不等于1的自然数，分别去除967，1000，2001得到相同的余数。

试求这个自然数。

2． 求证：不可能存在两个质数p 1，p 2，使得p 1 + p 2 = 111…1(20位数)。

3． 如果p 和p + 2都是大于3的质数，求证6 | p + 1。

4． 设m , n 为整数，求证m +n , m -n 与mn 中一定有一个是3的倍数。

5． 证明：两个奇数的平方差是8的倍数。

6．已知p 为偶数，q 为奇数。

方程组⎩⎨⎧=+=-q y x p y x 39918的解是整数，那么（ ）。

A. x 是奇数，y 是偶数 B. x 是偶数，y 是奇数C. x 是偶数，y 是偶数D. x 是奇数，y 是奇数7． 求1980的标准分解式。

8． 求792与594的最大公因数。

9． 求2001！中末尾0的个数。

10．求不定方程10x -7y =17的一切整数解。

11．求不定方程15x +10y +6z =61的一切整数解。

12．袋子里有三种球，分别标有数字2，3和5，小明从中摸出12个球，它们的数字之和是 43，问：小明最多摸出标有数字2的球多少个？13．下列结论是否成立。

A. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )。

B. 若a 2≡b 2(mod m )，则a ≡b (mod m )或a ≡-b (mod m )至少有一个成立。

C. 若a ≡b (mod m )，则a 2≡b 2(mod m )。

D. 若a ≡b (mod 2)，则a 2≡b 2(mod 22)。

E. 若ac ≡bc (mod m )，c 关于模m 不同余于0，则a ≡b (mod m )。

F. 若a ≡b (mod 3)，k ≥2，则a k ≡b k (mod 3)。

14．若n 为为然数，求证9n +1≡8n +9(mod 64)。

15．写出模9的一个完全剩余系。

16．写出模8的一个简化剩余系。

第一章 整数的可除性§1 整除的概念·带余除法 1．证明定理3定理3 若12n a a a ，，，都是m 得倍数，12n q q q ，，，是任意n 个整数，则1122n n q a q a q a +++是m 得倍数．证明：12,,n a a a 都是m 的倍数。

∴ 存在n 个整数12,,n p p p 使 1122,,,n n a p m a p m a p m ===又12,,,n q q q 是任意n 个整数1122n nq a q a q a ∴+++1122n n q p m q p m q p m =+++1122()n n p q q p q p m =+++即1122n n q a q a q a +++是m 的整数2．证明 3|(1)(21)n n n ++ 证明(1)(21)(1)(21)n n n n n n n ++=+++-(1)(2)(1)(1)n n n n n n =+++-+ 又(1)(2)n n n ++，(1)(2)n n n -+是连续的三个整数故3|(1)(2),3|(1)(1)n n n n n n ++-+3|(1)(2)(1)(1)n n n n n n ∴+++-+从而可知3|(1)(21)n n n ++3．若00ax by +是形如ax by +（x ，y 是任意整数，a ，b 是两不全为零的整数）的数中最小整数，则00()|()ax by ax by ++．证：,a b 不全为0∴在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数，因而有形如ax by +的最小整数00ax by +,x y Z ∀∈，由带余除法有0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，由00ax by +是S 中的最小整数知0r =00|ax by ax by ∴++00|ax by ax by ++ （,x y 为任意整数） 0000|,|ax by a ax by b ∴++ 00|(,).ax by a b ∴+ 又有(,)|a b a ，(,)|a b b 00(,)|a b ax by ∴+ 故00(,)ax by a b +=4．若a ，b 是任意二整数，且0b ≠，证明：存在两个整数s ，t 使得||,||2b a bs t t =+≤成立，并且当b 是奇数时，s ，t 是唯一存在的．当b 是偶数时结果如何？ 证：作序列33,,,,0,,,,2222b b b bb b ---则a 必在此序列的某两项之间即存在一个整数q ，使122q q b a b +≤<成立 ()i 当q 为偶数时，若0.b >则令,22q qs t a bs a b ==-=-，则有 02222b q q qa bs t ab a b b t ≤-==-=-<∴<若0b < 则令,22q qs t a bs a b =-=-=+，则同样有2b t <()ii 当q 为奇数时，若0b >则令11,22q q s t a bs a b ++==-=-，则有 1102222b b q q t a bs a b a b t ++-≤=-=-=-<∴≤ 若 0b <，则令11,22q q s t a bs a b ++=-=-=+，则同样有2b t ≤，综上所述，存在性得证．下证唯一性当b 为奇数时，设11a bs t bs t =+=+则11()t t b s s b -=-> 而111,22b bt t t t t t b ≤≤∴-≤+≤ 矛盾 故11,s s t t == 当b 为偶数时，,s t 不唯一，举例如下：此时2b为整数 11312(),,22222b b b b b b b t t ⋅=⋅+=⋅+-=≤§2 最大公因数与辗转相除法 1．证明推论4.1推论4.1 a ，b 的公因数与（a ，b ）的因数相同． 证：设d '是a ，b 的任一公因数，∴d '|a ，d '|b 由带余除法111222111111,,,,,0n n n n n n n n n n a bq r b r q r r r q r r r q r r r r b---++-=+=+=+==≤<<<<∴(,)n a b r =∴d '|1a bq -1r =， d '|122b r q r -=，┄, d '|21(,)n n n n r r q r a b --=+=,即d '是(,)a b 的因数。