复旦大学物理-统计物理

v2
∴ n∫
v1
N ΔN ΔN F ( v )d v = = V N V
表示分布在单位体积内，速率区间 v1 → v 2 内的分子数。
∫ (4) ∫
v2
v1 v2 v1
vF ( v ) d v F (v )dv
dN Q F (v) = Ndv
ΔN N
∫ =
N2
N1
vd N N
∫ =
N2
N1
vdN
ΔN
dP = F (v )dv
dP 1 dN F (v ) = = dv N dv
满足归一化：
∫ f ( x )dx = 1
平均值：
G = ∫ G ( x ) f ( x )dx
∫ F (v )dv = 1
G = ∫ G (v ) F (v )dv
例：N 个假想的气体分子的速率分布如图所示， 求：（1）由 N 和 v0 确定 N0； 解： 速率分布函数： N0 F (v ) = v , 当 0 < v < v0 Nv 0
∞
− mv
2
2 kT
dv 2
2
⎛ m ⎞ ⎛ 2 kT = 2 π⎜ ⎟ ⎜− ⎝ 2 π kT ⎠ ⎝ m
3 2
mv ∞ ⎛ 2m ⎞ ⎞ −2 kT =⎜ ⎟ ⎟e 0 ⎝ πkT ⎠ ⎠
1 2
麦克斯韦速度分布律
平衡态气体分子的速率及速度分布规律是Maxwell 在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》中给 出的。 麦克斯韦速度分布率表达式为
mv ⎛ m ⎞ −2 =⎜ f (v ) = ⎟ e kT N d v x d v y d v z ⎝ 2 π kT ⎠
d N v x ,v y ,v z
3 2
2
麦克斯韦速度分布律的推导
(1)以 d N v x 表示速度分量 vx 在 vx+dvx 之间的粒子 数，用分布函数 f (vx) 表示在单位 vx 区间内出现 的概率，则
dx
d d Gn = dλ dλ
Gn+ 2
G1 =
∫
∞
0
x e
n
− λx 2
dx =
∫
∞
0
x ( − x )e
n 2
− λx 2
dx = −G n + 2
d =− Gn dλ
∫
∞
0
xe
− λx 2
1 dx = 2λ
d d ⎛ 1 ⎞ 1 G3 = − G1 = − ⎟= 2 ⎜ dλ dλ ⎝ 2λ ⎠ 2λ
∫
−∞
e
2 / α2 −v x
dvx = πα
1 C= πα
f (v ) =
1 π3 α 3
e
−v 2 / α 2
麦克斯韦速率分布律 1、速度空间
vz
dv
vx , v y , vz
O
(vx , vy , vz )
vz
在半径为v，厚度为 dv、体积为 2 4 πv dv 的球壳内，粒子的速率 v出现在同一速率区间 dv 内的概 率相同。
v1
∫
v2
F (v) d v =
ΔN
F(v)dv =
dN N
dv
v1
v2
v
速率在(v, v + dv) 区间内的分 子数占总分子数的比例；或 分子速率位于 (v, v + dv)区间 内的几率。
F ( v )为速率分布函数 ， n 为分子数密度 ，
说明下式的物理意义：
(1) nF (v)dv
N dN Q F (v ) = ,n = N dv V dN ∴ nF (v )dv = V
e
dx
2
∫
∞
0
e
∞
− λr 2
2 π r dr
−∞
e − λy dy e
−λ ( x 2 + y 2 )
I = π∫ e
2 0
− λr 2
dr 2
I =
∫
∞
−∞
d xd y
π = λ
xy平面上的2重积分
∫
∞
0
e
− λx 2
1 π dx = 2 λ
高斯积分的递推关系
Gn =
∫
∞
0
x e
n
− λx 2
v
最概然速率
速率分布函数 F (v ) 中的极大值对应 的分子速率 v p 。
d F(v) 极值条件 =0 dv
dF (v ) ⎛ m ⎞ = 4 π⎜ ⎟ e dv ⎝ 2 πkT ⎠
2v − m v 3 = 0 kT
3 2
mv ⎛ m ⎞ −2 kT v 2 F (v ) = 4 π ⎜ e ⎟ ⎝ 2 π kT ⎠
dN = F (v ) d v N
⎛ m ⎞ F (v ) = 4 π ⎜ ⎟ e ⎝ 2 π kT ⎠
3 2
− mv
2
2 kT
v2
T 热力学温度
v
m 单个分子的质量
d N 速率在 (v, v + dv)区间内的分子数 N 总分子数
k 玻尔兹曼常量
F (v )
N 速率在(v1 , v2 )区间内的分 子数占总分子数的比例； 或分子速率位于 (v1 , v2 ) 区间内的几率。
热平衡态的统计分布律
概率 (几率)
事件： 必然事件 偶然事件
2 s=1 gt 2
抛硬币，炒股票...
可能性有多大？ 定义： 在某一条件下，重复做大量的实验，某个事件
发生的频率，即为某个事件发生的概率。
记号： 某个事件 A
A 事件发生次数 N A 发生频率 P = 实验次数 N
某个事件的概率 P ( A)
3 2
解：
mv ⎛ m ⎞ −2 kT v 2 F (v ) = 4 π ⎜ e ⎟ ⎝ 2 π kT ⎠
2
⎛1⎞ ⎜ ⎟= ⎝v⎠
∫
∞
0
1 F (v )dv = v
3 2
∫
∞
0
mv ⎛ m ⎞ −2 4 π⎜ ⎟ e kT vd v ⎝ 2 πkT ⎠
2
3 2
⎛ m ⎞ 1 = 4 π⎜ ⎟ ⋅ ∫0 e ⎝ 2 π kT ⎠ 2
dN v x N = f (v x ) d v x
同理有
dN v y N
dN v z N
= f (v y ) d v y
= f (v z ) d v z
(2)假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出
现在 vx ~ vx+dvx ， vy ~ vy+dvy， vz ~ vz+dvz间的概 率为:
d N v x ,v y ,v z N = f (v x ) f (v y ) f (v z ) d v x d v y d v z = f (v ) d v x d v y d v z
2
3 2
− mv
2
2 kT
⋅ 2 v )] = 0 [2v + v (− m2kT
2
2kT kT ≈1.41 vp = m m
平均速率
气体分子速率的算术平均值
v = ∫ vF (v) d v
0 ∞
⎛ m ⎞ F (v ) = 4 π ⎜ ⎟ e ⎝ 2 π kT ⎠
3 2
3 2
− mv
2
2 kT
v2
i
Δ N i ：落入第 i 个小槽的小球数
N ：下落的总小球数
满足归一化：
∑ ΔP = 1
i i
hi Δ xi
连续随机变量的概率
h ( x )dx dN 当小槽细化，即 Δ xi → d x ： d P = = N ∫ h ( x )dx
概率分布函数，概率密度 令：f ( x ) = ∫ h ( x )dx 在 x 处单位区间内的概率
经猜测，函数 f ( v x ) 可具有 C e
2 Av x
的形式，
2 Av z
f (v ) = C e
3
2 Av x
⋅ Ce
Av 2 y
⋅ Ce
=C e
2 2 A(vx +v2 y +vz )
=C e
3
Av 2
具有无限大速率的粒子的概率极小，故 A 应为负值。 令 A = −1 / α
2
f (v ) = C e
求：（3）分子的平均速率。 解： v = ∫ vF ( v ) d v =
∫
v0
0
2 v0 N0 N 0v 11 dv + ∫ v dv = v0 v v0 9 N Nv 0
麦克斯韦速率分布函数
dN ⎛ m ⎞ = 4 π⎜ ⎟ e N ⎝ 2 π kT ⎠
3 2 − mv
2
2 kT
v2 d v
F (v )
dP = f ( x )dx
dP 1 dN f ( x) = = dx N dx
h( x)
在 (x, x+dx) 区间内的概率
满足归一化： ∫ f ( x )dx = 1 平均值： G = ∫ G ( x ) f ( x )dx
速率分布函数
dP = f ( x )dx
dP 1 dN f ( x) = = dx N dx
求：（2）速率在1.5v0 到 2v0 之间的分子数； 解：
1 dN F (v ) = N dv
d N = NF ( v ) d v
2 v0
N0 2 F (v ) = = N 3v 0
2 v0
2 N dv = Δ N = ∫ NF ( v ) d v = ∫ N 1 .5 v 0 1 .5 v 0 3v 0 3