连续函数

第２７卷第４期　２０１１年８月　德州学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｄｅｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ＶＯ１．２７，Ｎｏ．４　Ａｕｇ．，２０１１　

函数的一致连续与绝对连续　

董立华　

（德州学院数学．山东德州　２５３０２３）　

摘要：函数的一致连续性、绝对连续性都是对函数整体性质的刻画，其中一致连续与绝对连续的主要区别　在于　的选取．主要讨论它们之间的关系及其特性．　关键词：一致连续；绝对连续；Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件　中图分类号：０１７１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—９４４４（２０１１）０４—０００５—０３　

ｌ　一致连续与绝对连续　

定义１若对任何ｅ＞０，存在　＞０，使得当　

Ｖ　ｌ，　２　∈　，　且　Ｉ　ｌ～　２　Ｉ＜　时就有　

１　ｆ（ｘ　）一－，‘（　）Ｉ＜￡，则称，（　）在ｊ上一致连续．　

定义２Ⅲ　设Ｌ厂（　）是　，６］上的实值函数，若　

对任何ｅ＞０，恒有　＞０，使对于［ｎ，阳中任何有　

限个两两不相交的开区间ｆ（ｎ　，ｂ　）｝　，即　

ａ１＜ｂｌ＜　２＜ｂ２＜…＜口　＜ｂ　

只要∑（　一　）＜　，便有∑｛ｆ（ｂｋ）一　一１　ｋ＝１　ｆ（ａ　）｛＜￡，则＿厂（　）称为［ｎ，６］上的绝对连续函　

数．　

事实上，函数的绝对连续性概念是由积分的绝　

对连续性概念演化过来的．正因如此，绝对连续性重　要特征之一就是函数的绝对连续性与函数的可微性　

是有关的，即绝对连续的函数几乎处处可微，但反　

之不然．这完全不同于函数的一致连续性，它反映的　是函数的自变量的变化与函数值变化之间的关系，　与可微性无关．大家知道，确实存在着有界闭区间上　

处处连续（从而一致连续）但处处不可微的函数．　为考察一致连续与绝对连续之间的关系，有下　

面的定理．　定理１　函数／‘（　）在［ａ，６］上一致连续∞　

Ｖ　ｅ＞Ｏ，Ｖ＂∈Ｎ—ｊ　＞０，而当　，Ｙ　∈［“，５３且　

＜　≤　Ⅲｊ＜ｙ一＿Ｉ＇（ｉ一１，２，…，　）满足　

∑Ｉ　ｙ　一　ｌ＜艿时，就有∑ｌ　ｆ（ｙ　）一ｆ（ｘ，）Ｉ＜　ｉ一１　ｌ　￡［　．　证明　只要取Ｔ／一１，则知定理的充分性成立．　

- 1 - 正值连续函数

正值连续函数是指一种特殊类型的函数，它们在定义域内单调递增，并且在定义域内可以连续地改变。正值连续函数会在许多数学和统计应用领域得到广泛使用，因为它们的连续性可以使得计算相对简单，而且能够更好地预测某些事件之间的联系。

正值连续函数的定义

我们以y = f(x)为例，定义一个正值连续函数：

（1）函数f(x)在定义域内单调递增；

（2）函数f(x)在定义域内连续，即其在定义域内没有断点；

（3）函数f(x)在定义域内没有对称和最大值；

（4）函数f(x)在定义域内可以绘制，并且曲线上的所有点都处在正值域内；

特殊的正值连续函数

正值连续函数有许多不同的类型，其中一些最常用的类型有直线函数、幂函数、指数函数、反比例函数、log函数和三次函数等。在实际应用中，这些不同类型的正值连续函数有着不同的特征，这些特征会使得它们用于解决特定的问题。

直线函数

直线函数是一种正值连续函数，它的简单线性模型可以用于预测输出变量的变化。作为一种特殊的线性模型，直线函数有着两个参数，一个是斜率，另一个是截距，它可以用于预测变量之间的线性关系。 - 2 - 幂函数

幂函数是一种特殊的正值连续函数，它的输入变量是一个自变量，输出变量是该自变量的幂。幂函数可以用来建立完整的函数，它可以进一步用于预测输出变量的变化和自变量之间的关系。

指数函数

指数函数是一种特殊的正值连续函数，它的输出变量是一个指数函数，当输入变量的值增大时，它的输出值也会按照指数函数的曲线增大。指数函数可以用于定量描述输出变量和输入变量之间的函数关系，可以更准确地预测变量之间的关系。

反比例函数

反比例函数是一种常用的正值连续函数，它可以用来描述两个输入变量之间的反比例关系，当输入变量的值增大时，反比例函数的输出值会逐渐减小。它可以用来观察社会经济等变量之间的关系，从而更准确地预测各变量的变化。

1 第1章 函数、极限与连续

习题一 函数

一、 是非题

1、2xy与y=x相同 ； （）

2、y=ln(x+21x)是奇数； （）

3、凡是分段表示的函数都不是初等函数； （）

4、y=x2 (x>0)是偶函数； （）

5、两个单调增函数之和仍为单调增函数； （）

6、实数域上的周期函数的周期有无穷多个； （）

7、复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域; （）

8、y=f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界 （）

二、填空题

1、 函数y=f(X)与反函数y=(x)的图形关于______对称；

2、 若f(x)的定义域是[0,1]，则f(x2+1)的定义域是______；

3、y=122xx的反函数为_____；

4、 若f(x)是以2为周期的周期函数，且在闭区间[0，2]上f(x)=2*x-x2则在闭区间[2，4]上，f(x)=____;

5、f(x)x+1,(x)=211x,则f((x)+1)= ___,[f(x)+1]=_____;

6、f(x)=log2(sinx+2)是由简单函数 和 复合而成；

7 、y=xx是有简单函数 和 复合而成。

三、选择题 2 1、下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）；

A sin3x B x3+1

第２２卷第２期　２００８年２月　常熟理工学院学报（自然科学）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｃｈａｎｇｓｈｕ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）　Ｖｏ１．２２　Ｎｏ．２　Ｆｅｂ．，２００８　

可测函数与连续函数的关系　

戴培良　

（常熟理工学院数学系，江苏常熟２１５５００）　

摘要：论述了可测函数与连续函数的关系，对鲁津定理作了较详细的证明及说明．对可测函数的　

结构进行了详尽的研究，由此对鲁津定理的理解可更加深透．　关键词：可测函数连续函数定理　中图分类号：Ｏ１７４．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—２７９４（２００８）０２—００１４—０４　

可测函数与连续函数有着密切的关系，这种关系使我们对可测函数的了解更加深入，也是研究可测函数　

的有效工具．　

１可测函数和连续函数的定义　

定义１设，（　）是定义在可测集ＥＣＲ“的实函数．如果对于任何有限实数口，Ｅｌｆ＞口］都是可测集，则称　

，（　）为定义在Ｅ上的可测函数　Ｊ．　

定义２设，（　）是定义在集Ｕ（　）ｎ　Ｅ　Ｃ　Ｅｌｆ＞口］Ｅ上的有限函数，如果对Ｖ占＞０，　ａ＞０，使得Ｖ　∈　

Ｕ（‰；ａ），有Ｉｆ（　）一，（　）Ｉ＜占，Ｎ／ｚ，称函数，（ｚ）在点　处连续．如果，（　）在Ｅ中每一点都连续，则称，（　）　

在Ｅ上连续．　

２连续函数的可测性　

定理１　可测集ＥＣＲ　上的连续函数都是可测函数．　

证明：Ｖ口∈Ｒ，设　∈Ｅｌｆ＞口］，则由连续性假设，存在　的某邻域Ｕ（　），使Ｕ（　）ｎＥＣＥ［ｆ＞口］．因此，　

令Ｇ＝　Ｕ（ｘ），则ＧＡＥ＝［．　（　）】ＡＥ＝…Ｏ　Ｕ（ｚ）ｎＥ［ｆ＞口］．反之，显然有Ｇ３Ｅ［　＞口］，因　

此，Ｅｌｆ＞口］ＣＧｎＥｌｆ＞口］ＣＧｎＥ，从而Ｅｌｆ＞口］＝ＧｎＥ，但Ｇ是开集（因为它是一族开集之并），而Ｅ为可　

测集，故其交ＧＮＥ仍为可测集，即　［／＞口］为可测集，由定义１知：　）是可测函数．　

３可测函数的连续性