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城郊初中2018-2019学年度第一学期八年级数学竞赛试卷（答案）一．选择题（每小题4分，共8小题满分32分）1．7条长度均为正整数的线段a1、a2、……、a7满足a1＜a2＜……＜a7，且这7条线段中的任意三条都不能构成三角形，则a7的最小值为（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：因为三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，而且7条长度不同，但都是整数的线段．设最短的一条长1，则第二条线段长为2，所以只要满足任意两条线段之和等于下一个数字即可，此时最长的线段也最短，2+1=3 3+2=5 5+3=8 8+5=13 13+8=21即这七条线段为：1，2，3，5，8，13，21，任意三条都不能作为边构成三角形，所以a7的最小值为21，故选：C．2．下列说法中，正确的个数是（）①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．所以正确的有1个．故选：A．3．在△ABC中，如果∠A﹣∠B=90°，那么△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上三种都可能【解答】解：∵∠A﹣∠B=90°，∴∠A=90°+∠B，∴∠A大于90°．根据三角形性质可知大于90°的角为钝角，∴此三角形为钝角三角形．故选：B．4．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等∴x+y+z=，∵y+z＞x ∴可得x ＜，又因为x 为最长边大于∴x ≥综上可得≤x ＜故选：A．5．已知一个圆的半径为Rcm，若这个圆的半径增加2cm，则它的面积增加（）A．4cm2B．（2R+4）cm2C．（4R+4）cm2D．以上都不对【解答】解：∵S2﹣S1=π（R+2）2﹣πR2，=π（R+2﹣R）（R+2+R），=4π（R+1），∴它的面积增加4π（R+1）cm2．故选：D．6．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3=120°，180°﹣120°=60°，正五边形的每一个内角=（5﹣2）•180°÷5=108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°=48°．故选：D．7．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点【解答】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：A．8.为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22011+22012,则2S=2+22+23+24+…+22012+22013,因此2S﹣S=22013﹣1,所以1+22+23+…+22012=22013﹣1,仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C ．D ．【解答】解：令S=1+5+52+53+ (52012)则5S=5+52+53+…+52012+52013，5S﹣S=﹣1+52013，4S=52013﹣1，则S=．故选：D．二．填空题（每小题4分，共8小题满分32分）9．314×（﹣）7= ﹣1 ．【解答】解：314×（﹣）7=（32）7×（﹣）7=（﹣×9）7=（﹣1）7=﹣1，10．若一个三角形的三边长分别是m+2，10，2m﹣1，则m的取值范围为3＜m＜13 ．【解答】解：根据三角形的三边关系，得即，解不等式组得，3＜m＜13．11．如图，△AOB≌△COD，∠B=29°，∠C=90°，则∠COD的度数是61°．【解答】解：∵△AOB≌△COD，∠B=29°，∴∠D=∠B=29°，∵∠C=90°，∴∠COD=180°﹣∠C﹣∠D=180°﹣90°﹣29°=61°，故答案为：61°．12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB=CD，∠C=20°，那么∠A= 40 度．【解答】解：连接DB，∵DE是边BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C，∴∠BDA=2∠C，∵AB=CD，DB=DC，∴BA=BD，∴∠A=∠BDA，∴∠A=2∠C，∵∠C=20°，∴∠A=40°，故答案为40．13．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α= 120 度．【解答】解：∵840÷180=4…120，∴这个多边形的边数为：4+2=6，α=120°，故答案为：六；120．14．如图，把一个三角尺的直角顶点D放置在△ABC内，使它的两条直角边DE，DF分别经过点B，C，如果∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= 60°．【解答】解：∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°，∵∠D=90°，∴∠DBC+∠DCB=90°，∴∠DBA+∠DCA=150°﹣90°=60°．故答案为：60°．15．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4．若BC=21，则点D到AB边的距离为9 ．【解答】解：如图，∵CD：BD=3：4．设CD=3x，则BD=4x，∴BC=CD+BD=7x，∵BC=21，∴7x=21，∴x=3，∴CD=9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=9，∴点D到AB边的距离是9，故答案为：9．16．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为48【解答】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，∴S四边形ODFC=S梯形ABEO =（AB+OE ）•BE=（10+6）×6=48．故答案为48．三．解答题（共6小题满分56分）17．（8分）如图，在△ABC中，∠BFE=∠BDC，∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．【解答】解：∵∠BFE=∠BDC，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC，∴∠ACB=∠3=115°．18．（8分）如图，在等边三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分相交于点O，BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E、F，判断△OEF的形状，并说明理由．【解答】解：△OEF是等边三角形，∵E为BO垂直平分线上的点，且∠OBC=30°，∴BE=OE，∠EBO=∠EOB=30°，∴∠OEF=∠EBO+∠EOB=60°，同理，∠OFE=∠FCO+∠FOC=60°，∴△OEF为等边三角形，19.(10分)如图，点M是线段AB中点，AD、BC交于点N，连接AC、BD、MC、MD，∠l=∠2，∠3=∠4．（1）求证：△AMD≌△BMC；（2）图中在不添加新的字母的情况下，请写出除了“△AMD≌△BMC”以外的所有全等三角形，并选出其中一对进行证明．【解答】（1）解：∵点M是AB中点，∴AM=BM，∵∠1=∠2，∴∠AMD=∠BMC，在△AMD和△BMC中，，∴△AMD≌△MBC（ASA）；（2）△AMC≌△BMD，△ABC≌△BAD，△ACN≌△BDN．理由：∵△AMD≌△MBC，∴AD=BC，∵∠3=∠4，AB=BA，∴△BAD≌△ABC（SAS），∴AC=BD，∠BDN=∠ACN，∵∠ANC=∠BND，∴△ANC≌△BND（AAS），∵AC=BD，∠CAM=∠DBM，AM=BM，∴△AMC≌△BMD（SAS）．20．(10分)近年来，为减少空气污染，北京市一些农村地区实施了煤改气工程，某燃气公司要从燃气站点A向B，C两村铺设天然气管道，经测量得知燃气站点A到B村距离约3千米，到 C村距离约4千米，B，C两村间距离约5千米．下面是施工部门设计的三种铺设管道方案示意图．请你通过计算说明在不考虑其它因素的情况下，下面哪个方案所用管道最短。
EDFEG1. 如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，AD 是角平分线，E 是 BC 边的中点，EF ⊥AD 于点 F ，CG ⊥AD 于点 G ， 3若 tan ∠CAD= 4，AB ＝20，则线段 EF 的长为GEDC2. 如图，在△ABC 中，tan ∠ACB=3，点D 、E 在 BC 边上，∠DAE ＝ 1∠BAC ，∠ACB ＝∠DAE ＋∠B ，点2F 在线段 AE 的延长线上，AF ＝AD ，若 CD ＝4，CF ＝2，则 AC 边的长为3. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，点 D 、E 分别在 AB 、AC 边上，BD=CE=BC ，点 F 在 BC 边上，DF 与 BE 1交于点 G 。
若 BG=1，∠BDF= 2 ∠ACB ，则线段 EG 的长为D4. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，角平分线 BD 、CE 交于点 F ，若 BC ＝3CD ，BF ＝2，则 BC 边的长为EB5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝45°，点 E 在射线 BD 上，AE//CD ，AE ＝DE ，若 BD ＝1，CD ＝ 5，则 AE 的长为6. 如图，△ABC 中，∠AB ＝90°，CD 是 AB 边上的中线，点 F 在线段 AD 上，点 F 在 CD 延长线上，AE ＝ DF ，连接 CE 、BF ，若∠AEC ＝∠DFB ，AC ＝ 2 3 ，DF ＝ 1，则线段 CE 的长为A B7. 如图，在等边△ABC 中，D 为 AB 边上一点，连接 CD ，在 CD 上取一点E ，连接BE ，∠BED ＝60°，若3CE ＝5，△ACD 的面积为35 43 ，则线段 DB 的长为B8. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，点 D 是 AB 的中点，DE//BC ， 点 F 为 BC 上一动点，连接 AF 交 DG 于 E ，∠AEC 恰好为 90°，连接 CE ，当 DE ＝2 时，线段AB 的长为BFC9. 如图，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，点C 为∠ADB 的角平分线上一点，连接 AC 、DC ，过点 A 作DB 的 平行线，分别交 DC 、BC 于点E 、F ，若 BE ＝BF ，AC ＝ 2 5 ，则 AE 的长为N10. 已知：在△ABC 中，∠ACB ＝2∠ABC ，AD 为∠BAC 的平分线，E 为线段 AC 上一点，DE ＝DB ，过E 作 AD 的垂线交直线AB 于 F ，取BF 的中点 M ，连接 DM 。
初中几何证明中考压轴全国初中数学联赛必做100题第一部一、想一想、思一思、多种方法全等证明之割补法，（截取或延长）。
例1、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，点E是BC中点，∠BAE=∠CDE ，求证：AB=CD证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∵点E是BC的中点，∴BE=CE=CF，在△BAE和△CDF中∠BAE＝∠CDF∠3＝∠4BE＝CF∴△BAE≌△CDF（AAS），∴AB=CD．证明二：延长DE到G，使BE＝BG证明三：延长DE到G，使AB＝BG例2、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，点E是BC上一点，BE=k·EC，∠BAE=∠CDE ，猜想 AB、CD 的数量关系.证明：把CE绕C点顺时针旋转交DE于F，如图，∴CE=CF，∴∠1=∠2，∴∠4=∠3，∴△BAE∽△CDF∴AB= k·CD例3、（想一想、思一思、多种方法全等）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E. 想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.答：PE=PA，理由如下：证明：过点P作PM⊥AC，垂足为M，过点P作PN⊥CD，垂足为N，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵CD∥BA，∴∠B=∠BCN=45°，∴∠ACB=∠BCN=45°，∵PM⊥AC，PN⊥CD，∴PM=PN，∵∠PMC=∠PNC=90°，∠ACB=∠BCN=45°，∴△PMC与△PNC都为等腰直角三角形，∴∠MPC=∠NPC=45°，即∠MPN=90°，∵∠APE=90°，∴∠APE-∠MPE=∠MPN-∠MPE，即∠APM=∠EPN，在△APM和△EPN中，∠AMP＝∠EPN＝90°PM＝PN∠APM＝∠EPN∴△APM≌△EPN（ASA），∴AP=EP．例4、（想一想、思一思、多种方法相似）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= k·AC,CD∥BA，，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.想一想、思一思、咱来探究PE与PA的数量关系.证明：连接AE∵∠APE＝∠ACE＝90°∴AＰＣＥ四点共圆∴∠AＣＰ＝∠AEＰ∴△ＡＢＣ∽△ＰＡＥ∴k·ＰＥ＝ＰＡ证明二：过点Ｐ作ＡＣ，ＣＤ垂线，垂足Ｆ、Ｇ∴△ＡＢＣ∽△ＦＰＣ△ＡＰＦ∽△ＥＰＧＰＧ＝ＣＦ∴k·ＰＥ＝ＰＡ如图，在△ABC中，AI为BC边上的中线。
第二题：证明四点共圆 (5)第三题：证明角的倍数关系 (6)第四题：证明线与圆相切 (7)第五题：证明垂直 (8)第六题：证明线段相等 (9)第七题：证明线段为比例中项 (10)第八题：证明垂直 (11)第九题：证明线段相等 (12)第十题：证明角平分 (13)第十一题：证明垂直 (14)第十二题：证明线段相等 (15)第十三题：证明角相等 (16)第十四题：证明中点 (17)第十五题：证明线段的二次等式 (18)第十六题：证明角平分 (19)第十七题：证明中点 (20)第十八题：证明角相等 (21)第十九题：证明中点 (22)第二十题：证明线段相等 (23)第二十一题：证明垂直 (24)第二十二题：证明角相等 (25)第二十三题：证明四点共圆 (26)第二十四题：证明两圆相切 (27)第二十五题：证明线段相等 (28)第二十六题：证明四条线段相等 (29)第二十七题：证明线段比例等式 (30)第二十八题：证明角的倍数关系 (31)第二十九题：证明三线共点 (32)第三十题：证明平行 (33)第三十一题：证明线段相等 (34)第三十二题：证明四点共圆 (35)第三十三题：证明三角形相似 (36)第三十四题：证明角相等 (37)第三十五题：证明内心 (38)第三十六题：证明角平分 (39)第三十七题：证明垂直 (40)第三十八题：证明面积等式 (41)第三十九题：证明角平分 (42)第四十题：证明角相等 (43)第四十一题：证明中点 (44)第四十二题：证明中点 (45)第四十三题：证明角相等 (46)第四十四题：证明垂直 (47)第四十六题：证明垂直 (49)第四十七题：证明四点共圆 (50)第四十八题：证明四点共圆 (51)第四十九题：证明四点共圆 (52)第五十题：证明角平分 (53)第五十一题：证明线段相等 (54)第五十二题：证明两圆外切 (55)第五十三题：证明垂直 (56)第五十四题：证明垂直 (57)第五十五题：证明垂直 (58)第五十六题：证明垂直 (59)第五十七题：证中点 (60)第五十八题：证明角相等 (61)第五十九题：证明角相等 (62)第六十题：证明四点共圆 (63)第六十一题：证明四点共圆 (64)第六十二题：证明四点共圆 (65)第六十三题：证明角相等 (66)第六十四题：证明角的倍数关系 (67)第六十五题：证明中点 (68)第六十六题：伪旁切圆 (69)第六十七题：证明垂直 (70)第六十八题：证明平行 (71)第六十九题：证明圆心在某线上 (72)第七十题：证明三线共点 (73)第七十一题：证明垂直 (74)第七十二题：证明垂直 (75)第七十三题：证明中点 (76)第七十四题：证明垂直 (77)第七十五题：证明垂直 (78)第七十六题：证明三线共点 (79)第七十七题：证明平行 (80)第七十八题：证明平行 (81)第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82)第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83)第八十一题：证明角平分 (84)第八十二题：证明角相等 (85)第八十三题：证明三点共线 (86)第八十四题：证明四圆共点 (87)第八十五题：证明角平分 (88)第八十六题：证明线段相等 (89)第八十七题：证明角相等 (90)第八十八题：证明线段相等 (91)第九十题：证明线段相等 (93)第九十一题：证明中点 (94)第九十二题：证明四点共圆 (95)第九十三题：证明西姆松定理及逆定理 (96)第九十四题：证明线段的和差关系等式 (97)第九十五题：证明角相等 (98)第九十六题：证明托勒密定理及逆定理 (99)第九十七题：证明线段的和差关系等式 (100)第九十八题：证明角相等 (101)第九十九题：证明四点共圆 (102)第一百题：证明两三角形共内心 (103)已知PE 、PF 是⊙ O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。
中考数学超百分特训--几何图形求极值类题目（教师版）1．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内.点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP 的最小值为.解析：作点P关于CE的对称点，P’，连接MP’,交CE于N，此时MP’=MN+NP，∴当MP’CD 时，MP’最小，连接DM交CE于H，则DM CE,DH=MH== ,CH= ,DM ・CH=CD・MP’∴MP’=∴MN+NP的最小值为2．如图，在矩形中，，，为中点，为上一动点，则的最小值为．解析：作点E关于CD的对称点，连接AE’，AF+EF的最小值即为AE’，CE’=CE=2，BE’=6,由勾股定理可得AE’=33．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是．解析：作点P关于AE的对称点P’，DQ＋PQ的最小值为DP’,而DP’与AC垂直时最小，所以DQ＋PQ的最小值是=44．如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为.解析：作点B关于AC的对称点，连接BC’，由，，可得∠BCA=30°，故△B’BC为等边形三角形，BP=B’P,当B’E BC时，B’E最小，此时B’E=6，故的最小值为6.5．已知：点E是正方形ABCD边上的一点，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段EA′，若AB＝2，则线段DA′的最小值为解析：过点D作DH CA’于H,在AB上取点F，使AF=CE，∠EAF=∠A’EC,AE=A’E,∴△EAF≌△A’EC∴∠AFE=∠A’CE∵AF=CE∴BF=BE,∴∠BFE=45°,∴∠AFE=∠A’CE=135°∴∠DCA’=45°,无论E点怎样运动，∠DCA’=45°保持不变，∴DA’的最小值即DH，DH==6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为.解析：连接AD，∵四边形AMDN为矩形，∴MN=AD，当AD最小时，即MN最小，当AD CB时，AD最小，此时AD==4.87．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是．解析：分别作点P关于OA、OB的对称点F、E，连接OE，OF，EN，FM，EF由对称可知OE=OP=OF，∠BOE=∠BOP，∠AOP=∠AOF,∴∠EOF=2∠AOB=60°,△EOF为边长是3的等边三角形，由对称可知，PN=EN，PM=FM,∴周长的最小值是EF，EF=38．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（）解析：分别作点C关于直线AB及Y轴的对称点M，N，连接AM，FN，EM，由对称知ME=CE，FN=CF，∴周长的最小值是MN；一次函数的图象与x轴夹角∠BAO=45度∴∠MAC=90°,AM=AC=2,∴M(-4,2)∵N(2,0)∴MN的解析式为y= - x+ ∴，9．如图，和都是等腰直角三角形，，，O为AC 中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是（）解析：连接CE，由题意可知△ACE≌△ABD，∴∠ABD=∠ACE=45°∴CE BC当OE CE时，OE最小，此时△OCE为等腰三角形，∵OC=2，∴OE=10．如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（）A．B．C．D．解析：过点P作AB的平行线，交AD于M，BC于N，作点B关于MN的对称点B’,连接AB’交MN 于P，AP+BP的最小值为AB’，∵，AD=BC=3∴BN=2，∴BB’=4∴AB’=∴AP+BP的最小值为11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（）解析：将AP沿AD方向平移2个单位，使点A落在A’点，作点E关于BC的对称点E’,连接A’E’，当A’E’交BC于点Q时，AP+QE最小，此时AP+QE=A’E’，AE、PQ的长度一定，所以此时四边形APQE的周长最小。
中考数学平面几何 100 题难度排行:红字偏难，黑字为常见难度1.在锐角△ABC中，AB＜AC，AB 是BC 边上的高，P 是线段 AD上一点，过 P 作PE⊥AC，垂足为 E，作PF⊥AB，垂足为 F，O1,O2 分别是△BDF，△CDE外心.证明:O1.O2.E.F 共圆的充要条件为 P 是△ABC的垂心.2.设 H 是△ABC 的垂心,D.E.F 分别是△ABC 外接圆上三点，且AD∥BE∥CF，S.T.U 分别为 D.E.F 关于 BC.CA.AB 的对称点，证明:S.T.U.H 四点共圆3.在△PAB中，E.F 分别是边PA.PB 上的点，在AP.BP 的延长线上分别取点 C.D 使得 PC＝AE，PD＝BF，点 M.N 分别是△PCD，△PEF 的垂心，证明:MN⊥AB4.过△ABC外心O 任作直线，交边 AB.AC 于M.N；E.F 分别是BN.CM 的中点.证明:∠EOF＝∠A5.P 为△ABC 内一点， D.E.F 分别是 BC.CA.AB 上的点，且PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,△ABC内的一点 H 满足∠HAB ＝∠PAC，∠HCB＝∠PCA，证明:DE⊥EF，当且仅当 H 是△BDF 垂心.6.锐角△ABC三边长互不相等，其垂心为 H,D 是BC 中点，直线BH 与AC 交于E,直线 CH 与AB 交于F，直线 AH 与BC 交于T，BDE 与○CDF 交于G，直线 AG 与○BDE.○CDF分别交于 M.N，证明:(1)AH 平分∠MTN，(2)ME.NF.AH 三线共点.7.凸四边形 ABCD 的外接圆圆心为 O,已知AC≠BD，且 AC 与 BD交于E，若P 为ABCD 内部一点，且∠PAB+∠PCB＝∠PBC+∠PDC＝90°，证明:P.O.E 共线8.与等腰△ABC两腰AB.AC 都相切的圆ω交BC 与K 和L，联结AK，交圆ω于一点另一点 M,点 P.Q 分别是点 K 关于点B 和点C 的对称点，证明:△PMQ的外接圆和圆ω相切9.在△ABC中，D 是 BC 边上一点，O1.O2.分别是△BAD.△ACD外心，O′是经过 A.O1.O2 三点的圆的圆心.记△ABC的九点圆心为V,作O′E⊥BC于E，证明:VE∥AD10.在△ABC中，AB＞AC，内心为 I，内切圆分别切BC.CA.AB 于D.E.F，M是B C中点，A H是高，直线A I与D E.D F分别交于K.L，证明:M.L.H.K 四点共圆11.○O为△ABC 外接圆 AM.AD 分别为中线与角平分线，过B.C 分别作切线相交于P，A P交B C于E，交○O于F，证明:D是△A M F内心.12.锐角△ABC，点 D.E.F 分别是 BC.CA.AB 上的高的垂足，I1，I2，I3 分别是△AEF，△BDF，△CDE的内心，L1 是○I2 与圆I3 不同于BC 的外公切线，类似定义 L2.L3，证明:L1，L2.L3 共点，且此点是△I1I2I3 外心13.锐角△ABC中，AB＜AC，M 为边 BC 中点，点 D 和点 E 分别是△ABC 外接圆弧 BAC 和 BC 中点，F 为△ABC 内切圆在AB 上的切点，AE 和 BC 交于 G，N 点在线段 EF 上，满足NB⊥AB，证明:若 BN＝EM，则DF⊥FG14.两圆内切.ABCD 为大圆上顺次四点，AC.BD 分别切小圆于E.F，B 与小圆在 AC 同侧，证明:EF 过△ABC 内心15.在△ABC中，D.E 分别在 AB.AC 上，ED∥BC，BD.CE 交于 F，证明:△AEF.△ADF，△EFB，△DFC四个外心共圆16.D.E.F 分别在△ABC 边 BC.CA.AB 上，并且 AD.BE.CF 交于一点G，△AFG，△BFG，△BGD，△GDC，△CGE，△AGE的外心分别为O i(i＝1，2，3，4，5，6)，且他们互不相同，证明:O i六点共圆的充要条件为 G 是△ABC 重心17.○O是△ABC 的外接圆，D 在弧 AB 上，△CAD，△CBD的内心分别为 E.F，○DEF与○O 的另一个交点为 X，证明:当 D 点在弧AB 上运动时，X 是一个定点18.四边形 ABCD 的边AD.BC 交于P，AB 与CD 不平行，△ABP，△CDP的外心分别为 O1，O2,垂心分别为 H1，H2，O1H1,O2H2 中点分别为 E1，E2，过 E1.E2 分别作 CD.AB 的垂线.证明:两条垂线和H1H2 共点19.△ABC外心为 O，BO 与 AC 交于 F，CO 与 AB 交于 E，EF的垂直平分线交B C于D，D E与B F交于M，D F与C E交于N，若E M.F N的垂直平分线交于 EF 上一点 K，证明:∠BAC＝90°20.点 P 在以△ABC 垂心 H 为圆心的圆上运动，P 在三边的射影分别是D.E.F，证明:s i n(2A)·P D2+s i n(2B)·P E2+s i n(2C)·P F2为定值.21.△A B C内接于圆O，I为内心，M为弧 B C中点，A′是A关于O 的对径点，D 为△ABC 内切圆和 BC 的切点，AE⊥BC于E，直线A′D和M E交于K，证明:D M⊥I K22.P 为△ABC 内一点，满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA＝30°，证明:△ABC 为等边三角形23.在△ABC中，点A1 在边 BC 上，点B1 在边 AC 上，点P 和点Q 分别在 AA1 和 BB1 上，且PQ∥AB，在直线 PB1 上取点 P1 使得 B1 严格位于 P 和P1 之间，且∠PP1C＝∠BAC，类似地，在直线 QA1 上取点 Q1 使得使得 A1 严格位于点 Q 和点 Q1 之间，且∠CQ1Q＝∠CBA，证明:P.Q.P1.Q1 共圆24.凸五边形 ABCDE 内接于○O，且 AB＝CD＝EA，对角线BE.CE 相交于点 P，点 H 为△ABE 垂心，M.N 分别是 BC.DE中点，G 是△AMN 重心，直线 PH，OG 相交于 T，证明:AT⊥CD25.在锐角三角形 ABC 中，AB＞AC，点 E.F 分别在 AC.AB 上，满足B F+C E＝B C，点I B，I C分别是∠B,∠C内的旁心，直线E I C，F I B 相交于点T，点K为弧B A C中点，直线K T与△A B C的外接圆交于 K.P，证明:T.F.P.E 四点共圆.26.等腰△ABC 中，AB＝AC，AC 边上一点 D 及 BC 延长线上一点 E，满足2AD·CE＝DC·BC，以 AB 为直径的圆ω与线段 DE 交于一点 F，证明:BCFD 共圆27.在△ABC平面内，存在唯一一组点(P.Q)使得 P.Q 关于△ABC 互为等角共轭，且满足 PA+QA＝PB+QB＝PC+QC28.在△ABC中，P1,P2 为一组等角共轭点，点 P1 在 BC.CA.AB 上的射影分别是 D1.E1.F1，直线 D1P1 与 E1F1 交于点 K1，直线 AK1 与BC 交于点 X1 类似定义 X2，证明 BX1＝CX229.△ABC的内切圆○I 分别与 BC.CA.AB 相切于 D.E.F 联结AD 交○I 于点P ，联结BP 交○I 于点H ，证明:PH·DE·DF＝EF·DP·DH30.在△ABC中，以 AB.AC 为直径的圆ω1，ω2，M 是∠BAC 角平分线 AD 的中点，BK 的延长线分别交ω1，ω2 于 E.F，CK 的延长线分别交ω1，ω2 于点 F.G 证明:○AEF 和○AFG 外切31.在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，CD⊥AB于，且CD2·BC2+AC2·CD2＝AC2·BC2，证明:∠ACB＝90°32.△ABC和△AB′C′共外接圆，P 为外接圆上任一点，证明:P 关于△ABC 和 P 关于△AB′C′的西姆森线平行的充要条件是BC∥B′C′33.凸四边形ABCD 中，对角线BD,AC 交于M，△AMB，△CMD 的垂心分别是S.R ，△A M D,△B M C的重心分别是I.Q，证明:I Q⊥S R34.△ABC中，AD⊥BC于D，BF⊥AC于E，CG⊥AB于F，联DE.EF.DF，证明:△AEF，△BDE，△CDF的欧拉线共点，且交点在九点圆上35.△ABC中，AY⊥BC于 Y，记 O 为外心，A O交 BC 于 X，过B.C 引外接圆切线交于 L，D 为内切圆在 BC 上的切点，I 为内心，PQ 是过O I的外接圆直径(P.Q端点)，证明:P X Y Q共圆当且仅当A D L共线36.△A B C中，P为∠B A C平分线上一点，O1,O2,O3分别是△A P B，△APC，△BPC外心，K 为△O1O2O3 外心，证明:OK∥AP(其中O 是△ABC外心)37.圆 O1,O2 相交于 A.B 两点，CD 是两圆靠近 B 的外公切线，P 是圆 O1 上一点，Q 是圆 O2 上一点，PC.QD 延长线交于 R，若 AR平分∠PAQ，证明:PQ∥CD或PBQ 共线38.已知圆 O1 和圆 O2 相交于 P.Q 两点，O 是连心线 O1O2 的中点，过P 作两条不重合的割线 AB 和CD，(其中 A.C 在圆O1 上，B.D 在圆O2上)，联结A D并取其中点M，联C B 并取其中点N，证明:O到直线 MN 的距离小于 O 到PQ 的距离.39.四边形 ABCD 内接于圆，O 是外心，E 是对角线交点，P 是平面内任一点，O1,O2,O3,O4 分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA 外心，证明:OE,O1O3,O2O4 共点40.平面内有七个圆，其中六个圆含于一个大圆内，且没个圆都和大圆相切，六个圆两两相切，记六个圆在大圆上的切点依次为A i(i＝1.2.3.4.5.6)，证明:A1A4.A2A5.A3A6共点41.△ABC内切圆与 BC.AC.AB 相切于点 D.E.F，一圆与△ABC 内切圆切于 D，与△ABC 外接圆切于 K，M.N 类似定义，证明:DK，EM.FN 共点，且此点在△DEF 的欧拉线上42.圆O1，O2分别是△A B C的C-旁切圆，B-旁切圆，O1与A C.B C分别相切于 G.H，圆 O2 分别与 AB.BC 相切于 L.K，直线O1L 和直线O2G 相交于 P，证明:AP⊥GL43.从圆Ω外一点 P 作圆Ω的切线 PA.PB，AA′,BB′分别是圆Ω的两条直径，点 C.D 分别在切线 PA.PB 上，过 C 且垂直于 AB 的直线与∠ABB′的平分线交于 C′，过 D 且垂直于AB 的直线与∠A′AB的平分线交于 D′，证明:C,D′，A′共线当且仅当C′DB′共线44.四条直线相交成四个三角形，这四个三角形的垂心共线45.已知△ABC，A1,A2,A3 分别在高线 AD.BE.CF 上若 S△ABC ＝S△ABC1+S△BCA1+S△CAB1，证明:△A1B1C1 外接圆通过△ABC的垂心46.四边形 ABCD 内接于圆， E 为 BC 上一点， E 在直线A B.B D.A C.C D上的射影分别是M.N.Q.P，直线M N与P Q交于点K，直线 EK 与AD 交于F，证明:KE＝KF47.等腰三角形A B C中，A B＝A C，三角形内存在一点P使得∠P B C＝45°，∠PCB＝15°，且 AP＝BP+CP，求∠ABC48.在梯形 ABCD 中，AD∥BC，P 为 BC 上任一点，PE∥AC交AB 于 E，PF∥BD交 CD 于 F，EF 分别交 BD.AC 于点 G.H，证明:EG＝FH49.在不等腰锐角三角形ABC 中，三条高线 AD.BE.CF 的中点依次为 P.S.T，内心为 I，外心为 O，内切圆○I 与边BC.CA.AB 分别相切于M.N.L，证明:P M.S N.T L共点，且此交点和O I共线50.△ABC中，M 是BC 中点，点E.F 分别是M 关于AC.AB 的对称点，直线FB.EC 交于P，点 Q 满足QA＝QM，∠QAP＝90°，O 是△PEF 外心，证明:AO⊥OQ51.△ABC中，AB＞AC，∠BAC的角平分线交 BC 于D，线段AD的垂直平分线与 AB.AC 分别交于 E.F，点 X 在 BC 上，且BX·CF＝XC·BE，AX 交△ABC 外接圆于 Y,已知 BC＝a，CA＝b，AB＝ c，求△ADY外接圆半径52.△ABC 中，BC＞CA＞AB，BE.CF 是角平分线，外接圆弦BQ∥EF,QP∥AC,证明:PC＝PA+PB53.已知△ABC 为给定三角形，D 在 BC 上,E 在 AB 上，F 在AC 上，且△DEF为正三角形，求 S△DEF 最小值54.设F是双曲线定点，A是右焦点，△H I J的内切圆是以A为圆心A F为半径的圆.过H.I作双曲线的切线交于K，证明:K A J 共线55.已知正△XYZ 的顶点分别在△ABC 的边 BC.CA.AB 上，证明:△ABC 的内心在△XYZ 的内切圆的内部56.△ABC 内接于圆 O，∠ABC＞90°，M 是边 BC 中点，点 P在△ABC内，满足PB⊥PC，过P 作AP 的垂线，D.E 是该垂线上不同于 P 的两点，满足 BD＝BP，CE＝CP，若四边形 ADOE 是平行四边形，证明:∠OPE＝∠AMB57.设 A 为○Ω外一点，直线 AB.AC 分别与圆Ω相切于 B.C 两点，设 P 是劣弧 BC 上的一个动点，过点 P 作Ω的切线分别于A B.A C相交于点D.E，直线B P.C P分别与∠B A C的内角平分线交于点 U.V，过点 P 作 AB 的垂线，与直线 DV 交于 M，过点 P 作A C的垂线，与直线 EU 交于点 N，证明:存在一个与点P 无关的定点 L，使得 MNL 共线58.△ABC中，AB＞AC,M 是边 BC 的中点，○M 以 BC 为直径，直线 AB.AC 分别与○M 交于点 D(异于 B)，E(异于 C)，已知在△ABC内的点 P 满足∠PAB＝∠ACP，∠CAP＝∠ABP，BC²＝2DE·MP，在○M外的点 X 满足XM∥AP，XB·AC＝XC·AC，证明:∠BXC+∠BAC＝90°59.锐角三角形 ABC 中，AB＜AC，AD 是 BC 边上的高，D 是垂足，I 是△ABC内心，J 是A-旁心，点 E 在边 AB 上，点 F 在AB 延长线上满足 BE＝BF＝BD，证明:在△ABC 外接圆上存在两点P.Q(可以重合)，满足P B＝Q C，并且△P E I∽△Q FJ60.锐角△ABC中，作出角平分线 BL，D.E 分别是△ABC 外接圆上弧 AB 和弧 BC 中点，线段 BD 的延长线上取一点 P，在线段BE 的延长线上取一点 Q，使得∠APB＝∠CQB＝90°，证明:线段 BL 的中点与 P.Q 共线61.锐角△ABC 内有 P.Q 两点满足∠ACP＝∠BCQ，∠CAP＝∠BAQ，过点 P 作 BC.CA.AB 的垂线，垂足为 D.E.F，证明:∠DEF＝90°当且仅当 Q 是△BFD 垂心62.在△ABC周围作3 个任意三角形△DBC，△ECA，△FAB，他们的顶点围成△DEF ，再向△DEF 周围作三个三角形△A′FE,△B′DF，△C′ED 相应地，使他们与△DBC，△ECA，△FAB 顺向相似，证明:△A′B′C′∽△ABC63.圆周上有 ABCD 四点，证明:其中一点关于另三点围成的三角形的三条西姆森线共点64.设○O1,O2 交于 P.Q 两点，过点 P 任作两条直线 APB，CPD，其中A.C在○O1上，点B.D在○O2上，M.N分别是A D.B C中点,O为O1O2 中点，∠APC＝θ为锐角，设 h 为点O 到MN 的距离，K 为PQ 中点，证明:h＝OK·cosθ65.锐角△ABC 中，I 是内心AB≠AC，△ABC的内切圆ω与边BC.CA.AB 分别相切于点 D.E.F 过D 点且垂直于 EF 的直线与ω另一个交点为 R.直线 AR 与ω另一个交点为 P，△PCE 和△PBF 的外接圆交于另一点Q.证明:直线D I和P Q的交点在过A且垂直于A I的直线上.66.在△A B C中，I为内心，T为A I与B C的交点，J为A-胖切圆与边 BC 的切点，△AJT 的外接圆和△ABC 的外接圆第二个交点为F，过I作I S⊥A T，与B C交于点S，A S与△A B C外接圆的第二个交点为 E，证明:EF∥BC.67.已知五角星形A B C D E F G H I J，△I B C，△J B A，△E A G，△F E D，△HDC的外接圆轮回相交，两两交点分别是 K.O.N.M.L，记LB 和 AN 交于 Q 类似定义 T.S.R.P，记 JO 与 FN 交于 U 类似定义W.Z.V.A1.证明:K O N M L Q TS R P U W Z V A1共圆∠XAY为一个固定的角，B.C 分别是射线 AX.AY 上的动点，∠XAY内有一点P 满足PA.PB.PC 的长均为定值，求△ABC 的最大值答：设P是△A B C内的任意点，O.O A.O B.O C分别是△A B C,△P B C，△P C A，△P A B 外心，O B C,O C A,O A B 分别是△P O B O C，△P O C O A，△P O A O B的外心， O′，O′分别是△O A O B O C ，△O BC O CA O AB 外心，证明:OP∥OO′′68.设△ABC 的外心为 O，在∠A 的角平分线上取一点 P，分别作P在A B.B C.C A.上的射影D.E.F，若△D E F的外接圆交B C于另外一点 G，设 H 为△EFG 垂心，求证:O.P.H 共线。
