函数思想解数列问题

函数思想解数列问题

一. 知识讲解

变量数学是高中数学的主要组成部分，变量是变量数学的基本研究对象．按照取值方式的不同，变量可分为连续型变量和离散型变量，高中数学中的函数理论主要研究连续型变量，而数列理论主要研究离散型变量．

函数与数列有共同的属性：研究变量的变化规律和相互联系即函数的思想方法是共同的数学思想方法；描述客观世界中量之间的依存关系，刻画数量特征和制约关系是共同的本质；相等关系和大小关系是揭示数量特征的共同的形式；函数的三要素也是数列的三要素；研究基本初等函数的图像与性质也类比着研究数列的性质；……

函数与数列又有质的差异，连续和离散是根本的差异；函数理论以幂函数、指数函数和对数函数、三角函数和反三角函数五类基本初等函数为基本研究对象；数列理论以等差数列和等比数列为基本研究对象；递推归纳是认识数列的独特的方式，数学归纳法是证明与数列有关的结论的一种特殊方法．

函数与数列既相互联系，又相互区别，在一定条件下可相互转化．通过两者之间的类比，以揭示和认识两者的内在联系，概括两者在内容和方法上的共性和差异，在更高的层次上把握变量数学的特征和规律，是近几年数学高考试题中考查数列的题目体现能力立意的命题思路，也是知识网络的一个交汇点．

数列是定义域为自然数集N或是N的有限子集的函数，其函数值按一定顺序排列．

在一个数列中，它的任一项的数值，由它所对应的项数唯一确定，因此数列中各项的值是其项数的函数，即an=f (n)．

用图像法表示数列时，图像是由直角坐标系中的一些孤立点组成，其中每一个点（n , an）的横坐标n 表示项数，纵坐标an表示该项的值．

数列{an}的前n项和Sn=a1 + a2 +…+an

数列按照项数可分成有穷数列和无穷数列，按照项与项之间的大小关系，可分为常数列，递增数列、递减数列或摆动数列；按照数列中各项的绝对值的取值范围，可分成有界数列、无界数列．

数列中基本的研究对象：等差数列与等比数列．应掌握它们的定义、通项公式、前n 项和公式，及由此可推导出的一些基本性质．

数列是特殊的函数，因此可借助函数的有关知识，解决数列的问题，但要充分注意其特殊性的体现．

判断数列的单调性时，不用在定义域内任取x1

数列{an}是等差数列的充要条件是an=dn+b，其中d为公差．即通项公式an是项数n的一次函数式，n的一次项系数为数列的公差；用图像法表示等差数列时，点（n，an）一定在斜率为d的一条直线上．

数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn=an2+bn（a、b为已知常数），即Sn是n的二次函数式，二次项系数为数列的公差之半．

数列问题中，与复合函数相类似，可研究若干个相关数列的相互联系，通过项与项之间的关系相联系或交错在一起，或通过函数式联系起来．

数列综合题往往和函数、不等式相结合，以数列为载体，利用函数性质证明不等式，或以数列为载体，利用不等式为工具去研究相关函数或数列的性质．

数列的综合题常常将两个或若干个数列通过项与项之间的关系联系在一起，这就需要由一个数列的性质去探求另一个数列的性质，由递推式到通项或由通项到递推式的思想方法常起到很好的作用．

二.范例分析

例1．已知数 中， ， 是它的前 项和，并且 （n=1，2，…）

（1）设 （n=1，2，…），求证数列 是等比数列．

（2）设 （n=1，2，…），求证数列 是等差数列． （3）求数列 的通项公式及前 项和公式

解：（1）∵ ①

∴ ②

②－①得：

整理得： ③

∵ （n=1，2，…）

∴

由③式得：

∵

∴ 是首项为 ，公比为2的等比数列，其通项公式是 ．

（2）∵ （n=1，2，…）

∴

∴ ④

将 代入④得：

．

可知： 是等差数列，公差是 ．

首项是 通项公式是 ．

（3）∵

∴ （n=1，2，…）

∵

当 时： 且 也适合此公式

∴ （n=1，2，…）

评述：已知条件中数列 既不是等差数列，也不是等比数列，但与之相关的数列 是等比数列， 是等差数列，借助于 与 求得 的通项公式及前 项和公式，体现了建立相互联系、相互转化来解决问题的思想方法，即函数的思想方法．

例2．数列 中， ，前 项和构成数列 ，且 是公比为 的等比数列．

（1）求证： 中， 时是等比数列．

（2）设 ，

求 ．

解：（1）∵ ，

∴

∴

∴ ∴ 中，从第2项开始构成以 为公比的等比数列．

（2）∵ ， ， … 是公比为 的等比数列．

∴

．

∴

∴

∵ ，∴

∴ ．

例3．求数列 的前 项之和 的最大值．

解：∵

．

∴此数列是等差数列，其公差为 ，首项 ． ∵ ， ，∴ 有最大值．

设 ，得 ．

∴

∴ 是 的最大值， ．

例４．已知等差数列 中， ，公差 ，求使前 项和 取最大值的

的值．

解法一：∵

∴

∴ ．

又 ＝ ＝

当 时， 最大．

于是使 最大的自然数是5和6．

解法二： ∵ 可得

∴

∵

∴ 时，

时， 时，

故 或 时， 最大．

评述：在等差数列中，由于 ，所以 时， 有最大值．

解法一是利用二次函数求最值的方法求这个最大值．解法二是从 的符号入手，前面所有数值为正数的项之和应最大．这是求等差数列前 项和的最值问题中常用的两种方法．

例5．设等差数列的前 项和 ，已知 ， ， ．

（1）求公差d的取值范围．

（2）指出 ， ，… 中哪一个值取最大，并说明理由．

解：（1）依题意

①

②

即

∴ ．

代入①、②式可得：

解得 ． （2）解法一：

∵

∴当 时， 最大．

∵

∴ 且

∴ 最大．

解法二． 是关于 的二次函数，且 ， ，

．

∴ 的图象如图所示，

∴抛物线过（0，0）点，不妨设另一交点为（n，0）且12

∴ ．

而此函数图象的对称轴方程为 且 ．

∴ 最大．

解法三：由（1）知， ，∴ 是递减数列，

又 ∴ ∴当 而 时， 最大．

∴

又

∴

∴

∴在 ， … 中， 的值最大．

解法四：由（1）知， ，∴ 是递减数列，故设 ,即

解得：

∴

∴ ，

∴ 最大．

评述：本例是运用函数的思想方法解决数列的最值问题．从运动变化中认识数列及其性质．解法一和解法二是将数列的前 项和看作二次函数，二次项系数 ，故二次函数有最大值．解法一利用二次函数的顶点式求最值；解法二是利用二次函数的图象求最值．解法三和解法四是将数列的通项公式看作函数，利用 是递减数列，若 ，且 ，则 即为最大值．

例6．已知函数 与函数 的图象关于直线 对称． （1）试用含 代数式表示函数 的解析式，并指出它的定义域．

（2）数列 中， ，当 时， ，数列 中， ，

，点 （n=1，2…）在函数 的图象上，求 的值．

（3）在（2）的条件下，过点 作倾斜角为 的直线 ，且 在 轴上的截距为

（n=1，2，3…），求数列 中的 ， ， ，猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明．

解：（1）∵

∴

且 ∴

∴

（2）∴ （n=1，2…）在 的图象上，

∴ 对n∈N成立．

当n=1时：∵ S1=b1=2，a1=1

∴ 解得： ．

（3）∵ ： 过点 ，

∴ ∴ ①

又由上（2）知： ，

∴

∴ ②

由①、②得： 即

∴ ∴ 或 ．

又 时，

∴ ， ， ．

同理：

且 得

代入上式解得： ．

∴ ， ．

又：

解得 ， ．

∵ ∴ ．

猜想 ． 证：（1）当 时，由上知 ，∴命题成立．

（2）假设 时命题成立，则 ．

且 在 上； ，又 过 ．

∴ 即 ．

∴ ．

当 时：

①②

由①得：

代入②消去 得： ，

∴

∴ 时，命题成立．

由（1）（2）可知： ．

评述 此题是2000年北京市会考题．题目将函数与数列有机地结合为一体，将数列 、 、

的联系与变化认识清楚，有助于理清思路，寻求解法．题中给出点 既在

图象上，又在直线 上，有三个未知量 ， ， ，但 是 的前 项和，故有三个方程可求解．

例7．已知数列 中， ， 是它的前 项和，且

．

（1）求函数 的表达式和定义域．

（2）描绘函数 的图象．

解：（1）

∴数列 是首项 ，

公比为 的无穷等比数列．

．

∴ ，且

解 ，得： 或 ．

整理，得： ．

由 ，得 ． ∴函数 的定义域是 ．

（2）∵

又

∴函数 的图象是位于椭圆 的上半部分的两段曲线．（如图所示）

评述 这是一道函数与数列的综合题．数列通项公式中 是 的函数， 的参数．写成

的形式，可判定 是等比数列．由已知 可知，等比数列 满足 ，由无穷递缩等比数列的求和公式可知， ．求得 的解析式，并由解析式及 可确定 的定义域．经计算导出 的表达式是解题的关键步骤，

由参数变为主元，体现了函数与数列的内在联系与相互转化．

例8．已知 ，设 ，试确定实数 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数 ，不等式

恒成立．

分析：由题意可知 ，但此式无法求和化简．关键的一步是用函数的思想，将 看作关于 的函数，故已知不等式恒成立就等价转化成函数 的最小值 ，而函数

的最小值的确定，又应从研究函数 的单调性开始．

解：∵

∴