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第一章 集合与常用逻辑用语专题2 命题及其关系、充分条件和必要条件考点1 命题及其关系1. 【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧ ②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝【答案】①③④ 【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理3l 与2l 的交点B 也在平面α内，∴AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．2. 【2018年高考北京文数】能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1，−1（答案不唯一）【解析】使“若a >b ，则1a <1b ”为假命题，则使“若a >b ，则1a ≥1b ”为真命题即可， 只需取a =1,b =−1即可满足，所以满足条件的一组a,b 的值为1,−1（答案不唯一）.3. 【2017年高考北京文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________． 【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】()123,1233->->--+-=->-，矛盾， 所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.考点2 充分条件和必要条件1. 【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知,,m n l 不过同一点，当,,m n l 两两相交时，,,m n l 在同一平面内；但当m //n ，l 与它们相交时，,,m n l 也在同一平面内，故选B ．2. 【2019年高考天津文数】设x ∈R ，则“05x <<”是“|1|1x -<”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“05x <<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.3. 【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．4. 【2019年高考北京文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数； 当()f x 为偶函数时，()()f x f x -=对任意的x 恒成立，由()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，得cos sin cos sin x b x x b x +=-， 则sin 0b x =对任意的x 恒成立， 从而0b =.故“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选C.5. 【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为m ⊄α,n ⊂α,m//n ，所以根据线面平行的判定定理得m//α.由m//α不能得出m 与α内任一直线平行， 所以m//n 是m//α的充分不必要条件. 故选A.6. 【2018年高考天津文数】设x ∈R ，则“38x >”是“||2x >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式x 3>8可得x >2，求解绝对值不等式|x |>2可得x >2或x <−2， 据此可知：“x 3>8”是“|x|>2” 的充分而不必要条件.故选A.7. 【2018年高考北京文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =4,b =1,c =1,d =14时，a,b,c,d 不成等比数列，所以不是充分条件； 当a,b,c,d 成等比数列时，则ad =bc ，所以是必要条件.综上所述，“ad =bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的必要不充分条件.故选B.8. 【2017年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=， 可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>， 反之，若4652S S S +>，则0d >， 所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充分必要条件. 故选C ．9. 【2017年高考北京文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒， 那么cos1800⋅=︒=-<m n m n m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向， 即不一定存在负数λ，使得λ=m n ， 所以是充分而不必要条件. 故选A.10. 【2017年高考天津文数】设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由20x -≥，可得2x ≤，由|1|1x -≤，可得111x -≤-≤，即02x ≤≤， 因为{}{}022x x x x ≤≤⊂≤，所以“20x -≥”是“|1|1x -≤”的必要而不充分条件. 故选B ．11. 【2016高考天津文数】设0>x ，R y ∈，则“y x >”是“||y x >”的（ ）（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】34,3|4|>-<-,所以充分性不成立；||x y y x y >≥⇒>，必要性成立，故选C。
命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )2. 设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠14. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( )A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0B.若数列{a n}为常数列，则{a n}既是等差数列也是等比数列C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件D.命题“若an＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的________条件.考点三充分、必要条件的应用【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.【迁移2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【训练3】若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)一、选择题1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b25.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”二、填空题9. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.11.若不等式m－1<x<m＋1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数m的取值范围是________.12.“a＝1”是“函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数”的__________条件.13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14. 已知a，b∈R，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件15.已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.16. 设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.17. 能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.答案(1)×(2)√(3)√(4)√2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>1b ”，若“a>1b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>1b”的既不充分也不必要条件.答案 D3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C4. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，则a＋b＝－6<c.答案－2，－4，－5(答案不唯一)5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.答案 (－∞，2]6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.答案－1<k<3考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；对于B 项，若“am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，B 错；对于C 项，由指数函数的图象知，∀x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，C 错； 对于D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).答案 (1)D (2)f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎨⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2) 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.解析 (1)A 错，f (x )＝1x为奇函数，但f (0)无意义；B 错，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.D错，若{a n}递减，则a n＋1<a n⇒an＋a n＋12<a n，n∈N*，所以逆命题为真命题，D不正确.(2)逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定.故逆否命题在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.答案(1)C (2)在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a ＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p q，所以綈p⇒綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.答案(1)A (2)A规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的________条件.解析 (1)由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”，故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.(2)显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件.答案 (1)B (2)充要考点三 充分、必要条件的应用【例3】 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且qp ，即P S .∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.答案 D一、选择题1.命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A.“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ” B.“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.答案 D2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.答案 B3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立.反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数.充分性成立.∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.答案 C4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b2解析对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则ab<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2<b2，故D错.答案 C5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个解析原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.答案 C6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.答案 A8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题.答案 C 二、填空题9. 设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件.解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线.故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件.答案 充分不必要 10.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确. 答案 ②③11.若不等式m －1<x <m ＋1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，借助数轴得⎩⎪⎨⎪⎧13≥m －1，12≤m ＋1，解得－12≤m ≤43，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4312.“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －aex 是奇函数”的__________条件.解析 当a ＝1时，f (－x )＝－f (x )(x ∈R)，则f (x )是奇函数，充分性成立. 若f (x )为奇函数，恒有f (－x )＝－f (x )，得(1－a 2)(e 2x ＋1)＝0，则a ＝±1，必要性不成立.故“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －ae x 是奇函数”的充分不必要条件.答案 充分不必要13.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ，所以S 4＋S 6>2S 5⇔d >0，所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件. 答案 C14. 已知a ，b ∈R，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 2a >2b ⇔a >ba 2>b 2； a 2>b 2a >b ，即a 2>b 22a >2b ，∴“2a>2b”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件. 答案 D15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________. 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎨⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3816. 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 17. 能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________.解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －aab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题.答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)。
考点测试2命题及其关系、充分条件与必要条高考高考在衣考点的常考题型为选择题・分值5分一概览低等难度I■理解命题的概念考纲Z 了解“若力则『"形式的命题的逆命题，否帑题研读与逆否命题•会分析四科命题的相互关系丘理解充分条件、必要条件与充要条件的含义第四步狂刷小题•练基础、基础小题1 .命题“若a? A，则b? B”A .若a? A，贝S b? BC.若b € B,贝S a? A答案 B 的否命题是（）B. 若a € A，贝y b € BD .若b? B，贝S a€ A解析由原命题与否命题的定义知选B.2.命题“若a2+ b2= 0, a, b € R，贝a= b = 0”的逆否命题是 ()A .若a^b 丸,a, b € R,贝a2+ b2= 0B.若a = b工0, a, b € R，贝a2+ b2^0C.若 a^O 且b 丸,a, b € R,贝"a2+ b2丸D .若a丸或b 丸,a, b € R,贝S a2+ b2^0答案 D解析写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可.3.命题“若x2+ 3x— 4 = 0,则x =-4”的逆否命题及其真假性为( )A .“若x= — 4，贝S x2+ 3x— 4 = 0”为真命题B.“若x工―4，则x2+ 3x — 4丸”为真命题C.“若x^—4，则x2+ 3x — 4工0”为假命题D .“若x= — 4，贝S x2+ 3x— 4 = 0”为假命题答案 C解析根据逆否命题的定义可以排除 A，D，由x2+ 3x — 4 = 0，得x = — 4或1，故选C.4.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ( )A .真命题与假命题的个数相同B.真命题的个数一定是奇数C.真命题的个数一定是偶数D .真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数答案 C解析在原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，互为逆否的命题是成对出现的，故真命题的个数和假命题的个数都是偶数.5.设A, B是两个集合，则“ x€ A”是“ x€ (A AB)”的( )A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析女口果x € (A QB)，贝S x € A且x€ B;但当x € A, x? B 时，x? (A AB)，所以“ x€ A”是“ x € (A AB)”的必要不充分条件，故选 B.6.下列命题中为真命题的是 ( )A .命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题B.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题C.命题“若x = 1，则x2+ x— 2 = 0”的否命题D .命题“已知a, b, c€ R，若ac2>bc2，贝S a> b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题答案 B解析对于选项A，命题“若x>1，则x2>1 ”的否命题为“若x <1，则x2W1 ”，易知当x = — 2时，x2= 4>1，故选项A为假命题；对于选项B，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>| y|，则x> y”，分析可知选项B为真命题；对于选项C,命题“若x = 1，则x2+ x— 2 = 0”的否命题为“若x^l，则x2+ x — 2工0”，易知当x= — 2时，X2+ x — 2 = 0,故选项C为假命题；对于选项 D，原命题为真，所以逆否命题为真，逆命题、否命题均为假，故选项 D 为假命题.综上可知,选 B.7.设集合M =｛x|O<x<3｝, N = ｛x|0<x W2｝，贝S “ a€ M ”是“a€ N ”的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析因为集合N = ｛x|0< x<2｝是M = ｛x|0<x<3｝的真子集，故由a € M不能得到a€N，由a € N可以得到a € M，所以“ a € M” 是“ a € N”的必要不充分条件.8.a<0 , b<0的一个必要条件为（）A.a+ b<0B. a—b>0a aC.—>1D.—< — 1b b答案 A解析若a<0 , b<0，贝「定有a + b<0，故选A.9.在等比数列｛a n｝中，a i>0 ,贝S “a i<a3”是“a3< a6”的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析设等比数列｛a n｝的公比为q，若a1<a3，则a1（1 —q2）<0 , 因为a1>0，所以 1 —q2<0，故q>1 或q < — 1，又a3 —a6 = ag2（1 —q3），若q>1，则a3< a6，若q< —1，则a3> a6,故充分性不成立.反之，若a3< a6，则1 —q3<0，故q>1 ,则a1<a3，必要性成立，故“a1<a3” 是“ a3<a6 ”的必要不充分条件，选B.10.若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则q是r的．_ (填“否命题”“逆命题”或“逆否命题” )答案逆否命题解析由 4 种命题的相互关系，可知原命题的否命题与逆命题互为逆否命题．11.若“x € [2,5]或x€ {x|x<1或x>4} ”是假命题，则x的取值范围是______ ．_答案 [1,2)x<2 或x>5 ,解析根据题意得解得1 <x<2，故x € [1,2).1 <x <4,12．设p，r 都是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么p 是t 的________________ 条_ 件，r 是t 的_________________________条件. (用“充分”“必要”或“充要”填空 )答案充分充要解析由题知p? q? s? t,又t? r, r? q，故p是t的充分条件，r是t的充要条件.二、高考小题13. [2016 •四川高考设p :实数x, y满足x>1且y>1 , q :实数x，y 满足x＋y>2 ，则p 是q 的 ( )A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析当x>1 且y>1 时，x＋y>2 ，所以充分性成立；令x =— 1, y = 4，则x+ y>2，但x<1，所以必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件.故选 A.14. [2015 •山东高考设m € R,命题“若m>0，贝S方程x2+ x —m = 0有实根”的逆否命题是（）A .若方程x2+ x—m = 0有实根，则m>0B.若方程x2+ x —m = 0有实根，则m <0C.若方程x2+ x—m = 0没有实根，则m>0D .若方程x2+ x—m = 0没有实根，则m O答案 D解析由原命题和逆否命题的关系可知 D 正确．15. [2015 •陕西高考“Sin a= COS a” 是“ COS2 a= 0” 的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析若 sin a= cos a,则 COS2 a= COS2a— Sin 2a= 0，所以充分性成立；若 COS2 a= 0,则 COS2a= sin2a,即|sin a|= |COS a，所以必要性不成立，故选 A.16. [2016 •山东高考已知直线a, b分别在两个不同的平面a, B 内.贝厂直线a和直线b相交”是“平面a和平面阳交”的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面a，的，所以平面a与B必有公共点，从而平面a 与儕目交；反之，若平面a与侨目交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面.故选 A.17.[2016 •天津高考设x>0,y€ R，则“ x>y ”是“ x>|y|” 的( )A .充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析令x = 1, y = — 2 ,满足x> y，但不满足x>| y| ;又x>|y| >y，二x>y成立，故“ x>y”是“ x>|y|”的必要而不充分条件.18. [2016 •浙江高考已知函数f(x) = x2+ bx，则“b<0 ”是“f(f(x)) 的最小值与f(x)的最小值相等”的()A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析解法一：记g(x) = f(f(x)) = (x2+ bx)2+ b(x2+ bx)b b2=x2+ bx + 2—2 4b2 bb2—+ —24 2b2 b 当b<o 时，一4+2<o,b b2 b b2即当x + 2 2—4 + 2 = 0 时，g(x)有最小值，且g (x)min ：,b b2又f(x)= x+匚2—~，所以f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等，2 4b2都为——，故充分性成立.另一方面，当b = 0时，f(f(x))的最小值为40,也与f(x)的最小值相等.故必要性不成立.选 A.b解法二：函数f(x) = x2+ bx在x 处取得最小值且最小值为—2b2b2令f(x) F，则f(f(x))- f(t) *+bt t一「函数f(f(x))-f⑴b2 b=t2+ bt t>—也在t = —处取得最小值，为保证f(t)与f(x)的最b2 b小值相等，则需满足—y <—，解得b >2或b <0，所以“ b<0 ”是2“f(f(x))与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件，故选A.三、模拟小题19. [2017 •中原名校联考已知p : a<0 , q : a2>a，则綈p是綈q 的 ( )A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 B解析因为綈p : a>0,綈q : 0 <a<1,所以綈q?綈p且綈p?/ 綈q ，所以綈p 是綈q 的必要不充分条件.20. [2017 •安徽模拟若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是 ( )A .綈p是q的必要不充分条件B.綈q是p的必要不充分条件C.綈p是綈q的必要不充分条件D .綈q是綈p的必要不充分条件答案 C解析由p是q的充分不必要条件可知p? q , q? p，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q?綈p，綈p?綈q，二綈p是綈q的必要不充分条件.故选C.21. [2017 •湖北黄冈质检设集合A = {x|x> - 1}, B={x||x|》1},则“ x € A且x? B”成立的充要条件是()A.- 1< x<1B. x<1C. x> - 1 D .- 1< x<1答案 D解析由题意可知，x € A? x> - 1 , x?B? - 1<x<1，所以“ x € A且x? B ”成立的充要条件是—1<x<1.故选D.22. [2016 •洛阳二练已知集合A = {1 , m2+ 1}, B={2,4},则“m'3”是“ A AB={4}”的( )A .充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案 A解析A nB={4}? m2+ 1 = 4? m = ± ■'3，故“m ”是“A nB= {4} ”的充分不必要条件.23. [2016 •辽宁五校联考若f(x)是R上的增函数，且f( — 1)=—4, f(2) = 2，设P={x|f(x +1)+ 1<3} , Q = {x|f(x)< — 4}，若“ x € P” 是“ x €Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是( )A . t <—1 B. t> — 1C. t >3 D . t>3答案 D解析P={x|f(x +1) + 1<3} = {x|f(x +1)<2} = {x|f(x +1)< f(2)}, Q ={x|f(x)< — 4} = {x|f(x)<f(— 1)}，因为函数f(x)是 R 上的增函数，所以P= {x|x +1<2} = {x|x<2 —t}, Q = {x|x< — 1}，要使“ x € P” 是“ x € Q”的充分不必要条件，则有2 —1< — 1，即t>3，选D.124. [2017 •安徽“江南十校”联考]已知函数f(x)= — + a(x z3— 10)，则“ f(1) = 1 ”是“函数f(x)为奇函数”的____ 条件.(用“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填写) 答案充要1解析若f(x) = —■ + a是奇函数，则f( —x)=- f(x),3x— 111 3x 1即f(—x)+f(x)=0，•--3—-1+a+3—1+a=2a+7^+3—3x— 1 111=0,即 2a + 1 3X = 0, .2a —1= 0,即a=?，f(1)= ? + 2 =1若f(1)1 1=1,即f(1) = 2 + a= 1，解得a = 2.-f(1) = 1 ”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.第因步精做大题•练能力—、咼考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型.二、模拟大题1 .[2017 •连云港统考已知命题p :对数log a(— 2t2+ 7t —5)(a>0 , a工1)有意义；q :关于实数t的不等式t2— (a + 3)t + (a+ 2)<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.5解(1)由对数式有意义得1<t<；.5(2) •••命题p是命题q的充分不必要条件，••• 1<t<2是不等式t2- (a+ 3)t + (a + 2)<0解集的真子集.解法一：因方程t2-(a + 3)t + (a + 2) = 0两根为1, a + 2，故只5 1需a + 2>—,解得a>—.2 25 解法二：令f(t) = t2- (a + 3)t + (a + 2)，因f(1) = 0，故只需f 2 <0 ,1解得a>[.2. [2017 •河北正定中学月考]已知条件p : |5x- 1|> a和条件q :1—>0,请选取适当的实数a的值，分别利用所给出的两个2x2— 3x+ 1条件作为A, B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题.解已知条件p即5x—1< —a或5x— 1> a,1 —a 1 + a •••x< —或 x>—^.5 51已知条件q 即 2x2— 3x+ 1>0 ,「.x<；或x>1 ;3令a = 4，则p 即x< —；或x>1 ,5此时必有p? q成立，反之不然.故可以选取一个实数是a = 4, A为p, B为q，对应的命题是若p则q.x — 13. [2017 •河南郑州模拟已知命题p : 1 <2, q: x2-32x + 1 -m2<0(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.x— 1解解法一：由1 —〒<2,得一2<x<10 ,3二綈p: A = {x|x>10 或x< — 2}.由x2— 2x +1 —m2<0(m>0)，得 1 —m<x<1 + m(m>0),二綈q : B = {x|x>1 + m 或x<1 —m , m >0}.T綈p是綈q的必要而不充分条件，m >0 ,•••B A? 1—m<—2, 解得m >9.1 + m >10 ,解法二：T•綈p是綈q的必要而不充分条件，•是p的必要而不充分条件，「•p是q的充分而不必要条件.由x2— 2x +1 —m2<0(m>0)，得 1 —m<x<1 + m(m>0).• : Q = {x|1 —m <x<1 + m , m>0}.x— 1又由 1 — 3 <2，得—2 <x<10 ,3「•p : P={x| — 2 <x<10}.m>0 ,.••P Q? 1 —m <—2, 解得m >9.1 + m >10 ,4.[2016 •莱州一中模拟已知集合P= {x|x2— 8x — 20 O} ,S={x||x —1| <m}.(1)若(P U S)?P,求实数m的取值范围；(2)是否存在实数m，使得“ x€ P”是“x € S”的充要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解由x2— 8x — 20<0,解得—2<x<10 ,「•P= {x| — 2 <x<10}.由 |x—1| <m，可得 1 —m <x<1 + m ,{x|1 —m <x<1 + m}.(1)要使(P U S)? P」S? P.①若S= ?，此时m<0.m >0,②若ST，此时1 —m >—2 , 解得0<m <3.1 + m <10 ,综合①②知实数m的取值范围为(一乂，3].(2)由题意“ x € P”是“ x € S”的充要条件，则S= P,1 —m = —2 , 则1 ＋m = 10 ，m=3，二二这样的m不存在.m=9，。
命题及其关系、充分条件与必要条件一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．二、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。
三、充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．抓住关键词：大必小充。
即大范围推小范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件。
例1：|x|>1是x>1的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 解： |x|>1⇔x>1或x<－1，故x>1⇒|x|>1，但|x|>1 x>1，∴|x|>1是x>1的必要不充分条件．另解：根据大必小充原理，容易判断|x|>1是大范围，x>1是小范围，故|x|>1是x>1的必要不充分条件． 例2：下列命题是真命题的为 ( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2 解：由1x ＝1y得x ＝y ，A 正确，易知B 、C 、D 错误． 3．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是 ( )A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 解：写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．答案D 。
命题及其关系、充分条件与必要条件 提高练习一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方是正数D ．至少有一个实数的平方不是正数解析：根据全称命题的否定为特称命题知，把“所有”改为 “至少有一个”，“是”的否定为“不是”．故命题“所有实数的平方都是正数”的否定为：至少有一个实数的平方不是正数．答案：D2．下列命题中，不是真命题的是 ( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题B ．“ab >1”是“a >1且b >1”的必要条件C ．命题“若x 2＝4，则x ＝2”的否命题D ．“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件 解析：命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为：若a <b ，则am 2＜bm 2，当m ＝0时不成立，故A 是假命题．答案：A3．下列说法中正确的是 ( )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0<0C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：A.由“a >1，b >1”可得“ab >1”，所以“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件，A 正确；B ．命题p ：∀x ∈R ，2x >0，则¬p ：∃x 0∈R ，2x 0≤0，B 不正确；C ．命题“若a >b >0，则1a <1b ”的逆命题为：若1a <1b ，则a >b >0，有－13<12，结论不成立，所以C 不正确； D ．2>－3但是22>(－3)2不成立，所以“a >b ”不是“a 2>b 2”的充分条件，D 不正确．答案：A4．设a >0且a ≠1，则“log a b >1”是“b >a ”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a >1时，log a b >1＝log a a ，所以b >a >1；当0<a <1时，log a b >1＝log a a ，所以0<b <a <1.所以“log a b ＞1”是“b ＞a ”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D5．向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，m )，则“m ＝1”是“a ∥b ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：两个向量平行，则m 2－1＝0，m ＝±1，所以为充分不必要条件，故选A.答案：A6．在△ABC 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a >b 是sin A >sin B 的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，由正弦定理可得，若a >b ，则2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ；若sin A >sin B ，则a 2R >b 2R，即a >b ，所以a >b 是sin A >sin B 的充要条件，故选C.答案：C7．已知m 为正数，则“m >1”是“1m ＋lg 1m <1 ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设f (x )＝1x ＋lg 1x ＝1x －lg x (x >0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减．若m >1，则f (m )＝1m －lg m <f (1)＝1，即1m ＋lg 1m <1；若1m ＋lg 1m <1，即f (m )＝1m －lg m <f (1)＝1，则有m >1.综上可得“m >1”是“1m ＋lg 1m <1”的充要条件．选C.答案：C8．设p ：2x －1≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是()A ．[0，12]B ．(0，12)C ．(－∞，0]∪[12，＋∞)D ．(－∞，0)∪(12，＋∞)解析：由2x －1≤1，得0≤2x －1≤1，即12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1，由(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1，若q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ≥0，则0≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是[0，12]，故选A.答案：A9．“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则f (x )＝cos(ωx ＋φ)＝cos(ωx ＋k π＋π2)＝±sin ωx ，函数f (x )为奇函数，所以充分性成立；反之，若函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则ω×0＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因此必要性也成立，所以“φ＝k π＋π2(k ∈Z )”是“函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)是奇函数”的充要条件，故选C. 答案：C10．己知命题p: “关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，若非p 为真命题的充分不必要条件为a >3m ＋1，则实数m 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：方程x 2－4x ＋a ＝0有实数根，则Δ＝16－4a ≥0，即a ≤4，所以非p ：a >4.因为a >3m ＋1是非p 为真命题的充分不必要条件，所以3m ＋1>4，即m >1，则m 的取值范围为(1，＋∞)．所以选A.答案：A11．设p ：x 3－4x 2x≤0，q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为 ( )A ．[－2，1]B ．[－3，1]C ．[－2，0)∪(0，1]D ．[－2，－1)∪(0，1]解析：设p ：x 3－4x 2x≤0的解集为A ，所以A ＝{x |－2≤x <0或0<x ≤2}，设q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ≤0的解集为B ，所以B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}，由题知p 是q 的必要不充分条件，即得B 是A 的真子集，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ＋1≤2⇒0<m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，m ≥－2⇒－2≤m <－1. 综上得m ∈[－2，－1)∪(0，1]，故选D.答案：D12．已知下列命题：①在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ)(σ>0)，若X 在(0，1)内取值的概率为0.4，则X 在(0，2)内取值的概率为0.8；②若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的充分而不必要条件；③已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则¬p ：∃x 1，x 2∉R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0；④△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的充分不必要条件．其中，所有真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：对于①，根据正态曲线的对称性可得P (1<X <2)＝P (0<X <1)＝0.4，故P (0<X <2)＝0.8，即①正确．对于②，b <1a ⇔1a －b ＝1－ab a >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－ab >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1－ab <0，故“0<ab <1”是“b <1a ”的既不充分也不必要条件，故②不正确．对于③，由题意得¬p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故③不正确．对于④，“角A ，B ，C 成等差数列”等价于B ＝π3，由sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝(3cos A ＋sin A )cos B ，即cos A sin B ＝3cos A cos B ，当cos A ＝0，即A ＝π2时等式成立；当cos A ≠0时，可得tan B ＝3，B ＝π3，即“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”等价于“A ＝π2或B ＝π3”，所以“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”的充分不必要条件，故④正确．综上可得①④正确．选C.答案：C二、填空题13．已知命题p ：x >a ，命题q ：－2<x ≤3.若p 是q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：若p 是q 的必要不充分条件，则集合{x |－2<x ≤3}是集合{x |x >a }的子集，据此可得：实数a 的取值范围是a ≤－2.答案：a ≤－214．已知p ：函数y ＝(a －4)x 在R 上单调递减，q ：m ＋1≤a ≤2m ，若p 是q 的必要不充分条件， 则实数m 的取值范围为________．解析：当p 为真时，4<a <5.记集合A ＝{a |4<a <5}，B ＝{a |m ＋1≤a ≤2m }．若p 是q 的必要不充分条件，则BA ， ①当m ＋1>2m ，即m <1时，B ＝∅A ； ②当m ≥1时，B A 等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m ＋1>4，2m <5，解得m ∈∅.综上所述，实数m 的取值范围为(－∞，1)．答案：(－∞，1)15．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，p ：2x －1x －1<0，解得12<x <1，所以p ：12<x <1，由q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1，即q ：a ≤x ≤a ＋1，要使得p 是q 的充分不必要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，解得0≤a ≤12，所以实数a 的取值范围是[0，12]． 答案：[0，12] 16．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②“b 2－4ac <0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R ”的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．解析：①当x >2且y >3时，x ＋y >5成立，反之不一定，例如x ＝1，y ＝5，则x ＋y >5，但x <2，故①为假命题．②一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 等价于⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0，故②为假命题． ③由直线ax ＋2y ＝0和x ＋y ＝1平行的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ×1－2×1＝0，2×（－1）－0×1≠0，解得a ＝2，故③为假命题． ④由lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0(x >0，y >0)可得xy ＝1，而当x <0，y <0时xy ＝1仍可成立，由此可知“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要而不充分条件，故④为真命题．答案：④三、解答题17．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ＞0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)若a ＝1，且p ∧q 是真命题，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0，∵又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，p ：1<x <3；由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q ：2≤x ≤3；若p ∧q 为真，则p 真且q 真，∴2≤x <3，故x 的取值范围是[2，3)．(2)设A ＝{x |a ＜x ＜3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，∵p 是q 成立的必要不充分条件，∴BA .∴⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜2，3a ＞3，即1＜a ＜2， ∴实数a 的取值范围是(1，2)．18．已知命题p ：指数函数y ＝(1－a )x 是R 上的增函数，命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数a 的取值范围．解：命题p 为真命题时，1－a >1，即a <0，命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解；当a ＝0时，2x －1>0有解；当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解，∴Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0.从而不等式ax 2＋2x －1>0有解时a >－1.又命题q 是假命题，∴a ≤－1.∴p 是真命题，q 是假命题时，a 的取值范围是(－∞，－1]．19．已知集合A 是函数y ＝lg(20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a >0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B .(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若¬p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |－2<x <10}，B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }．若A ∩B ＝∅，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥10，1－a ≤－2，a >0，解得a ≥9，所以a 的取值范围是a ≥9.(2)易得¬p ：x ≥10或x ≤－2.∵¬p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x ≥10或x ≤－2}是B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }的真子集，即⎩⎪⎨⎪⎧10≥1＋a ，－2≤1－a ，a >0，解得0<a ≤3， ∴a 的取值范围是0<a ≤3.。
第一章 集合与常用逻辑用语专题2 命题及其关系、充分条件和必要条件考点1 命题及其关系1. 【2020年高考全国Ⅱ卷文理16】设有下列四个命题： 1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面．3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． 4p ：若直线⊂l 平面α，直线⊥m 平面α，则l m ⊥．则下述命题中所有真命题的序号是 ． ①41p p ∧②21p p ∧③32p p ∨⌝④ 43p p ⌝∨⌝2. 【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p pD ．24,p p3.【2018年高考北京理数】能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．考点2 充分条件和必要条件1.【2020年高考浙江卷】已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.【2019年高考浙江】若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3.【2019年高考天津理数】设x∈R，则“250x x-<”是“|1|1x-<”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面5.【2019年高考北京理数】设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“||||AB AC BC+>”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.【2018年高考浙江】已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7.【2018年高考天津理数】设x∈R，则“11||22x-<”是“31x<”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.【2018年高考北京理数】设a，b均为单位向量，则“33-=+a b a b”是“a⊥b”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9. 【2017年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10. 【2017年高考北京理数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11. 【2016天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件。
一、选择题1.下列命题为真命题的是（）A.若|x|=L 贝ij x=lB.若§V1，贝球＞1C.若x=y,贝'J log,/x=log6/yD.若» = log2x,则川r|）是偶函数2.（2011-高考山东卷）己知a, b, ceR,命题“若a+b+c =3,则a+b2+c2^3v的否命题是（）A.若i+Z?+c尹3,则€/2+/?2+（?2<3B.若o+A+c=3,则6Z24-/?2+C2<3C.若o+Z?+c乂3,则a2b2D.若6Z2+£>2+C2^3?则a~\~b~\~c=33.（2011-高考天津卷）设尤，yER,则“尤》2且yN2”是“户的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设Q、月为两个不同的平面，/、所为两条不同的直线，且lu以,mug,有如下的两个命题：①若a〃月，则/〃m；②若/_Le则a_L0.那么（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题5.(2012-福州质检)若集合A=(X\2<X<3}9B=(X|(X+2).(X —Q)V0},贝lj "1=1” 是“AC1B=0” 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题6.在命题“若m>-n,则以2〉〃2，，的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是个.7._____ 在△A3C中“屈・At=0”是AABC为直角三角形”的____ 条件.8.(2012 .三明调研)给定下列命题：%1若k>0,则方程x,-\~2x—k=。
有实数根；%1“若a>b,则a+c>b+c v的否命题；%1“矩形的对角线相等”的逆命题；%1“若疽+疽=。
，则Q, b全为0”的逆否命题. 其中真命题的序号是.二、解答题9.已知命题P：“若QC'O,则一元二次方程ax^-\-bx-\~c=。
命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．考点一 四种命题及其真假判断[典例] (2019·菏泽模拟)有以下命题： ①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中真命题是( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③[解析] ①原命题的逆命题为“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故①②③正确．[答案] D [题组训练]1．(2019·长春质监)命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( ) A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：选D 命题的形式是“若p ，则q ”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q ，则非p ”的形式，所以“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1”．2．已知集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，记原命题：“x ∈P ，则x ∈Q ”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C 因为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k ＋12，k ∈Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝2k ＋12，k ∈Z ，Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2，k ∈Z ，所以P Q ，所以原命题“x ∈P ，则x ∈Q ”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x ∈Q ，则x ∈P ”为假命题， 则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.考点二 充分、必要条件的判断[典例] (1)(2019·湖北八校联考)若a ，b ，c ，d ∈R ，则“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)已知p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)定义法当a ＝－1，b ＝0，c ＝3，d ＝4时，a ＋d ＝b ＋c ，但此时a ，b ，c ，d 不成等差数列；而当a ，b ，c ，d 依次成等差数列时，由等差数列的性质知a ＋d ＝b ＋c .所以“a ＋d ＝b ＋c ”是“a ，b ，c ，d 依次成等差数列”的必要不充分条件，故选B.(2)集合法由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1，则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1， 当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． (3)等价转化法因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以非p ：x ＋y ＝－2，非q ：x ＝－1且y ＝－1，因为非q ⇒非p 但非p非q ，所以非q 是非p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件．[答案] (1)B (2)A (3)A[提醒] 判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，要注意“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不必要条件是B ”的区别，要正确理解“p 的一个充分不必要条件是q ”的含义．[题组训练]1.[集合法]已知x ∈R ，则“x <1”是“x 2<1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若x 2<1，则－1<x <1，∵(－∞，1)⊇(－1,1)，∴“x <1”是“x 2<1”的必要不充分条件．2.[定义法](2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 设m ，n 的夹角为θ，若m ，n 的夹角为钝角，则π2<θ<π，则cos θ<0，则m·n <0成立；当θ＝π时，m·n ＝－|m |·|n |<0成立，但m ，n 的夹角不为钝角．故“m·n <0”是“m 与n 的夹角为钝角”的必要不充分条件．3.[等价转化法]“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设p ：xy ≠1，q ：x ≠1或y ≠1， 则非p ：xy ＝1，非q ：x ＝1且y ＝1. 可知非q ⇒非p ，非p非q ，即非q 是非p 的充分不必要条件．故p 是q 的充分不必要条件，即“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的充分不必要条件．考点三 根据充分、必要条件求参数的范围[典例] 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围是________．[解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，所以P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] [0,3][变透练清]1.[变结论]若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， 所以{ 1－m ＝－2，＋m ＝10，解得{ m ＝3，m ＝9，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2.(变条件)若本例将条件“若x ∈P 是x ∈S 的必要条件”变为“若非P 是非S 的必要不充分条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵非P 是非S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．[课时跟踪检测]1．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：选B 命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．2．命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( ) A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：选B当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋b i(a，b∈R)，则z2＝a－b i，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，所以原命题为真，故其逆否命题为真．取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，所以其逆命题为假，故其否命题也为假．4．(2018·北京高考)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B a，b，c，d是非零实数，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列(可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．5．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③解析：选A本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．6．(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b .因为a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1， 所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b 得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 7．如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．8．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.9．在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．解析：由A ＝B ，得tan A ＝tan B ，反之，若tan A ＝tan B ，则A ＝B ＋k π，k ∈Z.∵0＜A ＜π，0<B <π，∴A ＝B ，故“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的充要条件．答案：充要10．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.答案：311．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围为[3,8)． 答案：[3,8)12．(2019·齐鲁名校调研)给出下列说法：①“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是假命题；②“在△ABC 中，sin B >sin C 是B >C 的充要条件”是真命题；③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 以上说法正确的是________(填序号)．解析：对于①，“若x ＋y ＝π2，则sin x ＝cos y ”的逆命题是“若sin x ＝cos y ，则x ＋y＝π2”，当x ＝0，y ＝3π2时，有sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ＝3π2，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC 中，由正弦定理得sin B >sin C ⇔b >c ⇔B >C ，②正确；对于③，“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．答案：①②④13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p ∨q 真⇔p ，q 至少一个真⇔(非p )∧(非q)假． (2)p ∨q 假⇔p ，q 均假⇔(非p )∧(非q)真． (3)p ∧q 真⇔p ，q 均真⇔(非p )∨(非q)假． (4)p ∧q 假⇔p ，q 至少一个假⇔(非p )∨(非q)真． 考点一 判断含有逻辑联结词命题的真假[典例] (1)(2017·山东高考)已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧非qC ．非p ∧qD ．非p ∧非q(2)(2019·安徽安庆模拟)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0>3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2>2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(非q )B ．(非p )∧qC ．p ∧qD ．(非p )∨q[解析] (1)当x >0时，x ＋1>1，因此ln(x ＋1)>0，即p 为真命题；取a ＝1，b ＝－2，这时满足a >b ，显然a 2>b 2不成立，因此q 为假命题．由复合命题的真假性，知B 为真命题．(2)对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174>3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x20成立，故命题q为假命题，所以p∧(非q)为真命题，故选A.[答案](1)B(2)A[题组训练]1．(2019·惠州调研)已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p∧q是真命题．必要性：p∧q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题．所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件．2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是()A．p∨(非q) B．p∨qC．p∧q D．(非p)∧(非q)解析：选B若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x ＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题．考点二全称命题与特称命题[典例](1)命题∀x∈R，e x－x－1≥0的否定是()A．∀x∈R，e x－x－1≤0B．∀x∈R，e x－x－1≥0C．∃x0∈R，e x0－x0－1≤0D．∃x0∈R，e x0－x0－1<0(2)对命题∃x0>0，x20>2x0，下列说法正确的是()A．真命题，其否定是∃x0≤0，x20≤2x0B．假命题，其否定是∀x>0，x2≤2xC．真命题，其否定是∀x>0，x2≤2xD．真命题，其否定是∀x≤0，x2≤2x[解析](1)改全称量词为存在量词，把不等式中的大于或等于改为小于．故选D.(2)已知命题是真命题，如32＝9>8＝23，其否定是∀x>0，x2≤2x.故选C.[答案](1)D(2)C[题组训练]1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n>x20D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20解析：选D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20”．2．已知命题p：∃n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．(非p)∧qC．p∧(非q) D．(非p)∧(非q)解析：选C当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则非p是假命题；“∃x0∈R，x20＋2>3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，非q是真命题．所以p∧q，(非p)∧q，(非p)∧(非q)均为假命题，p∧(非q)为真命题，选C.考点三根据命题的真假求参数的取值范围[典例]已知p：存在x0∈R，mx20＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若p或q为假命题，求实数m的取值范围．[解]依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，则mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则Δ＝m2－4<0，－2<m<2.因此由p，q均为假命题得{m≥0，m≤－2或m≥2，即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．[变透练清]1.(变条件)若本例将条件“p或q为假命题”变为“p且q为真命题”，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当p 是真命题时，有m <0；当q 是真命题时，有－2<m <2，由⎩⎪⎨⎪⎧m <0，－2<m <2，可得－2<m <0. 所以m 的取值范围为(－2,0)．答案：(－2,0)2.(变条件)若本例将条件“p 或q 为假命题”变为“p 且q 为假，p 或q 为真”，其他条件不变，则实数m 的取值范围为________．解析：若p 且q 为假，p 或q 为真，则p ，q 一真一假．当p 真q 假时⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，m ≥2或m ≤－2，所以m ≤－2； 当p 假q 真时⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2<m <2，所以0≤m <2. 所以m 的取值范围为(－∞，－2]∪[0,2)．答案：(－∞，－2]∪[0,2)3.(变条件)若本例将条件q 变为：存在x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0，其他条件不变，则实数m的取值范围为________．解析：依题意，当q 是真命题时，Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，－2≤m ≤2，得0≤m ≤2， 所以m 的取值范围为[0,2]．答案：[0,2][课时跟踪检测]1．(2019·西安摸底)命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是( ) A ．∃x 0≥0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1 C ．∀x >0，x x －1≤0 D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：选B ∵x x －1>0，∴x <0或x >1，∴x x －1>0的否定是0≤x ≤1， ∴命题的否定是“∃x 0>0,0≤x 0≤1”．2．下列命题中，假命题的是( )A ．∀x ∈R,21－x >0 B ．∃a 0∈R ，y ＝xa 0的图象关于y 轴对称C ．函数y ＝x a 的图象经过第四象限D ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切 解析：选C 对于A ，由指数函数的性质可知为真命题；对于B ，当a ＝2时，其图象关于y 轴对称；对于C ，当x >0时，y >0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D ，因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，命题成立． 3．(2019·陕西质检)已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q)C ．(非p )∧qD ．p ∧(非q)解析：选D 由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 为假命题．由复合命题真值表可知p ∧(非q)为真命题．4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )A ．“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B ．命题p ：∀x ∈R,2x >0，则非p ：∃x 0∈R,2x0<0C ．命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D ．“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析：选A 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确．对于选项B ，全称命题的否定是特称命题，所以命题p ：∀x ∈R,2x >0的否定是非p ：∃x 0∈R,2x 0≤0，故B 错误．对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然是假命题，故C 错误．对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误．故选A.5．(2019·唐山五校联考)已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；命题q ：∃x 0∈R ，|x 0＋1|≤x 0，则( )A ．(非p )∨q 为真命题B ．p ∧(非q)为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题 解析：选D 由题意可知命题p 为真命题．因为|x ＋1|≤x 的解集为空集，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 为真命题．6．下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若命题p ：存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则非p ：对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0C ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22”的充要条件D ．已知命题p 和q ，若“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 中必一真一假解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A 正确；由特称命题的否定知B 正确；由xy ≥⎝⎛⎭⎫x ＋y 22⇔4xy ≥(x ＋y )2⇔4xy ≥x 2＋y 2＋2xy ⇔(x －y )2≤0⇔x ＝y ，知C 正确；对于D ，命题“p 或q ”为假命题，则命题p 与q 均为假命题，所以D 不正确．7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(0,4]C ．(－∞，4]D ．[0,4)解析：选C 当原命题为真命题时，a >0且Δ<0，所以a >4，故当原命题为假命题时，a ≤4.8．下列命题为假命题的是( )A ．存在x >y >0，使得ln x ＋ln y <0B ．“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件 C ．∃x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立D ．已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，则α∥β解析：选C 对于A 选项，令x ＝1，y ＝1e，则ln x ＋ln y ＝－1<0成立，故排除A.对于B 选项，“φ＝π2”是“函数y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C 选项，根据幂函数y ＝x α，当α<0时，函数单调递减，故不存在x 0∈(－∞，0)，使3x 0<4x 0成立，故C 错误．对于D 选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m ，n 满足m ⊂α，n ⊂β且m ∥β，n ∥α，可过n 作一个平面与平面α相交于直线n ′.由线面平行的性质定理可得n ′∥n ，再由线面平行的判定定理可得n ′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α∥β，故排除D ，选C.9．若命题p 的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，x ＞x ＋1”，则命题p 可写为________________________．解析：因为p 是非p 的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可． 答案：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0≤x 0＋110．已知命题p ：x 2＋4x ＋3≥0，q ：x ∈Z ，且“p ∧q ”与“非q ”同时为假命题，则 x ＝________.解析：若p 为真，则x ≥－1或x ≤－3，因为“非q ”为假，则q 为真，即x ∈Z ，又因为“p ∧q ”为假，所以p 为假，故－3＜x ＜－1，由题意，得x ＝－2.答案：－211．已知p ：a <0，q ：a 2>a ，则非p 是非q 的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：由题意得非p ：a ≥0，非q ：a 2≤a ，即0≤a ≤1.因为{a |0≤a ≤1}{a |a ≥0}，所以非p 是非q 的必要不充分条件．答案：必要不充分12．已知命题p ：a 2≥0(a ∈R)，命题q ：函数f (x )＝x 2－x 在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③(非p )∧(非q)；④(非p )∨q.其中为假命题的序号为________．解析：显然命题p 为真命题，非p 为假命题．∵f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14， ∴函数f (x )在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增．∴命题q 为假命题，非q 为真命题．∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，(非p )∧(非q)为假命题，(非p )∨q 为假命题． 答案：②③④13．设t ∈R ，已知命题p ：函数f (x )＝x 2－2tx ＋1有零点；命题q ：∀x ∈[1，＋∞)， 1x－x ≤4t 2－1.(1)当t ＝1时，判断命题q 的真假；(2)若p ∨q 为假命题，求t 的取值范围．解：(1)当t ＝1时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ＝0，1x－x ≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q 为真命题． (2)若p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题．当p 为假命题时，Δ＝(－2t )2－4<0，解得－1<t <1；当q 为真命题时，⎝⎛⎭⎫1x －x max ≤4t 2－1，即4t 2－1≥0， 解得t ≤－12或t ≥12， ∴当q 为假命题时，－12<t <12， ∴t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12.。
第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．()2．命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋c>b＋c，则a>bD．若a>b，则a＋c≤b＋c3．在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点一四种命题的相互关系及真假判断1．(2018·武汉模拟)对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列叙述正确的是() A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是()A．[－3,3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[－1,1]。
高考数学复习（2） 命题及其关系、充分条件与必要条件 1. (2018·海门中学高三测试)已知命题p：“若|a|＝|b|，则a≠b”，命题q：“若a＝b，则|a|≠|b|”，则p是q的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”) 答案：逆否命题 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：若(2x－1)x＝0，则x＝12或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x－1)x＝0.故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 3．已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的________条件． 解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，所以m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 4．(2018·南京模拟)有下列命题： ①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题； ②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，假命题． ②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题． ③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，真命题． 答案：②③ 5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为__________________________． 解析：由x>5是x>a的充分条件知，{x|x>5}⊆{x|x>a}，所以a≤5. 答案：(－∞，5] 6．(2018·苏州中学检测)已知集合A＝{x|x(x－3)<0}，B＝{x||x－1|<2}，则“x∈A”是“x∈B”的________条件． 解析：因为集合A＝(0,3)，集合B＝(－1,3)，所以“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 二保高考，全练题型做到高考达标 1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________________． 解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”． 答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数” 2．(2018·南通中学高三测试)已知a，b都是实数，命题p：a＋b＝2；命题q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切，则p是q的________条件． 解析：圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的圆心为(a，b)，半径r＝2，直线x＋y＝0与圆相切，则圆心到直线
命题及其关系、充分条件与必要条件训练题一、题点全面练1．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A “若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，所以原命题的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.2．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 3．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题； ②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 解析：选C ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．所以真命题的序号是②③.4．设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由A ∩B ＝A 可得A ⊆B ，由A ⊆B 可得A ∩B ＝A .所以“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．故选C.5．(2019·西城区模拟)设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由b ＝c ，得b －c ＝0，得a ·(b －c )＝0；反之不成立．故“a ·(b －c )＝0”是“b ＝c ”的必要不充分条件．6．(2019·抚州七校联考)A ，B ，C 三个学生参加了一次考试，A ，B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题p ：若及格分低于70分，则A ，B ，C 都没有及格．则下列四个命题中为p 的逆否命题的是( )A ．若及格分不低于70分，则A ，B ，C 都及格B ．若A ，B ，C 都及格，则及格分不低于70分C ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分D ．若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选C 根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p 的逆否命题是若A ，B ，C 至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.7．(2019·湘东五校联考)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m >14B ．0＜m ＜1C ．m >0D ．m >1 解析：选C 若不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m >14，因此当不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立时，必有m >0，但当m >0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m >0.8．(2019·安阳模拟)设p ：f (x )＝e x ＋2x 2＋mx ＋1在[0，＋∞)上单调递增，q ：m ＋5≥0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，只需f ′(x )＝e x ＋4x ＋m ≥0在[0，＋∞)上恒成立，又因为f ′(x )＝e x＋4x ＋m 在[0，＋∞)上单调递增，所以f ′(0)＝1＋m ≥0，即m ≥－1，故p 是q 的充分不必要条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α，β是两个不同的平面，直线l ⊂β，则“α∥β”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ∵α，β是两个不同的平面，直线l ⊂β，则“α∥β”⇒“l ∥α”，反之不成立，∴α，β是两个不同的平面，直线l ⊂β，则“α∥β”是“l ∥α”的充分不必要条件．故选A.2．(2019·太原模拟)“m ＝2”是“函数y ＝|cos mx |(m ∈R)的最小正周期为π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ∵当函数y ＝|cos mx |(m ∈R)的最小正周期为π2时，m ＝±2，∴“m ＝2”是“函数y ＝|cos mx |(m ∈R)的最小正周期为π2”的充分不必要条件． 3．“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_______________________________． 解析：原命题可改写为“若函数是单调函数，则函数不是周期函数”，故其逆否命题是“若函数是周期函数，则函数不是单调函数”，简化为“周期函数不是单调函数”．答案：周期函数不是单调函数(二)素养专练——学会更学通4．[逻辑推理]若命题A 的逆命题为B ，命题A 的否命题为C ，则B 是C 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．都不对解析：选C 根据题意，设命题A 为“若p ，则q ”，则命题B 为“若q ，则p ”，命题C 为“若綈p ，则綈q ”，显然，B 与C 是互为逆否命题．故选C.5．[逻辑推理]若a ，b 都是正整数，则a ＋b >ab 成立的充要条件是( )A ．a ＝b ＝1B ．a ，b 至少有一个为1C ．a ＝b ＝2D ．a >1且b >1解析：选B ∵a ＋b >ab ，∴(a －1)(b －1)＜1.∵a ，b ∈N *，∴(a －1)(b －1)∈N ，∴(a －1)(b －1)＝0，∴a ＝1或b ＝1.故选B.6．[数学运算]圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是( )A ．k ≤－22或k ≥2 2B ．k ≤－2 2C ．k ≥2D ．k ≤－22或k >2解析：选B 若直线与圆有公共点，则圆心(0,0)到直线kx －y －3＝0的距离d ＝|－3|k 2＋1≤1，即 k 2＋1≥3，∴k 2＋1≥9，即k 2≥8，∴k ≥22或k ≤－22，∴圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx －3有公共点的充分不必要条件是k ≤－22，故选B.7．[数学运算]方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根的充要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＜－1C ．－1＜a ＜0D ．a >－1 解析：选B ∵方程x 2－2x ＋a ＋1＝0有一正一负两实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－a ＋，a ＋1＜0，解得a ＜－1.故选B.8．[数学抽象]能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．解析：设f (x )＝sin x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2上是减函数．由正弦函数图象的对称性知，当x ∈(0,2]时，f (x )>f (0)＝sin 0＝0，故f (x )＝sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立，但f (x )在[0,2]上不一直都是增函数．答案：f (x )＝sin x (答案不唯一)。
第2节命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p[1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)“x 2＋2x －3<0”是命题.( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则綈q ”.( ) (3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件.( )(4)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”.( )2.(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1 C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π43.(选修2－1P8AT2(1)改编)“若a ，b 都是偶数，则ab 必是偶数”的逆否命题为________. 解析 “a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”.4.(2018·天津卷)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.解析 a >b >c ，取a ＝－2，b ＝－4，c ＝－5， 则a ＋b ＝－6<c .6.(2019·安徽江南十校联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的______条件.考点一命题及其关系【例1】(1)(2019·郑州模拟)下列说法正确的是()A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4 x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.【训练1】(1)(2018·肇庆一诊)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是()A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”(2)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m<sin x(x∈R)恒成立.若p的逆命题，q的逆否命题都是真命题，则实数a的取值范围是________.考点二充分条件与必要条件的判定【例2】(1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2mx ＋1，x ≥0，－x －1x ，x <0.则“m >1是f [f (－1)]>4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件规律方法 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断.(2)集合法：根据使p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2019·佛山质检)已知函数f (x )＝3x －3－x ，∀a ，b ∈R ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点三 充分条件、必要条件的应用典例迁移【例3】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.【迁移探究2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且⌝p 是⌝q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.规律方法充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】(2018·浏阳三校联考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.[思维升华]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.[易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2019·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是()A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤bC.若a＋c>b＋c，则a>bD.若a>b，则a＋c≤b＋c2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是()A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b24.(2018·成都诊断)命题p：cos θ＝22，命题q：tan θ＝1，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.4个6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且⌝q的一个充分不必要条件是⌝p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]7.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”二、填空题9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.12.(2019·湖南师大附中月考)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2017·浙江卷)已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x－ax－a－1>0，且⌝q的一个必要不充分条件是⌝p，则a的取值范围是()A.[－3，0]B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)C.(－3，0)D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)15.若不等式m－1<x<m＋1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数m的取值范围是________.16.“a＝1”是“函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数”的__________条件.。
专题02 命题及其关系、充分条件与必要条件 1．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A．a>b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 3．给定下列三个命题： p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数； p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2<0； p3：cosα＝cosβ成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)． 则下列命题中的真命题为( ) A．p1∨p2 B．p2∨綈p3 C．p1∨綈p3 D．綈p2∧p3 4．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x||x－a|<1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设函数f(x)＝log2x，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知p：x≥k，q：3x＋1<1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，－1] 8．已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“若a，b∈R＋，a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
专题2 命题及其关系、充分条件与必要条件（原卷）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知条件p:|x −1|≤2，条件q:x >a ，且满足q 是p 的必要不充分条件，则( )A. a >3B. a ≤−1C. a >−1D. a <−12. 给出下列四个命题：①若x ∈A ∩B ，则x ∈A 或x ∈B ；，都有x 2>2x ；③若a,b 是实数，则a >b 是a 2>b 2的充分不必要条件；④“∃x 0∈R,x 02+2>3x 0”的否定是“∀x ∈R,x 2+2≤3x ”. 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 43. 给出以下几个结论：①命题p:∀x ∈R,1−x 2≤1 ，则；②命题“若(x −1)e x +1=0 ，则x =0”的逆否命题为：“若x ≠0，则(x −1)e x +1≠0”；③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④若0<x <π2，则sinx +4sinx 的最小值为4； 其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 下列有关命题的说法正确的是( )A. 命题若“x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”B. “x =−1”是“x 2−5x −6=0”的必要不充分条件C. 命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为真命题D. 命题“∃x 0∈R 使得x 02+x 0+1< 0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2+x +1<0”5.下列命题中，真命题的个数为()①“∀x∈R，x2≥0”的否定为“∃x0∉R，x02<0”；②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充要条件；③命题“若m≤1，则关于x的方程mx2+2x+2=0有实数根”的否命题．2A. 0B. 1C. 2D. 36.下列有关命题的叙述，错误的个数为()①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题②“x>5”是“x2−4x−5>0”的充分不必要条件③若命题p:∃x0∈R，使得x02+x0−1<0，则¬p:∀x∈R使的x2+x−1≥0④命题“若x2−3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2−3x+2≠0”A. 1B. 2C. 3D. 47.设a，b∈R，则“ab+4≠2a+2b”的充要条件是()A. a，b不都为2B. a，b都不为2C. a，b中至多有一个是2D. a，b都不为08.下列说法中错误的是()A. 命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2−3x+2≠0”；B. “x>2”是“x2−3x+2>0”的充分不必要条件；C. 已知命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0(a∈R)，命题q：∃x0∈N∗，2x02−1≤0，则p∨q为假命题。
